2024年高考数学分类汇编(高考真题+模拟新题)立体几何 理

G单元立体几何

G1空间几何体的结构

20.、、［2024•安徽卷］如图1-5,四棱柱力成刀-4/G〃中，44，底面力仅力，四边形/伙力为梯形,

AD//BC,且力。=2%过4,C,。三点的平面记为。，能与。的交点为。

图1-5

(1)证明：0为微的中点；

(2)求此四棱柱被平面。所分成上下两部分的体积之比；

(3)若月4=4,CD=2,梯形力仇力的面积为6,求平面。与底面/技力所成二面角的大小.

20.解：(1)证明：因为幽〃力4,BC//AD,

BCCBQ=口,ADC\AA=A,

所以平面必。〃平面MD,

从而平面4曲与这两个平面的交线相互平行，

即QC//AxD.

故△Q%与△4/!〃的对应边相互平行，

于是丛QBCs丛AMD,

所以俳=华=备;，即0为期的中点•

BB\AA}AD2

(2)如图1所示，连接QA,QD.设月4=方，梯形ABCI)的高为d,四棱柱被平面a所分成上下两部分的

体枳分别为「上和八-，BC=a,则力〃=2a

A

1f-__________.A

1.

/%

图1

P三棱锥Q-zli/lZ>=|x1-2a*/?•d=\a

hd,

JZJ

1a+2af(\\1,

I，四核检0-种。—3・2・d・力J—qa力"

7

所以『下=『三棱锥Q-AM+P网校价。被aRd.

3

又P四棱柱-ABCD=~ahci,

n7।ir/11

所以Pt=V四棱柱小丛C\D\-ABCD—P下=~ahd——ahd=—ahd,故

Z1Z1Z八/

(3)方法一：如图1所示，在△力比中,作力反La7,垂足为£连接4£

又加江力4,且1404夕=儿

所以版1平面力所以〃E_L4西

所以/月均1为平面。与底面力比刀所成二面角的平面角.

因为BC〃AD,AD=2BG所以生燧=2石姆.

又因为梯形1腼的面积为6,DC=2,

所以SMAC=4,AE=4.

AAr

于是tanN力Eli=/彻尸宁.

7E

故平面a与底面力版所成二面角的大小为

方法二：如图2所示，以〃为原点，DA,而分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系.

设/物=〃，BC=a,则4，=2a

a+2a

因为S四边形.s=•2sin0=6,

2

2

所以片ET不

从而可得f(2cos6,2sin

所以DC=(2cos〃，2sin

设平面42T的法向量n=

一4

DA\"n——---Tx+4-0,

sm〃

由

DC*〃=2xcos0+2ysin0=Q,

x=­sin〃，

得「

尸cos0,

所以〃=(—sin0,cos8，1).

又因为平面川完9的法向量0=(0,0,1),

「「ri/、__也

所以8s(〃，"=7^7=2'

故平面a与底面4完〃所成二面角的大小为了.

8.［2024•湖北卷］《算数书》竹简于上世纪八十年头在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最

早的有系统的数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：“置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.”

该术相当于给出了由圆锥的底面周长£与高力，计算其体积，的近似公式火《万力.它事实上是将圆锥体积

3b

2

公式中的圆周率n近似取为3.那么，近似公式修力相当于将圆锥体积公式中的兀近似取为（）

■22n25c157n355

A—R—Q---f）---

7850113

8.B［解析］设圆锥的底面圆半径为底面积为S,则£=2冗r，由题意得白£%£防代入S=n

99R

产化简得n弋3；类比推理，若仁口九则冗七年.故选B.

7.、［2024•辽宁卷］某几何体三视图如图1-1所示，则该几何体的体积为（）

nJI

A.8-2JiB.8-nC.8~—I）.8一--

乙T

左*2视

«—图

2

俯视图

图1-1

7.B［解析］依据三视图可知，该儿何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分（占圆柱的勺后

余下的部分，故该几何体体积为2X2X2—2X；XX2=8—n.

G2空间几何体的三视图和直观图

7.［2024•安徽卷］一个多面体的三视图如图1-2所示，则该多面体的表面积为（）

A.21+馅B.8+/

C.21D.18

为三棱柱的内切球.山题意可知正视图三角形的内切圆的半径即为球的半径，可得度=6+^T°=2.

5.［2024•江西卷］一儿何体的直观图如图1-1所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）

图1-2

5.B［解析］易知该几何体的俯视图为选项B中的图形.

7.、［2024•辽宁卷］某几何体三视图如图1・1所示，则该几何体的体积为（）

A.8—2nB.8—nC.8—D.8—：

俯视图

图1-1

7.B［解析］依据三视图可知，该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分（占圆柱的，后

余下的部分，故该几何体体积为2X2X2—2X；XnX2=8—Ji.

3.［2024•浙江卷］几何体的三视图（单位：cm）如图1-1所示，则此几何体的表面积是（）

NUEDZ

侧视图

A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm2

3.I）［解析］此几何体是由长方体与三棱柱组合而成的，其直观图如图,

所以该几何体的表面积为214X3十6X3十6X4)十2X)X3X4十4X3十3X5—3X3=138(cnf),故选

I).

12.［2024•新课标全国卷I］如图1-3,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的

三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()

A.6^2B.6C.472D.4

12.B［解析］该几何体是如图所示的棱长为4的正方体内的三棱锥&S〃(其中£为期的中点),

其中最长的棱为叱3(4而斗22=6.

6.［2024•新课标全国卷II］如图1-1,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出

的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分

的体枳与原来毛坯体枳的比值为f)

175101

A，27B，9C，27D，3

6.CL解析」该零件是一个由两个圆柱组成的组合体，具体积为JiX3/X2+兀X22X4=34兀(c/),

原毛坯的体积为nX32X6=54JT(cm3),切削掉部分的体积为54n-34n=20n(cm3),故所求的比值为

20n_1Q

布T=药

17.［2024•陕西卷］四面体力比〃及其三视图如图1-4所示，过棱力〃的中点作平行于4〃，比'的平

面分别交四面体的棱协，DC,。于点EG,H.

(1)证明：四边形%'0/是矩形；

(2)求直线/仍与平面厮67/夹角。的正弦值.

17.解：（1）证明：由该四面体的三视图可知,

BDLDC,BDLAD,ADVDC,

BD=DC=2,AD=\.

由题设，BC〃平面/承（谓,

平面£FGHC平面BDC=FG,

平面EFGHC平面ABC=EH,

：.BC//FG,BC〃EH,：,FG//EH.

同理）〃49,I1G//AD,：.EF//iiG.

・•・四边形分谢是平行四边形.

又YADLDC,ADLBD,二月平面8〃。，

：.ADLHa:,EF1FG,

・••四边形"'6〃是矩形.

(2)方法一：如图，以〃为坐标原点建立空间直角坐标系，则〃(0,0,0),。(0,0,1),6(2,0,0),

。(0,2,0),

04=(0,0,1),BC=(-2,2,0),

%=(-2,0,1).

设平面目必的法向量〃=(%y,z),

,：EF//AD,FG//BC,

.\n•ZZ4=0,n•BC=0,

z=0,

得1取〃=(1,1,0),

—2x+2y=0,

L、BA・n2J10

'sin8=|cos(劭，"|="|^-|7T=5"

方法二：如图，以〃为坐标原点建立空间宜角坐标系，

则〃(0,0,0),4(0,0,1),8(2,0,0),61(0,2,0),

•・•£是48的中点，，凡61分别为协，%的中点，得《1,0,，，F30,0),G(0,1,0).

,••诙=(0，0,习,FG=(-1,1,0),

劭=(-2,0,1).

设平面分ZW的法向量〃=(必y,z),

则〃•巫'=0,n・FG=0,

1

于=0,

得取力=(1,1,0),

x+y=0,

—BA•n9AHo

sin0=|cos（BA,ri）\=一=­f=---尸=七一.

\BA\\n\小X寸25

10.［2024•天津卷］一个儿何体的三视图如图1-3所示（单位：m）,则该几何体的体积为________m3.

10.华［解析］由三视图可得，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积K=nXl2X4+|nX22

OO

20Ji

X2=

7.［2024•重庆卷］某几何体的三视图如图1-2所示，则该几何体的表面积为（）

俯视图

图1-2

A.54B.60C.66D.72

7.B［解析］由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥所得，三棱柱的底面是一个

两直角边长分别为3和4的直角三角形，高为5,截去的锥体的底面是两直角边的边长分别为3和4的直

I3X52159I5

角三角形，高为3,所以表面积为5=5乂3义4+七一+二5—乂4+—5—乂5+3乂5=60.

G3平面的基本性质、空间两条直线

4.［2024•辽宁卷］已知制〃表示两条不同直线，。表示平面.下列说法正确的是（）

若mHa,n//a,则m//n

A.若

B.Cml.a,n（za,则叫_Ln

若加_La,ml.〃，则n//a

D.若m//a,mL〃，则〃_La

B

4.［解析］B［解析］由题可知，若〃/〃。，〃〃明则/〃与〃平行、相交或异面，所以A错误；

若勿。，〃ua,则勿_］_〃，故IS正确；若m_La,ml.n,则n/i。或水za,故C错误.若m//a,/n±n,

则〃〃。或。或〃与a相交，故I)错误.

17.、、[2024•福建卷]在平面四边形/吃力中，AB=BD=CD=[,ABYBD,々LL做将△力助沿勿折起,

使得平面力8〃_L平面BCD,如图1・5所示.

(1)求证：ABVCD,

(2)若"为月〃中点，求直线初与平面加笫所成角的正弦值.

图1-5

17.解：⑴证明：•・•平面四〃JL平面8微平面平面8。9=初，力/七平面力做ASVBD,:"B

_1_平面BCD.

又C1E平面BCD,；,皿CD.

(2)过点8在平面及⑦内作BE1BD.

由（1）知月5_1_平面BCD,BEu平面BCD,应t平面BCD,C.ABLBE,ABLBD.

以〃为坐标原点，分别以砺，面,质的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所

示).

依题意，得8(0,0,0),Hl,1,0),〃(0,1,0),[(0,0,1),«0,习.

则双(1,1,o),诙=(o,9，旌(0,1,-1).

设平面劭%的法向量〃=(照，加Zb),

•诙=0,心。”

则《即41J八

〔〃・诙=0,向+乎=0，

取说=1,得平面J他的一个法向量〃=(1,-1,1).

设直线力〃与平面物C所成隹为8,

fflli.n-।।〃•花।m

则sin0=cos〈〃，M|=......-=^T-

|n|•\AD\6

即直线/切与平面物1所成角的正弦值为算.

11.[2024•新课标全国卷11]直三棱柱力跖//G中，/8。=90°,MN分别是力出，4G的中点，

BC=CA=CG,则BM与朋,所成角的余弦值为()

11.C［解析］如图，£为利的中点.由于M汗分别是45,4G的中点，故楸〃6G且J介=；5G,

乙

故拗锹阳所以四边形明，旗为平行四边形，所以以锹如，所以直线儿V,跖所成的角即为直线即AN

所成的角.设BC=1,则仇心暴4=斗，所以MB=、11+：=雪=NE,AN=力£=乎，

乙乙\1乙乙乙

6.55

在△儿道中，依据余弦定理得cosZANE=

18.,,,［2024•四川卷］三棱锥/I-切9及其侧视图、俯视图如图1-4所示.设MN分别为线段力〃,

力6的中点，尸为线段8。上的点，且就忙LA灯

(1)证明：尸是线段回的中点；

(2)求二面角力-AP・J/的余弦值.

侧视图

图1-4

18.解：(1)如图所示，取初的中点。，连接40,CO.

由侧视图及俯视图知，AABD,△加9为正三角形，

所以A01BD,0C工BD.

因为47,1%匕平面4%；且仞

所以做L平面A0C.

又因为ACa平面A0C,所以BDVAC.

取6。的中点〃，连接A〃，PH.

又机N,〃分别为线段力〃，AB,8。的中点，所以NH//A0,

因为力0_1_8〃，所以NHLBD.

因为册V'J_A『所以NP1BD.

因为阳，八7t平面ML且AHGMHV；所以劭，平面.明^

又因为从七平面也巴所以初_!_/见

又OCLBD,Mt平面以力，次七平面8Q,所以HP〃0C.

因为〃为阳的中点，所以「为旗的中点.

（2）方法一：如图所示，作AKC于0,连接他Z

由⑴知，.必〃月。，所以阳LW

因为册所以乙附小为二面角力-力尸-〃的一个平面角.

由（1）知，△/勿，成为边长为2的正三角形，所以力吐妙一镉.

由俯视图可知，“LL平面仅7Z

因为a―平面70,所以他L6T,因此在等腰直角△/!%中，心乖.

作窗L/C于R

因为在△/应。中，AB=BC,所以斤为/I。的中点，

所以函一（打=警.

因为在3F面力夕。内，NQIAC,URLAC,

所以NQ//DR.

乂因为A为四的中点，所以。为/例的中点，

-BRJ10

所以NQ—=4,

同理，可得，图=乎.

故为等腰三角形，

所以在等腰△腰©中,

.MNBD

24J10

cosZJ/V（?=—=—=5.

故二面角A-NP-汹的余弦值是理.

方法二：由俯视图及（1）可知，A0L平面BCD.

因为”,而u平面仇7?,所以力建弦A0A.0B.

又0C10B,所以直线。1,0B,3两两垂直.

如图所示，以0为坐标原点，以防，0C,0的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标

系0-xyz.

则4（0,0,小）,8（1,0,0）,67（0,小，0）,2）（-1,0,0）.

因为MN分别为线段力。，,姐的中点，

又由（1）知，尸为线段比的中点，

cy

P

B

所以七,o,鸣八&0,明'年,坐0上是力8=（1,0,~y/3）BC=L3事,0）,

>=（1,0,0）—0,

设平面力的■个法向量〃尸（击,M，Z1）,

n.LAB,z?i,AB=0,

由,得即

n-LBQn\,BC=G,

（刘，M，Zi）,（1,0,一小）=0,

（汨，y,%）•（—1,0）=0,

汨一，5©=0,

从而，

Xi+，5%=0.

取Zi=l,则汨=，5,yi=1!所以1,1）.

设平面秘尸的一个法向量（X2,%Z2）,由，

几•.MV=0,

得

mlNP,ih•NP=3

（*2，/2，Z2）*（1»0,0）=0,

（加，现，Z2）・（o,坐--^=0,

照=0,

从而，<=o.

2%一乙

取Z2=l,则角=1,X2=0,所以几=（0,1,1）.

（小,1,1）・（0,1,1）_Vio

设二面角力-J/的大小为。，则cos

—5,

故二面角的余弦值是变.

G4空间中的平行关系

20.、、［2024•安徽卷］如图1-5,四棱柱力比力-4AG4中，/MJL底面力以刀，四边形439为梯形,

AD//BC,且4?=2融过4,C,〃三点的平面记为。，如与。的交点为。

图1-5

(1)证明：0为防的中点：

(2)求此四棱柱被平面。所分成上下两部分的体积之比；

(3)若月4=4,CD=2,梯形如⑦的面积为6,求平面。与底面力9所成二面角的大小.

20.解：(D证明：因为幽〃14,BC//AD,

BCCBQ=B,ADryAA=A,

所以平面。a'〃平面A*。,

从而平面4⑦与这两个平面的交线相互平行，

即QC//AyD.

故△Q%与△4//〃的对应边相互平行，

于是△飒'S/UMO,

所以GH'="7T="i7j=5，即。为的中点.

BB\AA\AD2

⑵如图1所示，连接QI,3.设力4=力，梯形力应刀的高为d,四棱柱被平面。所分成上下两部分的

体积分别为夕上和八-，BC=a,则力9=2a.

图1

P三棱锥Q•2a•力・d=gahd,

J乙J

1a+2a=\ahd,

v网嫡"丽=g,-7)一,d4

所以，下=/三棱锥QVg校检。.做3=^ahd.

1乙

又P四棱柱-ABCD^ahd,

乙

所以匕上=/四棱柱484〃-ABCD-V下=33ahd—7~^ahd=]~]^ahd,故》V=亍I

乙izizy下/

(3)方法一：如图I所示，在△/1说中，作A氏L/尤；垂足为反连接

又DELAA,且力404£=力，

所以加人平面力刈I,所以应1

所以乙4切।为平面a与底面/伊⑦所成二面角的平面角.

因为BC//AD-,AD=2BC,所以8必=2Sx比

又因为梯形/出切的面积为6,DC=2,

所以以收=4,AE=4.

・r力431

于是lan/力科=方=1,Z.AEA\=—.

iiCf

故平面a与底面力比〃所成二面角的大小为亍.

方法一：如图2所示，以〃为原点，DA,诙分别为x轴和z轴正力向建立空间直角坐标系.

设/如=〃，BC=a,则45=2a

a+2a

因为SWihKW/>—,2sin°=6,

2

2

所以"二短。

从而可得C'(2cos8,2sin0,

0,0),血=(丁O'0,4)

所以DC=(2cos0,2sin

设平面41加的法向量〃=(x,y,1),

DA{<n=~:7"x+4=0,

sm8

由

DC・z?=2xcos〃+2ysin〃=0,

x=­sin0,

得°

y=cos0,

所以〃=(—sin",cosG，1).

又因为平面力以力的法向量2D=(0，0,1),

所以cos",加=石右二乎'

故平面a与底面力腼所成二面角的大小为十.

17.、［2024•北京卷］如图1-3,正方形4也心,的边长为2,〃，。分别为4帆加9的中点.在五棱锥P-

ABCDE中,尸为棱比的中点，平面力即与棱加，A7分别交于点G,H.

(1)求证：ABZ/FGx

(2)若ALL底面/加用且用=力£求直线砥与平面力断所成角的大小，并求线段ZW的长.

17.解：⑴证明：在正方形凰侬中，因为4是/IV的中点，所以小〃施

又因为平面PDE,

所以俯〃平面PDE.

因为力比平面ABF,且平面ABFC\平面PDE=FG,

所以AH//FG.

⑵因为阴，底面/切。如

所以以1!?!«,PA1.AE.

建立空间直角坐标系力孙z,如图所示，则4(0,0,0),B30,0),以2,1,0),H0,0,2),尸(0,

1,1),比=(1,1,0).

设平面力毋,的法向量为〃=(x,y,z),则

〃•砺=0,(x=0,

,即

n•前=0,"+2=°・

令z=l,则/=一1.所以〃=(0,—1,1).

设直线比与平面仍尸所成隹为。，则

因此直线a'与平面力处'所成角的大小为*.

设点〃的坐标为(小v,rr).

因为点〃在棱/T上，所以可设万UX瓦?(0<4<1).

即(u,v,M—2)=X(2,1,—2),所以〃=24,v=X,4=2—24.

因为n是平面力防的一个法向量，

所以A•AH=3

即(0,-1,1)•(2/1,4，2一24)=0,

9,422、

解得4=5'所以点〃的坐标为(J，亍彳)

19.、、、［2024•湖北卷］如图1・4,在棱长为2的正方体中，E,凡MN分别是棱A9,

AD,小丛,4〃的中点，点只Q分别在棱〃外做上移动，且方=偌=4(0<乂2).

(1)当儿=1时，证明：直线阳〃平面滋。

(2)是否存在A,使面牙用与面阳肺所成的二面角为直二面角？若存在，求出A的值：若不存在,

说明理由.

D.G

Ai

19.解:方法一(几何方法):

(1)证明：如图①，连接1〃，由月龙沙是正方体，处BG〃Ah

当九一1时，尸是久的中点，又尸是的中点，所以77%所以6G〃仔:

而匹平面"7W，且8GQ平面切图，故直线阳〃平面日79

图①图②

⑵如图②，连接6〃因为£尸分别是//，川9的中点，所以EF〃BD,且£尸=/〃

又DP=BQ,DP//HQ,

所以四边形沟切是平行四边形，板PQ〃BD,且PQ=BD,从而用〃传，且防=力。

在Rt△仍0和RlZ\/7产中，因为优/I,BE=DF=\,

于是园="三护汴，所以四边形切图也是等腰梯形.

同理可证四边形HQ娜也是等腰梯形.

分别取功々，腑r的中点为“0,G,连接〃〃，0G,

贝i」G0_L/W，HOLPQ,而G()CHO=(),

故NGOH是面切铝与面/我郴所成的二面角的平面角.

若存在八，使面牙河与面图肺所成的二面角为直二面角.则NGO〃=90°.

连接胡，FN,则由分'〃届V,且环=MV知四边形哥M/是平行四边形.

连接。/,因为“。是阴MV的中点，

所以67/=^=2.

在△G。/中，67/=4,切=1+X一停j=

公=1+(2—4)2-g2=(2_疗+看

由初十切二GZ/,得(2一4产十:十42+<=4,解得4=1

乙乙

故存在4=1，使面所阳与面夕QMV所成的二面角为宜二面角.

方法二(向量方法)：

以〃为原点，射线为,DC,9分别为x,y,z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系.由已

知得〃(2,2,0),61(0,2,2),知2,1,0),知1,0,0),尸(0,0,4).

z

诙=(-2,0,2),FP=(-30,A),FE=。,1,0).

(1)证明：当4=1时，FP=(—1,0,1),

因为能=(-2,0,2),

所以的=2即，即8G〃制

而77七平面"7砧且8GQ平面硝过，故直线因〃平面切过

\FE*〃=0,x+y=0,

(2)设平面EFPQ的一个法向量为〃=(必y,z)，则由J_可得

［"•n=0—>+Az=0.

于是可取〃=(4，-A,1).

同理可得平面网尸。的一个法向量为。=(4一2,2-A,1)

若存在3使面牙沟与面闻擀所成的二面角为直二面角,

则m•n=(4—2,2—4，1)・(久，—A,1)=0,

即X[X-2)—/I(2—4)+1=0,解得/1=1

故存在入=1±±,使面9图与面以期V所成的二面角为直二面角.

18.、［2024•新课标全国卷II］如图1-3,四棱锥尸四口中，底面/以力为矩形，ELL平面/以/，E

为功的中点.

(1)证明：阳〃平面

(2)设二面角小力£。为60°

18.解：⑴证明：连接劭交力C于点0,连接£2

因为力优〃为矩形，所以。为切的中点.

又夕为阳的中点，所以勿〃依

因为反七平面力EC,承平面4EC,

所以阳〃平面AEC.

⑵因为Q1J_平面力a〃力8徵为矩形，

所以力HAD,力〃两两垂直.

如图，以力为坐标原点，赢,对),力产的方向为x轴、y轴、/轴的正方向，|亦|为单位长，建立空间

直角坐标系4xyz,则)(0,小,0),/o,乎，；)，崩=(0,零9

设6(m,0,0)(z?/>0),则C5,小,0),不:=(m,镉，0).

设〃1=(必y,z）为平面力"的法向量,

/〃叶小尸0,

ih•AC=0,

则《即且Jn

「好丁=0,

.271,力£=0,

可取〃1=（哼，—1»/）

又m=（l,0,0）为平面〃儿’的法向量,

由题设易知Icos5,G|=1,即

乙

13

解得

乙乙

因为£为功的中点，所以三棱锥不他的高为三棱锥白板的体枳K=1x|xV3x|x1=^.

/oZZZo

17.,[2024•山东卷]如图1-3所示,在四棱柱力比〃-444〃中，底面4庞〃是等腰梯形，/DAB=

60；/Q2加2,必是线段/伊的中点.

⑴求证：〃平面44微；

⑵若勿垂直于平面力戈力且笫=事,求平面G。.」/和平面力以力所成的角（锐角）的余弦值.

17.解：（1）证明：因为四边形月腼是等腰梯形，

旦A/=2。）,所以AB〃DC,

又也是的中点，

所以由〃MJ且仪七刈.

连接力〃.因为在四棱柱/次力-ABG口中,

CD"cmCD=C\D\,

所以GO〃物，C\"=ilA,

所以四边形和招〃为平行四边形，

因此，GJ/〃ZU

又G.，的平面MDD\,。力u平面4力〃〃，

所以G4〃平面AyADIk

(2)方法一：连接力G

由(1)知，CW/AV且CD=AM,

所以四边形4WW为平行四边形，

所以BC=AD=MC.

由题意N4T=N〃1«=6()°,

所以△助先为正三角形，

因此力8=2纪=2,以=小,

因此CAVCB.

设C为坐标原点，建'＞：如图所示的空间直角坐标系xyz.

所以力(十，0,0),8(0,1,0),〃(0,0,4).

因此，居,o)

所以丽=(一坐，舟曲=砺=(一半,0

设平面的一个法向量刀=(x,y,z),

n,〃G=0,y[3x—y=0,

由‘得

2yf^z=0,

.n•.屹=0,

可得平面。〃"的一个法向量〃=(i,y/ii,i).

又2=(0,0,4)为平面金⑦的一个法向量.

因此cos{CD\,n)=-^~害,

I㈤㈤5

所以平面G〃也和平面"切所成的角(锐角)的余弦值为"-

0

方法二：由⑴知，平面〃卬/n平面445=力4,点过C向,仍引垂线交加于点M连接AM

由切_L平面ABCD,可得"SLAB,

因此为二面角4-AB-C的平面角.

在双△“%中，BC=\,NA%三60°,

可得cv=乎，

乙

所以,物=1原+6叱=芈.

乙

v*「

在RtZ\〃GV中，。0$/〃阳=宗尸号=芈

4Ay[155

2

所以平面G〃出和平面月仇刀所成的角(锐角)的余弦值为点.

□

18.,,,[2024•四川卷]三棱锥1-发力及其侧视图、的机图如图1-4所示.设M*分别为线段49,

力9的中点，尸为线段以7上的点，且册VL陀

(1)证明：p是线段州的中点；

(2)求二面角力-用P-"的余弦值.

图1-4

18.解：(1)如图所示，取切的中点0,连接力0,CO.

由侧视图及俯视图知，△//〃，△a〃为正三角形，

所以力0_L89,OCX.BD.

因为力0,优匚平面4T,RA()COC=(),

所以切平面AOC.

乂因为力比平面4T,所以加〃_〃：

取为。的中点〃，连接阳，PH.

又用此〃分别为线段力。，AB,8。的中点，所以跟“BD、刈〃AO,

因为4。工即,所以历5做

因为MNLNP,所以APIBD.

因为阳，人生平面M巴且阳0八々此所以创_L平面恻R

又因为HPa平面NHP,所以BD1.HP.

义0C1BD,/〃七平面伙力，3=平面成刀，所以HP〃0C.

因为〃为80的中点，所以尸为砥的中点.

（2）方法一:如图所示,作肛L4C于。,连接.图

由⑴知，，必〃力。，所以八QL加

因为就VL快，所以/极。为二面角力-」W-必的一个平面角.

由（1）知，4ABD,△比方为边长为2的正三角形，所以1

由俯视图可知，力。1平面比〃

因为*□平面比刀，所以因此在等腰直角△/1*中，AC=#.

作加LC于R

因为在△力优'中，A8=BC,所以4为力。的中点，

所以BRfJ函一偿=挈

因为在平面内，AQ_UGBR1AC,

所以NQ//BR.

又因为A为4?的中点，所以。为4?的中点,

所以闾=竽=乎.

同理，可得她H平.

故△.阶Q为等腰三角形，

所以在等腰△朋图中，

MNBD

,24Jib

cosNM\Q=而=而=5.

故二面角力・」VP-必的余弦值是坐.

□

方法二：由俯视图及（1）可知，力。_1_平面以。

因为少,加平面BCD,所以10_1a7,AOVOB.

又0C10B,所以直线的，0B,小两两垂直.

如图所示，以。为坐标原点，以防，0G创的方向为A•轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标

系0-xyz.

则力（0,0,镉），8（1,0,0）,6,（0,镉，0）,。（一1,0,0）.

因为MN分别为线段力〃，/I8的中点，

乂由（1）知，夕为线段比1的中点，

A

0）,于是月8=（1,0,一木）,80=（—1,小,0）,

所以.0’乎）T2

MV=（1,0,0）,AP=0,

设平面力砥的•个法向量n=（xi,y,z】），

n.LAB,z?i,A40,

由,得即

n.LBQih•BC=。,

（为，y,zi）,（1,0,一小）=0,

（刘，M，Zi）,（—1,小,0）=0,

Xi—y[3zi=0,

从而，

.一司+，5乂=0.

取Zi=l,则汨=，5,y\=li所以n=（，^,1,1）.

设平面秘尸的一个法向量仅=（右，%Z2）,由，

{n'•.IA—0,

得

mLNP,0•NP=0,

（彳2,加Z2）,（1»0,0）=0,

（M,y-i,Z2）•（0,坐-¥）=。，

照=（）,

从而J蛆J3八

272-9Z2=0-

取Z2=l,则角=1,X2=0，所以止=（0,1,1）.

Al•zgj1,1）•（0,1,1）5JT0

设二面角力-"的大小为则cos

51・I几I一季义镜—5

故二面角/「仍■必的余弦值是变.

G5空间中的垂直关系

17.、、［2024•福建卷］在平面四边形力比〃中，AB=BD=CD=\,AB1BD,Q?_L做将△力加沿〃〃折起,

使得平面仍〃_L平面BCD,如图1-5所示.

（1）求证：ABA-CDx

⑵若必为力〃中点，求直线力〃与平面朗%所成角的正弦值.

图1-5

17.解：⑴证明：•・•平面/皮平面以刀，平面力8〃门平面比7=劭，月把平面力做AB±BD,：.AB

_L平面BCD.

又CDCL平面BCD,「.ABA.CD.

(2)过点〃在平面仪力内作bELBl).

由⑴知4?J_平面BCD,BEu平面BCD,Bk平而BCD,：.ABIDE,ABLBD.

以6为坐标原点，分别以曲丽,画的方向为x轴，y轴I,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所

示).

依题意,得8(0,0,0),C(l,1,0),Z?(0,1,0),J(0,0,i),./o,I，1

则比=(1,1,0),茄U(0,I，目，jz^=(o,1,-1).

设平面加，。的法向量〃=(照，H，然),

照十%=0，

n,BC=3

则4即1,1八

产+产=0,

n,BU=O,

取z0=l,得平面MBC的一个法向量〃=(1,—1»1).

设直线力〃与平面物C所成隹为。，

\n*AD\y[^>

则sin8=茄〉

cos〈〃,