2024版高中数学尖子生同步讲义（人教A版选择性必修三）第14讲 72 离散型随机变量及其分布列

7.2离散型随机变量及其分布列

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课程标准课标解读

1.通过具体案例，了解离散型随机变量的

概念，理解随机变量的分布列及其性质；通过本节课的学习，要求会求简单应用问题中的离散型

2.通过具体案例，了解两点分布的概念及随机变量的分隹列，能应用分布列的相关性质求问题中

特点.的相关量，会应用两点分布的特点解决与两点分布有关

3.会求离散型随机变量的分布列及两点的问题.

分布列的相关量.

善'高频考点

0二知识梳理

知识点1随机变量的概念、表示及特征

I.概念：一般地，对于随机试验样本空间。中的每个样本点卬都有唯二的实数x(⑼与之对应，我们称x

为随机变量.

2.表示：川大写英文字母表示随机变量,如X,匕Z：用小写英文字母表示随机变量的取值,如x,az.

3.特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：

(I)取值依赖于样本点.

(2)所有可能取值是明碰的.

4.随机变量与函数的关系

共同点：随机变量和函数都是一种映射

区别：随机变量把试验的结果映为实数，函数把实数映为实数

联系：试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当与函数的值域;

注意：所有随机变量的取值范围的集合叫做随机变量的值域.

【即学即练I】将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（）

A.两次掷得的点数

B.两次掷得的点数之和

C.两次掷得的最大点数

D.第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差

【答案】A

【解析】

【分析】根据随机变量为一个变量判断.

【详解】因为随机变量为一个变量，

而A中两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数，

所以不能作为随机变量，故选A.

【即学即练2]10件产品中有3件次品，从中任取2件,可作为随矶变量的是

A.取到产品的件数B.取到正品的概率

C.取到次品的件数D.取到次品的概率

【答案】C

【详解】逐一考查所给的选项：

A中取到产品的件数是一个常量而不是变量，

丛。中的量也是一个定值，

而C中取到次品的件数可能是042是随机变量.

本题选择C选项.

知识点2离散型随机变量

1.概念：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量，通常用大写英文字

母表示随机变量，例如X,Y,Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x,y,z.

2.特征：

(1)可以用数值表示；

⑵试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值；

(3)试验结果能一一列出.

【即学即练3】给出下列各量：

①某机场候机室中一天的游客数量；

②某寻呼台一天内收到的寻呼次数；

③某同学离开自己学校的距离；

④将要举行的绘画比赛中某同学获得的名次；

⑤体积为8m3的正方体的棱长.

其中是离散型随机变量的是()

A.①②④B.①②③C.©©⑤D.®@®

【答案】A

【解析】

【分析】由离散型随机变量的概念逐个判断即可得解.

【详解】由题意，①②④是离散型随机变量，③是连续型随机变量，

⑤中体积为8n?的正方体的棱长是一个常量，不是随机变量.

故选：A.

【即学即练4】已知X,丫均为离散型随机变量，且X=2K若X的所有可能取值为0,24,则丫的所有可能

取值为.

【解析】由题意y=Jx且X£{024},得丫£{0,1,2}.

【即学即练5】在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100分，回答不正确得-100分，

则选手甲回答这三个问题的总得分4的所有可能取值的个数为()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】依题意可得可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，即可得到得分的可能取值；

【详解】可能回答全对.两对一错.两错一对.全错四种结果.相应得分为300分,100分,-100分，-3m

分，因此甲回答这三个问题的总得分。的所有可能取值有4个.

故选：B

知识点3离散型随机变量的分布列及其性质

1.定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为M，X2，X取每一个值&i=l,2,

=1,2........〃表示X的分布列.

2.分布列的性质

(1/=1,2.…，n.

(2)PI+P2+・・,+P“二L

注：分布列的性质及其应用

⑴利用分布列中各概率之和为I可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.

⑵求随机变量在某个范围内的概率时.，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依

据是互斥事件的概率加法公式.

【即学即练6】袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放

回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列.

【解析】X的可能取值为1,2,345,

则第I次取到白球的概率为尸(X=l)=g,

第2次取到白球的概率为P(X=2)=<乂丁=不

4X3X1|

第3次取到白球的概率为P(X=3)=«"ax2=不

4X3X2X1I

第4次取到白球的概率为尸(X=4)=m7TV^=不

4X3X2X1X11

第5次取到白球的概率为P(X=5)=二乂一尸不

所以X的分布列为

X2345

11111

P55555

［即学即练7］设随机变量X的分布列P(X=§=必伏=1,2,345).

⑴求常数。的值；

(2)求依丹

⑶求验<x<70

【解析】由题意，所给分布列为

1234

X55551

Pa2a3a4a5a

⑴由分布列的性质得a+2〃+3a+4a+5a=1,

解得。==.

(2)方法一修展)=总=1)+色却+P(X=1)=得+招+得若.

方法二色苗)=1-由硝=1—£+合=*

17193

.*.X=j,5,亍

工岛64)=/=()+/=|)+4=0==+1+寻方

知识点4两点分布

fl,A发生,

对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，A表示“失败"，定义X=<如果P(A)

0,A发生.

=p,则P(A)=1—p,那么X的分布列如表所示.

X01

Pl—pp

我们称X服从西点分布或0—1分布.

注：随机变量X只取。和1,才是两点分布，否则不是.

【即学即练8】篮球比赛中每次安球命中得I分，不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.85,求他

一次罚球得分的分布列.

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】由两点分布的特征求解.

【详解】由题意，结合两点分布的特征可知，所求分布列为:

X01

P0.150.85

【即学即练9】若随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=0.8,P(X=l)=0.2.令y=3X—2,

则P(Y=~2)=.

【解析】因为Y=3X—2,所以当丫=-2时，X=0,所以尸(y=-2)=P(X=0)=0.8.

P考点精析

考点一离散随机变量的概念辨析

解题方略:

判断离散型随机变量的方法

(I)明确随机试脸的所有可能结果;

⑵将随机试脸的结果数量化;

(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则

不是.

[ffl1-1]指出下列随机变量是不是阳散型随机变量，并说明理由.

⑴从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数;

⑵一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数;

(3)某林场的树木最高达30m,则此林场中树木的高度;

(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差.

【解析】(I)只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的

定义.

(2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球;

3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.

（3）林场树木的高度是一个随机变量，它可以取（0,30］内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量.

（4）实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量.

变式I：判断下列变量是否是随机变量，若是，是否为离散型随机变量.

（1）某市医院明天接到120急救电话的次数4；

（2）公交车司机下周一收取的费用

（3）某单位下个月的用水量0

（4）某家庭上个月的电话费加

【答案】（1）是随机变量，是离散型随机变量；

（2）是随机变量，是离散型随机变量；

（3）是随机变量，不是离散型随机变量；

（4）不是随机变量.

【解析】

【分析】根据离散型随机变量的定义依次判断即可.

【详解】（1）4的取值，随各种原因的变化而变化，可能为0,1,2,…，是随机变量，也是离散型随机变

量；

（2）。的取值随乘客的数量变化而变化，是随机变量，也是离散型随机变量.

（3）。的取值，随各种原因的变化而变化，可能取［0,+8）内某一区间上的所有值，无法-一一列出，是随

机变量，但不是离散型随机变量.

（4）4的取值是一个定值，故不是随机变量.

【例1-2】一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止,

则试验次数X的最大可能取值为（）

A.6B.5C.4D.2

【答案】B

【解析】

【分析】根据逐次试验可得正确的选项.

【详解】由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余的钥匙一定能开锁，

故选:B.

变式1：已知4支钢笔的单价分别为10元、20元、30元、40元.从中任取2支，若以V表示取到的钢笔的

较高单价（单位：元），则y的取直范围为（）

A.{10,20,30,40,50,60,70.80}B.{10,20,30,40,50,60,70}

C.{10,20,30,40}D.{20,30,40}

【答案】D

【解析】

【分析】任取2支钢笔的单价（单位:元）的所有可能情况为（10,20）,（10,30）,（10,40）,（20,30）,（20,40）,

（30,40）,即可得到答案；

【详解】（10,20）表示取出的2支纲笔为10元和20元，余类推，则任取2支钢笔的单价（单位：元）的所

有可能情况为（。20）,（10,30）,（10,40）,（20,30）,（20,40）,（30,40）,故取到的钢笔的较高单价为20

元、30元、40元，即y的取值范围为{20,30.40}.故选：D

【例1-3】某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为。则“。=5”表

示的试验结果是（）

A.第5次击中目标

B.第5次未击中目标

C.前4次均未击中目标

D.第4次击中目标

【解析】4=5表示前4次均未击中目标，故选C.

变式I：一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为123,456,7,8,现从中随机取出3个篮球，以4表示取

出的篮球的最大号码，则4=8表示的试验结果数为（）

A.18B.21C.24D.10

【解析】4=8表示3个篮球中一个编号是8,另外两个从剩余7个号中选2个，有C分中方法，即21种.故

选B

考点二求离散型随机变量的分布列

解题方略：

1、求离散型随机变量的分布列关键有三点

⑴随机变量的取值.

(2)每一个取值所对应的榻率.

(3)用所有概率之和是否为1来检脸.

2、写离散型随机变量的分布列的步骤

(D找：理解并确定X=应的意义，找出随机变量X的所有可能的取值M(，=1,2,3，・〃)

(2)求：借助概率的有关知识求出随机变量X取每一个值的概率尸(X=%)=p,(i=l,2,3〃)注意应用计

数原理、古典概型等知识

(3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质.

注意：写出分布列时要注意将P,化为最简分式形式，但是在利用£P：=1检验分布列是否正确时可利用化

/=1

简前的分式结果.

【例2-1】一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球.

(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率：

⑵用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列.

【解析】一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球，有或=10(种)情况.

(1)没摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A,

G©3

P(A)=~W=y

3

即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为之

(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，X的所有可能取值为0,12

p(x_m-Ci_±pfy_n_CiCl_3

P(A-0)-10-10,P(X-l)-1()-5，

p(x=2)=m=m-

故X的分布列为

X012

133

P

10510

变式1：从含有2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行某项调研活动，记女生入选的人数为包求s

的分布列.

【解析】^的所有可能取值为0,1,2,“4=0”表示入选3人全是男生，则P《=0）=送CR==7,

丁=1”表示入选3人中恰有1名女生，

则%=1）=鲁=春

丁=2”表示入选3人中有2名女生，

则「&=2）=鲁=上

因此。的分布列为

012

771

P15-15

变式2：某校组织冬令营活动，有8名同学参加，其中有3名男同学，5名女同学，为了活动的需要，要从这

8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学.

（1）求X的分布列；

（2）求去执行任务的同学中有男有女的概率.

【脩析】（1）X可取04,2,3

X0123

515151

p

28285656

（2）设“去执行任务的同学中有男有女”为事件A,则P（A）=Pl：X=l）+P（X=2）=普+号=秒.

变式3：某校为了普及环保知识，博强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛，经过初赛、

复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得

3432

。分，假设甲队中每人答对的概率均为：，乙队中3人答对的概率分别为且各人回答正确与否相互

4543

之间没有影响，用J表示乙队的总得分.

（1）求〈的分布列；

（2）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.

432

【解析】(1)由题意知,f的可能取值为例工州由于乙队3人答对的概率分别为丁；二,

5?43

=0)=(1-W).(W，

P(J=1O)=刿13(2331293

X1一—~+x—+X1—x—

43r?404。360~20

43f4、323]22613

P(^=2O)=yX-xl11—x—x—+—x—=——=—

IM5j434)36030

尸(：=30)=j2x]m£,.一的分布列为:

5435

0102030

113

P

60?05

(2)由X表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”,a表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”，可知

互斥，又尸(/)=(2)-工=一匕；尸(B)=C：二广-二=国一，则甲、乙两队总得分之和等于20分

46012S0-44201280

909

且甲队获胜的概率为尸+8)=尸(d)+尸(8)=--=—.

1280128

考点三分布列的性质及应用

解题方略：

分布列的性质及其应用

(I)利用分布列中各概率之和为I可求参数的值，此时要注意检骏，以保证每个概率值均为非负数.

(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依

据是互斥事件的概率加法公式.

【例3-1】【多选】如果X是一个离散型随机变量，那么下列命题中是真命题的为()

A.X取每一个可能值的概率是正数

B.X取所有可能值的概率和为1

C.X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和

D.X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和

【答案】BC

【解析】

【分析】根据离散型随机变量的知识判断出正确选项.

【详解】对于A选项，X取每一人可能值的概率是非负数，故A选项错误.

对于B选项，X取所有可能值的概率和为1,故B选项正确.

对于C选项，X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和，故C选项正确.

对于D选项，X在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，故D选项错误.

故选:BC

【点睛】本小题主要考杳离散型随机变量的有关知识的判断，属于基础题.

【例3-2】设随机变量'的分布列为。（丫=，）=?$123,4）,则夕（

A.-B.；C.—D.1

52510

【答案】c

【详解】由题意：P（X=i）=：（i=l,2,3,4）

1734

所以尸（X=1）+尸（X=2）+P（X=3）+P（X=4）=—+—+二+—=1,彳寻。二10

所以尸［g<X<g）=l—尸（X=4）=l—R=|

故选:C.

变式1：已知随机变量X的概率分布为P（X-〃）-…，10），则实数“=______

【答案"

【分析】根据给定条件利用随机变量分布列的性质列式计算作答.

【解析】依题意，P（X=n）=a（--一二），

n〃+1

10I11111（1

由分布列的性质得Z%x="）=4（1—力+勺一1）++（---）］=-（=1，解得4=共，

〃二］22510111

所以实数。=5.故答案为：K

【例3-3】设离散型随机变量X的分布列如下:

X1234

X\_£

P636P

则p的值为（）

【解析】由分布列的性质可知〃=1一：一；一：=2.故选C

UJUJ

变式1：设离散型随机变量X的分布列为

X01234

P0.20.10.10.3m

若随机变量y=x—2,则p（y=2）等于（）

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7

【解析】由0.2+0.1+0.1+0.3+阳=1,得〃?=0.3.所以P（y=2）=P（X=4）=0.3.故选A

变式2：若离散型随机变量X的分布列为

X01

P9c2-c3-8c

试求出离散型随机变量X的分布列.

【解析】由已知可得9c2—c+3—Bc=l,

i?

2

9c—9c+2=0,J或彳J.

检验：当c=g时，9C2-C=9X（J）2-|=1>0,

Q1

3-8c=3—T=T>0；

J

当c=1时，9c2—c=9X（|）2—1>1,

3—8c=3一与<0（不适合，舍去）.故c=；.

故所求分布列为

XI0II

21

P

33

变式3：离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以X,Mx，y£N）代替，分布列如下:

X123456

P0.200.100,,v50.100.1），0.20

A.0.25B.0.35C.0.45D.0.55

【解析】根据分布列的性质，知随机变量的所有取值的概率之和为1,可解得x=2,），=5,故电<X<9）=

尸（X=2）+P（X=3）=0.35.故选B

变式4：【多选】已知随机变量X的分布列如下表所示，其中〃，儿c成等差数列，则（）

X-101

Pabc

A.a=qB.力=Q

C.D.P([X]=1)=中

【解析】•・力,6c成等差数列，...2b=a+c

由分布列的性质得a+/?+c=3方=1,♦M=；.

・•・P(|X]=1)=P(X=1)+P(X=-1)

=1一P(X=0)=l—/=/故选BD

变式5：若随机变量X的分布列如下表所示:

X0123

1

Pa4b

则/+护的最小值为

【解析】由分布列的性质，知。+〃制，而，户+序》叵/■=/当且仅当。=〃=;时等号成立）.

变式6：若随机变量X的分布列为

X-2-10123

P0.10.20.20.30.10.1

则当P(X<〃)=0.8时，实数〃的取值范围是()

A.(一8,2]B.[1,2]

C.(1,2]D.(1,2)

【答案】C

【解析】

【分析】根据分布列可得P(XV0)=0.3,P(X<1)=0.5,尸(XV2)=0.8,即可确定出的取值范围.

【详解】由随机变量X的分布列知：P(x<-1)=0.1,尸(XV0)=0.3,P(X<1)=0.5,尸(XV2)=0.8,

则当P(XVa)=0.8时，实数〃的取值范围是(1,2].故选：C

【例3-2】已知随机变量4的分布列如下:

其中“从。成等差数列，则函数/(x)=W+2x+J有且只有一个零点的概率为()

A.—B.-C.；D.—

6326

【答案】B

【解析】

根据题意求得方=；，得到函数/l*)=V+2x+夕行且只仃一个零点，结合△=(),求得4=1,即可求解.

【详解】

2b=a+c-1

由题意知。也ce[0,1],且，解得〃=鼠

又由函数/(x)=f+2x+J有且只有一个零点，

即对于方程产+21+4=0只有一个根，可得△=4-4J=0,解答4=1,

所以P(J=l)=g.故选：B

考点四两个相关随机变量的分布列

【例4-1】设随机变量4等可能地取123.4,…,10,又设随机变量〃=2。-1,则尸①<6)=()

A.0.3B,0.5C.0.1D.0.2

【答案】A

【详解】因为随机变量4等可能地取1234...J0,

所以P(4=i)=L(i=l,2,3,・T0),

所以？=211等可能的取1,3,5,7,…,19,则/〃=/)=3=1,3,5,…,19),

所以V6)=P(q=1)+P(1]=3)+P(z;=5)=—.

故选：A.

变式1：若随机变量/的分布列如卜表:

71234

P0.1IH0.20.3

则P(H—3|=1)=()

A.0.4B,0.5C.0.6D.0.7

【答案】D

【解析】

【分析】根据分布列中概率之和为1求出加的值，进而可求得「切-3|=1)的值.

【详解】由题意可得0.1+0.2+0.3+帆=1,解得加=0.4,

因此，2(卜7-3|=1)=〃(〃=2)+2(77=4)=0.4+0.3=0.7.故选：D.

【点睛】本题考查利用随机变量分布列求概率，考查计算能力，属于基础题.

k

变式2：已知离散型随机变量X的分布列P(X=A)=w，左=123,4,5.令丫=2乂—2,则夕(丫>。)=

14

【答案】

1?

【详解】由已知y取值0,2,4,6,8,且p(y=o)=x，p(y=2)=—,

P“=4)=V叩=6)$尸(y=8)q=:，

则p(y>o)=p(y=2)+p(y=4)=p(y=6)=p(y=8)」.

15

故答案为：已14

1j

变式3：设离散型随机变量X的分布列为

X01234

P().20.10.10.3tn

求：(1)2X+1的分布列；

(2)求尸(1<XK4)的值.

【答案】(1)见解析；(2)0.7

【解析】

【分析】

根据概率和为1列方程，求得利的值.

(1)根据分布列的知识，求得2X+1对应的分布列.

(2)利用?(1<乂44)=2(*=2)+?(。=3)+?(*=4)求得尸(1〈乂44)的值.

【详解】由分布列的性质知:0.2+0.1+0.1+0.3+，〃=1,解得〃?=0.3

(1)由题意可知

P(2X+1=1)=P(X=0)=0.2,P(2X+l=3)=P(X=l)=0.1,P(2X+1=5)=P(X=2)=0.1

F(2X+1=7)=F(X=3)=0.3,P[2X+1=9)=P(X=4)=0.3

所以2X+1的分布列为：

2X+1\3579

P0.20.10.10.30.3

(2)P(1vX44)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0.1+03+0.3=0.7

【点睛】本小题主要考查分布列的计算，属于基础题.

考点五两点分布

【例5-1］下列选项中的随机变量不服从两点分布的是()

A.抛掷一枚骰子，所得点数X

B.某射击手射击一次，击中目标的次数X

1,取出白球

C.从装有除颜色外其余均相同的5个红球，3个门球的袋中任取I个球，设X=(

0,取出红球

D.某医生做一次手术，手术成立的次数X

【答案】A

【解析】

【分析】

根据两点分布的概念结合题意即可求解.

【详解】

对于选项A,抛掷一枚骰子，所得点数X的取值范围为{1,2,3,4,5,6},所以A中的随机变量不服从

两点分布；

对于选项B,射击手射击一次，有击中或者不击中目标两种可能的结果，B中的随机变量服从两点分布；

对于选项C,袋中只有红球和白球，取出1个球，可能取到红球或者白球，C中的随机变量服从两点分布;

对于选项D,医生做一次手术，手术可能成功，也可能失败，D中的随机变量服从两点分布.

故选A.

【例5-2】设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量。描述一次试验的成功次数，则P4=0)等于()

A.0B.；C.yD.?

JJJ

21

【解析】设P(j=l)=p,则P(4=0)=1—依题意知，p=2(l—p),解得.故〃(4=0)=l—p=y.故选B

变式h小明通过某次考试的概率是未通过的5倍，令随机变量*玉器黑过，则P—0)=<)

【答案】C

【解析】

【分析】根据通过某次考试的概率是未通过的5倍，由1-P(X=O)=5P(X=O)求解.

【详解】因为通过某次考试的概率是未通过的5倍，所以1-P(X=O)=5P(X=O),

解得P(X=O)=:.故选：C

【点睛】本题主要考查离散型随机变量的概率，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

变式2：设随机变量X服从两点分布，若P(X=1)—尸(X=0)=0.4,则P(X=1)=.

7

【答案】0.7##历

【详解】由于随机变量X服从两点分布，故P(X=l)+P(X=0)=l①，乂由于尸(X=l)—P(X=0)=0.4②,

则①+②得2尸(X=1)=1.4=尸(X=1)=0.7.

故答案为：0.7.

【例5-3】某运动员命中10环的概率为0.9,求一次射击中命中10环的次数的分布列.

【答案】答案见解析.

【解析】

【分析】

由题意可知射击一次命中10环的次数X可能取。或1,然后由题意求出对应的概率，从而可列出其分布列

【详解】

解：设射击一次命中10环的次数为X,则P(X=1)=O.9,P(X=0)=l-0.9=0.1,

故其分布列为

变式1：已知X服从参数为0.3的两点分布.

⑴求P(x=o)；

(2)若y=2x+i,写出丫的分布列.

【答案】(1)0.7

(2)答案见解析.

(1)

尸(X=0)=1-0.3=0.7.

⑵

x=o时，y=i,x=i时，r=3,

所以y的分布列为：

Y13

P0.70.3

分层提分

题组A基础过关练

1、【多选】下面是离散型随机变量的是()

A.某机场候机室中一天的游客数量X

B.某外卖员一天内收到的点餐次数X

C.某水文站观察到•天中长江的最高水位X

D.某立交桥一天经过的车辆数X

【解析】ABD中随机变量X所有可能取的值我们都可以按一定次序一一列出，因此它们都是离散型随机变

量，C中X可以取某一区间内的一切值，无法一一列出，故不是离散型随机变量.故选ABD

2、若随机变量4只能取两个值0,1,又知4取0的概率是取1的概率的3倍，写出4的分布列.

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】根据概率之和为I可求出.

【详解】

由题意及分布列满足的条件知Pg=0)+Pe=1)=3Pe=1)+尸©=1)=1,

所以p(4=l)=;,故P(4=I)=I

所以。的分布列为

3、某一随机变量J的概率分布如下表，且m+2〃=1.2,则〃?的值为（）

0123

P0.1mn0.1

A.-0.2B.0.2C.0.1D.-0.1

【答案】B

【解析】

【分析】根据离散型随机变量分布列的性质和已知条件得出关于〃?、〃的方程组，解出这两个未知数的值,

由此可求得〃的值.

【详解】山离散型随机变量分布列的性质以及已知条件得｛「I、，解得〃?=屋=0.4,

m+2n=1.2

因此，，〃-t=0.2.故选：B.

4、袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球，5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到

取到红球为止.若抽取的次数为X,则表示“放回4个球”的事件为（）

A.X=4B.X=5C.X=6D.X<4

【解析】根据题意可知，若取到黑球，则将黑球放【可，然后继续抽取，若取到红球，则停止拙取，所以“放

【可4个球”即前4次都是取到黑球，第5次取到了红球，故X=5.

故选:B.

5、一个袋中有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分,

从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是（）

A13n14c1822

A.—B.—C.—D.

35353535

【解析】记得分为X,则X的可能取值为5,6,7,8,

因为P(x=7)=罟嗡inP(X=8)=罟嗑I

12I13

所以P(X>6)=P(X=7)+P(X=3)=^+k=k.

故选：A.

6、已知随机变量X的分布列如下:

X12345678910

22222222

Pm

3芋印

则P(X=10)等于()

2口2Jc_L

AB.^TOC予D.2To

29

【解析】P(X=10)=l—§--------孕=要.故选c

题组B能力提升练

7、一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为二

⑴列表说明可能出现的结果与对应的^的值；

(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分.求最终

得分〃的可能取值，并判定"的随机变量类型.

【解析】⑴

q0123

取得1个白取得2个白

结果取得3个黑球取得3个白球

球，2个黑球球，1个黑球

(2)由题意可得〃=54+6,

而S可能的取值为0,12,3,

所以//对应的各值是

5X0|-6,5X14-6,5X2+6,5X3+6.

故)7的可能取值为6,11,16,21,显然,7为离散型随机变量.

8、已知抛物线N=，+〃x+c、(aHO)的对称轴在y轴的左侧，其中a,b,cG{-3,-2,-1,0,1,2,3),在这些抛物

线中，记随机变量机=|。-耳,则P(忸一1|=1)=()

5-3一2I

A.-B.-C.-D.-

9553

【详解】由于抛物线y=渥+•+。(。+0)的对称轴在y轴左侧，

所以—(<0,即a，。同号且均不为零，。可取{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的任意值，

所以共有3x3x7x2=126种不同的情况.

因为1=卜一.，

所以力勺取值范围是{0/，2},

其中4=0的可能情况为〃=。且“此{—3,ce{-3,-2—1,0,123},所以2值=0)=骁=?,

1263

4=1的可能情况为(4/)7(—3,-2),(—2,—3),(—2,—1),(—1,-2),(30,(2,3),(2#,(1,2)}且

ce{-3-2,-l,0,l,2,3},所以尸(彳=1)=鲁='

4=2的可能情况为.力)£{(一3,-1),(-1,-3),(3,1),(1,3)}且。£{-3,-2,-1,0,123},所以。便=2)=鲁卷

所以p(忸一ii=i)WW.

故选：A.

9、某商店试销某种商品20天，获得如卜.数据:

日销售量(件)0I23

频数1595

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检

查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.

(1)求当天商店不进货的概率；

(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.

3

【答案】⑴(2)答案见解析.

【解析】

【分析】

(1)由古典概型概率公式与互斥事件的概率公式求解即可；

(2)求出X的可能取值，再用古典概型概率公式与互斥事件的概率公式求出概率，即可求解

【详解】

(1)记“当天商品销售量为。件”为事件人,“当天商品销售量为1件''为事件从“当天商店不进货'为事件C,

153

则产(C)=P(4)+P(8)=疝+元=历；

(2)由题意知，X的可能取值为2,3.

P(X=2)=P(当天商品销售量为1件