等差数列的前n项和公式课件（等差数列前n项和公式的性质）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.2等差数列的

前n项和公式(2)复习回顾等差数列{an}的前n项和公式等差数列{an}的通项公式基本量法(转化与化归)知三求二(方程思想)倒序求和复习回顾在前面我们学过了等差数列{an}的哪些性质？3.

若{an}公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公差为md的

等差数列．2.(下标和)：若m＋n＝p＋q(m,n,p,q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.4.数列{an},{bn}都是等差数列,公差分别为d1，

d2，则数列{pan+qbn}(p,q为常数)是公差为pd1+qd2的等差数列.

1.等差数列通项是特殊的一次函数：an=kn+b，其中k=d思考：将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？新知探究则

Sn=An2+Bn令新知获得1°当A≠0（即d≠0）时，Sn是关于n的二次函数且常数项为0，即

Sn=An2+Bn，它的图像是抛物线y=Ax2+Bx上一群孤立的点.2°当A=0（即d=0）时，Sn=na1，Sn是关于n的一次函数.A＞0(d＞0)时，图像开口朝上，A<0(d<0)时，图像开口朝下.1.性质1：等差数列前n项和公式的函数特征：

Sn=An2+Bn等差数列前n项和的性质：易错辨析

判断：等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()❌️当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数4a1+6d=68a1+28d=203.在等差数列{an}中，已知S4=6，S8=20，求S16.解法一：根据公式

，得解方程组得所以书P22练习3.在等差数列{an}中，已知S4=6，S8=20，求S16.解法二：书P22练习设

，得解方程组得所以S10=100A+10B=310S20=400A+20B=1220可以利用性质1求解吗？新知探究探究

已知数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r，其中p,q,r为常数，且p≠0.任取若干组p,q,r,计算a1,a2,a3,a4,a5的值(图已给出p=1,q=2,r=0的情况)，观察数列{an}的特点，研究它是一个怎样的数列，并证明你的结论.多给p,q,r取几组值，看看有什么规律？新知探究结论：

新知探究证明：

2.解：书P24练习

新知获得1.性质1：

数列{an}是等差数列(A、B为常数,).2.性质2：

数列

是等差数列.(公差为)

等差数列{an}，其前n项的和为Sn，则有等差数列前n项和的性质：

7.书P25习题4.2

7.书P25习题4.2

(2)3.在等差数列{an}中，已知S4=6，S8=20，求S16.解法三：书P22练习可以利用性质2求解吗？新知获得3.性质3：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也是等差数列，公差为n2d.等差数列{an}中，a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…也成等差数列，a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5，…也成等差数列．

等差数列{an}，其前n项的和为Sn，则有等差数列前n项和的性质：3.在等差数列{an}中，已知S4=6，S8=20，求S16.解法四：书P22练习可以利用性质3求解吗？应用举例

【解析】

练P23应用举例变式：

已知等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，

求它的前3m项和.解：210新知获得

等差数列{an}，其前n项的和为Sn，则有等差数列前n项和的性质：4.性质4：若项数为奇数2n+1项，

；

最中间一项

证明：奇项个数÷偶项个数新知获得

等差数列{an}，其前n项的和为Sn，则有等差数列前n项和的性质：4.性质4：若项数为偶数2n项，

；

证明：奇项中间项÷偶项中间项新知获得5.性质5：

等差数列{an}，其前n项的和为Sn，则有等差数列前n项和的性质：证明：应用举例5.已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，求此数列的项数以及中间一项的值.书P22应用举例解：

.变式

设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，

若，求的值.

课堂小结设等差数列{an}的前n项和为Sn，那么

是等差数列.性质3：在等差数列{an}中连续的n项和构成的数列Sn，

S2n－Sn,S3n－