数学-黑龙江省哈三中2025-2026学年高一上学期12月月考

哈三中2025—2026学年度上学期

高一学年十二月月考数学试卷

第I卷(选择题，共58分)

一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知集合A={x|x<1},集合,则A∩B=()

A.(-∞,1)B.(0,+∞)C.(0,1)D.[0,1]

2.命题“Vx>0,x²-4x+4>0”的否定为()

A.“3x>0,x²-4x+4≤0”B.“3x>0,x²-4x+4<0”

C.“Bx≤0,x²-4x+4≤0”D.“3x≤0,x²-4x+4<0”

3.已知函数f(x)的定义域为[2,16],则函数的定义域是()

A.[4,32]B.[5,8]C.[5,16]D.(5,32)

4.函数y=log₂(x²-ax+2a)在(1,+∞)上单调递增，则实数a取值范围()

A.[-1,2]B.[-1,2]C.[-∞,2]D.(2,+∞)

5.已知c=e-In2,则()

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>CD.b>c>a

6.函数的图像为()

A.B.

C.D.

7.某种生物数量y与时间x(单位：天)之间的关系为：y=A₀e,其中A,表示该生物的初始数量，

已知经过10天后，种群数量变为初始数量的2倍.那么要使该生物数量变为初始数量的40倍，至少需要经

过()(参考数据：log₂5≈2.32)

A.48天B.51天C.54天D.57天

8.设函,若存在x使不等式f(ax²)+f(x+a)<0成立，则实数a

取值范围是()

D.(-1,+∞)

二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知a>0,b>0,且a+b+ab-8=0,则下列说法正确的是()

A.ab取值范围为[0,4]B.a+b的取值范围为(6,8)

C.(a+1)(b+1)=9D.的最小值为

10.下列说法正确的是()

A.设x,y∈R,则x>y是x²>y²的必要不充分条件

B.设a,b,c∈R,则a=b=c是a²+b²+c²=ab+ac+bc的充要条件

C.已知条件p:Vx₁,x₂∈R,且x₁≠x₂,,q:f(x)为R上的增函数，则P是q

的充分不必要条件

D.已知条件p:f(x),x∈R是奇函数，q:f(0)=0,则P是9的充分不必要条件

11.已知函数y=f(x)的定义域为(0,4),y=f(x+2)为偶函数，当0<x≤2时，f(x)=|log₂x|,则

下列说法正确的是()

A.若函数g(x)=f(x)-m有四个零点x₁,x₂,x₃,x₄(x₁<x₂<x₃<x₄),则x₁x₂x₃的取值范围为

[2,3]

B.若函数g(x)=f(x)-m有四个零点x₁,x₂,x₃,x₄(x₁<x₂<x₃<x₄),则4x₁+x₂的取值范围为

(4,5)

C.函数y=f(f(x))的零点个数为5个

D.函数y=f(l2ˣ-1)-1的零点个数为6个

第IⅡ卷(非选择题，共92分)

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.

12.一个扇形的弧长和面积都是,则这个扇形的圆心角的弧度数为

13.若幂函数f(x)=(m²-3m+3)x”为偶函数，且函数y=f(x)-ax+a+1最小值为2,则实数a=

____·

14.已知0≤m<1,函数,则m=,若存在

b>a≥0,使得f(b)=ef(a),则a·f(b)的取值范围是·

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

15.已知全集U=R,集合A={x|1<3¹<9},集合B={x|log₂(x²-x-1)>0}

(1)求A,B,(ðA)nB;

(2)已知集合C={x|2a<x<a+1},若AnC=C,求实数a的取值范围.

16.设函数

(1)求证：f(x)在(0,+∞)单调递增；

(2)设g(x)=f(2x)-4f(x)+5,求函数g(x)的最小值.

17.近年来，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成

为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.该地某商店销售一种特色小食

品，根据销售数据，该食品日销量与售价存在分段规律.每斤该食品的进价为3元.设该食品的售价为每斤x

(单位：元)(3<x≤11),日销量为Y(单位：斤).当3<x≤6时，y=72-3x;当6<x≤11时，

(1)写出该食品的日利润f(x)(元)的解析式；

(2)当该食品的售价定为每斤多少元时，该食品的日利润最大?最大日利润是多少?

18.已知函

(1)求实数t的值；

(2)解关于x的不等

(3)设g(x)=f(x)-1nx,若9g(x)+g(2x)≥mg(x)·g(2x)对于任意的x∈[1,2]恒成立，求实数m的

取值范围.

19.有一个区间序列[α₁,β],[α₂,β₂],[α₃,β₃],…,[α,βn],…其中每个区间都真包含后面的区

间：[α;+1,β₁+](i=1,2,3,…)[α₁,β],随着i的增大，区间的长度可以任意小，那么必存在唯一数ξ属

于任意一个闭区间.例如5√2是一串逐渐增大的有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.4142,L和另一串逐渐

减小的有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,L逐步逼近的结果，它是一个确定的实数.

已知定义在R上的函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，并且满足f(x+y)=100f(x)·f(y),当

,令F(x)=2+1gf(x).

(1)求F(O)与F(1);

(2)证明：f(x)>0,函数f(x)是增函数；

(3)(i)当x为有理数时，求函数F(x)的解析式；

(ii)当x∈R时，求函数f(x)的解析式.

哈三中2025—2026学年度上学期

高一学年十二月月考数学试卷

第I卷(选择题，共58分)

一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知集合A={x|x<1},集合,则A∩B=()

A.(一∞,1)B.(0,+∞)C.(0,1)D.[0,1]

【答案】C

【解析】

【分析】通过解不等式得到集合B={x|x>0},利用交集的运算即可得到答案.

【详解】解不等式得x>0,故B={x|x>0},

又A={x|x<1},所以A∩B=(0,1).

故选C.

2.命题“Vx>0,x²-4x+4>0”的否定为()

A.“3x>0,x²-4x+4≤0”B.“3x>0,x²-4x+4<0”

C.“3x≤0,x²-4x+4≤0”D.“3x≤0,x²-4x+4<0”

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接判断得解.

【详解】命题“Vx>0,x²-4x+4>0”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，

所以所求否定是“3x>0,x²-4x+4≤0”.

故选：A

3.已知函数f(x)的定义域为[2,16],则函数的定义域是()

A.[4,32]B.[5,8]C.(5,16)D.[5,32]

【答案】B

【解析】

【分析】根据分式的分母不为0,偶次根式的被开方数非负，复合函数的定义域求法可求解.

【详解】因为函数f(x)的定义域为[2,16],

所以若有意义，需满,解得5<x≤8.

故选：B.

4.函数y=log₂(x²-ax+2a)在(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围()

A.[-1,2]B.[-1,2]C.[-∞,2]D.[2,+∞]

【答案】A

【解析】

【分析】结合复合函数单调性、对数函数的定义域求得a的取值范围.

【详解】由复合函数单调性遵循“同增异减”可知，因为y=log₂x在(0,+∞)上单调递增，且

y=log₂(x²-ax+2a)在(1,+∞)上单调递增，

故y=x²-ax+2a在(1,+∞)上也单调递增，且y=x²-ax+2a>0在(1,+∞)恒成立，

由此可得：,解得-1≤a≤2,

故选：A.

5.已知

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a

【答案】D

【解析】

【分析】根据对数恒等式得,利用对数函数单调性得,再根据幂函数单调性得,即可判

断.

【详解】,所以c>a,

所以,所以b>c,

所以b>c>a.

故选：D

6.函数的图像为()

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】由给定函数的定义域排除两个选项；再由(0,1)上的函数值正负确定答案.

【详解】函数中，1-x²≠0,解得x≠±1,

因此函数f(x)的定义域为(-∞,-1)U(-1,1)U(1,+∞),

函数f(x)的图象经过原点，且被两条平行直线x=-1,x=1间隔开，排除AD;

当0<x<1时，1-x²>0,则此时函数图象在x轴上方，排除B,选项C符合.

故选：C

7.某种生物的数量y与时间x(单位：天)之间的关系为：y=A₀e,其中A。表示该生物的初始数量，

已知经过10天后，种群数量变为初始数量的2倍.那么要使该生物数量变为初始数量的40倍，至少需要经

过()(参考数据：log₂5≈2.32)

A.48天B.51天C.54天D.57天

【答案】C

【解析】

【分析】运用代入法，结合对数与指数互化公式、换底公式、对数的运算性质进行求解即可.

【详解】因为经过10天后，种群数量变为原来的2倍，

所以有2A₀=A₀e¹⁰k,即e¹⁰k=2,得10k=1n2,解得,即

设至少经过t天，该生物数量变为初始数量的40倍，

所以有,即

因为t≥53.2,且天数为正整数，

因此至少需要经过54天，该生物数量变为初始数量的40倍.

故选：C.

8.设函,若存在x使不等式f(ax²)+f(x+a)<0成立，则实数a的

取值范围是()

D.(-1,+∞)

【答案】B

【解析】

【分析】首先判断出函数f(x)为奇函数，再结合单调性将题意转化为存在x使不等式ax²+x+a>0成立，

结合含参二次函数的性质解题即可.

【详解】函数f(x)定义域为R,定义域关于原点对称，

所以函数f(x)为奇函数，

又因为函均为R上的减

函数，

为R上的减函数，

所以存在x使不等式f(ax²)+f(x+a)<0成立，

即f(ax²)<f(-x-a)成立，等价于存在x使不等式ax²+x+a>0成立，

当a≥0时显然满足；

当a<0时，则△=1-4即

综上可得实数α的取值范围是

故选：B.

二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知a>0,b>0,且a+b+ab-8=0,则下列说法正确的是()

A.ab的取值范围为[0,4]B.a+b的取值范围为(6,8)

C.(a+1)(b+1)=9D.的最小值为

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用基本不等式计算可判断ABD,利用因式分解法可判断C.

【详解】由a>0,b>0,a+b+ab-8=0,可得2√ab+ab-8≤0,

所以(Jab)²+2√ab-8≤0,所以(Jab+4)(√ab-2)≤0,

解得-4≤√ab≤2,又a>0,b>0,所以0<√ab≤2,

所以0<ab≤4,当且仅当a=b=2时取等号，所以ab的取值范围为[0,4],故A正确；

由a+b+ab-8=0,可得

所以(a+b)²+4(a+b)-32≥0,解得a+b≥4或a+b≤-8(舍去),

当且仅当a=b=2时取等号，又a+b-8<a+b+ab-8=0,所以a+b<8,

所以a+b的取值范围为(4,8),故B错误；

由a+b+ab-8=0,可得a+1+b(1+a)-8-1=0,所以(a+1)(b+1)=9,故C正确；

当且仅当即a=√3-1,b=3√3-1时取等号，

所以的最小值为故D正确.

故选：ACD.

10.下列说法正确的是()

A.设x,y∈R,则x>y是x²>y²的必要不充分条件

B.设a,b,c∈R,则a=b=c是a²+b²+c²=ab+ac+bc的充要条件

C.已知条件p:Vx,x₂∈R,且x₁≠X₂,q:f(x)为R上的增函数，则P是q

的充分不必要条件

D.已知条件p:f(x),x∈R是奇函数，q:f(0)=0,则P是9的充分不必要条件

【答案】BCD

【解析】

【分析】A举反例；B利用完全平方差得出；C充分性结合单调性定义，必要性举反例；D充分性利用奇函

数的性质，必要性举反例.

【详解】当x=-3,y=2时，满足x²>y²,但不满足x>y,故A错误；

若a²+b²+c²=ab+ac+bc,则2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc=0,

则(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0,故a=b=c,则B正确；

由知f(x)为R上的增函数，

但若则故C正确；

若y=f(x),x∈R是奇函数，则必有f(O)=0,

但若f(x)=x²,满足f(0)=0,但并非奇函数，故D正确.

故选：BCD

11.已知函数y=f(x)的定义域为(0,4),y=f(x+2)为偶函数，当0<x≤2时，f(x)=|log₂x|,则

下列说法正确的是()

A.若函数g(x)=f(x)-m有四个零点x₁,x₂,x₃,x4(x₁<x₂<x₃<x4),则x₁x₂x₃的取值范围为

[2,3]

B.若函数g(x)=f(x)-m有四个零点x₁,x₂,x₃,x₄(x₁<x₂<x₃<x₄),则4x₁+x₂的取值范围为

(4,5)

C.函数y=f(f(x))的零点个数为5个

D.函数y=f(|2*-1)-1的零点个数为6个

【答案】ABC

【解析】

【分析】由题意得到函数对称轴，作出函数大致图象.结合函数图象和对数的运算知函数g(x)的零点x₁与

x₂的关系，且得到x₃的取值范围，即可判断A选项；由x₁与x₂的关系化简4x₁+x₂,利用x₂的范围及函数

的单调性求得4x₁+x₂取值范围，判断B选项；由函数y=f(x)的零点，得到f(f(x))=0时f(x)的值，

然后分别由函数图像知道对应零点个数，即可判断C选项；令f(|2ˣ-1)-1=0,求得|2×-1的值，分别

求解方程，即可求得函数y=f(|2*-1)-1的零点个数，判断D选项.

【详解】∵函数y=f(x+2)为偶函数，即f(-x+2)=f(x+2)

则函数y=f(x)关于x=2对称，

当0<x≤2时，f(x)=|log₂x|,f(2)=|log₂2|=1,

∴函数y=f(x)的大致图像如下图，

令g(x)=f(x)-m=0,则x₁,x₂,x₃,x₄(x₁<x₂<x₃<x₄)为方程的解，所以m∈(0,1)

∴|log₂x₁|=|log₂x₂|,即-log₂x₁=log₂x₂,∴log₂x₂+log₂x₁=log₂x₁x₂=0,∴x₁x₂=1,

由图可知，x₃∈(2,3),∴x₁x₂X₃=x₃∈(2,3),A选项正确；

令x,x∈(1,2),由双勾函数的性质可知，函数g(x)在(1,2)上单调递减，∴g(x)∈(4,5),

B选项正确；

∵y=f(x)有两个零点x=1或x=3,∴f(f(x))=0时，f(x)=1或f(x)=3,

当f(x)=1时，由函数图象可知，函数有3个零点，

当f(x)=3时，由函数图象可知，函数有2个零点，

∴函数y=f(f(x))存在5个零点，C选项正确；

令y=f(|2*-1)-1=0,即f(|l2*-1)=1,则

,即x=-1;,即x=log₂3-1;2×-1=-2,无解；

2×-1=2,即x=log₂3;,无解；,即x=2log₂3-1;

故函数y=f(|2*-1)-1有4个零点，D选项错误.

故选：ABC

第IⅡ卷(非选择题，共92分)

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.

12.一个扇形的弧长和面积都是,则这个扇形的圆心角的弧度数为·

【答案】

【解析】

【分析】设该扇形的半径为r,圆心角的弧度数为α,根据扇形的弧长和面积公式可得出关于α、r的方

程组，即可求解.

【详解】设该扇形的半径为r,圆心角的弧度数为α,

由题意可

因此，这个扇形的圆心角的弧度数为

故答案为：

13.若幂函数f(x)=(m²-3m+3)x”为偶函数，且函数y=f(x)-ax+a+1的最小值为2,则实数a=

·

【答案】2

【解析】

【分析】先根据幂函数的定义及奇偶性确定f(x)=x²,进而根据二次函数的性质列方程求解即可.

【详解】由f(x)为幂函数，得m²-3m+3=1,解得m=1或m=2,

当m=1时，f(x)=x为奇函数，不符合题意；

当m=2时，f(x)=x²为偶函数，符合题意，

则时，函数取得最小值

则解得a=2.

故答案为：2.

14.已知O≤m<1,函数,满足,则m=,若存在

b>a≥0,使得f(b)=ef(a),则a·f(b)取值范围是·

【答案】①.0

【解析】

【分析】首先根据分段函数求值,求m,再分区间0≤a<b<1,0≤a<1≤b和1≤a<b,

代入分段函数，转化为求函数的值域问题.

【详解】,得m=0,

所以

若0≤a<b<1,f(b)=ef(a)→b=ea∈(0,1),

此时a

若0≤a<1≤b,f(b)=ef(a)→e⁶=ea≥e,此时a≥1,不成立，

若1≤a<b,f(b)=ef(a)→eᵇ=e·e⁴=ea+¹,得b=a+1,

此时af·(b)=ae=aea+1,

设g(x)=xe+¹,x≥1,g(x)在区间[1,+∞]上单调递增，g(x)≥e²,所以a·f(b)的范围是[e²,+∞]

综上可知，a·f(b)的取值范围

故答案

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

15.已知全集集合

U=R,A={x|1<3*¹<9},集合B={x|log₂(x²-x-1)>0

(1)求A,B,(ðA)nB;

(2)已知集合C={x|2a<x<a+1},若AnC=C,求实数α的取值范围.

【答案】(1)A=(1,3),B=(-∞,-1)u(2,+∞),(ðA)nB=(-∞,-1)u[3,+∞]

(2)

【解析】

【分析】(1)解指数不等式和对数不等式即可求出A,B,利用补集和交集的运算即可得到(ðA)nB;

(2)根据AnC=C得到CcA,分C=和C不为两种情况求a的取值范围.

【小问1详解】

不等式1<3ˣ-¹<9可化为3⁰<3×-¹<3²,解得1<x<3,所以A=(1,3);

不等式log₂(x²-x-1)>0可化为log₂(x²-x-1)>log₂1,解得x<-1或x>2,所以

B=(-∞,-1)(2,+∞);

所以ðA=(-∞,1)u[3,+∞),所以(ðA)∩B=(-∞0,-1)U(3,+∞).

【小问2详解】

因为AnC=C,所以CcA,

当C=时，2a≥a+1,解得a≥1,

当C不为时，则解得

综上所述，实数a的取值范围

16.设函数

(1)求证：f(x)在(0,+∞)单调递增；

(2)设g(x)=f(2x)-4f(x)+5,求函数g(x)的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)-1

【解析】

【分析】(1)利用单调性的定义证明即可；

(2)利用(1)可得f(x)≥2,,利用换元法结合二次函数的性质可求

最小值.

【小问1详解】

Vx₁,x₂∈(0,+∞)且x₁<X₂,

因为x₁,x₂∈[0,+∞]且x₁<X₂,所以eˣ≥1,eˣ2>1,e¹<e2,

所以exieˣ2>1,所

所以f(x₁)-f(x₂)<0,即f(x₁)<f(x₂),

所以f(x)在(0,+∞)单调递增；

【小问2详解】

的定义域为R,关于原点对称，

所以f(x)为偶函数，

由(1)可知f(x)在(0,+∞)单调递增；所以f(x)≥f(0)=2;

所以y=t²-4t+3=(t-2)²-1≥-1,

当且仅当t=2时，等号成立，所以函数g(x)的最小值为-1.

17.近年来，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成

为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.该地某商店销售一种特色小食

品，根据销售数据，该食品日销量与售价存在分段规律.每斤该食品的进价为3元.设该食品的售价为每斤x

(单位：元)(3<x≤11),日销量为(单位：斤).当3<x≤6时，y=72-3x;当6<x≤11时，

(1)写出该食品日利润f(x)(元)的解析式；

(2)当该食品的售价定为每斤多少元时，该食品的日利润最大?最大日利润是多少?

【答案】(1)

(2)当该食品的售价定为每斤9元时，该食品的日利润最大，最大值为180元

【解析】

【分析】(1)日利润等于日销量乘以单斤利润进行求解；

(2)分别利用二次函数性质和基本不等式分段求最值.

【小问1详解】

根据题意，当3<x≤6时，

f(x)=(72-3x)(x-3)=-3x²+81x-216,

当6<x≤11时，

所以

【小问2详解】

当3<x≤6时，f(x)=-3x²+81x-216,

由于对称轴为,所以当x=6时，f(x)最大，且为162,

当6<x≤11时，

当且仅当即x=9时，等号成立，

所以当该食品的售价定为每斤9元时，该食品的日利润最大，最大值为180元.

18.已知函数

(1)求实数t的值；

(2)解关于x的不等

(3)设g(x)=f(x)-Inx,若9g(x)+g(2x)≥mg(x)·g(2x)对于任意的x∈[1,2]恒成立，求实数m的

取值范围.

【答案】(1)t=1

(2)(-1,0)

(3)

【解析】

【分析】(1)根据计算；

(2)先求再结合函数的单调性求解；

(3)将问题转化为求的最小值，令结合一元二次函数求最值.

,x1[1,2],

【小问1详解】

,则t=1;

【小问2详解】

则不等式可化为f(3+2x)>f(-x),

因函数y=3+1在(0,+∞)上单调递增，则在(0,+∞)上单调递增，

因y=lnx在(0,+∞)上单调递增，故f(x)在(0,+∞)上单调递增，

则3+2x>-x>0,得-1<x<0,

故不等式的解集为(-1,0);

【小问3详解】

因9g(x)+g(2x)≥mg(x)·g(2x),

贝

,xl[1,2],则

则h(t)=9t²+t+10在上的最小值为

因9g(x)+g(2x)≥mg(x)·g(2x)对于任意的x∈[1,2]恒成立，

则,故实数m的取值范围

19.有一个区间序列[α₁,β₁],[α₂,β₂],[α₃,β₃],…,[αn,βn],…其中每个区间都真包含后面的区

间：[α+1,β+](i=1,2,3,…)[α₁,β],随着i的增大，区间的长度可以任意小，那么必存在唯一数ξ属

于任意一个闭区间.例如5√2是一串逐渐增大的有理数指数幂514,5141,51.414,51.4142,L和另一串逐渐

减小的有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,L逐步逼近的结果，它是一个确定的实数.

已知定义在R上的函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，并且满足f(x+y)=100f(x)·f(y),当

时，f(x)>1,且令F(x)=2+1gf(x).

(1)求F(O)与F(1);

(2)证明：f(x)>0,函数f(x)是增函数；

(3)(i)当x为有理数时，求函数F(x)的解析式；

(ii)当x∈R时，求函数f(x)的解析式.

【答案】(1)F(0)=0,F(1