【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学下册压轴题攻略（沪教版）专题01 一次函数 压轴题（十大题型）（解析版）

专题01一次函数压轴题（十大题型）

目录：

题型1:存在性问题

题型2：取值范围问题

题型3：最值问题

题型4：旋转问题

题型5：动点问题

题型6：定值问题

题型7：新定义题型

题型8：两点间的距离与一次函数

题型9：一次函数与反比例函数

题型10：一次函数的实际应用

题型1:存在性问题

1.如图，在平面直角坐标系中，直线），=-2刀+4交坐标轴于A,8两点，过x轴负半轴上一点C作直线CD

交y轴正半轴于点。，且易。胫△DOC.请解答：

（2）如图，点是线段上一点，连接OM,作ON工OM交AB于点、N,连接MN,求点N的坐标

并判断△MON的形状；

⑶如备用图，若点七（1力）为直线力4上的点，点〜为），轴上的点，请问：直线。。上是否存在点Q,使得AEPQ

是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时。点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）4,2

（2）N（|，1）,AWQV是等腰直角三角形；

⑶直线C。上存在点Q,使得是以上为直角顶点的等腰直角三角形，。点的坐标为（2,3）或（-2,1）.

【分析】（1）先求出Q4=2,08=4,由全等三角形的性质可得O£>=2,OC=4；

（2）利用待定系数法可求直线CD的函数表达式，可得由全等三角形的性质可得

N0BA=NOCD,OB=OC,由ASA可证△OHNg4OCM,可得OM=ON,分别过点M、N作轴于

点E,轴于点尸，由全等三角形的判定和性质即可求解；

（3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和一次函数的性质可求点。坐标.

【解析】（1）解：把x=0代入y=-2x+4得：），=4,

团点8（0,4）,

005=4,

把2=0代入y=-2x+4得：X=2,

回点A（2,0）,

回QA=2,

^/^AOB^/XDOC,

0OC=OB=4,OD=OA=2,

故答案为：4,2；

（2）解：设直线CO对应的函数表达式为：丁=米+"

0OC=4,OD=2,

回C（T,0）,£>（O,2）,

/\\（-44+力=0

把C（-4,0）,力（0,2）代入），=丘+力得｛,

L.1

解得2,

b=2

团直线C。对应的函数表达式为y=gx+2,

团M—1,^J,

0ZX4O^A/X）C,

(3NOB4=NOCDOB=OC,

又是ON1OM,

0ZMO7V=90°,

即/MOD+/BON=90°,

0ZCOZ9=9O°,

即ZCOM+ZMOD=90°,

⑦ZBON=/COM,

0AO£?/V^AOCM（ASA）,

国OM=ON,则△MON是等腰直角三角形；

分别过点M、N作ME_Lx轴于点E,M_Ly轴于点人

©ZBON=NCOM,OM=ON,

0AOF/V^AOEM(AAS),

3

^\OF=OE=\,FN=EM=-,

2

回点N的坐标为序｝

(3)解：直线8上存在点。，使是以E为直角顶点的等腰三角形.

0£(L〃)为直线48上的点，

团〃=-2xl+4=2,

词,2),

①当点P在点8卜方时，如图，连接力E,过点Q作QMJ■。&交OE的延长线于M点,

回。E_Z），轴，DE=1,点M的纵坐标为2,ZM=ZEDP=90°,

团△EPQ是以E为直角顶点的等腰直角三角形，

^EP=EQ,ZPE（2=9O°,

0NQEM+/PED=90°=4QEM+ZEQM,

电/DEP=/EQM,

团石（AAS）,

0MQ=DE=1,

团Q点的纵坐标为3,

把？=3代入），=；x+2中得：x=2,

同点。（2,3）；

②当点P在点3上方时，如图，过E点作好/〃），轴，过点。作QM_1_•于加点，过P点、作PN上EM-交

团八点的横坐标为1,

则PN=1,

团/SEPQ是以E为直角顶点的等腰三角形,

^EP=EQ,NPEQ=90。，

0NQEM+ZPEN=90°=ZPEN+4NPE,

中4MEQ=4NPE,

©△EQM'PEN(AAS),

⑦EM=PN=1,

0E(L2),

团M点的纵坐标为1,

团Q点的纵坐标为1,

把y=i代入y=gx+2中得：%=-2,

团Q(-2,1)；

综上所述，直线C7）上存在点Q,使得△EPQ是以£为直角顶点的等腰直角三角形，。点的坐标为（2,3）或

(一2，1).

【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角

形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键.

2.已知：如图，一次函数），=（x-3的图像分别与X轴、y轴相交于点A（4,o）、3（0,-3）,且与经过X轴负

半轴上的点。的一次函数），=息+右的图像相交于点。，直线CD与y轴相交于点E,正与8关于X轴对称，

⑴求直线C。的函数表达式和点。的坐标：

⑵点P为线段。石上的一个动点，连接BP.

①若直线8P将△AC。的面枳分为7:9两部分，试求点P的坐标：

②点尸是否存在某个位置，将沿着直线4。翻折，使得点。恰好落在直线人〃上方的坐标轴上？若存

在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

□

【答案】（1）直线C。的函数表达式为：y=：x+3,点。的坐标为（T,-6）.

⑵①点P的坐标为或，②存在点尸，将△BPD沿着直线砂翻折，使得点O恰好落在直

（8A（2421、

线A8上方的坐标轴上，点夕坐标为卜亍-3）或［-百,-打力

【分析】（1）根据题意，利用已知条件得到点C,点E坐标，用待定系数法可求出直线C。的解析式，联立

直线8和直线AB的解析式可求出点D的坐标.

（2）①过点。作。/_Lx轴于点尸，先求出△ACO的面积，直线即将△ACO的面积分为7:9两部分，需要

分两种情况：当点P在线段上时，则有品^^=15小皿，由此建立方程求解，得到答案；当点P在线段

16

7

CE上时，设直线外与x轴交于点Q,此时有右八版=白506,由此建立方程求解，得到答案.

②将沿着直线翻折，使得点。恰好落在直线A3上方的坐标轴上，需要分三种情况：当点。落在

“轴负半轴上；当点。落在5轴上；当点。落在x轴正半轴上，画出图形，求出答案.

【解析】（1）解：根据题意得：

点A（4,0）、B（0,-3）,

*'-OA=4,

E与3关于工轴对称，OA=3OC,

：.E（O,3）,OC=-f

...（告o）,

把点C和点E的坐标代入一次函数y=h+b,

4

——&+〃=（）

•3,

b=3

解得-4,

b=3

9

••・直线co的函数表达式为：y=：x+3,

4

解得：*=-4,

•・•点。的坐标为(-4,-6).

(2)①如图，过点。作。产JLx釉于点尸，连接BC,

•*-DF=6,

4

:=4,OC=-,

•«AC—,

3

/.5=-ACDF=-x—x6=16,

Q/icriyn223

•.7(4,0)、8(0,-3)、D(-4,-6).

•••点8是线段AO的中点,

…S^DBC=SMCB»

当点P在线段C。上时，则有

=

'△DBP正"ACD»

S^Dfip=5(xp.X/)).BE,

1z、7

-(A>+4)-6=—xl6,

解得：

当点？在线段CE上时，设直线8P与x轴交于点。，如图，此时有

SgBQ=正S&ACD，

114

--^-3=7,解得他=方

Z3

.・・。。=+3=|

，《一尹｝

9

••・直线80的解析式为y=_]X_3

令——3,

42

Q

解得：X=--,

53

综上所述，若直线期将“6的面积分为7:9两部分，点尸的坐标为或

I34)JI9J

②存在，理由如下:

将△BPD沿着直线42翻折，使得点。恰好落在直线AK上方的坐标轴匕分三种情况:

当点。落在工轴负半轴上2处，如图,

BD=BDi,

rh题意可知，OB=3»0A=4,

则A8=5,

BD=AB=5，

BD、=5,

ODX=4,

/.20AB=NOD'B,

fDBD、=£OAB+乙。D、B,

工OD\B=4D、BP,

•••B尸〃x轴，

•・•点尸的纵坐标为-3,

••<一,3；

（3/

当点。落在y轴上2处，如图，

过点P作尸G_LA£）于点G,作尸轴于点H,过点。作。M_Ly轴于点M,

由折叠性质得：

BP平分NDBD],

/.PG=PH,

“DBP=S&BEP+S&BDE，

/.-BEDM=-BDPG+-BEPH,

222

即！x6x4=gx5.尸G+gx6P”,

24

解得：PG=PH=:_t

(242n

n，----；

/.PI---1--1nJ

当点。落在％轴正半轴上4处，如图，

此时，点A和点2重合，和符合题意，舍去,

y

综上所述，存在点P,将△W，/）沿着直线期翻折，使得点。恰好落在直线A6上方的坐标轴上，此时点P坐

标为卜*-3）或卜等-耨

【点睛】本题考杳了待定系数法求函数解析式，一次函数的交点，三角形的面枳，折叠的性质，熟悉分类

讨论的思想，根据题意正确分类并作出图形是解答本题的关键.

题型2：取值范围问题

3.如图,在平面百角坐标系中,直线y=x+4分别交X轴、丁轴干点A、8,直线了二6+〃伙工（））交直线.y=x+4

于点C,交x轴于点。。,0）.

⑴求点4的坐标；

⑵若点C在第二象限，△人6的面积是5：

①求点C的坐标；

②直接写出不等式组x+4>区+力>0的解集；

③将△C4。沿x轴平移，点C、A、。的对应点分别为G、A、Dit设点。的横坐标为〃?.直接写出平移

过程中△GAR只有两个顶点在△胡。外部时，〃?的取值范围.

【答案】⑴（-4，。）

7

（2）®C（-2,2）；（2）-2<r<l；③广加"或YK〃?vl

【分析】(1)把y=o代入y=x+4求出点A的坐标即可；

(2)①先根据△4CD的面积是5,求出点。的纵坐标即可，再代入y=x+4求出点c的横坐标即可：

②根据函数图象，写出不等式组》+4＞收+"0的解集即可：

③根据平移特点，分两种情况，当△GAA沿X轴向右平移时，当△GAA沿X轴向左平移，求出〃?的值即

可.

【解析】(1)解：把＞=0代入y=x+4得：

0=x+4,

解得：x=-4,

13点A的坐标为(Y,0)；

(2)解：①团。(1,0),A(-4,0),

(3AD=5,

团S“e=5，点C在第二象限,

0^-xADxyc=5,

团)'c=2,

当y=2时，2=x+4,

0x=—2,

0C(-2,2)；

②由图象即可知：不等式组x+4＞履+〃＞0的解集为：-24V1；

③连接8。，如图所示：

回点5的坐标为(0,4),

设直线3D的解析式为y=依+"'伙'=0),把8(0,4),。(1,0)代入得:

加=4

,/+//=()'

(k1=-4

解得：?一

b=4

团直线8。的解析式为y=Tx+4,

把y=2代入y=-4x+4得：2=-4X+4,

解得：x=

--(-2)=—,

2v72

当点a在直线8。上时，点A的横坐标为：i+|=g,

当点A在点。上时，点仅的横坐标为：1+5=6,

7

回当△GAA沿x轴向右平移时，△GAR只有两个顶点在△BAD外部时5<加工6；

当AGAA沿x轴向左平移，△G4A只有两个顶点在△E4。外部时-4<m<l；

7

综上分析可知，△GAR只有两个顶点在△BAD外部时，加的取值范围为jv《6或-44〃?<1.

【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数图象与不等式的解集，三角形面积问题，掌握以上知

识点是解题的关键.

4

4.如图，在平面直角坐标系中，直线y=§x+8与x轴交于点4与V轴交于点&过点8的直线交％轴正

半轴于C，且MBC的面枳为56.点。为线段A8的中点，点上为y轴上一动点，连接OE,将线段OE绕着

点E逆时针旋转90。得到线段EF,连接。F.

⑴求点C的坐标及直线8C的表达式；

(2)在点E运动的过程中，若皿)石尸的面积为5,求此时点E的坐标:

(3)设点E的坐标为(0,m)；

①用”表示点尸的坐标；

②住点E运动的过程中，若叩冗尸始终在朋的内部(包括边界)，直接写出满足条件的用的取值范围.

【答案】(1)(8,0)；y=-x+8

(2)(0,5)或(0,-3)

(3)(1)(切4,m3)；(2)3<w<y

【分析】(1)分别求出B、4的坐标，利用三角形面积可求C点坐标，再由待定系数法求直线8c的解析式

即可；

(2)由三角形面积求出DE的长，再由两点间距离公式求E点坐标即可；

(3)①通过构造直角三角形，利用全等三角形的性质，求尸点坐标即可；

②分别讨论尸点在朋8c边界处时机的值，即可确定〃?的范围.

【解析】(Q令x=0,则产8,

她(0,8),

令户0,则x=-6,

刖(-6,0),

回点。为线段A8的中点，

0D(-3,4),

团财的面积为56,

团；x8xAC=56,

财C=14,

团C(8,0),

设直线BC的表达式为卢依+心

J"=8

团&+〃=(/

k=-i

配，

[b=S

0_v=-x+8；

(2)设E(0,)，)，

团线段QE绕着点E逆时针旋转90。得到线段EF,

©DE=EF,WEF=9Q°,

雕)。石产的面积为5,

团；OE2=5,

团。氏屈，

因而二19+(k4产，

0>'=3或y=5,

回E(0,3)或E(0,5)；

(3)①如图1,过点后作6加轴，过点。作。G0G”交于点G,过点尸作正加G"交于点”,

00GED+0//EF=9O°,I2GEQ+团G。石=90°,

00G/9E=0A/£F,

田DE=EF,

WGDE^HEF(AAS),

自GE=HF,GD=EH,

团"F=3,DG=m-4=EH,

团2点纵坐标加3,横纵标m-4,

0F(/〃-4,m-3)；

②如图2,当尸点在x轴上时，OE0y轴,

图2

此时m-3=0,

0w=3；

当F在直线8c上时,

此时/n-3=-(m-4)+8,

15

0/7?=—；

2

明勿区当时，皿）£：尸始终在0ABC的内部（包括边界）.

【点睛】本题是•次函数的综合题，熟练掌握•次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，数形结

合解题是关键.

题型3：最值问题

5.已知一次函数y=4h+5R+

图2

⑴无论及为何值，函数图象必过定点，求该定点的坐标:

I13

⑵如图1,当&=-弓时，一次函数广4丘+5*+3的图象交x轴，y轴于A、B两点，点Q是直线4：y=x+l

上一点，若SAABQ=6,求。点的坐标；

20

⑶如图2,在（2）的条件下，直线4：交43于点P,C点在x轴负半轴上，旦S~^=7,动点加

的坐标为（〃,〃），求CA/+M〃的最小值.

【答案】⑴o

（2）（3,4）或（一1,0）

⑶叵

3

【分析】（1）整理得），=（©+5）&+；17化工0）,根据题意，得当4%+5=0,求解得函数图象必过定点一；5，另131；

（2）确定解析式），=4-+5"；为），=-21+4,点4坐标为（2,0）,点8坐标为（0,4）：设点。坐标为（〃?,）〃+1）,

分恃况讨论：①当点。位于AB右侧时，根据题意得S“3+SAW=S“g+S.Q，列方程解得机=3,点Q

坐标为（3,4）；②当点。位于4B左侧时，过点。作QN〃x轴，交于点N,点N的纵坐标为。〃+1）,

31「31

x

QN=-勺（6-D，于是S^ABQ=S.ACN+S.BQ、,=~一;（小一1）乂4=6,解得〃?=一1,〃?+1=。，。坐标为（一1,。）；

⑶联立得F二二2；十\得尸（I,2）,设eg。），由S0=以求得C的坐标为1101，点M在直线尸工

y=X~rI3\/

上，点C关于直线y=x对称的点尸的坐标为连接M尸，PF,则M/=AfC,

CM+MP=FM+MP>PF,作PG_L），轴，垂足为G,在RtzXPG/中，。r=亚于，所以CM+MQ的最

3

小值为眄.

3

【解析】（1）解：整理得>=（4>5伙+］（〃土。）

团不论k取何值时，上式都成立

团当4X+5=0,即x=-；时，y

国无论2为何值，函数图象必过定点卜;，掾｝

113

（2）当#二一一时，一次函数y=4履+5&+二为y=-2x+4,

22

当”=0时，y=4；当y=0时，-2x+4=0,x=2；

回点A坐标为(2,0)；点8坐标为(0,4)；

回点Q在直线4：)，="1上，

团设点Q坐标为(/〃,〃z+l)；

①如图，当点。位于人B右侧时，根据题意得S△八“+$△〃以=$-+$△〃也.

[ggx2(〃?+l)+；x4〃？=gx2x4+6.

解得rn=3.

点Q坐标为(3,4)；

②如图，当点。位于/W左侧时，此时S“8O=6,

过点。作。N〃x轴，交AB于点M则点N的纵坐标为(〃?+1),

由y=-2x+4,得〃i+l=-2x+4,x=~[m-3),

13

回QN=——(m-3)-m=——(/〃-1).

22

团八8。=3QN・|〉％_yj=；x--|(A«-1)x4=6,

解得w=T,/n+l=0,

题2恰好位于x轴上，此时Q坐标为(7,0);

综上所述：若Sxw=6,Q点的坐标为(3,4)或(-1,0)；

j=-2x+4

(3)由(2)可得直线AB：y=-2x+4,联立得・

j=x+l

解得尸2

[)，=2

团P0,2)

团点。在上•轴的负半轴，设C(c.O)

则AC=2-c,

c20

团OB-4>S八△sc=~

咖一小4言

4

解得

回点C的坐标为1*0

团动点M的坐标为

例点M在直线)上.

团点c关广直线y=x对称的点尸的坐标为｛),一)

连接吹，PF,则ME=MC,CM+MP=FM+MP>PF

则PF为CM+MP的最小值;

作PGJLy轴,垂足为G,

PF=>JPG2+FG2=^l2+^2+^

在RtZXPG/中,

0CW1A/D的最小值为巫I.

3

【点睛】本题考查一次函数，图象交点求解，轴对称；结合题设条件，作线段的等量转移，构造直角三角

形求解线段是解题的关键.

6.如图1,在平面直角坐标系mF中，直线4：），=x+l与1轴交于点A,直线4：y=3x-3与x轴交于点B,

与4相交于C点，过x轴上动点E/0）作直线轴分别与直线入〃交于。、Q两点.

图1图2

⑴①请直接写出点A,点3,点C的坐标：A,B,C

②若PQ=2,求/的值；

⑵如图2,若E为线段48上动点，过点/＞作直线交直线4于点尸，求当/为何值时，P2—PF最大,

并求这个最大值.

【答案】⑴①（TO）、（1,0）、（23）；②/=1或3；

（2）当£=-1时,PQ-PF最大,最大值4.

【分析】（1）①令函数值等于0,可求与x轴交点坐标，联立函数解析式解方程组可得函数图像交点坐标;

②设点PQ/+1）,则点。Q3—3）,则尸。=|f+l-3f+3|=2,即可求解;

（2）设点P«J+1）,则点QQ3-3）,求出点尸（于,/+i）.进而用/表示出世、“长，根据/的取值范围,

结合一次函数的增减性即可求出PQ-尸尸的最大值.

【解析】（1）解：①对于直线，2：y=3x-3①，

令y=3x-3=0,解得x=l,故点伙1,0),

对于4：y=x+l,同理可得：点47,0),

''=37，解得］\=2

则

y=x+l」=3'

故点。的坐标为（2,3）,

故答案为:（T，。）、（1，。）、（2,3）：

②点P在直线4上,则设点次”+1）,同理点QQ3-3）,

则PQ=1f+l-3f+3|=2,即:14-2/1=2

解得£=1或3；

（2）点尸在直线4上，则设点P（7J+1）,同理点0（f,3”3）,

国尸尸1尸Q,

^PO=4-2t,

/+4

团点F的纵坐标为f+1,解3x-3=f+l得x=-^―,

/+4

J+1）,

BPQ-PF=4-2f-（^^-）=^Y-=-^t+^,

4

0——<0,

3

4K

0当r__1时，PQ-PF最大,最大值PQ-P产一——乂（一1）+_=4.

【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行线的性质、绝对值的应用、面积的计

算等，其中（2）要注意用点的坐标表示线段长.

题型4：旋转问题

7.如图1,在平面直角坐标系中，一次函数），=依+〃（攵=。）的图象交），轴于点A（0,T）,交x轴交于点B,

且OB=OC=2Q4,过点C作），粕的垂线，交直线于点D.

图1图2

⑴求点。的坐标；

⑵点E是线段。。上一动点，直线的与丁轴交于点E

①若V8O/的面积为8,求点〃的坐标；

②如图2,当点尸在y轴正半轴上时，将直线W•，绕点B顺时针旋转45。后的直线与线段C。交于点M,连

接FM,若OF=MF+l,求线段M/7的长.

【答案】⑴。(6,2)

⑵①尸的坐标为(S3)或(。,-5)；②M「二5；

【分析】(1)先求解OB=OC=2OA=2,b=-l可得R,C的坐标与一次函数的解析式，再把)，=2代入一

次函数的解析式即可得到。的坐标；

(2)①如图，连接。尸，分两种情况讨论：当产在轴的正半轴时，当尸在V轴的负半轴时，设b(0,〃?)，

由VBD厂的面积为2,利用三角形的面积列方程求解即可：⑦作MN_L.r轴，GR_L交工轴于点G,证

NMNB^BOG、VFBMKFBG,再结合勾股定理即可求解.

【解析】(1)解:用一次函数y=G+"(攵/0)的图象交y轴于点A(O,-1),交工轴交于点从且＜M=OC=2OA,

^OB=OC=2OA=2,b=-\,

05(2,0),C(0,2),

团一次函数为：y=kx-\,

02/;-1=0,解得：k=g

同一次函数为：J=,

当y=2时，x=6,

ED（6,2）；

(2)①如图，连接。尸,当尸在y轴的正半轴时,设尸(0M),

回AF=in+\>

团VBD尸的面积为8,

团S=SjDF-SJBF»UP-x6（w+l）--x2（/n+i）=8,

22

0m=3：

自尸(0,3)；

当尸在y轴的负半轴时，如图,设尸(0M),

同理可得：AF=-\-m,

回S=S.MQ-,即gx6（-1一加）—gx2（-1一〃?）=8,

解得：tn=—5>

0F（O,-5）,经检验符合题意：

综上：尸的坐标为(0,3)或(0,-5)；

②作MN_Lx轴，G8_L8M交了轴于点G,如图所示:

QWNMB+/NBM=4GBO+/NBM=90°,

:.ANMB=NGBO,

回MN_Lx轴，

团朋N=2=O8,

QZMVB=ZBOG=90°,

.△MN哈力OG(ASA),

;.NBnOG,BM・BG,

团将直线M绕点8顺时针旋转45c后的直线与线段CO交于点M.

团NFBM=45。，

NFBG=450=NFBM,

•；RF=BF,

/.△FBM^AFBG(SAS),

:.MF=GF,

QOF=GF+OG=MF+\,

:.OG=[=NB,

:.0N=MC=3,

设M"=/,MCF=OF-2=/+l-2=r-l,

在Rt£jWC/中，MF2=MC2+CF2,

a/2=32+(r-l)2,

解得：r=5,

0MF=5.

【点睛】本题属于•次函数与几何综合问题.考查了利用待定系数法求解•次函数的解析式，全等三角形

的判定与性质，勾股定理的应用，坐标与图形面积，旋转的性质，正确作出辅助线，掌握分类讨论的数学

思想是解题关键.

3

8.如图，在平面宜角坐标系中，直线人丁=依+〃经过点80.4）,与x轴相交于点A,与直线小相

⑴求直线人的表达式；

⑵过M作），轴的平行线，分别交直线上直线4于点。，E,连接。E,

①当/〃=3时，求/尤:的长；

②当DE=6时，请直接写出，〃的值；

⑶若点"在射线人。上，连接CM,当/。/0=2/849时,，请直接写出点例的坐标.

⑷在（3）的条件下，当加＞0时,将VCAM绕点A顺时针方向旋转60。，得到△GAM.其中C的对应点

为C-M的对应点为连接CM-直接写出CM的长.

【答案】（l）y=-；八+4

（2）①。E的长为2,②〃1的值为-1或5.

⑶M点的坐标为（?，。）或‘右。）

⑷CM=近一班

24

【分析】（1）根据点C在直线小y=的图像上，求出C（2,3）,再把点以0,4）,点C（2,3）代入函数，得

到答案.

（2）①当机=3时，得到点。，E的横坐标，分别代入函数，求出答案.

②根据题意，设。（或-；川+4）,可以求出力E的长，根据绝对值的性质求出答案.

（3）由NCMO=2/B4O,找到满足的“点，然后根据两点的距离公式，等腰三角形的性质，得到M点坐

标，再利用对称的性质，求出河点关于点D的对称点的坐标.

(4)由已知，在(3)的条件下，当〃?>0时，M点的坐标为(?，0

,由此利用两点间的距离公式，勾股

定理求出CM〕.

3

【解析】(1)解：•••点c在直线Ay=的图像上，点。的横坐标为2,

j=1x2=3,则C(2,3),

•.■直线乙：产取+b过点5(0,4),点汁(2,3),

b=4

''2k+b=3'

k=~-

解得2,

8=4

・••直线4的解析式为：y=-；x+4.

(2)①当帆=3时，即点M的横坐标为3,如图所示,

•・•点。在直线4：y=-；x+4的图像上,

.,3,=_lx3+4=|,即。卜|),

•・•点E在直线七,，=；工的图像上，

j=-^x3=^,即£(3,g1,

%衿2

・••OE的长为2；

②•.•点。在直线hy=-；x+4的图像上，

3

点E在直线3丁=的图像上，且。，E的横坐标相同,

.,.设o[〃,-g〃?+4,

I2

|3

DE=—/〃+4—m=6,

22

整理得：|4-2词=6,

4-2〃？=6或4-2，〃=-6,

，，泮=-1或〃2=5,

•.•阳的值为T或5.

|3

(3)由(1)知：直线/|：y———x+4,直线4：y=~x

42

A(8,0),0(2,3),

如图，过点C作CDJLQ4于点。，NCMO=2/840,点AT是点M关于点。的对称点,

设点用(〃?,0),

••Z.CMO=ZMC4+/BAO=2/BAO,

ZMCA=ZBAO,

•••CM=AM,

即C"=AM2,

(0-/H)2+(3-0)2=(8-W)2+(0-0)\

17

解得：

4

”点坐标为•.O’

179

乂M'也满足条件，且MD=QM=——2=：,

44

44

即W点的坐标为（-Jo）

综上，M点的坐标为（弓，（））或［-;，。］

（4）由已知，在（3）的条件下，当〃?>0时，M点的坐标为（j,0

如图，连接M/%,过点作M|S_LOA于点S,

由旋转的性质，得：

AM=AM.=—,ZMAM=60°,

14t

A4MAM是等边三角形,

MM=M1A,

二•MS垂直平分M4,

SA=MS=—MA=—,

28

171549

OS=OM+MS=—+—=—,

488

在RlZ\M|SA中，

M'S=JA*SA2=J5〔用=2

M售

...CM=蓝石—3、=沙5_2()>/5=%屈一码=^^一苧.

【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，等边三角形的判定及性质，两点的距离公式，旋转的性

质，勾股定理，掌握待定系数法求一次函数解析式，两直线交点坐标的计算方法，两点的距离公式，等边

三角形的判定及性质是解答本题的关键.

题型5：动点问题

9.如图1,在平面直角坐标系中，直线：y=-x-2与x轴、y地交于A、8两点，与直线，2：y=-2x+b交

于点。（4,〃），直线（与大轴交于点C.

⑴求〃的值及直线的表达式;

（2）在直线4上是否存在点E，使4w：=$△.,？若存在，则求出点E的坐标：若不存在，请说明理由；

⑶如图2,点夕为线段AO上的一个动点，一动点，从C出发，沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P,

再沿线段尸。以每秒加个单位的速度运动到点。后停止，求点，在整个运动过程中所用时间最少时点。的

坐标.

【答案】⑴〃=-6,4的表达式为）=-2X+2

⑵存在E（2,-2）,理由见解析

⑶P（L-3）

【分析】（1）。（4,〃）代入《：），=7：-2得出/2=~6将。（4,-6）代入/2：＞=-2.丫+人得出。=2,进而即可求解;

（2）根据题意可得E到4的距离与0到6的距离相等，则O石〃AB,可得4的表达式为＞=一式，联立

“'=-2'+2,解方程即可求解；

I尸一

（3）过点C作x轴的垂线，交乙于点/＞,过点。作OQ〃x轴，过点〃作于点Q,得出A。。。是等

腰直角三角形，则CP+PO=CP+应尸Q,可得当CRQ三点共线时，，在整个运动过程中所用时间最少进

而得出〃的横坐标为1，即可求解.

【解析】⑴解：将。(4,〃)代入仁)，=-—2

0//=-4-2=-6

皿4,-6),

将D(4,-6)代入心尸与丫+6

(3—6=—2x4+7?

解得：b=2

团《的表达式为y=-2x+2；

(2)解：0S△ABE=S4ABQ

0E到/.的距离与。到/.的距离相等，则OE//AB

如图所示，过点。作，3〃4交4于点E，

M的表达式为尸-X

0£（2,-2）

(3)解：如图所示,

过点。作X轴的垂线，交L于点p,过点。作。。〃工轴，过点尸作PQLOQ于点Q,

(3直线4与X轴交于点C.

0O=-2x+2,解得：x=l

0C(hO)

团直线4：y=-x-2与x轴、y轴交于A、B两点,

团犬=0时，y=-2

当？=0时，4=-2,

0A(-2,O),5(0,-2),

团AO=3O=2,则“130是等腰直角三角形

MZC4B=45°

圆尸C_Lx轴，

QIAACP是等腰直角三角形，

则乙4PC=45。

0ZDP(2=45O

^PQLDQ

(3APDQ是等腰直角三角形，

0PD=41PQ,

^CP+PD=CP+>/2PQ

自当C,P,Q三点共线时，〃在整个运动过程中所用时间最少

回P的横坐标为1

将x=l代入y=-X-2

解得：产-3

国P(l,-3)

【点睛】本题考查了一次函数的综合运用，两直线交点问题，勾股定理，垂线段最短，掌握一次函数的性

质是解题的关键.

10.如图①，直线A8：y=经过点8(0,6),且与直线OC:y=gx交于点C(〃?，2).

图①图②

⑴求直线A6的表达式；

⑵由图象直接写出关于r的不等式OvgxvH+b的解集；

⑶如图②所示，。为x轴上A点右侧任意一点，以利为边作等腰心力尸其中尸8=PM,/B〃M=90。，

直线M4交>轴于点Q.当点P在x轴上运动时，线段OQ的长度是否发生变化？若不变，求出线段Q2的

长度；若变化，求线段。。的取值范围.

【答案】⑴直线的表达式为了=—+6

(2)0<x<4

⑶线段OQ的长度不变，02=6

［分析）（1）将C（m,2）代入。C：），=gx,求出C（4,2）,再用待定系数法可得直线AB的表达式为），=-"+6；

（2）求出gx=-x+6的解x=4,观察图象可得Ovjxv—x+6的解集为0<xv4；

（3）过用作MN_Lx轴于N,求出。4=08=6,证明△BO%^PNM（AAS）,和OB=PN=6,OP=MN,

可得MN=OP=AN,△4MN是等腰直角三角形，即知/MAN=45。=,△AOQ是等腰直角三角形,

从而OQ=QA=6,线段OQ的长度不变.

【解析】（1）解:将点次0,6）代入好辰+"得）=6.

将C（m,2）代入y=得〃2=4.

回C的坐标为（4,2）.

将C（4,2）代入），=履+6,得A=-l.

所以，直线/W的表达式为y=r+6.

（2）解：由Lt=r+6得回\=4,

2

观察图象可得，关于上的不等式0<；x<-x+6的解集为0<x<4：

（3）解：线段OQ的长度不变，OQ=6.

如图，过M作MN_Lx轴，垂足为N.

团/PM=90。，

©NBPO+NMPN=9Q。.

团/3204/尸80=90。，

BNMPN=NPBO.

□BOP=^PNM=90°,PB=PM.

团△B02J>NM（AAS）.

EOP=NM,BO=PN.

由y=,x+6,得A(6,0),即QA=6.

•2

由B(0,6),得08=6.

^O^=OB.

^\OP=OA+AP-OB+AP=PN+AP=AN.

BAN=AN.

0/MAN=45°-44Q.

团3=OA=6.

【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，一元一次不等式与一次函数的关系，等腰直角

三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题.

题型6:定值问题

(1)当。4=08时，求点A坐标及直线/的解析式;

⑵在(1)的条件下，如图2所示，设。为A8延长线上的一点，作直线Q2,过48两点分别作A"_LOQ

于扬，BN工OQ于N,若AM=8,求8V的长.

⑶当，〃取不同值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以O&为边，点8为直角顶点在第一、二象限内

作等腰直角尸和等腰直角连接夕'交)，轴于点P,如图3,问；当点〃在)，轴正半轴上运动时,

试猜想/小的长度是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由.

【答案】⑴4—10,0),直线/的解析式为)，=x+io

(2)6

⑶阳的长度为定值，理由见详解

【分析】(1)y=mx+10mf令y=0,则加r+10、=0,所以x=-10,则A(-10,0),可求得8(0,10),即可求

得直线/的解析式为y=x+10;

(2)由ZAMO=NONB=ZAO/?=90°,得Z4OM=NO8N=90。一NACW,即可证明AAOMWAO8N,由3=10,

AM=8,ZAOB=90。，根据勾股定理求得OM=6,所以OM=/W=6,则8N的长是6；

(3)作CE_Ly轴于点C,可证明得CE=OB=BF,CB=OA=10,再证明APCEw△/汨尸，

得P8=PC=gc8=5,则PB的长度为定值，它的值为5.

【解析】(1)y=mx+10mt当y=0时，则府+10m=0,

解得工=一10,

/.4-10,0),

QQ4=Q8=10,且点A在丁轴正半轴上，

5(0,10),

将8(0,10)代入y=nix+lOm,得10m=10,

解得〃?=1,

二4-10,0),直线/的解析式为y=x+10.

(2)如图2,•••AMJ.OC?于M,BNLOQ于N,

ZWO=NCWB=ZAQB=90°,

ZAOM=ZOBN=90°-4BON,

在Z.AOM和△OHV中，

/AMO=/ONB

•/AOM=ZOBN,

OA=BO

:.&AOM合QBN(AAS),

•.•。4=10,AM=8,

..GM=y/OA2-AM-=y/lO‘-8”=6，

:.0M=BN=6,

二.BN的长是6.

（3）总的长度为定值，

如图3,作CE_Ly轴于点C,

•.•△08尸和△川/把都是等腰直角三角形，且点3为直角顶点,

：.0B=BF,BE=AB,NOBF=ZABE=9^,

Z.PCE=ZPBF=ZAOB=90°,NCBE=NOAB=90。-ZABO,

在ABCE和aAOb中，

NBCE=NAOB

<NCBE=NOAB,

BE=AB

:.^BCE^AOB（AAS）,

:.CE=OB=BF,CB=OA=\0,

在APCE和aPB厂中，

NPCE=/PBF

-NCPE=NBPF,

CE=BF

.^PCE=^PBF（AAS）,

.,m=PC=-CB=-x\0=5,

22

图3

【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数的解析式、等腰直角三角形的性质、

同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题.

12.如图，在平面直角坐标系中，直线/：y=-x+b(b<0)与.r轴交于点C.点。为直线/上第一象限内

一点，过。作。£0)，轴于点E,C43力E于点4.点B在线段D4上，DB=AC.连接CB,尸为线段CB上一

动点，过点P作刊出轴，分别交X轴、CD、DE于点、R、Q、S.

①求直线8C的函数关系式；

②若。为RS中点，求点P坐标.

⑵在点尸运动的过程中，头的值是否变化？若不变，求出该值；若变化，请说明理由.

CA

【答案】(1)①y=今

(2)结论：警；,证明见解析

CR6

【分析】(1)①求出，B,C两点坐标，利用待定系数法解决问题即可；

②设打〃、〃.■!),则RQ几0),Q(ndm-\),S(m,3)f根据QS=QR,构建方程求出〃［即可解决问题；

⑵结论：/如图，过点。作轴于点7\设。(根1+》)，用，〃，b表示出直线8c的解析式

CMO