等差数列的前n项和公式课件2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.1等差数列的

前n项和公式(1)复习回顾设{an}是公差为d的等差数列，那么性质1an

=a1+(n-1)d,an

=am+(n-m)d,性质2

m,n,p,q∈N*，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aqm,n,k∈N*，若m＋n＝2k，则am＋an＝2ak情景导入1+2+3+···+100=?高斯，(1777—1855）德国数学家，近代数学的奠基者之一.他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都作出了杰出贡献.200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1＋2＋3＋‧‧‧＋100=？当其他同学忙于把100个数逐项相加时，高斯10岁的时候很快就解决了这个问题，你知道高斯是怎样算出来的吗？情景导入不同数的求和相同数的求和转化下面再来看高斯的算法.这里用到了数列的性质：若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.新知探究思考1

你能用高斯的方法求1+2+…+100+101吗？方式1（拿出末项，再首尾配对）

原式=(1+2+3+…+100)+101=5151方式2（先凑成偶数项，再配对）

原式=(1+2+3+…+101+102)-102

原式=0+1+2+3+…+100+101结论：当项数为奇数时，“首尾配对”不太方便.新知探究思考2

你能用高斯的方法求1+2+3+…+n吗？

当n是偶数时，有于是有

当n是奇数时，有

∴对任意正整数n，都有

在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦.能否设法避免分类讨论?①②新知探究

在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦.能否设法避免分类讨论?设

S100=1+2+3+…+98+99+100反序

S100=100+99+98+…+3+2+1+

++++++多少个101?100个1012S100=101+101+101+…+101+101+101//

////\\

\\

\\\\作加法

S100=(101×100)÷2=5050新知探究

在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦.能否设法避免分类讨论?设

S101=1+2+3+…+99+100+101反序

S101=101+100+99+…+3+2+1+

++++++多少个102?101个1022S101=102+102+102+…+102+102+102//

////\\

\\

\\\\作加法

S101=(101×102)÷2=5151新知探究因为数列{an}是等差数列，所以a1+

an=

a2+

an-1=

a3+

an-3=···，倒序相加法

如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写的两个和式相加，就得到这个数列的和，这一求和方法称为倒序相加法.已知等差数列{an}的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn.①②即新知探究新知获得

等差数列{an}的前n项和的公式：(1)(首相＋末项)×项数÷2将

an=a1+(n-1)d代入公式(1)，可得(2)新知获得

公式记忆：结合梯形的面积公式来记等差数列前n项和公式.na1ana1(n-1)dna1an新知获得公式功能：(1)功能：已知Sn，n，a1

和an中任意3个，求第4个.（知三求一）

例6：在等差数列{an}中，a1＝7，a50＝101，求S50.解：新知获得公式功能：功能：已知Sn，n，a1

和d中任意3个，求第4个.（知三求一）

例6：在等差数列{an}中，a1＝

，d＝

，Sn＝－5，求n.解：将a1＝

，d＝

，Sn＝－5代入公式(2)得整理，得

，解得n＝12或n＝−5.因为，所以n＝12.(2)新知获得公式功能：功能：已知Sn，n，a1

和d中任意3个，求第4个.（知三求一）

解：例6：在等差数列{an}中，a1＝2，a2＝

，求S10.(2)新知获得等差数列{an}的前n项和公式(1)(2)等差数列{an}的通项公式在等差数列{an}中，已知五个元素a1,an,n,d,Sn

中的任意三个,求出其余两个.（知三求二）

练习1.根据下列条件，求等差数列{an}的前n项和Sn.(1)

a1＝5,an＝95,n＝10；(2)

a1＝100,d＝－2,n＝50；(3)

a1＝－4,a8＝－18,n＝10;(4)

a1＝14.5,d＝0.7,an＝32.书P22练习1.根据下列条件，求等差数列{an}的前n项和Sn.(3)

a1＝－4,a8＝－18,n＝10;(4)

a1＝14.5,d＝0.7,an＝32.书P22例题分析例7已知数列{an}是等差数列，若S10＝310，S20＝1220，求Sn.分析：S10S20Sna1，a10a1，a20a1，da1，da1，ana1，d书P21例题分析例7已知数列{an}是等差数列，若S10＝310，S20＝1220，求Sn.书P21解：根据公式

，得解方程组得所以方法总结2个相互独立的方程等差数列任意问题a1，d等差数列任意2个相互独立的条件基本量法4a1+6d=68a1+28d=203.在等差数列{an}中，已知S4=6，S8=20，求S16.解：根据公式

，得解方程组得所以书P22练习2.等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？解：由已知可得：a1=-10，d=4所以数列前9项的和是54.书P22练习4.在等差数列{an}中，若S15＝5(a2+a6+ak)，求k.书P22练习补充练1.在等差数列{an}中，已知a3+a5=40，求S7.解：2.已知一个共有n项的等差数列前4项之和为26，末四项之和为110，且所