上海市宝山区2026届高三一模数学试题（含答案）

宝山区2025学年第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷 2025.12考生注意：1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；4.可使用符合规定的计算器答题.一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1.若全集U={1,2,3,4,5,6},集合.A={1,3,5,6},则A2.焦点为(1，0)的抛物线的标准方程为.3.已知数列{an}为等比数列，且(a1=3,公比q=2,则该数列的前4.现从编号为01，02，…，50的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为(以下摘自随机数表第7行).3983277639918535325911314046923504982212206712635.x+2x6的展开式中6.关于x的方程|x-1|+|2-x|=1|的解集为.7.已知f(x)=ln(2+x)+ln(1+ax)是偶函数,则函数y=f(x)的最大值为.8.已知第一象限的点(m，n)和(6，2)经过直线l，若直线l的倾斜角为135°，则1m+49.已知等腰△ABC中,A=π2,E、F分别为AB、BC的中点,若BC=10.已知事件A与事件B互斥，它们都不发生的概率为34,且P(A)=2P(B),则.11.如图，点P在圆柱O₁O的底面圆O的圆周上，AB为圆O2025学年第一学期期末高三年级数学学科质量监测试卷第1页共4页的直径，∠AOP=120∘,OA=3,A1B12.空间中，向量a、b、c满足：∣a∣=2∣b∣=3∣c∣=6,且a二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分).13.如果复平面上的向量AB所对应的复数是-1+2i,则向量BA所对应的复数是()A.1-2i B.1+2i C.-1+2i D.-1-2i14.若α:∣x-1∣<1,βA.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件15.双曲线型自然冷却通风塔的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转一周所形成的曲面，如图所示.已知它的下口直径为：2010米，上口直径为202米，最小直径为20米，高为80米，则此双曲线的焦距为A.103. B16.对任意正整数n，数列an满足an+1-命题1：存在a1=-1的等差数列an为“增长”数列，且满足其命题2：存在各项均为正整数的等比数列{an为“增长”数列且an2不是“增长”数列，使得an+1n+A.①是真命题，②是真命题； B.①是真命题，②是假命题；C.①是假命题，②是真命题； D.①是假命题，②是假命题.2025学年第一学期期末高三年级数学学科质量监测试卷 第2页共4页三、解答题(本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应的题号)内写出必要的步骤)。17.(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,且底面ABCD为正方形,E、F、G分别是BC、AD、PA的中点.(1)证明:PE∥平面BFG;(2)若AB=2,求点E到平面BFG的距离.18.(本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分)某场篮球比赛中，甲、乙两队各5名队员进行比赛，他们得分的茎叶图如图，已知.x,y∈(1)若甲队队员得分的极差为32，乙得分的平均值为24，求其中x和y的值；(2)从得分在20分及以上的队员中随机抽取2名，求至少有1名来自乙队的概率；(3)若甲乙两队的队员平均分相等，求x+50y的最大值，并写出此时x和19.(本题满分16分，第1小题满分8分，第2小题满分8分)如图，摩天轮上一点P距离地面的高度y(m)关于时间t(min)的函数表达式为：y=4sinωt++b,A0,ω>0,∣∣≤π).(1)根据条件具体写出y关于t的函数表达式；(2)在摩天轮转动的一圈内，点P有多长时间距离地面超过55m?2025学年第一学期期末高三年级数学学科质量监测试卷 第3页共4页20.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1（a＞(1)求双曲线C的标准方程；(2)设点S是双曲线C上的动点，T是圆.E:x-42+y2=(3)如图，A、B是双曲线C上两点，直线PA、PB与y轴分别交于点M、N，点Q在直线AB上.若M、N关于原点对称,且PQ⊥AB,证明:存在点R,使得|QR|为定值.21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分).已知连续函数y=f(x)和y=g(x),设F(x)=f(x)-g(x),集合M={x|F(x)≥0}.(1)若指数函数y=g(x)的图像过点122,且f(x)=g(2x(2)若fx=ex-alnx,gx=a-ex,且y=f(x(3)若y=f(x)的导函数y=f'(x)是R上的严格减函数,g(x)=ax+b(a,b∈R),且函数y=f(x)在x=x0处的切线方程是y=h(x).求证：“M=x0的充要条件是“h2025学年第一学期期末高三年级数学学科质量监测试卷 第4页共4页宝山区2025学年第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷答案一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分).1.若全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,5,6},则A=.【解析】{2,4}2.焦点为(1，0)的抛物线的标准方程为.【解析】y3.已知数列{an}为等比数列，且a1=3,公比q=2【解析】454.现从编号为01，02，...，50的50文水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为(以下摘自随机数表第7行).39832776 39918535 32591131 404692350498221220671263【解析】115.x+2x【解析】126.关于x的方程|x-1|+|2-x|=1的解集为.【解析】[1,2]7.已知f(x)=ln(2+x)+ln(1+ax)是偶函数,则函数y=f(x)的最大值为.【解析】ln28.已知第一象限的点(m，n)和(6，2)经过直线l，若直线l的倾斜角为135°，则1m+4一n的最小值为【解析】19.已知等腰△ABC中，A=π2,E、F分别为AB、BC的中点,若BC【解析】-5610.已知事件A与事件B互斥，它们都不发生的概率为34,且P(A)=2P(B5【解析】11.如图,点P在圆柱O1O的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，∠AOP=120∘,OA=3,A1B(建系或者平移+余弦定理都可以)33【解析】11.空间中,向量α、b、で满足:|∣a∣=2∣b∣=3∣c∣=6,且a、b、c【解析】154-332(结合下图转化为求二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分).13.如果复平面上的向量AB所对应的复数是-1+2i，则向量BA所对应的复数是()A.1-2i B.1+2i C.-1+2i D.-1-2i【解析】A14.若α:∣x-1∣<1A.充分非必要条件B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【解析】B15.双曲线型自然冷却通风塔的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转一周所形成的曲面，如图所示.已知它的下口直径为.2010米，上口直径为202米，最小直径为20米，高为80米，则此双曲线的焦距为A.103. B【解析】D16.对任意正整数n，数列an满足an+1-an>1,则称该数列为“增长”数列.命题1：存在a1=-1的等差数列命题2：存在各项均为正整数的等比数列an为“增长”数列且an2不是“增长”数列，使得an+1A.①是真命题，②是真命题； B.①是真命题，②是假命题；B.①是假命题，②是真命题； D.①是假命题，②是假命题.【解析】C(等差正常去推，等比举例子)三、解答题(本大题共有5题，满分78分)17.(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)如图，在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,且底面ABCD为正方形,E、F、G分别是BC、AD、PA的中点.(1)证明:PE‖平面BFG;(2)若AB=2,，求点E【解析】(1)连接DE,∵ABCD是正方形,E,F分别是棱BC,AD的中点,∴∴四边形BEDF是平行四边形，∴DE‖BF,∵G是∴FG‖PD,,又PD,DE⊄平面BFG,且FG,BF∴PD//平面BFG,DE//平面BFG,∵PD∩DE=D,直线PD∴平面PDE‖平面BFG,又PE∴(2)∵PD⊥平面ABCD,FG∥PD,∴FG⊥平面ABCD,过E在平面ABCD内,作EM⊥BF,垂足为M,则FG⊥EM,∵FG∩BF=F,又FG,BF⊂平面BFG∴EM⊥平面BFG,∴EM的长是点E到平面BFG的距离,∵RT△BEF中,由等面积可得EM∴点C到平面BFG的距离为218.(本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分)某场篮球比赛中，甲、乙两队各5名队员进行比赛，他们得分的茎叶图如图，已知x,y∈N,且4≤x≤9,6≤y≤9.(1)若甲队队员得分的极差为32，乙得分的平均值为24，求其中x和y的值；(2)从得分在20分及以上的队员中随机抽取2名，求至少有1名来自乙队的概率；(3)若甲乙两队的队员平均分相等，求x+50y的最大值，并写出此时x和【解析】(1)由茎叶图可知：甲队分数:6、14、28、34、30+x(4≤x≤9),乙队分数:12、25、26、20+y(6≤y≤9)、31依题意,甲队队员得分的极差为32,故30+x-6=32,解得x=8,乙队平均值为24，故12+25+26+〔2〕由图可知，20分及以上的队员中，甲队有28、34、38共3人,乙队有25、26、32、31共4人,总共有3+4=7人,从7人中随机取2人，总情况数C72=21,，且每种情况等可能，记“至少1名来自乙队”为事件A，其对立事件是“2名都来自甲队所以P(3)依题意6=12+25+26+20+y+又{4≤x=y+令f则f所以6≤y≤7时,f(y)递减,故y=6时,f(y)取得最大值为f(6)=6+50此时,x=y+2=8,综上,x=8,y=6时,x+50y19.(本题满分16分，第1小题满分8分，第2小题满分8分)如图，摩天轮上一点P距离地面的高度y(m)关于时间t(min)的函数表达式为：y=Asinωt++b,A0,ω>0,||≤π(1)根据条件具体写出y关于t的函数表达式；(2)在摩天轮转动的一圈内，点P有多长时间距离地面超过55m?【解析】(1)由题意，有A=30,b=40,，最小正周期T=12,于是ω=π6,故有y=30sinπ6t++40.因为当t=0时，y=10,于是sin=-1,而∈-π(2)由题意，有y=30sinπ6t-π2+40>55,即sinπ6t-π2>1220.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a0(1)求双曲线C的标准方程；(2)设点S是双曲线C上的动点，T是圆[:x-42+y2=1上的动点，且直线(3)如图,A、B是双曲线C上两点,直线PA、PB与y轴分别交于点M、N,点Q在直线AB上.若M、N关于原点对称，且PQ⟂AB,,证明:存在点R,使得|QR【解析】(1)由题意知：ca=24所以双曲线C的方程为x(2)已知圆E:x-42+y2=1,根据圆的标准方程x-m2+y-n2=r2(其中设双曲线上的点S(x,y),圆心E(4,0)距离d又因为点S(x，y)在双曲线x2以y2d对称轴为x当x=2时,y所以d因为|ST|的最小值等于圆心E到双曲线上的点的距离的最小值减去圆的半径，所以|ST|因此，|ST|的最小值为5(3)证明：显然直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+m,M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),P(2,-1),联立{y=kx则1-k2≠0,Δ>0,xN₁，所以直线PM的方程为y=y1+1则M10x1+x所以x0，所以4所以4所以m当m+2k+1=0时,m=-2k-1,此时直线MN方程为y=k(x-2)-1,,恒