2024版新教材高考数学一轮复习第6章平面向量复数第1节平面向量的概念与线性运算学案含解析新人教B版

2024版新教材高考数学一轮复习第6章平面向量复数第1节平面向

量的概念与线性运算学案含解析新人教B版202305182174第6章平

面向量、复数

室4

第八早平面向量、复数

课程标准命题解读

1.理解平面向量的意义和两个向量相等的含

义，理解平面向量的几何表示和基本要素.考查形式：一般两个选择题或一个选择

2.掌握平面向量加、减、数乘运算及运算规题、一个填空题.

贝IJ,理解其几何意义.考查内容：向量的线性运算及其几何意

3.理解平面向量数量积的概念及其物理意义：向量加、减、数乘及向量共线的坐

义，会计算平面向量的数量积.标表示；两个向量的数量积的运算、夹

4.理解平面向量基本定理及其意义，掌握平角公式、垂直问题.复数的定义、几何

面向量的正交分解及坐标表示.意义、共枕复数、复数的模、复数相等

5.能用坐标表示平面向量的数量积及共线、及复数的四则运算.

垂直的条件，会求两个平面向量的夹角.备考策略：(1)熟练应用三角形、平行四

6.会用向量方法解决简单的平面几何问题、边形法则，进行向量的线性运算，熟练

力学问题以及其他实际问题.掌握向量的数量积运算，能解决向量的

7.了解数系的扩充，理解复数的代数表示及模、夹角、垂直问题.

其几何意义，理解两个复数相等的含义.(2)熟练掌握复数的四则运算、复数的模

8.掌握复数的表示、运算及其几何意义，掌及其几何意义.

握复数代数表示的四则运算，了解复数加、核心素养：数学抽象、数学运算.

减运算的几何意义.

第1节平面向量的概念与线性运算

―必备知识・回顾教材重“四基”二

一、教材概念・结论•性质重现

1.向量的有关概念

名称定义备注

既有大小又有方向的量:向量的大向量由方向和长度确定，不受位置

向量

小称为向量的模(或长度)影响

零

始点和终点相同的向量其方向是任意的，记作。

向量

单位

模等于L的向量非零向量”的单位向量为舄

向量1"1

平行

方向相同或相反的两个非零向最0与任一向不平行(或共线)

向量

相等两向量只有相等或不相等，不能比

大小相等、方向相同的向量

向量较大小

相反

方向相反、大小相等的向量0的相反向量为0

向量

微提醒■■■

(1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=().

(2)单位向量有无数个，它们的大小相等，但方向不一定相同.

(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量.

(4)与非零向量a平行的单位向量有两个，即向量润和一9

2.平面向量的线性运算

向量法则

定义运算律

运算(或几何意义)

/

a交换律：a-\-b=b+az

加法求两个向量和的运算三角形法则结合律：（a+5）+c=g

+S+c）

a»

平行四边形法则

向量。加上力的相反向

量,叫做。与力的差，

减法即a—b=a~\-(—b).求

a

两个向量差的运算叫做

三角形法则

向量的减法

(1)|司=皿

(2)当2>0时，〃的方向

实数2与向量a的积是必。)=(M)a；

与。的方向相同；当后0

数乘一个向量，这种运算叫

时，施的方向与a的方

做向量的数乘卜)=2a+法

向相反;当2=0时，Aa

=0

微提醒■■■

(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终

点的向量，即A1A2+A2/I3+AN4+…+A.LIA“=AIA”.特别地，一个封闭图形，首尾连接而成

的向量和为零向量.

(2)若P为线段A3的中点，。为平面内任一点，则+丽.

(3)作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要注意差向量的方向是由

减向量的终点指向被减向量的终点.

3.共线向量基本定理

如果aWO月"〃°,则存在唯一的实数九使得力=〃.

微提醒■■■

(1)在向量共线的充要条件中易忽视“aWO”.若忽视“a#0”，则2可能不存在，也

可能有无数个.

(2)三点共线的等价关系：

A,P,8三点共线=崩=疝6#0)=0>=(1—。后+/拉?(0为平面内异于A,P,B的

任一点，/£R)o0>=入苏+y协(O为平面内异于A,P,B的任一点,AGR,VER,x+y

=1).

二、基本技能•思想・活动体验

1.判断下列说法的正误，对的打“J”，错的打“X”.

(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.(J)

(2)⑷与步|是否相等与a,8的方向无关.(V)

(3)若a〃A,b//c,则a〃c.(X)

(4)若向晟诵与向量九)是共线向量，则4,B,C,。四点在一条直线上.(X)

(5)当两个非零向量小力共线时，一定有》=瓶，反之成立.(V)

(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反.(X)

2.如图，设P,。两点把线段A/T三等分，则下列向量表达式错误的是()

AP0B

A..AP=^ABB.AQ=,AB

—►2-A—►-►

C.BP=-^ABD.AQ=BP

D解析：由数乘向量的定义可以得到A,B,C都是正确的，只有D错误.

3.（2021•山东省师大附中模拟）设〃，力是非零向量，则是端，”成立的

（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

B解析：由a=2b可知，a,力方向相同，则合和卷分别表示出方方向上的单位向量,

所以启端成立；反之不成立.故选B.

4.设向量力不平行，向量加+力与。+26平行，则实数/=.

5解析：因为向量。，力不平行，所以。+26N0.又向量M+〃与。+2力平行，则存在

唯一的实数4，使，a+b=〃（a+2»成立，即瓦则'‘解得2="=、.

1=2〃，2

5.在uABCD中，AB=a,AD=b,而=3证，M为8C的中点，则疝=（用

。，b表小）.

—5十%解析：由俞=3近，得病=/2=前+力）.

所以记/=俞一刀力=^（。+方）_（。+3）=-]+》•

—、关键能力-研析考点强“四翼7

考点1向量的相关概念——基础性

「多维训练」

i.下面说法正确的是（）

A.平面内的单位向量是唯一的

B.所有单位向量的终点的集合为一个单位圆

C.所有的单位向量都是共线的

D.所有单位向量的模相等

D解析：因为平面内的单位向量有无数个，所以选项A错误；当单位向量的起点不同

时，其终点就不一定在同一个圆上，所以选项B错误；当两个单位向量的方向既不相同也

不相反时，这两个向量就不共线，所以选项C错误：因为单位向量的模都等于1,所以选项

D正确.

2.下列说法正确的是（）

A.若向量布与向量历是共线向量，则点4,B,C,。必在同一条直线上

B.两个有共同终点的向量，一定是共线向量

C.长度相等的向量叫做相等向量

D.两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同

D解析：若向量赢与向量而是共线向量，则AB/7CQ或点A,B,C,。在同一条直

线上，故A错误；共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向

可能既不相同也不相反，故B错误；长度相等的向量不一定是相等向量，还需要方向相同，

故C错误；相等向量是大小相等、方向相同的向量，故两个有共同起点而且相等的向量，

其终点必相同，故D正确.

3.判断下列四个命题：

①若a〃b,则。=岳②若则@=岳③若同=）则④若a=瓦则同

=|夙其中正确的个数是（）

A.1B.2

C.3D.4

A解析：只有④正确.

4.给出下列命题：

①零向量是唯一没有方向的向量；

②零向量的长度等于0;

③若m力都为非零向量，则使言+*=0成立的条件是。与力反向共线.

1**1

其中错误的命题的个数为（）

A.0B.1

C.2D.3

B解析：①错误，零向量是有方向的，其方向是任意的；②正确，由零向量的定义可

知，零向量的长度为0;③正确，因为言与得都是单位向量，所以只有当言与得是相反向量,

即〃与〃反向共线时等式才成立.

解题通法

向量有关概念的关键点

(1)向量定义的关键是方向和长度.

(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.

(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.

(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度.

(5)零向量的关键是长度为0.规定零向量与任何向量共线.

考点2平面向量的线性运算——应用性

典例引领

例在等腰梯形ABC。中，靠=-2而，M为8c的中点，则融f=()

B.汕+物

3f1f

(1抨+彳4。

B解析：因为嬴=一2而，所以赢=2诙又M是BC的中点，所以加赢+R)

2132

同源异考/

1.本例条件不变，用而，表示血.

解：DM=DC+CM=^AB-\-CB)

=^(AB-^AB-AC)

=AB—^AC

=/w-1(Ab+/5c)

=AB-挤D+4)

3f1―►

=^AB—^AD.

2.本例中，若五1二2而B,其他条件不变，用赢，公表示赢/.

解：病=嬴+就f=B+；正

=48+上/-48)='赢+；/.

解题通法

1.平面向量的线性运算技巧

(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.

(2)含图形的情况：招它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向

量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解.

2.三种运算法则的关注点

(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”，平行四边形法则要求“起点相同”.

(2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向被减向量.

(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算.

「多维训练」

如图，在正方形ABC。中，石为的中点，产为CE的中点，用矗，病表示亦.

解：根据题意得，AF=AE+EF.

^EF=^EC=^^AB-\-AD^,AE=^AB,

所以能=；彳力+X；AB+AO)=］方+/b.

考点3平面向量线性运算的综合应用——综合性

「典例引领」

考向I根据平面向量的线性运算求参数的值或范围

例❷，⑴(2020.朔州模拟)在△ABC中，AB+AC=2AD,靠+正=0.若读=式赢+〉后,

贝"()

A.y=3xB.x=3y

C.y=—3xD.x=-3y

D解析：因为靠+病=2病，所以点。是8c的中点.又因为泰+及：=0,所以点E

是A。的中点，所以旗=温+危=一靠+；而=一赢+3义/嬴+充)=一汕+球，因

31

此工=一7所以x=_3y.

(2)(2020・怀化模拟)在△ABC中，点。在线段8C的延长线.匕且正=3必，点。在线

段CO上(与点C,。不重合).若/=./7+(1—刈/，则x的取值范围是

)

D.(T°)

D解析：设Q=.y正，因为&?=3日)，点。在线段CO上(与点C,。不重合)，所以

y£(0,；),所以历=尬+历=就+)，胫=/+)［府一前)=一)脑+(1+)，)启.

因为超=.、4方I(\~x)AC,

所以x=-y,所以x£(一；,0).

解题通法

根据平面向量的线性运算求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向

量表示出来，进行比较，求参数的值或范围.

考向2共线向量定理

例❸，(2U2U•郑州模拟)设ei与62是两个不共线向量，嬴=3ei+2e2，&=依|十及，U)

=3©-2射2.若八，B,。三点共线，则k的值为.

Q-►―►—►

解析：因为4B,。三点共线，所以必存在一个实数九使得人又48=

3ei+2e2,CB=ke\+e2,CD=3e］一2ke?,所以8力=(7。-cA=3e］一2ke?一(kei+e2)=(3—攵泗

3=2(3一%)，

—(24+1)。2,所以3ei+2e2=，3—&)4-2(2&+1)。2.义白与。2不共线，所以|

2=—2(24+1),

9

解得上=一［

解题通法

1.证明向量共线的方法

应用向量共线定理.对于向量。，》swo),若存在实数九使得。="，则〃与〃共线.

2.证明A,B,C三点共线的方法

若存在实数九使得检=疵，则A,B,C三点共浅.

3.解决含参数的共线问题的方法

经常用到平面几何的性质，构造含有参数的方程或方程组，解方程或方程组得到参数值.

「多维训练」

1.已知布=。+24诙=一5。+6力，CD=la-2b,则下列一定共线的三点是()

A.A,B,CB.A,B,D

C.B,C,DD.4,C,D

B解析：因为AO=AB+BC+CD=3a+6A=3m+2))=3AB,且AB,4。有公共点A,

所以A,B,。三点共线.

2.(2020・无锡模拟)在直角梯形A8CO中，NA=90。，N8=30。，AB=2小,BC=2,

点E在线段CO上.若谶=病+/成，则〃的取值范围是.

0,解析：由已如可得人。=1,CD=V3,所以赢=25七

因为点E在线,段CD上，

所以，设及;=2而OWiWl).

因为第=病+/5H

又病=病+'葡=寿+2〃庆=病+¥的,

所以至=1,即4=4.

AZ

因为owawi,所以ow〃w；.

3.如图，在△ABC口，。为边3C上靠近4点的三等分点，连接A。，E为线段4。的

中点.若CE=mAB+【iAC,则in=

11解析：CE=^(CD+CA)=^jC^—AC^=|cB—^AC=1(A&-AC)—

C.又立=〃笳+/加，所以m=g,5

+v派，/=-6-

-、一题N解•深化综合提“素养”/--------

「试题呈现」

在平行四边形ABC£＞中，AC与8Z)交于点O,E是线段。。的中点，A石的延长线与

C。交于点E若廉'=0，BD=b,则#=()

A.w4+于

C；a+；bD.%+%

［四字程序］

读想算思

1三.角形法则，平行

选择不同的三角形，

用基底表示能四边形法则；转化与化归

利用三角形法则

2.以谁为基底？

l.AF=AG+GFt如何

表示了?1在.△AG产中表示；

0是平行四边形2.在尸中表示；1向.量的线性运

2.AF=AC+CF,如何

ABC。两条对角线的3.在△4。尸中表示；算法则；

表示不？

交点，E是。。的中2.向量相等的条

4.直接设乔=.x・废'+

点,AE的延长线与件；

3.AF=AD+DFt如何

CD交于FyBD,利用向量相等3.平行线的性质

表示力？？

求系数

4.利用方程组思想与

向量相等解决

「一题多解」

解法

思路参考：利用血;，Gh表示而

B解析：因为由题意可知△QEF'SZ\BEA,

DFDF1DF1

所以丽=而=?再由AB=e可得反

3-FGCG2

所以丽=15=1，

f2f1-*1

所以G斤=10。=38。=§力.

因为启=而+及7=屐）+（又=

———21

所以/^=AG+GF=F+y.

法

思路参考：利用正，办表示而

B解析：如图，作。G〃尸E交。C于点G

由DE=EO,得DF=FG.

又由AO=OC,得FG=GC,

『2।)।।

于是=5x](方一

所以#=亚+CF=^a+，

解法

思路参考：利用病，而兼示后.

B解析：如图，作OG〃FE交DC于点G.

由DE=£O,得DF=FG.

又由40=0C,得FG=GC,

于是标=方比=g(-5+1")’

那么肝=病+5?=(/+，)+氐-/+5)=%+*

解法

思路参考：利用病，油表示力.

B解析：如图，作。G〃F£交。C于点G.

由DE=EO,得DF=FG.

又由AO=OC,得FG=GC,

故酢'=最>+5>=俞+；反=屈)+题.

设能=抵+)、血

因为/=病+公，BD=AD-AB,

所以而=(x+y)病+。一月嬴，

x+y=1,

于是｛i解得

一2-1—21

所以Af'uyAC+gBDuw+Q）.

「思维升华」

1.木题考查利用已知向量作基底表示向量问题，解法灵活多变，基木解题策略是借助

于三角形法则，逐步对向量进行变形，直至用所给基底表达出来：或选用不同基底分别表示,

再利用向量相等解决.

2.基于课程标准，解答本题一般需要学生熟练掌握读图识图能力、运算求解能力、推

理能力，体现了直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.

3.本题考查向最的线性运算问题，体现了基础性.同时，解题的过程需要知识之间的

转化，体现了综合性.

类题试练

如图，在△A8C中，点0是4C的中点，过点0的直线分别与48,AC所在直线交于

不同的两点M,N.若港=m6,AC=nANf则机+〃的值为（）

因为M,O,N三点共线，

所以4+3=1,所以〃z+〃=2.

（方法二）连接A0（图略）.

由于。为8c的中点,故筋=1(而+充)，

—>—►—>I—>—►I—>

MO=AO-AM=^(AB-}-AC)--AB

=e-加+呆,

同理，协=短+&-5)/.

由于向量雨，防共线，故存在实数/使得痴>=).历，即(:一2)油+加=

4+d

由于福启不共线，故得;一\=夕，尺=4一?

消掉4,得(〃z—2)(〃-2)=〃?〃，

化简即得///+/?=2.

第2节平面向量基本定理及坐标表示

必备知识-回顾教材重“四基”/--------

一、教材概念・结论•性质重现

1.平面向量基本定理

(I)定理：如果平面内的两个向量。与力丕基线，则对该平面内任意一个向量C,存在唯

一的实数对(x，y),使得C=xa+1力.

(2)基底：平面内不共线的两个向量。与b组成的集合力,力}常称为该平面上向量的一

组基底.

微提醒■■■

理解基底应注意以下三点

(1)基底。，〃必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底.

(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一.

Ai="i,

(3)对于一组基底“，b,若。=九。+22b="|。+"26则J

，2="2.

2.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设。=(即，y\),b=。2，”)，则

a+b=(xi+必vi+力)，

a-b=Cvi-也，)'1一¥2)，

/.a—(zxi»Avi)t|a|="Jx?+

(2)向量坐标的求法

①一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标；

②设4即，y\),8(x2，>2)，则矗=(%2—戈1，V2—W)，而I=A/?^—X|)2+(V2—W)2.

微提醒■■■

(1)向量坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运舁法则是运算的关键.

(2)要区分点的坐标与向量坐标，尽管在形式上它们类似，但意义完全不同，向量坐标

中既有方向的信息，也有大小的信息.

3.平面向量共线的坐标表示

设。=(莺,刃),b=(x2r”),其中bWO.

a//b<=>X2y\=.riV2.

微提醒■■■

若〃=(即，y\),b=(X2,")，则a〃〃的充要条件不能表示成『=4♦因为M”有可能等

于0,所以应表示为X1”一12丁1=0.

4.常用结论

(1)若。与力不共线，且—+油=0,则\=〃=0.

(2)已知P为线段的中点，若A(xi，a),8(X2，)力则P点坐标为("江尹)

(3)已知△ABC的顶点为A(xi，yi),Bg”),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为

(口+也+田21+.”+)'3)

I3'3/

二、基本技能•思想・活动体验

1.判断下列说法的正误，对的打“J”，错的打“X”.

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(X)

(2)若a,力不共线，且&a+"仍=22。+〃24则-=万，"i="2.(V)

(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这蛆基底

唯一表示.(J)

(4)若。=(即，》)，力=(%2，闻，则。〃》的充要条件是自=士义)

X2y2

(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.(V)

-13

2.已知平面向量”=(1,1),5=(1,—1),则呼一,=()

A.(-2,-1)B.(-2,1)

C.(-1,0)D.(-1,2)

1313(\

D解析：因为。=(1/),6=(1,—1),所以呼一,=/。，1)一5(1,—1)=(J

=(-1,2).

3.已知平面直角坐标系内的两个向量。=(1,2),6=(加,3加一2),且平面内的任一向量c

都可以唯一的表示成。=加+独(九〃为实数)，则实数小的取值范围是()

A.(一8,2)B.(2,4-~)

C.(—8,H-oo)D.(—8,2)U(2,+°0)

D解析：由题意可知。与力不共线，即3〃?一2六2，〃，所以〃自2.故选D.

4.设0＜。专向量。=(sin28cos。)，ft=(cos6：1),若a〃b,则tan6=,

g解析：因为a〃b,所以sin28X1—cos20=0,

所以2sin19coscos26/=0.

因为0V。〈去所以cos。＞(),

所以2sin0=cos0,

所以(an夕=g.

5.在M8c。中，AC为一条对角线，屐?=(2,4),/=(1,3),则向量位)的坐标为.

(一3,-5)解析：因为加+证=危，所以证=/一赢=(-1,-1),所以丽=而

-AB=BC-AB=(-3,-5).

―、关键能力•研析考点强“四翼’7——

考点1平面向量的坐标运算——基础性

「多维训练」

1.(2019•全国卷H)已知向量。=(2,3),5=(3,2),则|。一旬=()

A.V2B.2

C.5PD.50

A解析：由向量。=(2,3),〃=(3,2),可得°一〃=(一】」)，所以|。一引=小(一］产+12=41

2.(2020.榆社中学诊断)若向量寿=力3=(2,0),AD=(Ll),则/+证等于

()

A.(3,1)B.(4,2)

C.(5,3)D.(4,3)

B解析：AC=Ab-^DC=(\\),又而=病一晶=(一1,1),则肚=丽+诙=(1,1),

所以/+证=(4,2).

3.设向量。=(1,-3),5=(一2,4),若表示向量4°,35—2a,c的有向线段首尾相接能

构成三角形，则向量c=.

(4,-6)解析：由题意知4a=(4,—12),3。-2a=(—6,12)—(2,—6)=(-8,18],由

4。+(35-2a)+c=0,知c=(4,—6).

4.已知0为坐标原点，点C是线段A8上一点，且C(2,3),|前1=

2|AC|,则向量加的坐标是.

(4,7)解析：因为点C是线段48上一点，且|反]=2|而，所以正=一次?.

设点B为(x,y),则(2—x,3—y)=-2(1,2).

2—x=—2,[x=4,

所以解得，

〔3一尸一4,b'=7.

所以向量为的坐标是(4,7).

解题通法

平面向量坐标运算的技巧

(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则

应先求向量的坐标.

(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求

解.

考点2平面向量共线的坐标表示——应用性

「典例引领」

例(2020・福州质检)设向量以=(1,-2),OIi={a,-1),OC=(-b,0),其中。为

坐标原点，。＞0,力＞0.若小B,C三点共线，则。力的最大值为()

A,14%B1

C.1D.1

C解析：因为后=[l,-2),OB=(a,-1),OC=(~M)t所以嬴一以=3—

11)，

AC=OC-OA=(-b-\,2).

因为A,B,C三点共线，

所以彳方=点；，即(〃一1』)="一。一1,2),

a-\=A(~b-l),

所以可得2a+0=l.

1=2A,

因为。>0,b>0,

所以1=2a+b22\l2ab,所以abW*

当且仅当2a=/?=；时取等号.

因此ab的最大值为J

O

同源异考/

1.本例若把条件“女=(一尻0)”改为“沆=(2.1)"，其他条件不变，求。的值.

解：因为苏=(1,-2),OB=(a,-1),dc=(2,l),所以赢——=3—1,1),

AC=OC~OA=(\3).

因为A,B,C三点共线,

所以A4=Z4C,即(4一1/)=2(1,3),

a-1=4,4

所以可得a=\.

1=3九3

2.本例条件“向量万1=(1,-2),劭=3，—1)”不变，若向量c=(2,。)与向量.通方

向相反,求|c|.

解：因为况=(1,-2),OB=(a,-1).

所以矗=无一d=m-i/).

因为向量c=(2,a)与向量赢方向相反，

所以〃(〃一1)-1X2=0,即42—。-2=0,

所以〃=-1或a=2(舍去)，

所以|c|=^/22+(-1)2=小.

解题通法

平面向量共线的坐标表示问题的解题策略

(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若。=(即，M),b=(X2,>'2：1,则

的充要条件是x\y2=X2y\f,.

(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为z«UGR)-

「多维训练」

已知O为坐标原点，点A(4,0)，倒4,4),C(2,6),AC与(用的交点为P,求点P的坐标.

解：由。，P,8三点共线，

可设而=/0^=(4342),

则崩=OP-0A=(4；-4,4A).

又就=女一后=(一2,6),

由力与危共线，

得(42-4)X6-42X(-2)=0,

解得2=*所以5》=(加=(3,3),

所以点P的坐标为(3.3).

考点3平面向量基本定理的应用——综合性

「典例引领」

考向I用已知基底表示向量

例❷”(2020•郑州模拟)如图，在直角梯形A4C曾中，AB-2AD-2DC,笈为4c边上一

点，就=3比，/为A石的中点，则流=()

A.^AB—^ADB.^AB-^AD

c.—1AB+|ADD.—|AB+|A£)

C解析：如图，取八8中点G,连接OG,CG,易知四边形QCBG为平行四边形,

—►—>—►—►—►1—

所以8c=GO=AO-AG=AD-#8,

所以济=能―矗=抵一而既|通+|而)―屐?=-1AB+|AD.

解题通法

用已知基底表示向量的关注点

(1)理论依据：平面向量基本定理.

（2）实质：利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.

考向2解析法（坐标法）在向量中的应用

例❸“己知|万1|=1,|成|=小，后3_为，点。在NAO8内，且次;与51