2024版新教材高考数学一轮复习第5章平面向量数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念与线性运算学案含解析新人教A版

平面2024版新教材高考数学一轮复习第5章平面向量数系的扩充与复

数的引入第1节平面向量的概念与线性运算学案含解析新人教A版

20230519145向量、数系的扩充与复数的引入

第五章平面向量、数系的扩充与发数的引入

课程标准命题解读

考查形式：一般两个选择题或

一个选择题，一个填空题.

1.理解平面向量的意义和两个向量相等的含义,理解平面向量

考查内容：向量的线性运算及

的几何表示和基本要素.

其儿何意义；向量加、减、数

2.掌握平面向量加、减、数乘运兑运算及运算规则，理解其几

乘及向量共线的坐标表示：两

何意义.

个向量的数量积的运算、夹角

3.理解平面向量数量积的概念及具物理意义，会计算平面向量

公式、垂直问题.复数的定义、

的数量积.

几何意义、共轨复数、复数的

4.理解平而向量基本定理及其意义，掌握平而向量的正交分解

模、复数相等及复数的四则运

及坐标表示.

算.

5.能用坐标表示平而向量的数量枳及共线、垂直的条件，会求

备考策略：(1)熟练应用三角形、

两个平面向量的夹角.

平行四边形法则，进行向量的

6.会用向量方法解决简单的平面儿何问题、力学问题以及其他

线性运算，熟练掌握向量的数

实际问题.

量积运算，能解决向量的模、

7.了解数系的扩充，理解复数的代数表示及其几何意义，理解

夹角、垂直问题.

两个复数相等的含义.

(2)熟练掌握复数的四则运算、

8.掌握复数的表示、运算及其儿何意义，掌握复数代数表示的

且数的模及其几何意义.

四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.

核心素养：数学抽象、数学运

算.

第一节平面向量的概念与线性运算

「、必备知识-回顾教材重“四基

一'教材概念・结论•性质重现

1.向量的有关概念

名称定义备注

既有大小又有方向的量:向量的大小向量由方向和长度确定，不受位置

向量

叫做向量的长度(或模)影响

零向量长度为9的向量其方向是任意的，记作。

单位向量长度等于1个单位长度的向量非零向量。的单位向量为端

平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行(或共线)

两向量只有相等或不相等，不能比

相等向量K度粗笑且方向顺的向量

较大小

相反向量长度相等且方向相反的向量。的相反向量为0

微提醒■■■

(1)要注意0与0的区别，。是一个实数，0是一个向量，且|0|=0.

(2)单位向量有无数个，它们的大小相等，但方向不一定相同.

(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量.

(4)与非零向量a平行的单位向量有两个，即向量泡和一言

!*•1

2.平面向量的线性运算

法则

向量运算定义运算律

(或几何意义)

/

交换律：a+b=6+。；

求两个向量和的运a

加法三角形法则结合律：m+/>)+c=2

算

+(Z>+c)

a

平行四边形法则

向量。加上5的相反

向量，叫做。与力的

差，即〃一/>=〃+(—

减法八

b).求两个向量差的U

运算叫做向量的减三角形法则

法

数乘实数2与向量。的积⑴1M=b阿4M=（仙"

是一个向量，这种运(2)当尢>0时，布的方向(2+〃)。=2。+//〃；

算叫做向量的数乘与。的方向相同:当2<02(。+6)=2。+26

时，痴的方向与。的方

向相反;当7=0时，必

=0

微提醒■■■

(1)一般地，首是顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点楮向最后一个向量终点

的向量，即A1A2+AM3+A3A4+…+4-|%”=4历”.特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向

量和为零向量.

(2)若P为线段八B的中点，。为平面内任一点，则5力斗苏+曲.

(3)作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要注意差向量的方向是由减

向量的终点指向被减向量的终点.

3.向量共线定理

向量a(“WO)与方共线的充要条件是：存在唯一一个实数"使得b=2.

微提醒■■■

(I)在向量共线的充要条件中易忽视“。羊0”.若忽视“。工0”，则人可能不存在，也可

能有无数个.

(2)三点共线的等价关系：

A,P,8三点共线今通瓦IW0)㈡办=(1一。万l+r加。为平面内异于4P,B的

任一点，£R)o5>=x®+)协(O为平面内异于A,P,3的任一点，*WR,>GR,x+y=

二、基本技能•思想•活动体验

1.判断下列说法的正误，对的打“J”，错的打“X”.

(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.(。)

(2)⑷与步|是否相等与m0的方向无关.(J)

(3)若a〃力，h//c,RiJa//c.(X)

(4)若向量衲与向量诙是共线向量，则A,B,C,。四点在一条直线上.(X)

(5)当两个非零向量m力共线时，-一定有〃=〃，反之成立.(J)

(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反.(X)

2.如图，设P,Q两点把线段A8三等分，则下列向量表达式错误的是()

IIII

APQB

A.AP=\ABB.AQ=^ABC.BP=-^ABD.AQ=BP

D解析：由数乘向量的定义可以得到A,B,C都是正确妁，只有D错误.

3.对于非零向量如b,“a+b=O”是ua//bn的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

A解析：若。+力=0,如。=一力，所以。〃力.

若〃〃瓦则a+b=O不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件.

4.设向量”，力不平行，向量痴+方与a+2b平行，则实数/=.

!解析：因为向量明力不平行，所以。+2方二（）.又向量〃+〃与。+2/>平行，则存在唯

一的实数"，使痴+力="（。+28）成立，即/.a+b=〃a+2曲时''解得2="=；.

U=2〃，-

5.在QA8C7）中，AB=a,4D=Z>,病=3取;，M为8C的中点，则而犷=______（用

b表示）.

।1aa

—彳。+疗b解析：由AN=3NC,得八%=予。=彳（。+。）.

又赢f=a+：力，

所以MN=AN—AM=,（a+8）—（“+］）=—%+，

——、关键能力・研析考点强“四翼”/---------

考点1向量的相关概念——基础性

「多维训练」

1.下面说法正确的是（）

A.平面内的单位向量是唯一的

B.所有单位向量的终点的集合为一个单位圆

C.所有的单位向量都是共线的

D.所有单位向量的模相等

D解析：因为平面内的单位向量有无数个，所以选项A错误；当单位向量的起点不同

时，其终点就不一定在同一个圜上，所以选项B错误：当两个甲位向量的方向不相同也不相

反时，这两个向量就不共线，所以选项C错误；因为单位向量的模都等于I,所以选项D正

确.

2.下列说法正确的是()

A.若向量油与向量诙是共线向量，则点A,B,C,。必在同一条直线上

B.两个有共同终点的向量，一定是共线向量

C.长度相等的向量叫做相等向量

D.两个有共同起点且相等的向量，共终点必相向

D解析：若向量赢与向量诙是共线向量，则AB〃C。或点A,B,C,。在同一条直线

上，故A错误；共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能

既不相同也不相反，故B错误；长度相等的向量不一定是相等向量，还需要方向相同，故C

错误：相等向量是大小相等、方向相同的向量，故两个有共同起点而且相等的向量，其终点

必相同，故D正确.

3.判断下列四个命题：

①若”〃b,则“=》；②若觎|=|切，则”=也③若同=|切,则a〃也④茗0=》,则同=|回.

其中正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

A解析：只有④正确.

4.给出下列命题：

①零向量是唯一没有方向的向量：

②零向量的长度等于0；

③若。，〃都为非零向量，则使温端=0成立的条件是a与〃反向共线.

其中错误的命题的个数为〔)

A.0B.IC.2D.3

B解析：①错误，零向量是有方向的，其方向是任意的；②正确，由零向量的定义可知，

零向量的长度为0:③正确，因为合与卷都是单位向量，所以只有当启与日是相反向量，即a

与方反向共线时等式才成立.

解题通法

向量有关概念的关键点

(1)向量定义的关键是方向和长度.

(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.

(3)相等向量的关犍是方向相同且长度相等.

(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度.

(5)零向量的关键是长度为0,规定零向量与任何向量共线.

考点2平面向量的线性运算——应用性

「典例引领」

例D*在等腰梯形ABC。中，AB=-2CD,M为8C的中点，则赢=()

—

3然

筋

C4十-

I-B.D.2+-

B解析：因为筋=一2G，所以筋=2力t.又历是8C的申点，所以危=去脑+应:)=

同源异考/

1.木例条件不变，用前，病表示加f.

=1(Ah+Afi-AC)

—*1—►

=AB-^AC

=赢一；(病+灰7)

=AB—^AD-i^AI^

3f一

=^AB—^AD.

2.本例中，若说=2赢，其他条件不变，用矗，亚表示嬴.

解：AM=AB+BM=AB-\-^BC

=4B+1(Ac—

解题通法

1.平面向量的线性运算技巧

(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.

(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、

三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解.

2.三种运算法则的关注点

（I）加法的三角形法则要求“首尾相接”，平行四边彩法则要求“起点相同”.

（2）减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向被减向量.

（3）数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算.

「多维训练」

如图，在正方形八8c。中，E为八8的中点，F为CE的中点,用油，病表示AX

解：根据题意得，AF=AE+EF.

又降必+时AE=^AB,

所以4/=皋8+*53+力£））=%/?+%/>

考点3平面向量线性运算的综合应用——稣合性

「典例引领」

考向I根据平面向量的线性运算求参数的值或范围

例❷，（1）（2020・朔州模拟）在△ABC中，/W+AC=2AD,&+及：=0.若此=x/而+）丞;

则（）

A.y=3xB.x=3y

C.y=~3xD.x=~3y

D解析：因为赢+危=2俞，所以点D是8C的中点.又因为嬴+沆：=0,所以点£

是八。的中点，所以西=丽+危=一油+］屐）=一/6+取；（祐+危尸一碗+；危，因此

44rr

%=一点y=；,所以x=_3y.

（2）（2020・怀化模拟）在△ABC中，点。在线段BC的延长线上，且胫=3万），点O在线段

C。上（与点C,。不重合）.若历=./力+（1—为而，则x的取值范围是（)

A.（0,B.（0,|）

C（W。）D.（一当0）

D解析：设历=、反，因为正=3而，点O在线段。。上（与点C,。不重合），所以

「£（0,；）,所以超=元+的=危+）灰=病+河危一嬴）=一）协+（1+），）危.

因为戢）=法方+（1—1）戢:.

所以x=-y,所以x£（-0）.

解题通法

根据平面向量的线性运算求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向

量表示出来，进行比较，求参教的值或范围.

考向2共线向量定理

例❸，（2020•郑州模拟）设ei与e2是两个不共线向量，4》=3e1+2e2,6方=m+的，CD=

3e「2•3若A，B,。三点共线，则A的值为.

解析：因为A,B,D三点共线，所以必存在一个实数L使得油=7昉.又油=3ei

+2e2,CB=ke^e2,诙=36］一2履2,所以诙=诙一无=30一2呢2—（3+02）=（3—幻ei-（2k

3="3—机

+l）e，，所以3ei+2e，=2（3—Rei—〃2A+l）e，.又ei与e，不共线,所以L,、，，，、解得

2=一“2k+I）,

解题通法

I.证明向量共线的方法

应用向量共线定理.对于向量a,6SW0）,若存在实数九使得。=必，则。与。共线.

2.证明A,B,C三点共线的方法

若存在实数九使得寿=/2,则A,B,。三点共线.

3.解决含参数的共线问题的方法

经常用到平面几何的性质，构造含有参数的方程或方程组，解方程或方程组得到参数值.

「多维训练」

1.已知赢=〃+2人正=-50+6儿CD=7a-2b,则下列一定共线的三点是（）

A.A,B,CB.A,B,D

C.B,C,DD.A,C,D

B解析：因为弱=赢+证+而=3。+6力=3（。+2力）=3施，且矗，俞有公共点A,所

以A,B,。三点共线.

2.（2020・无锡模拟）在直角梯形48co中，Z4=90°,N8=30。，AB=2小,8C=2,点

E在线段CO上.若第=n+〃诵，则〃的取值范围是.

0,5解析：由已知可得'4。=I,C£>=小，所以嬴=2诙.

因为点E在线段CO上，

所以，设加=).比(0WAW1).

因为嘉=而+加，

—♦—♦—♦—*—♦—♦/.it

又AE=AO+/M8=AO+2«OC=4£)++QE,

所以¥=i,即〃=4.

AL

因为0W4W1,所以

3.如图，在aABC中，。为边BC上靠近B点的三等分点，连接ARE为线段A。的中

点.若走=〃M8+〃AC,则m=,n=.

…15

C.又CE=mAB-^-nAC,所以机=?,〃=一«

、一题N解•深化综合提“素养”/

I试题呈现」

在平行四边形人8c。中，AC与8£)交于点O,E是线段OD的中点，AE的延长线与。。

交于点”.若危=@,BD=b,贝J/=()

2

-

A.\a+3

2

D-

3

I四字程序］

读想算思

1三.角形法则，平行四边形

用基底表示选择不同的三角形，

法则：转化与化归

AF利用三角形法则

2.以谁为基底

。是平行四1.在△AGG中表示;1.向量的线性运算法

\.AF=AG+GFt如何表示

边形ABCD2.在△ACf中表示；则；

AF?

两条对角线3.在△人。尸中表示：2.向量相等的条件:

2.AF=AC+CF,如何表示

的交点，E是4.直接设标=.次+3.平行线的性质

0。的中点，CF?

.V砺，利用向量相等求

AE的延长线3.AF=AD+DF,如何表示

系数

与CD交于F

5>?

4.利用方程组思想与向量

相等解决

「一题多解」

解法

思路参考：利用公，和泉示心.

B解析：因为由题意可知

所以卷=俳+再由"=c。可得黑4

心、,DFI

所以斤=,

作"G平行"。交AC于点G,

―►—♦­—>

所以Ab=AG+GF'=§a+?〃.

解法

思路参考：利用启，律表示万；

B解析：如图，作OG〃FE交。C于点G.

------=-C

AB

由DE=EO,得。/="G.

又由AO=OC,得FG=GC,

,■II

于是(7/=彳00=彳乂5(6-4)=55一塞.

，J/>JJ

—>—>->21

所以/\尸=A。+。”=1。+与6.

解法

思路参考：利用病，丽表示能.

B解析：如图，作OG〃F£交0c于点G.

由DE=EO,得DF=FG.

又由A0=0C,得FG=GC,

于是5?=35b

那么AF=AT)+DF=(^a+/)+*一与+%)=多(+/.

解法

思路参考：利用俞，后表示酢：

B解析：如图，作0G〃尸E交。C于点G.

由DE=EO,得DF=FG.

又由AO=OC,得FG=GC,

故俞=而十而=后+孑证=屐＞+；寿.

设赤三嬴十.v访.

因为启=俞+矗，苒)=好)一赢,

所以崩=(x+v)Q)+(x-y)成，

2

\+L-

y=-3

解得

于1<

-1

X-y=V-

>--3

「思维升华」

I.本题考查利用已知向量作基底表示向量问题，解法灵活多变，基本解题策略是借助于

三角形法则，逐步对向量进行变形，直至用所给基底表达出来；或选用不同基底分别表不,

再利用向量相等解决.

2.基于课程标准，解答本题一般需要学生熟练掌握读图识图能力、运算;求解能力、推理

能力，体现了直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.

3.本题考查向量的线性运算问题，体现了基础性.同时，解题的过程需要知识之间的转

化，体现了综合性.

「类题试练」

如图，在△ABC中，点。是的中点，过点0的直线分别与A8,AC所在直线交」”、

同的两点M,N.若懿=〃疝认AC=nAN,则m+n的值为（

A.1B.2C.3D.4

B解析：（方法一）连接八。，如图.

因为。为BC的中点，所以八=；（油+而=轲/+3欣

因为M.O,N三点共线,

所以号+?=1,所以〃?+八=2.

（方法二）连接人。（图略）.

由于0为5c的中点，故启=上通+/）,

—>—►—>1—►—>I->

M0=A0-AM=^（AB+AC）--A8

铜

同理，动=3矗+（；_［）正.

由于向量点b,而共线，故存在实数2使得病b=2加，即（；-5）寿+；/=

枷+G一洞.

由于而危不共线,，故得/-3=权且%拈—5

消掉2,得。〃一2)(〃-2)=〃〃?，化简即得"?+”=2.

第二节平面向量基本定理及坐标表示

——、必备知识-回顾教材重“四基7----

一、教材概念・结论•性质重现

1.平面向量基本定理

如果勿，62是同一平面内的两个丕共线向量，那么对于这一平面内的任一向量。，有且

只有一对实数力，入2,使。=也土在幺.

若0,62不共线，我们把(白，62｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

微提醒■■一

理解基底应注意以下三点

(1)基底约，02必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底.

(2)及底给定，同一向量的分解形式唯一.

Ai==/n,

(3)对于一组基底6],€2,若。=&曰+2202=〃述]+〃262,则。

出="2.

2.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设。=3,yi),3=(X2,■)，则

a-\-b=(.\I4-X2，vd”)，

a~b=a」一必w—v2)，

)M=(Zri，iw)，|a|=♦一—、*.

(2)向量坐标的求法

①一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标.

②设A(X1，X),8(也，＞,2)-则前=(X2—XI，丫2—y1)，I丽—即)2+(V2—¥】)?.

微提醒■■■!)

(1)向量坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的美犍.

(2)要区分点的坐标与向量坐标，尽管在形式上它们类似，但意义完全不同，向量坐标中

既有方向的信息，也有大小的信息.

3.平面向量共线的坐标表示

设。=(X1,yi),6=(X2,力)，其中力wo.

a〃/><=>XIV2-X2V'I=0.

微提醒■■一

若。=(力，yi),5=(X2,.V2),则。〃6的充要条件不能表示成.因为也，心有可能等

X2)’2

于0,所以应表示为X2jl=o.

4.常用结论

⑴若a与〃不共线，且加+油=0,则2="=0.

⑵已知P为线段人〃的中点，若48，yi).B(X2>方)，则P点坐标为

(3)已知AABC的顶点为人(足，yO,B(X2,工)，C(X3,”)，则△ABC的重心G的坐标为

<A-|+x2+x3刀+心+⑼

I3，3)'

二、基本技能思想•活动体验

1.判断下列说法的正误，对的打“J"，错的打“X”.

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(X)

(2)若a,方不共线，且九a+〃仍=力2。+"2方，则九=幺2，〃i=〃2.(V)

(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯

一表示.(J)

(4)若。=(片，yi),力=(如”)，则a〃〜的充要条件是日'二个.(X)

彳2/2

(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.(J)

3

-

2.已知平面向量a=(l,l),b=(\,2

A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1.0)D.(-1.2)

313

^-

D手

2=2

=(-1,2).

3.如图，设O是平行四边形A3CD两对角线的交点，给出下列向量组:

AB

①废)与花：②反与於：③之与反：④成)与励.其中可作为该平面内其他向量的基底

的是()

A.®®B.®®C.®®D.®@

B解析：①中俞，4方不共线；③中以，比不共线，故①③能作为基底.

4.设0V0V去向量Q=：sin2。，cos0),b=(cos0,1),若。〃则lan。=.

；解析：因为a〃b,所以sin20X1—cos2〃=0,

所以2sinf)coscos2^=0.

因为OV6»<4，所以COS6>0,所以2sin9=cos仇

所以lan<9=1.

5.在aA8C。中，AC为一条对角线，赢=(2,4),n=(1,3),则向量防的坐标为.

(-3,-5)解析：因为初+就=危，所以反?=危一病=(一I,—1),所以瓦>=而一

AB=BC-AB=(-3,-5).

——、关键能力・研析考点强“四翼”/---------

考点1平面向量的坐标运算——基础性

「多维训练」

1.(2019•全国卷II)已知向量。=(2,3),8=(3,2),则|。一臼=()

A.3B.2C.5^2D.50

A解析：由向量。=(2,3),力=(3,2),可得。-6=(-1,1),所以|〃一加=Y(-1)2+。=啦.

2.(2020•榆社中学诊断)若向量初=成=(2,0),俞=(1,1)：则危+病等于()

A.(3,1)B.(4,2)

C.(5.3)D.(4,3)

B解析：AC—AL+DC=(3,1),又初=历一肃=(—1,1),则反=济+/克=(1,1),所

以彳3+诙=(4,2).

3.设向量。=(1,-3),力=(-2,4),若表示向量4a,3力一勿，c的有向线段首尾相接能构

成三角形，则向量c=.

(4,-6)解析：由题意知4a=(4,-12),38-2a=(—6,12)—(2,—6)=(-8,18),由

4a+(3b-2a)+c=0,知c=(4：-6).

4.已知。为坐标原点，点C是线段A8上一点，且C(2,3),|两=2|而，则向

量加的坐标是.

(4,7)解析：因为点。是线段A3上一点，且|成1=2瑟1,所以的=一2最7.

设点8为(x,)，)，则(2—“3—)，)=一2(1,2).

2—x=-2,[x=4,

所以解得

[3­)，=-4,[y=l.

所以向量励的坐标是(4,7j.

解题通法

平面向量坐标运算的技巧

(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应

先求向量的坐标.

(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求

解.

考点2平面向量共线的坐标表示——应用性

「典例引领」

例。二(2020・福州质检)设向量万1=(1,-2),OB=(a,-1),浣=(一/10),其中。为坐

标原点，”>0,6>0.若4,B,C三点共线，则他的最大值为()

A.1B.|C.|D.1

C解析：因为为=(1,-2),OB=(a,-1),公=(一人0),所以诵=加一后=(a-1/),

AC=OC-OA=(-b~\,2).

因为4,B,C三点共线，

所以靠=/，即3—1」)="一〃一1,2),

a—\=A.(—b—1),

所以可得2a+〃=l.

因为”>0,b>0,

所以I=2a+b》2\]2ab,所以abW*

当且仅当2a=〃=/时取等号.

因此ab的最大值为

O

[豆源异考/

1.本例若把条件“沆=(一。,0)"改为"灰'=(2,1)"，其他条件不变，求。的值.

解：因为宓=(1,-2),OB=(a,-1),沆=(2,1),所以⑪一苏=(々一1,1),

AC=db-OA=(13).

因为4,B,。三点共线,

所以A8=Z4C,即(。一1,1)=41,3),

4

所以可得a=y

2.本例条件''向量04=(1,-2),OB=(a,一1)”不变，若向量c=(2,a)与向量A5方

向相反,求|c|.

解：因为万1=(1,-2),OB=(a,-1).

所以A8=0B—0A=(a—|,l).

因为向量c=(2,a)与向量A8方向相反，

所以。3—1)-IX2=0,即以一。一2=0,

所以a=—I或a=2(舍去),

所以\c\=^22+(-|)2=^.

解题通法

平面向量共线的坐标表示问题的解题策略

(I)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若”=(用，9)"=(也，")，W'la//b

的充要条件是X]y2=X2y\".

(2)在求与一个已知向量〃共线的向量时，可设所求向量为〃(/IWR).

「多维训练」

已知。为坐标原点，点A(4,0),以4.4),C(2,6),4c与08的交点为P,求点”的坐标.

解：由0,P,3三点共线，

可设5?="^=(42,42),

则淳=3》一54=(以一4也).

5LAC=OC-dA=(-2,()).

由能与危共线，得(42—4)X6-4iX(—2)=0,

3f3f

解得2=不所以OP=[O8=(3,3),

所以点，的坐标为(3,3).

考点3平面向量基本定理的应用——绘合性

「典例引领」

考向1用已知基底表示向量

例❷*(2020•郑州模拟)如图，在直角梯形4BCQ中，48=2八。=2QC,E为BC边上一点,

BC=3EC,尸为AE的中点，则源=()

A.^AB—^AD

C.—^AB^AbD.一拗+浙

C解析：如图，取A3中点G,连接。G,CG,易知四边形。C8G为平行四边形,

所以正=历=万)一位;=万)一学诵,

AE=A