浙江省杭州市某校2024-2025学年高一上学期第四次月考数学（实验班）试题（含答案）

第第页浙江省杭州市某校2024-2025学年高一上学期第四次月考数学（实验班）试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．定义集合A∗B={x|x∈A且x∉B}，若A={1,3,5,7}，B={2,3,5}，则A∗B的子集个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．复数z满足z=5i−2A．1 B．2 C．5 D．53．使x>y成立的一个充分不必要条件是（）A．x13>C．lnx2>2lny4．一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是()A．6π6 B．π2 C．2π25．设a，b，c是三个非零向量，且a与b不共线，若关于x的方程ax2+bx+A．x1>xC．x1<x2 D．6．在三棱锥D−ABC中，底面是边长为2的正三角形，若AD为三棱锥D−ABC的外接球直径，且AC与BD所成角的余弦值为217A．193π B．283π C．7．若函数y=sin2(x+A．3 B．−3 C．33 8．高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数y=x称为高斯函数，其中x表示不超过实数x的最大整数，如1.2=1，−2=−2.设函数f(x)=x2A．0 B．14 C．12二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．9．已知a,b均为大于0的实数，下列不等式中恒成立的是（）A．a+b1a+C．b+1a+b+1>b10．(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝23BD1A．MN∥平面APC B．C1Q∥平面APCC．A，P，M三点共线 D．平面MNQ∥平面APC11．已知定义在(0,+∞)的函数f(x)满足：当x1A．3f(4)>4f(3)B．函数y=f(x)x在区间C．函数y=xf(x)在区间(0,+∞D．f三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上，若国歌时长为50s，升旗手应以13．已知x，y为正实数，且x2+xy+4y2−z=0，当z14．已知幂函数fx=xm−3m∈N*的图象关于y轴对称，且fx在四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设AD是半径为5的半圆O的直径(如图)，B,C是半圆上两点，已知AB=BC=10（1）求cos∠AOC（2）求DC⋅16．在底面是菱形的四棱锥P−ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=2a，点E在PD上，且PE:ED＝2:1，平面（1）证明：l//CD；（2）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论．17．若图，在△ABC中，∠B=45∘，点D在边AB上，（1）若△BCD的面积为22，求A（2）若AC=2，求∠A18．已知f(x)=ax+bax−b（a>0（1）求f(x)的解析式；（2）把区间(0,2)等分成2n份，记等分点的横坐标依次为xi, i=1,2,3,⋯,2n−1，g(x)=5（3）函数f(x)在区间[m,n](m<n)上的值域是k2m,19．对于一个四元整数集A=a,b,c,d，如果它能划分成两个不相交的二元子集a,b和c,d，满足ab−cd=1（1）写出集合1,2,3,4,5,6,7,8的一个“有趣的”四元子集：（2）证明：集合1,2,3,4,5,6,7,8不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：（3）证明：对任意正整数nn≥2，集合1,2,3,⋯,4n不能划分成n

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由题意，设A∗B={1,7}，

则A∗B的子集个数为22故答案为：D.【分析】根据集合定义的新运算，从而确定集合A∗B，再利用子集的定义，从而得出集合A∗B的子集个数.2．【答案】C【解析】【解答】解：方法一：因为z=5所以z=方法二：z=故答案为：C.【分析】利用两种方法求解.

方法一：利用复数的乘除法运算法则求出复数z，再根据复数求模公式得出z的值.

方法二：利用复数的模的运算法则和复数的模的求解方法，从二得出复数z的模.3．【答案】B【解析】【解答】解：因为x1当x−y+1x−y>2时，x−y+1x−y−2>0，

得x−y2−2x−y+1x−y>0，

则x−y−12x−y>0当x=2,y=1时，x−y+1x−y=2，

所以x−y+当x=−2,y=1时，lnx2>2当0<a<1时，由ax−y>1=a0，得故答案为：B.

【分析】利用幂函数的单调性、基本不等式求最值的方法、对数函数的单调性、指数函数的单调性，再结合充分条件和必要条件的判断方法，从而逐项判断找出使x>y成立的一个充分不必要条件.4．【答案】A【解析】【解答】解：设正方体的棱长为a，球的半径为R，由6a2＝4πR2，得aR＝2π3，

所以故答案为：A．

【分析】利用正方体的表面积公式和球的表面积公式以及已知条件，从而得出正方体的棱长和球的半径之比，再结合正方体的体积公式和球的体积公式，从而得出正方体和球的体积之比.5．【答案】B【解析】【解答】解：因为关于x的方程ax2+bx+所以ax12+bx1+c=0因为a，b，c是三个非零向量，且a与b不共线，所以x1+x2a故答案为：B.【分析】将两根分别代入方程作差，从而化简为x1−x6．【答案】A【解析】【解答】解：设球心为O，取AB中点为E、BC中点为F，连接OE、显然AC与BD所成角为∠OEF，设外接球半径为r，在Rt△OEB中，OE=r2−1，BD=2OE=2r2−1，在△ABC中，EF//AC，EF=12AC=1，在所以cos∠OEF=12EFOE故答案为：A.【分析】做辅助线，先找到找到异面直线夹角∠OEF，易得OE=OF=r2−1，EF=1，由cos7．【答案】D【解析】【解答】解：因为y=sin令2x+π3=k所以，函数y=sin2(x+则函数y=sin令2x+θ=nπ+π所以，函数y=sin2x+acos因为两函数的对称轴相同，此时π4解得θ=5π6-sπ,s∈Z故答案为：D.

【分析】先利用二倍角的余弦公式，则对函数y=sin2(x+π68．【答案】C【解析】【解答】解：因为f(x)=x2−xx，f(x)−2ax当x=0时，不等式成立；当x>0时，a≥121−xx，0<xx当x<0时，a≥121−xx，xx≥1综上所述：a≥1故答案为：C.【分析】考虑x=0，x>0，x<0三种情况，再利用已知条件和函数的性质，从而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出使不等式f(x)−2ax2≤09．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：因为a>0,b>0.对于A，因为a+b1当且仅当ba=a对于B，因为a+又因为a(a+3)−(a+1)(a+2)=−3<0，所以a(a+3)<所以a+对于C，因为b+1a+b+1所以b+1a+b+1对于D，因为a2设t=a+1a≥2a⋅1所以a2则当t=2时，a2所以a2+1a2故答案为：ACD.

【分析】利用基本不等式求最值的方法，则判断出选项A；利用作差比较大小的方法，则判断出选项B、选项C和选项D，从而找出不等式恒成立的选项.10．【答案】B,C【解析】【解答】解：对于A，如图，连接MN，AC，则MN∥AC，

连接AM，CN，设AM，CN交于点I，

由MIAI=NICI=D1P对于B，由选项A知M，N在平面APC内，

由题意知AN∥C1Q，且AN⊂平面APC，C1Q⊄平面APC，

所以C1Q∥平面APC，故选项B正确；对于C，由选项A知，A，P，M三点共线，故选项C正确；对于D，由选项A知MN⊂平面APC，又因为MN⊂平面MNQ，故选项D错误．故答案为：BC.

【分析】连接MN，AC，则MN∥AC，由MIAI=NICI=D11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：依题意，当x1≠x令x1=4,x则3f4−4f3>0，不妨设0<x1<则gx因为0<x1<x2所以gx所以gx在(0,+设hx=xfx所以y=xfx由上述判断可知，函数gx=f所以g3x1+x所以f3同理可得gx1+3x2所以fx所以f3x1故答案为：ABD.

【分析】利用赋值法，令x1=4,x2=3，则可判断选项A；不妨设0<x1<x2，再设gx=f12．【答案】0.6【解析】【解答】解：因为∠AEC=30°+15°=45°，∠ACE=180°−60°−15°=105°，

所以∠EAC=30°，根据正弦定理，得：ACsin∠AEC=ECsin∠EAC，所以AB=32AC=32故答案为：0.6.【分析】利用角之间的关系和三角形内角和定理，从而计算出∠EAC和∠AEC的值，再根据正弦定理得到AC的长和AB=313．【答案】−【解析】【解答】解：因为x2所以zxy当且仅当xy=4yx时，即当x=2y时，取“=”，此时z=5xy=10y当x=2y=910时，取“=”，

所以，z−4x−y的最小值为故答案为：−8140.

【分析】先变形得到zxy=1+xy+4yx14．【答案】2【解析】【解答】解：因为幂函数fx=xm−3m∈N*的图象关于y若m−3<0，则m=1,2，

当m=2时，fx当m=1时，fx=x根据函数fx图象关于y轴对称，且fx在可得fx在−由fx=x−2可知定义域为x|x≠0，f(a+1−m)<f(3−2a−m)，所以a>所以a2>(2−2a)22−2a≠0，

故答案为：23,1∪1,2.

【分析】根据幂函数的图象的对称性确定m的值，再利用函数的单调性和奇偶性，从而解不等式得出满足15．【答案】（1）解：如图，连接OB，由余弦定理，得cos∠AOB=由AB=BC，知∠AOC=2∠AOB，则cos∠AOC=2（2）解：解法1：因为AB=BC=10，

所以B为AC所以∠ADB=∠BDC,∠AOB=2∠ADB，又因为2∠ADB=∠ADC，

所以∠ADC=∠AOB，

则cos∠ADC=在Rt△ACD中，AD=10，

则DC在Rt△ADB中，可得sin所以cos故DC解法2：DC===5×5×【解析】【分析】（1）连接OB，在△AOB中利用余弦定理得出cos∠AOB的值，再利用AB=BC推出∠AOC=2∠AOB，再利用二倍角公式得出cos（2）利用两种方法求解.

方法1：根据题意可知∠ADC=∠AOB,∠ADB=∠BDC，从而求出DC的值，在Rt△ADB中利用cos∠ADB得出|DB|的值，再利用数量积的定义得出DC⋅DB的值．（1）如图，连接OB，由余弦定理得cos∠AOB=25+25−10由AB=BC知∠AOC=2∠AOB，则cos∠AOC=2（2）解法1：因为AB=BC=10，所以B为AC所以∠ADB=∠BDC,∠AOB=2∠ADB，又因为2∠ADB=∠ADC，所以∠ADC=∠AOB，则cos∠ADC=在Rt△ACD中，AD=10，则DC又在Rt△ADB中，可得sin所以cos∠ADB=故DC⋅解法2：DC===5×5×716．【答案】（1）证明：由四边形ABCD为菱形，得AB//CD，因为AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，

所以AB//平面PCD，又因为AB⊂平面PAB，平面PAB∩平面PCD=l，

所以AB//l，

所以l//CD．（2）解：存在，当F是PC的中点时，BF//平面AEC.

如图，取PE的中点M，连接FM，得FM//CE，

因为CE⊂平面AEC，FM⊄平面AEC，

所以FM//平面AEC，由M为PE的中点，则PE:ED＝2:1，

得连接BM，BD，设BD∩AC＝O，

由四边形则BM//OE，

因为OE⊂平面AEC，BM⊄平面AEC，

所以BM//平面AEC，又因为MF∩MB=M，MF,MB⊂平面BFM，

则平面BFM//平面AEC，又因为BF⊂平面BFM，

所以BF//平面AEC.【解析】【分析】（1）利用菱形的结构特征得出线线平行，再利用线线平行和线面平行的推导关系，从而证出l//CD.（2）取PE的中点M，利用线面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性质定理，从而证出在棱PC上存在一点F，使得BF//平面AEC.（1）由四边形ABCD为菱形，得AB//CD，又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，则AB//平面PCD，又AB⊂平面PAB，平面PAB∩平面PCD=l，则AB//l，所以l//CD．（2）存在．当F是PC的中点时，BF//平面AEC，如图，取PE的中点M，连接FM，得FM//CE，又CE⊂平面AEC，FM⊄平面AEC，于是FM//平面AEC，由M为PE的中点，PE:ED＝2:1，得连接BM，BD，设BD∩AC＝O，由四边形则BM//OE，又OE⊂平面AEC，BM⊄平面AEC，于是BM//平面AEC，又MF∩MB=M，MF,MB⊂平面BFM，则平面BFM//平面AEC，又BF⊂平面BFM，所以BF//平面AEC.17．【答案】（1）解：在△BCD中，B=45若△BCD的面积为22，

则S所以24BC=22，则CD=所以AD（2）解：在△ACD中，AD=CD，

可设∠A=∠ACD=θ，则∠ADC=π−2θ，因为AC=2，

由正弦定理，得ACsin2θ=CD在△BCD中，∠BDC=2θ,∠BCD=3π由正弦定理，得CDsin则22cosθsinπ所以sinπ2−θ=sin所以0<π2−θ<π2,−π解得θ=π4或θ=π12，

所以，角A的大小为【解析】【分析】（1）根据三角形面积公式可得BC的长，再利用余弦定理可得AD的长，从而得到AD（2）在△ACD中，设∠A=∠ACD=θ，∠ADC=π−2θ，根据正弦定理可得CD=22cosθ，在△BCD中利用正弦定理可得（1）在△BCD中，B=45若△BCD的面积为22，则S所以24BC=2则CD=B所以A（2）在△ACD中，AD=CD，可设∠A=∠ACD=θ，则∠ADC=π−2θ，又AC=2，由正弦定理，得ACsin2θ在△BCD中，∠BDC=2θ,∠BCD=3π由正弦定理，得CDsin即22cosθ于是sinπ2−θ所以0<π2−θ<π2解得θ=π4或θ=π12，即角A18．【答案】（1）解：∵fx是R上的奇函数，

∴f0=0，

由1+b1−b=0a+ba−b=13，

可得b=−1，a2=4，

∵a>0，

∴b=−1，a=2，

所以fx（2）解：把区间0,2等分成2n份，

则等分点的横坐标为xi=i因为gx=54所以gx的图象关于点1,14对称，

所以g所以F==1因为f2xfx=22x−122x故存在正整数n=1,2,3,4，使不等式f2x（3）解：因为m<n，

所以2m<2n，

则12m>12n，

由k2m,k2n，知k2m<k2n，

所以k<0，

由（1）知，

函数fx=2x−12x+1=1−22x+1为(−∞,+∞)上的增函数，

【解析】【分析】（1）根据f0=0，f(1)=1（2）设等分点的横坐标为xi=in，i=1,2,3,⋅⋅⋅,2n−1，先根据gx=fx−1+14可得函数gx的图象关于点1,14对称，从而可得gx（3）利用区间的定义和指数函数的单调性，从而得到k的取值范围，再利用函数fx的单调性，将问题进行转化，则根据换元法将问题进一步转化为二次方程根的分布问题，从而列出方程组求解得出k（1）∵fx是R上的奇函数，∴f由1+b1−b=0a+ba−b=∵a>0，∴b=−1，a=2，所以fx又f−x=2所以fx（2）把区间0,2等分成2n份，则等分点的横坐标为xi=i又gx=5所以gx的图象关于点1,14对称，所以g所以F==1因为f2xfx=2故存在正整数n=1,2,3,4，使不等式f2x（3）因为m<n，所以2m<2又k2m,k2由（1）知，函数fx=2因为函数fx在区间[m,n](m<n)上的值域是k所以f(m)=k2从而关于x的方程2x令t=2x>0所以k+1>01+k2+4k>0∴ka19．【答案】（1）1,2,3,5（符合要求即可）（2）证明：假设可以划分，∵ab−cd=1,∴ab和cd一定是一个奇数一个偶数，

∴a,b,c,d中至多两个偶数.