2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第5章 §51 平面向量的概念及线性运算

第五章平面向量与复数

§5.1平面向量的概念及线性运算

【考试要求】1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义2掌握向量的加法、减法运

算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

-落实主干知识

【知识梳理】

1.向量的有关概念

（I）向量：既有大小又有汕的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度（或模）.

⑵零向量：长度为止的向量，记作也

⑶单位向品：长度等于里位长度的向量.

（4）平行向量：方向相同或犯反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行.

⑸相等向量：长度相等且方向相同的向量.

（6）相反向量；长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量运算法则（或几何意义）运算律

绢

交换律：。+力=〃+。；

加法三角形法则

结合律：（a+力）+c=a+（A+c）

a

平行四边形法则

减法。一）=〃+（一》）

几何意义

|训=回回，当2>0时，痴的方向与。

数乘

的方向相同;

当z<0时，痴的方向与a的方向相反;"a+卜）=24+/力

当2=0时，；a=0

3.向量共线定理

向量以。工0）与方共线的充要条件是：存在唯一一个实数九使0I.

【常用结论】

I.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向

量，即储?2+瓦石+3五+…+4L1A：=A7J〃，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量

和为零向量.

2.若尸为线段A8的中点，。为平面内任意一点，则徐==万1+励）.

3.若A,B,C是平面内不共线的三点，则说+两+元=00。为的重心，AP=｛（Ah

+AC）.

4.对于任意两个向量跖4都有|⑷一网WV：蝴W|0|+同

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）⑷与同是否相等，与。，力的方向无关.（J）

（2）若向量。与力同向，且阳>步|,则〃>>.（X）

（3）若向量初与向量而是关线向量，则A,B,C,短四点在一条直线上.（X）

（4）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.（V）

【教材改编题】

1.（多选）下列命题正确的是（）

A.零向量是唯一没有方向的向量

B.零向量的长度等于0

C.若“，力都为非零向量，则使合+1=0成立的条件是。与力反向共线

D.若a=b,b=c,则a=c

答案BCD

解析A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；

B项，由零向量的定义知，零向量的长度为0,故B正确；

C项，因为合与日都是单位向量，所以只有当酢合是相反向量，即a与力是反向共线时才

成立，故C正确；

D项，由向量相等的定义知D正确.

2.下列各式化简结果正确的是（）

\.AB+AC=BC

B.嬴+证+肋+南=就

C.AB-^-BC-AC=O

D.AB-AD-DC=BC

答案B

3.已知a与力是两个不共线的向量，且向量a+油与一①一3a）共线，则/=,

答案4

解析由题意知存在〃£R,

使得〃+动=&[一（〃-3。）],

■探究核心题型

题型一平面向量的基本概念

例1（1）（多选）下列说法中正确的是（）

A.单位向量都相等

B.任一向量与它的相反向量不相等

C.若同=制，则。与b的长度相等，与方向无关

D.若。与〃是相反向量，则同=血

答案CD

解析对于A,单位向量方向不同时并不相等，A错误；

对于B,0的相反向量为0,B错误；

对于C,\a\=\b\,则。与力的长度相等，与方向无关，C正确;

对于D,相反向量是长度相等，方向相反的向量，D正确.

（2）（2023・福州模拟）如图，在正△ABC中，D,E,尸均为所在边的中点，则以下向量和危相

等的是（)

BC

A.EFB.FBC.DFD.ED

答案D

解析,：EF,FB,中与后方向不同，：.EF,而,而与丘:均不相等；

•・•应)与危方向相同，长度相等，.••丽=尸湾

思维升华平行向量有关概念的四个关注点

(I)非零向量的平行具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.

(43是与。同方向的单位向量.

跟踪训练1(1)(多选)下列命题中正确的是()

A.向量前的长度与向量就的长度相等

B.向量a与0平行，则a与》的方向相同或相反

C.两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同

D.两个终点相同的向量，一定是共线向量

答案AC

解析对于A,向量赢与向量函的长度相等，方向相反，故A正确；

对于B,向量。与》平行，且。或力为零向量时，不满足条件，故B错误;

对于C,两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故C正确；

对于D,两个终点相同的向量，不一定是共线向量，故D错误.

(2)如图所示，。是正六边形ABCOE/的中心，则与正相等的向量为()

A.而B.CDC.AI)D.OI)

答案D

解析A,B选项均与正万向不同，C选项与就长度不相等，D选项与正方向相同，长度相

等.

题型二平面向量的线性运算

命题点I向量加、减法的几何意义

例2(2022・济南模拟)已知单位向量e\,62，…，6202”则Iei+e2+…+e2必1的最大值是

,最小值是.

答案20230

解析当单位向量白，02,…，02023方向相同时，

|ei+e2T------卜e2侬|取得最大值,

®--------H020231=⑶I+同H-------\-\C20231

=2023；

当单位向量Cl,62,…，62023首尾相连时，

ei+e2+…+e2023=0,

所以期+e2T-------卜62023|的最小值为0.

命题点2向量的线性运算

例3（2022・新高考全国1）在△回（7中，点力在边上，BD=2DA.^CA=m,CD=n,则

为等于（）

A.3m—2nB.-2m+3〃

C.3/n+2/iD.2m+3n

答案B

解析因为BO=2D4,所以赢=3而，所以次=3+谓=以+3病=占+3（而—流）=

-2以+3⑦=-2m+3〃.故选B.

命题点3根据向量线性运算求参数

例4（2023・大连模拟）在A48C中，病=2协,A£=2EC,P为线段上的动点，若乃=派

+〃AC,九〃£R,则等于（）

23

A.IB.gC，2D.2

答案B

解析如图所示，由题意知，

AE=^ACyAD=^AB,

JJ

设麻=加及

所以崩=而+励=病+工疫

—/W-I-X（AE-/W）

=xAE-\-(\-x)AD

=pAC+|(1-x)AB,

22

所以A=^(l—x),

22?

所以2+"=gx+g(1—x)=j.

思维升华平面向量线性运算的常见类型及解题策略

(I)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.

(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.

跟踪训练2(1)五角星是指有五只尖角、并以五条直线面成的星星图形，有许多国家的国旗

设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗.如图，在正五角星中，每个角的角尖为36。，

则下列说法正确的是()

答案D

解析A项，由图可知CH与/力相文，所以而与万不是相反向量，故A错误;

B项，淳与虎共线，加与在不共线，所以而与前不共线，故B错误；

C项，AF-^-FG=AG^2HGf故C错误：

D项，连接BF,JF,由五角星的性质可得四边形A8E/为平行四边形，

根据平行四边形法则可得前=初+乃，故D正确.

(2)P是△A8C所在平面上一点，满足济+两+元=2箍，△A8C的面积是Si，△以5的面

积是S2，则()

A.Si=452B.51=3$2

C.Si=2S2D.Si=Sz

答案B

解析・・・%+PB+PC=248=2(AP+PB),

：,3AP-BC,

・••崩〃的并且方向一样，

设AP与8C的距离为力，

1-1―

■:S△力8=5|AP"?,S^ABc=^BC\'h,

又•・"的=3|份I，

：•S/APAB="^S.ABCf51=352.

(3)在△ABC中，P是BC上一点,若前=2元,而=幺加+"危，则2A+"=

4

答案-

3

解析在△ABC中，BP=2PC,

—►—►—►—►2—►—►2->-►I-►2—

则AP=AB+8P=A8+?8C=AB+?(AC—A8)=p8+?AC,

又丽=漏+胸乙且俞，比不共线，

124

---

3V3

题型三共线定理及其应用

例5已知O,A,8是不共线的三点，且法=而*+〃而如?，〃£R).

⑴若〃?+〃=1,求证：A,P,B三点共线;

⑵若A,P,B三点共线，求证：机+〃=1.

证明(1)若加+〃=1,则苏=〃?5A+(1—⑼励，OP=[!n-\-(\-m)]OP,

故mOP-\-(\—m)OP=mOA+(1—m)OB,

即m(OP-OA)=[\~m)(OB-OP),

mAP=(\-m)PB,即成，而共线，

又能，成有公共点P,

则A,P,6三点共线.

(2)若A,P,B三点共线，则存在实数人使得

->-AA—>

变形得成一万1="初一办)，即(1+2)次=2协+万1,苏=卫三丝==乌+冬r,又6P

1।X1।Z1।X

=mOA-\~nOB,故〃?+〃=1.

思维升华利用共线向量定理解题的策略

⑴。〃力Oa=乃SNO)是判断两个向量共线的主要依据.

(2)若a与b不共线且).a=ub,则A=//=0.

⑶若万1=7无+〃公(2,〃为常数)，则A,B,C三点共线的充要条件是2+4=1.

跟踪训练3⑴若。，力是两个不共线的向量，已知加=。-2力，而=2a+kb,PQ=3a-b,

若M,N,Q三点共线，则A等于()

A.-1B.1C.1D.2

J

答案B

解析由题意知，

NQ=PQ—PN=a—(k+l)/>,

因为M,N,Q三点共线，故存在实数九

使得加=7而，

即a—2b=2[。一(A+1)句,

整理得(1一幻4=[2—2伏+1)仍,

1—2=0,

因为向量。，力不共线,

2—孙+1)=0,

解得2=1,k=1.

(2)如图，△ABC中，点M是BC的中点，点N满足瓶=严,AM与CN交于点。，病=办/,

则A等于()

2345

A，73B.T4C.T3bD.7

答案C

解析在△ABC中，因为点例是BC的中点，所以而=步力+荻；则而=痴1/=

又病=/嘉，于是得屐＞=竽俞+^d,

因为点C,。，N共线，贝!有¥+4=1,解得4=：.

■4J

课时精练

过基础保分练

1.化简2m—3b）—3（“+力）的结果为（）

A.。+48B.—a—9b

C.2a-\-bD.。-3》

答案B

解析2（。一3力）一3（a+b）=2a—6力一3〃一3力=一。一9b.

2.（多选）下列命题中，正确的是（）

A.若a〃力，b//c,Ma//c

B.在△ABC中，AB+fiC+CA=O

C.若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反

D.如果非零向量。，。的方向相同或相反，那么的方向与。，力之一的方向一定相同

答案BC

解析对于A选项，0平行于任何向量，若5=0,满足。〃力，b〃c,但不一定满足。〃c,

故A错误；

对于B选项，首尾顺次相接，正确；

对于C选项，两个单位向量互相平行，这两个单位向量相等或相反（大小相等，方向相反）,

故C正确；

对于D选项，当a+b=0时，零向量的方向是任意的，故D错误.

3.设a,b是平面内两个向量，''|a|=|a+A|"是臼=（）”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条小

答案B

解析当a=—］力时，|。+力|=—3+》=/力|=同，推不出|力|=0;

当步1=0时，8=0,则|。+同=|。+0|=同,

故“同=|a+〃|”是“同一0”的必要不充分条件.

4.已知向量。和力不共线，向量后=0+/血正=50+3），丽=-3。+3），若A,B,。

三点共线，则机等于（）

A.3B.2C.1D.-2

答案A

解析因为A,B,。三点共线，

所以存在实数九使得两=派,

BD=BC+cb=2a-i-6lf,

所以2“+6力=+m；.b,

2=A,

所以，解得〃?=3.

6=就，

5.在边长为1的正方形A8C。中，设公=〃，AD=b,AC=c,则|。一力+。|等于（）

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析因为四边形A3CO是边长为1的正方形，

AB=a,AD=b,AC=ct

所以a-b+c=AB-AD-^AC=AB-Ab+（Ai3+Ab）=2AB,

又丽=1,所以|G-1+C|=|2诵|=2.

6.如图，BC,。"是半径为1的圆0的两条直径，BF=2F0,旦后=7而+〃/，贝U

等于（）

A.IB.2

C.3D.4

答案D

,—>—►—>—>1—>—>——►

解析•；FC=F0+OC=4FO=4X5（FD+FE）=2FD+2FE,

.*.z=//=2,，4+〃=4.

7.已知向量e”62是两个不共线的向量，。=2约-62与。=ei+2e2共线，则2等于（）

A.2B.-2C.-1D.1

答案C

解析因为。=2ei—s与5=幻+融2共线，所以履=瓦左W0,

所以Z（2ei—&）=。1+/.&.

因为向量ei,/是两个不共线的向量，

2^=1,

所以解得x=—1.

T=%,

8.已知△48。中，。4=。8=1,乙4。8=?若OC与线段AB交于点P,且满足氏=疝1+

//为，|灰]=小，贝"+"的最大值为（）

9

A.gB.1C.小D.2

答案D

解析•・•线段OC与线段A8交于点P,设公=工办。21）,

则/5>=%近+〃M，即必=（以+£而，

又：P,A,8三点共线，则（+：=1，即2+4=-

•♦•04=08=1,，当P为48中点时|赤|最小，此时x最大，

fZ

又NA08=],故此时|苏|=苧，又因为1dti=5,

：.OC=2OP,

即x=2,即a+4的最大值为2.

9.设向量〃，力不平行，向量以+力与。+38平行，则实数/的值为

答案|

解析向量ta-\-b与。+3力平行，

・•・存在实数k使得/+6=©〃+3切，

化为“一&）。+（1—3刈〃=0,

,:向量。，b不平行，

解得i=k=w

1-32=0,

10.已知△ABC的重心为G,经过点G的直线交AB于。，交4c于E,若俞=2赢,AE=^AC,

答案3

解析如图，设尸为8c的中点,

A

/IGE

BF-

则历巧方=/赢+充），

又矗=；病，AC=-AE,

，/=*松+表嬴，

又G,D,E三点共线，

即!+'=3.

3Z3/zX"

过综合提升练

11.己知平面上不共线的四点0,A,B,C,若后一4加+3次:=0,则四等于（）

\CA\

1314

AqBqC，2D.g

答案B

解析由万1-4协+3历=0,得届一协=3（加一南，即点=3①，

■»—►>4，>

所以C4=CB+B4=?BA,

—3—\AR\3

所以|AB|=；|CA|,即皆得

1。1

12.已知M为△A8C的重心，。为8C的中点，则下列等式成立的是（）

A.\MA\=\MB\=\MC]

B.拓1+麻+证=0

c.zS/=]函十;访

JJ

D.S&M8C=/s△八8c

答案D

解析如图，M为△ABC的重心，则麻+麻+证=0,A错误，B错误;

A

---►-----►-♦>—►I-A

BM=BD+DM=BD+^DA

=砺+（（放一而）=＜放C错误;

由DM="^AD得SGMBC=]SSABC,D正确.

n।In_

13.设P,Q为△ABC内的两点，且杼=予布+水，而=乖+水，贝l」△A8P的面积与

△A8Q的面积之比为（）

BCD

A-5I3m

答案D

解析如图，设病=各互病=#&,

：.AP=^AB-\-^AC=AM-\-ANf

由平行四边形法则知NP〃A&

・•・/XABP的面积与4ABC的面积之比为?

同理，由而=不行+我t,可得△43Q的面积与△A4C的面积之比为Q,

•JJ

123

:.AABP的面积与XABQ的面积之比为彳：彳=诉

14.（2023・丽江模拟）在△/1&?中，点。在线段4c上，且满足而段位]，点Q为线段8。

上任意一点，若实数X,y满足而=入脑+）辰，则!十%勺最小值为________.

xy

答案4+2小

解析由题意知点。满足俞=卡"故而=大筋+_）后=入赤+3）疝，由点Q,B,。三点

共线可得x+3y=l,入＞0,＞）＞0,则：+：=（：+；）。+3），）=4+,+，4+2小，当且仅当*=

p即1=夸二Ly=宜牌时等号成立.

D拓展冲刺练

15.（多选）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（)

A.若丽/=；正，则赢7=次+轴

B.若俞=2亚一3矗，则点M,B,C三点共线

C.若点M是△ABC的重心，则麻+赢+证=0

I