《振动力学》作业资料(含答案解析)

《振动力学》习题集（含答案）

1.1质量为6的质点由长度为/、质量为/771的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，

如图E1.1所示。求系统的固有频率。

图E1.1

解•

系统的动能为：

7=；〃2（8）2+3戊2

其中/为杆关于较点的转动惯量：

则有：

T=—rnl2x2+-ml2x2=—（3n?+）l2x2

26}6

系统的势能为：

U=mgl(\-cosx)+町g•—(1-cosx)

=-m^lr+；町g/f=-(2,^4-叫)g*

利用比/和T=U可得：

口=1（2加+叫）g

2(3"?+"%)/

1.2质量为m、半径为/?的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在64=5的/

点系有两根弹性刚度系数为攵的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。

图E1.2

解：

如图，令。为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：

11I

2212

U=2.权心+明=kiR+a）20-

利用在=S9和7=U可得：

l4k（R+a）2_R+a国

60,13mR2~RV3w

1.4在图E1.4所示的系统中，已知(/=1,2,3),孙。和b,横杆质量不计。求固有

频率。

1l

<<

^«

>.

图E1.4答案图E1.4

解：

对加进行受力分析可得：

mg=3，即&=等

%

如图可得:

6=mgbx=&二mga

2

k](a+b)k1k2(a+b)k2

a(x->-x)crk.+b2kl

x()=X]+x'=X]

4-——-=7-T--mg

a+h(〃+〃)~桃2

a为十以211

1二%十七+一mg=—mg

(a+/?)2Kz2“3k°

则等效弹簧刚度为：

2

akxk3+b2k2k3+(a+匕丫&的

则固有频率为：

幽勺(〃+"

"7卜42(〃+bl++自从)

1.7质量町在倾角为。的光滑斜面上从高力处滑下无反弹碰撞质量〃4,如图E1.7所

示。确定系统由此产生的自由振动。

解.

对町由能量守恒可得（其中V,的方向为沿斜面向下）:

"2送〃=（加，即匕=y（2gh

乙

对整个系统由动量守恒可得：

叫匕=(町+,即%=—四一J2gh

/w,+m2

令见引起的静变形为马，则有：

m.gsma

m,gsina=KXy,BPX=—-------

2k

令町+〃％引起的静变形为0，同理有：

_（〃1+7%）gsina

9一k

得：

jgsina

40-AI2入2_J

K

则系统的自由振动可表示为：

工0.

x=x0cosa)nt+—sin(ont

①n

其中系统的固有频率为：

注意到匕）与工方向相反，得系统的自由振动为：

%•

x=x0cos(o„t——-sin(ont

1.9质量为6、长为/的均质杆和弹簧攵及阻尼器c构成振动系统，如图E1.9所示。

以杆偏角夕为广义坐标，建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。若在弹簧原长

处立即释手，问杆的最大振幅是多少？发生在何时？最大角速度是多少？发生在何时？是否

在过静平衡位置时？

答案图E1.9

解：

利用动量矩定理得：

10=-kOa-a-c0l-I,I=-ml2

3

+3d2@+3k/8=0,”二

3c/2f匕3cli生

就=2她,右茄

1.12面积为S、质量为m的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图E1.12所

示。作用于薄板的阻尼力为E/=42Su,25＞为薄板总面积/为速度。若测得薄板无阻尼

自由振动的周期为"，在粘性流体中自由振动的周期为求系数

解：

平面在液体中上下振动时：

nix+2/JSX+kx=O

2〃S/JS,/J、?

左=2觌气-

2£_2£k-/?s2

亍旬-k—ST(Td'd0

2.1图E2.2所示系统中,已知m,c,%,kj线和口。求系统动力学方程和稳态响

应。

k2殳四。nix

f丁丁［产.

0H

X\,X2

一WVV'―一VWV'一Kiqcpci

K(x-xJc.Cv-x,)

图E2.1答案图E21(a)答案图E2.1(b)

解：

等价于分别为七和天的响应之和。先考虑王，此时右端固结，系统等价为图(a),受

力为图(b),故：

mx+(44-^2)x+(C[4-c2)x=.％+c]x

〃江+或+AJV=用Asin@+qAgcos助/(1)

,,,冗+k、

c=c1+c2,K=k1+k2,a)n-------

m

(1)的解可参照释义(2.56),为：

匕Asin（卬-4）GA例cos（卬-a）

y（，）=（2）

T#_#+（2初2kW-7+3）2

其中：

s=H

J1+函2=]+（叩T=，佃+&）2+亿+。2）%：

VIK+&Jk、+k?

再加小卷J+联普

故（2）为:

/\_sink卬一4）+。4的cos（017—a）

J（K+22-mc°\j+（q+c2）2说

j222

=A----------------------1+、？助---------sin（卬_a+a）

%+&2-j2+（G+

m说c2）~①;

-1C%/优+&）=和7（。|+。2）助

5152一'g1.2

助mk、+k2—gm

1---------

k\+k2

考虑到々⑺的影响，则叠加后的M，）为：

x（r）=£/A"：+c混.j卬”/+叫+吆-、㈣

曰J（尢+自一用。j）2+（4十。2）20:I匕+&—例mk*

2.1一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图T2-1所示。已知，。=30。，6:

1kg,々=49N/cm,开始运动时弹费无伸长，速度为零，求系统的运动规律。

图T2-1答案图T2-1

解：

lx9.8xl

..sina______2

mgsintz=k.x^,x0=------------=0.1cm

49

x=厮cos=-0.1cos70/cm

2.2如图T2-2所示重物”悬挂在刚度为4的弹簧上并处于静平衡位置另一重物区

从高度为万处自由下落到叱上而无弹跳。求明下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规

答案图T2-2

解：

彩=7^

动量守恒：

W?_叱+也

K2g

平衡位置：

叱=。，X=~r

k

W,+W2=k\2,xn----

故：

I弘

故：

x=-x0cos69/；r+—sincont

叫

=T()cos幼J+—sin(otf

叫

2.4在图E2.4所示系统中，已知6,匕，八，乙和。，初始时物块静止且两弹簧均

为原长。求物块运动规律。

XI匕%Z2（匕-%）刈（左一再）

1_梳〜^W\^—m一m

sincot£）sin训〃2工

图E2.4答案图E2.4

解：

取坐标轴芭和修，对连接点力列平衡方程:

-k}x}+k2(x2-XJ+F()sin(ot=0

即：

依+佝)X[=k2x2+Fosincot(1)

对m列运动微分方程：

nvc2=-k2(x2-xA)

即：

(2)

由（1）,（2）消去再得:

..k、k\Ek.

nix1+—^=-y2sincot(3)

ky+k2K+k2

故：

2二W

巾(冗+k2)

由（3）得:

co.

Xi（t}=—T―消亡----sin@—smgj

〃心+《如一。训4

二%，求

2.5在图E2.3所示系统中,已知m,c,k,6和勿，且上。时，x=x0,

系统响应。验证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。

与C0S(0t

图E2.3

解：

ot

x(t)=e^°(Ccosco(lt+£)sin©/)+Acos(cot-3)

A=".ii,e=tgT20

kJ(一2八(2初21/

x(0)=x()=C+Acos。=>C=x0-Acos。

.)=+Osin0，)

+«-苑’(-Ccodsin(Ddt+Dcodcos@j)-4Gsin(w-6)

y

・八上"cA•八八"+5oeA2osinO

x(0)=v0=一弛C+Da)d+Acos\n0=>D=――----------------

55

求出C,。后，代入上面第一个方程即可得。

2.7由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹费和阻尼器构成

的支承上，如图E2.7所示。当齿轮转动角速度为0时，偏心质量惯性力在垂直方向大小为

mecersincot9已知偏心重H/=125.5N,偏心距e=15.0cm,支承弹簧总刚度系数k=

967.7N/cm,测得垂直方向共振振幅X,“=1.07c，〃，远离共振时垂直振幅趋近常值

X。=0.32cm。求支承阻尼器的阻尼比及在口=300r/nin运行时机器的垂直振幅。

图E2.7

解.

.r(z)=—■■.S--------------sin(6wr-^),8=织一、

MJ(一2八(2初2~2

5=1时共振,振幅为:

(1)

远离共振点时，振幅为：

x?=—=0.32cm(2)

M

me

由­(/2r、)nM“=—

X?

me1nie•—=^=0.15

由（1）=八=M2X)

me/X22X,2X1

k$二处

co-300r/min

故：

X=—.-f--------------=3.8x1()一3〃?

M或-打+(242

2.7求图T2-7中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是匕及勺，悬臂梁的质量

忽略不计。

解：

占和鼠为串联，等效刚度为：占2=其一。（因为总变形为求和）

k[+k2

kn和k3为并联（因为k]2的变形等于%的变形），则:

k_k+k—"21卜—+hh+k2k3

~23一十&3一/,,十人3一,,j

k]+k24+k2

攵⑵和3为串联（因为总变形为求和），故：

k-&23kA_"2*4+k&k*+k2k3k4

k.23+k4kh+k"+k?k、+k'k、+k2k0

故：

(%=

2.9如图T2-9所示，一质量6连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，求下列情况

系统作垂直振动的固有频率：

(1)振动过程中杆被约束保持水平位置；

(2)杆可以在铅锤平面内微幅转动；

(3)比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。

(2)微幅转动：

/3+/=二+07)

k,E

=12mg+I,r_/j_________l

2mg

一(//2兑/,4-/2[(/1+/2>2(/1+/2>,

=《mg+C./泼「必

(*)匕4+4(什口心

Jk乩+D+l；k「"2k

G+Qg

//+//

一耐河用

故：

二(i)即2

/超+以2

2.10求图T2-10所示系统的固有频率，刚性杆的质量忽略不计。

图T2-10

解：

m的位置：x=x2+xA=+xA

mgl=F}a,F；=鳖^,/.%=

aak}

—,•・£=沁嘤

x4lIak}

2

•E=X+1=鳖+遮_1/1

..人一々十八八7十2i-mg

k2a抬k2a~k1J

a2k.+Fk,

=——\-----mg

a~k、k、

ja~k#,

,"西西…广

2.11图T2-11所示是一个倒置的摆。摆球质量为m,刚杆质量可忽略，每个弹簧的

刚度为《。

2

(1)求倒摆作微幅振动时的固有频率；

(2)摆球质量6为0.9kg时，测得频率(/“)为1.5Hz,6为1.8kg时，测得频率

为0.75Hz,问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？

//cos，

i

I

t

t

t

I

t

f

9,।

零平嬴置

答案图T2-11(1)答案图T2-11(2)

解：（1）

(2)

若取下面为平衡位置，求解如下：

T=-IO2=-tnl202

22

11।(e

U=2--\-k4-mglcos0=—ka2O2+mgII-2sin2—

2<222I2

=gka201+mgl-gmglO~=g(kcr-mgl)02+mgI

3(T+U)=0,2^-00+20(kcr-mgl)9=0

ml~Oi(kcr〃?g/,=0

2.17图T2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，％=k?=k3=h=k,试问:

(1)若将支承缓慢撤去,质量块将下落多少距离？

(2)若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？

H解TT-.•

L_k]k?3

K123—,,,~

4+“23

K_氏123*4

1234—

“123+242

（1）〃?g=334%，

k

（2）M，）=x0cossj,xmax=2x0=等

K

2.19如图T2-19所示,质量为m的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕

轴的转动惯量为/,忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。

图T2-19

解：

系统动能为：

7,阳力2+L_

x1,21Ix\

十一IH-,X+

22222(2-

[R2)

iI3

—m.+i2

21R；2-

1

系统动能为：

V=-k,x2+-k.

2221

k、+k\里.2

~2生J

乙

根据:刀nax一匕nax'Xnax一Srdmax

k>+h—y

-1D」

2人)

纥=13~~

町+后+泮

2.20如图T2-20所示,刚性曲臂绕支点的转动惯量为h，求系统的固有频率。

图T2-20

解•

系统动能为：

222

=1(/O+/^+W2/^

系统动能为:

〃=〈仁(%)2+;&(4)2+：内(册)2

乙L乙

=j(W+&/2+2加2

根据：^max"max,'max-^n^max

21

/0+m}a+mJ

2.24一长度为/、质量为6的均匀刚性杆钱接于。点并以弹簧和粘性阻尼器支承,如

图T2-24所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和无阻尼固有频率的表达式。

kOa

图T2-24答案图T2-24

解：

利用动量矩方程，有：

JO=-kOci-a-cOl-/,./=-ml2

3

加2泊+3〃2d+3欠/6=o

2.25图T2-25所示的系统中，刚杆质量不计，写出运动微分方程，并求临界阻尼系

数及阻尼固有频率。

T

答案图T2-25

解：

mOl-I+cOa•a+k6bb=0

2.26图T2-26所示的系统中，6=1kg,Z=144N/m,c=48N-s/m,A=/=

0.49m,6=0.5/,k=0.25/,不计刚杆质量，求无阻尼固有频率”及阻尼，。

答案图T2-25

解•

受力如答案图T2-26。对。点取力矩平衡，有：

mOlx•乙+cOly•/3+kGl,•/,=()

ml~d+cl；0+kl；O=O

m6-\--c0+—kO=(}

164

21%“

=>co.,=-------=36

"4m

=>=6rad/s

1

直=2血

m

c1

=><=————=0.25

16〃？2con

4.7两质量均为6的质点系于具有张力下的弦上，如图E4.7所示。忽略振动过程中弦

张力的变化写出柔度矩阵，建立频率方程。求系统的固有频率和模态，并计算主质量、主刚

度、简正模态，确定主坐标和简正坐标。

图E4.7答案图E4.7(l)

解：

sin4三G,sinO2=O2=—~,sin久三4二&

根据犯和，%的自由体动力平衡关系，有：

///.y,=-Fsin6>.+Fsinft=j(y2-2y,)

生％=一/，亩ft-/sina=-F"；'-吟=:(y一2%)

故：

当町=吗时，令:

a)2ml

y=Xsinw,y2=Ksin69/,A=

代入矩阵方程，有：

2-2_1

,?=(2-2y-l=U-lX^-3)=0

—1Z-A

4.2=1，3

ZV]—/3?一、一

mlml“ml~ml

根据(2-/l)X—%=0得：

心2-4

1.()1.()

第一振型第二振型

答案图E4.7(2)

4.11多自由度振动系统质量矩阵例和刚度矩阵《均为正定。对于模态芍和乙及自然

数"证明：

x

x^(MK-)Mxj=0,x^KM^KXj=0

Kxj=arjMxi,等号两边左乘KW”

KMKxj=WKM-MXj=(戒但,等号两边左乘x：

4

X；[KMK]XJ=谤卜；仁]=()，当iw/时

重复两次：

KM'5=好5'等号两边再左乘KV/T

x[x

KM-KM-Kxj=^\KM-K\Kj,等号两边左乘x：

邸［应修一厅而产句邸［瓦"一次］,=o，当,//时

重复"次得到：

1

X^[KM-],Kxt=O

Kx-=电MXj,等号两边左乘MK1

MKKXj=(*MKMXj

y等号两边左乘可

Mxf=c^MK-MXl,

[=(),当时

x.Mxi=^xf[MK-M]x.jw/

即七7A/T/=O,当iwj时

重复运算：

MKMJ=的[MK-邛Mrz

[，当时

x{MK-Mxf=(d]xl[MK-^Mxi=0iw)

重复“次。

2.10图T4-11所示的均匀刚性杆质量为7771,求系统的频率方程0

图T4-11

解：

先求刚度矩阵。

令。=1,x=0,得：

22

kn=k1b-b+k2a-a=kfi+k2a答案图T4-ll(l)

k2l=-k2a

令6=(),x=\,得:

匕2=—k2a

答案图T4-11(2)

k?2=一&

则刚度矩阵为：K='

—-k,、a

再求质量矩阵。

令在=1,x=0，得：

1,

m=-mcr,m=0

]]3}2l

令在=0,尤=1,得：

，科2=°，，〃22=m2

则质量矩阵为：M=5，V/2°

一0叫,

故频率方程为：\K-CO2M\=0

5.1质量加、长（抗弯刚度日的均匀悬臂梁基频为3.515（£7/6月）1〃，在梁自由端

放置集中质量研。用邓克利法计算横向振动的基频。

解：

6.088JEI—

=＞幼=I，(3〃?+12.355〃()/

5.2不计质量的梁上有三个集中质量，如图E5.2所示。用邓克利法计算横向振动的基

频。

mm

-GC-C.

不4

■〃4»“〃4A，〃4I~

图E5.2

解：

当系统中三个集中质量分别单独存在时：

,9(//4)3,16(//4)5,9(//4)3

九\2El'^22=\2E1，卜=12EI

1111£,“，13〃7-

=>­二皿士%+3〃心=脸

5.3在图E5.3所示系统中,已知6和k0用瑞利法计算系统的基频。

图E5.3

解：

近似选取假设模态为:

/=(11.52.5)，

系统的质量阵和刚度阵分别为：

-3k-2k0

M=dicig(m2mm),K=-2k3k-k

0-kk

由瑞利商公式：

/K+2.5%

R（W）=

T'MT~11.75/w

=><y,=0.461

5.9在图E5.9所示系统中，已知攵和Z用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。

J/2

⑵

(1)

图E5.9

解•

两端边界条件为:

固定端F==

.JoLL

1

KR

Avi—cv-—

-co2J

x：=sX

由自由端边界条件得频率方程：

=>@=0.765,口，=1.随

代入各单元状态变量的第一元素，即：

\_

仇I

22J

2——CDR

kk2

得到模态：

*=[1].4141，。⑵=[]—1.4141r

5.10在图E5.10所示系统中,已知GIpi(i=1,2),4(/=1,2)和力(/=1,2)。

用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。

解：

两自由端的边界条件为：

由自由端边界条件得频率方程:

4

COJIJ22

丁十丁苏J]—69A=()=>四=0W4Uj+ipj)

代入各单元状态变量的第一元素，即：

a.(02J2J

}L

01-------CO-

2k.k

得到模态:

〃=[1if,42)=1A

J2

5.11在图E5.ll所示系统中悬臂梁质量不计，以/和日已知。用传递矩阵法计算

系统的固有频率。

图E5.ll

解：

引入无量纲量：

2s

EI

定义无量纲的状态变量：

X=b8M可

边界条件：

左端固结：X；=[o0M及]，右端自由：=6000]r

根据传递矩阵法，有：X：=S：S：X：

其中点传递矩阵和场传递矩阵分别为：

1

-1000111g-

6

1

0100=01]-

2

001011

A001°°1

L[000

得：

M+E.=0

"1一/1、一

-xM+-2+1凡=0

1216)s

利用此齐次线性代数方程的非零解条件导出本征方程：

111

zl（A）=]1]]।1=—z+1=0

\7—X—X+I7

26'

=>A=3

5.12在图E5.12所示系统中梁质量不计，八/和日已知，支承弹簧刚度系数k=

6£7/凡用传递矩阵法计算系统的固有频率。

解：

引入无量纲量：

iml3co2

二小X=------------

EIEI

定义无量纲的状态变量：

x=[yoM可

边界条件:

左端钱支：X：=[0oo尺y,右端自由：a0of

根据传递矩阵法，有：