2026高考蓝皮书高考关键能力培养与应用第1节　1.1　数学观察

数学1.1数学观察信息提取整体感知信息提取是学生从复杂材料中辨识、筛选、整合关键信息,并将其与已有知识体系建立关联的关键能力.作为思维过程的首要环节,它不仅是解决数学问题的基础,更是应对多元化学习场景及未来挑战的关键能力.信息提取能力主要包括阅读理解能力、数学抽象能力、直观想象能力.阅读理解能力涵盖了对数学叙述的透彻理解以及对数学问题的全面分析.主要包括:从数学的角度审视题目信息,利用题目中的条件联想到相关的数学知识,以及将待解决或难以解决的问题转化为更易处理或已有解决方案的问题.数学抽象能力是指通过对数量关系与空间形式的抽象,得到数学研究对象的素养.主要包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并用数学语言予以表征.数学抽象能力是数学发展的灵魂,它贯穿于数学的创造、发展和应用的整个过程,是形成理性思维的关键.数学抽象能力展现了数学的核心特质,使数学成为一个高度概括、表述精确、结论普遍适用、层次分明的系统.直观想象能力涉及运用几何直观和空间想象来感知对象的形状及其演变,以及利用空间结构(特别是图形)来解答数学难题的技能.主要包括:借助空间视角理解事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路.高考通过文字、图形、表格等多种方式呈现试题,加大了试题信息的广度和容量,皆在考查学生从不同的材料中筛选、分类、概括、连接和转述关键信息的能力.高考命题越来越注重对学生信息获取与处理能力的评估,学生只有具备出色的信息提取能力,才能自信地面对未来的高考挑战.第一节阅读理解能力能力阐释阅读理解能力是在阅读的实践中逐渐形成和发展的,它通过阅读的成果和速度得以展现,是一种能够独立地获取数学知识、信息和解决问题的能力.它包括对由符号、字母、数字或文字所表达的数学关系式、命题、问题以及图表、图象、几何图形的结构特征的观察;对相关定义、公理、定理、公式、性质、法则等数学事实的联想;以及将实际问题转化为数学语言,简化复杂问题,寻找解题策略.在高中数学教学领域,学生学习的核心已从知识应用、数学运算、题型解析转变为阅读理解、信息处理、语言表达和批判性思维这四项关键技能.这表明,提升学生的阅读能力已成为数学教学的关键.教师在教学过程中应当恰当引导学生运用观察、联想、转化等策略,以增强他们的语言转换技能、数学概括技能和数学阅读推理技能,进而帮助学生提升综合素养.能力表现数学是一门科学,更是一种语言,数学教学同样也是数学语言的教学.数学阅读是阅读主体对数学材料信息加工的过程,是一种包含认知、理解、吸收和应用的复杂的过程.进行数学阅读理解的思维路径如下:下面通过一个示例阐述数学阅读理解的表现:示例:(2024新高考Ⅱ卷,18)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段,由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率;(2)假设0<p<q,(ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛?(ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛?第一步:通读互译,掌握概貌先通读,将题目中的文字语言和符号语言进行互译:文字语言符号语言读懂比赛规则两人参赛,每人参加某一个阶段的比赛如何才能进入第二阶段比赛第一阶段:3次都未投中,被淘汰;至少投中一次,进入第二阶段比赛成绩的得分总和即第二阶段的得分总和第二步:精读抽象,模式识别①确定题目中需要解决的问题.在参加第一阶段人员确定的前提下,该队的得分情况分析.根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案.②利用信息和条件对题目进行整体分析,识别模型.通过对题意的充分阅读和理解,明确比赛成绩的得分依据,再进行对比计算.(ⅰ)首先各自计算出P甲=[1-(1-p)3]q3,P乙=[1-(1-q)3]p3,再作差因式分解即可判断.(ⅱ)首先得到X和Y的所有可能取值,再按步骤列出分布列,计算出各自期望,再次作差比较大小即可.第三步:联想迁移,推理转化充分发挥想象力、判断力和创新力,抓住问题的主要矛盾,精选问题中的关键变量,进行“化繁为简”,借助图形、数表以及已有数学知识建立起条件和结论之间的关系,推理迁移.本题第二问的关键是计算出甲、乙分别参加第一阶段比赛的相关概率和期望,采用作差法并因式分解从而比较出大小关系,最后得到结论.第四步:再读审视,调整完善(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分,则甲第一阶段至少投中1次,乙第二阶段也至少投中1次,所以比赛成绩不少于5分的概率P=(1-0.63)(1-0.53)=0.686.(2)(ⅰ)若甲先参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲=[1-(1-p)3]q3,若乙先参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙=[1-(1-q)3]p3.因为0<p<q,所以P甲-P乙=q3-(q-pq)3-p3+(p-pq)3=(q-p)(q2+pq+p2)+(p-q)[(p-pq)2+(q-pq)2+(p-pq)(q-pq)]=(p-q)(3p2q2-3p2q-3pq2)=3pq(p-q)(pq-p-q)=3pq(p-q)[(1-p)(1-q)-1]>0,所以P甲>P乙,故应该由甲参加第一阶段比赛.

数学源于生活,该题以某比赛的参赛成绩为载体,通过数学抽象、建模的过程考查离散型随机变量分布列的相关知识,对数学阅读理解能力、数学抽象能力、数学建模能力和数学运算能力要求较高.从近几年高考题来看,高考数学对阅读理解能力的考查已从隐性要求发展为显性测评维度.预计未来考试可能会进一步增加动态数据、多模态信息的考查.因此,学生在日常练习中要注重“慢读题,快建模”意识,迅速抓住问题的关键,运用所学知识进行推理和转化,从而高效求解,锻炼从复杂情境中抽象数学本质的核心能力.此外,还应关注数学与实际生活、科技发展的紧密联系,以增强跨学科的综合应用能力.能力评价水平质量描述水平一能够理解数学概念、符号和规则的深层含义,明确数学命题的条件与结论,并能在熟悉的情境中将其转化为数学问题.在交流过程中,能够明确所讨论问题的内涵,并有条理地表达自己的观点水平二能够将所学知识与相关数学命题联系起来,通过对条件和结果的深入分析,探索并构建论证的逻辑路径,选择恰当的方法进行证明,并能用精确的数学语言清晰表述整个论证过程水平三能够在复杂的情境下,运用数学的视角识别恰当的研究对象,并将其转化为具有意义的数学问题高考链接高中数学阅读教学是现代教育不可或缺的一环.基于核心素养的培养,通过数学阅读教学的实践,能够提高学生的综合素质和学科素养,同时培养他们的思维能力,并激发对数学学科的学习兴趣.重视思维方法和实践能力的培养,能够调动学生的积极性,使数学阅读教学达到预期的实践效果.在高考中,常在函数、向量、数列、统计与概率等知识模块中进行阅读理解的考查.近3年的高考中,阅读理解试题的分布情况如下:关键能力2025年2024年2023年新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷全国甲卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷全国甲卷全国乙卷阅读理解数学观察6,78,11,13

4,6,8理774,191,13理10数学联想19198,11

理3,理1111,211220理3,文3数学转化8,111819

11,164,10,14理5,文8,文11,理151.1数学观察数学观察是人们全面深入认识各类事物的重要途径,也是学生在日常学习过程中必须培养的一种能力.在新高考从能力立意向价值引领、素养导向转变的背景下,通过观察题目中符号、字母、数字或文字所表示的数学关系式、命题、问题及图表、图象、几何图形的结构特点,找到解题方向、提出猜想并验证猜想,已成为解决部分高考题目的关键方法.

[思维路径]

学友聊斋

[思维路径]

学友聊斋例3

(2023新高考Ⅱ卷,19)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);(2)设函数f(c)=p(c)+q(c),当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值.[思维路径]

学友聊斋能

力训

练A组

基础性题组题号选题理由1通过分析折线统计图,可以计算出平均数、中位数和众数;仔细观察折线图的变化,并结合方差的意义来进行判断2阅读题意,把握考点,然后数形结合,观察图象,即可得出结论3观察函数解析式特点,结合函数的奇偶性和单调性,利用排除法求解4通过观察条件式的结构特点,准确选择两角和公式进行计算5审清端点取值以及所求问题,根据补集的含义即可得到答案(注:☆表示题目难度)1.☆(2025辽宁辽阳一模,多选题)为了丰富校园文化生活,展现学生的才艺风采,激发学生的艺术创造力和表现力,某校举行了“绽放青春,艺路有你”才艺大赛.甲、乙两名同学才艺表演结束后,6位评委对甲、乙进行打分(满分10分),得到如图所示的折线统计图,则(

BCD

)A.甲得分的平均数大于乙得分的平均数B.甲得分的众数大于乙得分的众数C.甲得分的中位数大于乙得分的中位数D.甲得分的方差大于乙得分的方差[解题过程]

甲、乙的得分从小到大排列如下,甲:7.0,8.3,8.9,8.9,9.2,9.3,乙:8.1,8.5,8.6,8.6,8.7,9.1,甲得分的中位数为8.9,乙得分的中位数为8.6,甲得分的中位数大于乙得分的中位数,故C正确;甲得分的众数为8.9,乙得分的众数为8.6,甲得分的众数大于乙得分的众数,故B正确;

5.☆(2025上海卷,1)已知全集U={x|2≤x≤5,x∈R},集合A={x|2≤x<4,x∈R},则∁UA=

{x|4≤x≤5,x∈R}

.

[解题过程]

根据补集的含义知∁UA={x|4≤x≤5,x∈R}.B组

综合性题组题号选题理由1通过阅读理解,掌握解题的关键点,精确观察图象,运用弧长公式计算地球的半径2通过观察已知和问题的联系,根据全概率公式和对立事件的概率公式求值即可3观察等式特点,对其恰当变形,通过构造新数列,求通项公式4借助图形,观察几何关系,利用平行四边形性质、三角函数定义和余弦定理、中线向量表达式等进行判断求解5考查正切两角和与差公式,通过观察发现两个已知式的关联点,即可求解

C组

应用性题组题号选题理由1务必明确集合A中元素所应满足的范围2分析并观察条件与问题之间的联系,确立二者之间的突破点,进而解决最值问题3仔细阅读题目,准确识别切入点,掌握关键要素,运用双曲线的定义以及a,b,c之间的关系进行求解4观察函数解析式,分析求导后式子的结构,代值运算即可求解5在处理概率统计问题时,必须进行彻底的阅读、深入的理解,并准确地把握题目的意图,仔细观察其中的关系

[解题过程][方法1]由题意可知,f(x)的定义域为(-b,+∞).令x+a=0,解得x=-a;令ln(x+b)=0,解得x=1-b.若-a≤-b,当x∈(-b,1-b)时,可知x+a>0,ln(x+b)<0,此时f(x)<0,不合题意;若-b<-a<1-b,当x∈(-a,1-b)时,可知x+a>0,ln(x+b)<0,此时f(x)<0,不合题意;若-a=1-b,当x∈(-b,1-b)时,可知x+a<0,ln(x+b)<0,此时f(x)>0;当x∈[1-b,+∞)时,可知x+a≥0,ln(x+b)≥0,此时f(x)≥0,可知若-a=1-b,符合题意;若-a>1-b,当x∈(1-b,-a)时,可知x+a<0,ln(x+b)>0,此时f(x)