2026高考蓝皮书高考关键能力培养与应用第2节　2.1　表达的严谨性

数学第二节数学语言表达能力能力阐释数学语言表达能力是一个多维度、综合性的能力体系,主要涵盖了严谨性和规范性两大方面.“用数学的语言表达现实世界”是让学生学会面对现实世界的现象或问题,用数学的思维方式将实际问题抽象化,运用符号表达、建立模型,进而对模型进行逻辑分析、推理和计算,然后把结果用多数人能理解的语言表述出来.语言表达能力的考查不仅仅是对数学语言运用能力的考查,更是对思维过程的考查,通过考生的答题过程判断考生是否真正理解数学概念、是否真正掌握数学思维方法、是否具有信息处理能力和批判性思维的能力.能力表现会用数学语言表达世界是学生所应具备的基本数学素养之一.具体地说,数学表达既包括表达和聆听,也包括阅读、解决问题和呈现答案,就是学生面临一定的问题情境时,能通过分析、思考,在所面临的情境中构建数学模型,并准确合理地使用数学的语言给出严谨规范的表达.数学语言表达的思维路径如下:

第三步:适当生成解题逻辑①要证明面面垂直,根据面面垂直的判定定理需要从一个面内找到一条直线垂直于另一条直线,而根据面面垂直的性质定理可知此条直线必垂直于两个平面的交线,因此在两个平面内只需找到交线PA的垂线AB或者AD,接下来只需证明AB⊥平面PAD或AD⊥平面PAB即可;②要证明点O在平面ABCD上,可以建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标,假设P,B,C,D在同一球面O上,在平面xAy中,得出点O坐标,进而得出点O在空间中的坐标,计算出|OP|=|OB|=|OC|=|OD|,即可证明结论,也可以作出△BCD的边BC和CD的垂直平分线,找到三角形的外心O1,求出PO1,求出外心O1到P,B,C,D的距离相等,得出外心O1即为P,B,C,D所在球的球心,即可证明结论;

第四步:严谨规范表达思维(1)[方法1]在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴AP⊥AB,又AB⊥AD,AP⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,AP∩AD=A,∴AB⊥平面PAD.∵AB⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD.[方法2]在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴AP⊥AD.又AB⊥AD,AP⊂平面PAB,AB⊂平面PAB,AP∩AB=A,∴AD⊥平面PAB.∵AD⊂平面PAD,∴平面PAB⊥平面PAD.

从近几年的高考试题来看,解答题的问题设置越来越灵活,试题的创新性和多样化对学生的数学表达能力提出了更高要求.能力评价水平质量描述水平一在简单的情境中,能准确使用数学语言表达现实世界中的简单数量关系和空间形式,并且能够进行准确的交流和表达水平二在关联的情境中,能准确使用数学语言表达现实世界中的复杂数量关系和空间形式,合理地进行数学语言转化,进行初步的推理论证,并且能够进行准确的交流和表达水平三在复杂的情境中,能灵活地进行数学语言转化,形成解决问题的思路,进行严谨的推理论证,规范表达自己的思维与观点,并且能够进行准确的交流和表达高考链接关键能力2025年2024年2023年新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷全国甲卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷全国甲卷全国乙卷数学语言表达能力表达的严谨性8,16,184,17,1816,18,198,13,18理11,理2018,19,222,11,22理5,文17,理21理4,理20表达的规范性15,1915,16,191316,17文14,理1718,20,2116文18,理20理202.1表达的严谨性严谨性是数学学科的基本特征,它要求数学结论的叙述必须精炼、准确,对结论的推理既严格又周密,思维过程的严密性也体现出数学语言表达的严谨性,严谨的数学表达就是做到表达的正确性、逻辑性和简洁性.

[思维路径]

学友聊斋

学友聊斋

[思维路径]

学友聊斋能

力训

练A组

基础性题组题号选题理由1本题是考查分式不等式求解,解决本题要注意分式表达的严谨性,如果忽略分母不为零就很容易误选A2考查函数的性质,注意偶函数定义表达的严谨性3考查三角恒等变换和同角三角函数关系式,要注意角的范围,表达要严谨4考查Sn与an的关系,要注意n的取值范围,表达要严谨

4.(☆☆)(2023全国甲卷,理17节选)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a2=1,2Sn=nan.求{an}的通项公式.[解题过程]由题意可知,2Sn=nan,①当n≥2时,2Sn-1=(n-1)an-1,②①-②得2an=nan-(n-1)an-1,∴(n-1)an-1=(n-2)an.

B组

综合性题组题号选题理由1考查函数的对称性和单调性及一元二次不等式求解,表达要严谨2考查二项分布和全概率公式,注意事件的表述及概率表达的严谨性3考查直线与双曲线的综合问题,要注意严谨地表达直线方程4本题考查空间中线面平行关系的证明以及线面角的求解,证明时由线线平行得线面平行时一定要注意表达的严谨性,求线面角时要搞清楚所求的向量所成角与要求的线面角的关系,注意表达的严谨性5本题考查导数的综合应用,包括构造函数研究函数的单调性、函数值、极值、零点以及比大小等等,在研究函数性质及证明结论时要注意表达的严谨性

2.(☆☆)(2025广东二调)某市举办一年一度的风筝节,吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况,有关部门随机抽取了200位游客,对其出行方式进行了问卷调查(每位游客只填写一种出行方式),具体情况如下:出行方式地铁公交车出租车自驾骑行步行频数542738421821用上表样本的频率估计概率,低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行.(1)若从参加活动的所有游客中随机抽取3人,这3人中低碳出行的人数记为X,求P(X=2)和E(X);(2)据另一项调查显示,80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动,60%的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动,求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率.

4.(☆☆☆)(2025北京卷,17)如图,在四棱锥P-ABCD中,△ABC与△ADC均为等腰直角三角形,∠BAC=90°,∠ADC=90°,E为线段BC的中点.(1)若F,G分别为线段PD,PE的中点,求证:FG∥平面PAB;(2)若PA⊥平面ABCD,PA=AC,求AB与平面PCD夹角的正弦值.

(ⅱ)由(ⅰ)知,g(x1)<g(0)=0,∴g(x1)=f(2x1)-f(0)<0,即f(2x1)<f(0)=0,又x2为f(x)的零点,∴f(x2)=0,∴f(2x1)<f(x2).由(1)知,f(x)在(x1,+∞)上单调递减,且x2>x1,∴2x1>x2.C组

应用性题组题号选题理由1考查线性相关系数r的应用,要注意表达的规范性2考查事件的独立性及概率问题,注意事件关系严谨表达,进而准确计算概率3本题本质是考查指数运算,但首先要把表达对象用符号语言严谨表达出来4考查独立性检验与条件概率的计算,注意公式使用的严谨性5考查回归分析和离散型随机变量的分布列,注意表达的严谨性1.(☆)(2023天津卷,7)调查某种花的花萼长度和花瓣长度,所得数据如图所示,其中相关系数r=0.8245.下列说法正确的是(

C

)A.花瓣长度和花萼长度没有相关性B.花瓣长度和花萼长度呈负相关C.花瓣长度和花萼长度呈正相关D.若从样本中抽取一部分,则这部分的相关系数一定是0.8245[解题过程]

由题中散点图可知这些散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近,表明随花萼长度的增加,相应的花瓣长度呈增加的趋势,由成对样本数据的分布规律可知两者呈线性相关关系,且为正相关,故A,B错误,C正确;样本具有随机性,样本相关系数会随着样本成对数据的变化而变化,故D错误.故选C.2.(☆☆)(2022全国乙卷,理10)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p,则(

D

)A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大[解题过程]

设该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为p甲,第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为p乙,第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为p丙,则p甲=p1p2(1-p3)+p1p3(1-p2)=p1p2+p1p3-2p1p2p3,p乙=p1p2(1-p3)+p2p3(1-p1)=p1p2+p2p3-2p1p2p3,p丙=p1p3(1-p2)+p2p3(1-p1)=p1p3+p2p3-2p1p2p3,所以p丙-p甲=p2(p3-p1)>0,p丙-p乙=p1(p3-p2)>0,所以p丙最大.故选D.

4.(☆☆☆)(2022新高考Ⅰ卷,20)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:分类不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?

P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

5.(☆☆☆)(2025东北三省四城市联考)某网店发现其某款商品的日销售量与该店在购物平台的日访问量呈线性相关关系,为了吸引更多的顾客购买该商品,在购物平台上推出了A和B两款互动游戏,顾客在参与游戏后,有机会获得优惠券.下图是该商品日销售量y(单位:千件)与日访问量x(单位:万人)的散点图:

X123…n-1nP…

D组

创新性题组题号选题理由1以新定义“n阶完美集”考查集合元素性质,注意定义表达的严谨性2以圆锥曲线的参数方程为背景考查三角恒等变换,注意公式应用的严谨性3考查概率的实际应用,注意对结论的实际含义的严谨表达4以新定义“可分数列”为背景考查数列与概率的知识,注意新定义表达的严谨性1.(☆☆☆)(2025湖北武汉二调,多选题)已知n∈N*,记|A|为集合A中元素的个数,min(A)为集合A中的最小元素.若非空数集A⊆{1,2,…,n},且满足|A|≤min(A),则称集合A为“n阶完美集”.记an为全部n阶完美集的个数,下列说法中正确的是(

ABD

)A.a4=7B.将n阶完美集A的元素全部加1,得到的新集合,是n+1阶完美集C.若A为n+2阶完美集,|A|>1且n+2∈A,满足条件的集合A的个数为an+1-nD.若A为n+2阶完美集,|A|>1且n+2∉A,满足条件的集合A的个数为an+1-n-1[解题过程]当非空数集A是{1,2,3,4}子集中含1个元素的子集时,|A|=1.根据“n阶完美集”的定义,{1,2,3,4}中大于等于1的数有1,2,3,4共4个,所以此时A可以是{1},{2},{3},{4}.当非空数集A是{1,2,3,4}子集中含2个元素的子集时,|A|=2.{1,2,3,4}中大于等于2的数有2,3,4共3个,所以此时A可以是{2,3},{2,4},{3,4}.当非空数集A是{1,2,3,4}子集中含3个元素的子集时,|A|=3.{1,2,3,4}中大于等于3的数有3,4共2个,不满足“n阶完美集”的定义,所以{1,2,3,4}中3个元素的子集不满足.同理,{1,2,3,4}中含4个元素的子集也不满足.综上,4阶完美集有{1},{2},{3},{4},{2,3},{2,4},{3,4},所以a4=7,故A正确;若将“n阶完美集”A中元素全部加1,A中元素个数不变,但min(A)加1变大,均不违背“n+1阶完美集”的定义,所以得到的新集合是一个“n+1阶完美集”,故B正确;若n=4,满足条件的集合A的个数为8,而a5=5+6+1=12,故C错误;对于满足“n+2阶完美集”的所有A,n+2不属于所有A,可视为退化为“n+1阶完美集”的情况,总个数为an+1.又因为|A|>1,所以满足条件的集合A要排除掉“n+1阶完美集”中只含有1个元素的情形(排除n+1个单元素集合),因此满足条件的集合A的个数均为an+1-(n+1)=an+1-n-1,故D正确.故选ABD.

3.(☆☆☆☆)(2021新高考Ⅱ卷,21)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代……,该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X);(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,求证:当E(X)≤1时,p=1,当E(X)>1时,p<1;(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.[解题过程](1)E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.(2)证明:令f(x)=p0+p1x+p2x2+p3x3-x,x>0,则f'(x)=p1+2p2x+3p3x2-1,f″(x)=2p2+6p3x≥0,∴f'(x)在(0,+∞)上单调递增.E(X)=0·p0+1·p1+2·p2+3·p3=p1+2p2+3p3.①当E(X)≤1时,得p1+2p2+3p3≤1,∵在(0,1]内,f'(x)单调递增,∴f'(x)≤f'(1)=p1+2p2+3p3-1≤0,∴f'(x)≤0,∴f(x)在(0,1]内是单调递减的,则f(x)≥f(1),又f(1)=p0+p1+p2+p3-1=0,∴f(x)在(0,1]内有唯一的零点x=1,故p=1;②当E(X)>1时,得p1+2p2+3p3>1,即p1+2p2+3p3-1>0.则f'(1)=p1+2p2+3p3-1>0.又f'(0)=p1-1<0,且f'(x)是连续的单调函数,∴f'(x)在(0,1]内有唯一的零点x0,在(0,x0)内f'(x)<0,f(x)单调递减,在(x0,1)内f'(x)>0,f(x)单调递增.∵f(0)=p0>0,f(1)=p0+p1+p2+p3-1=0,∴f(x0)<f(1)=0,∴f(x)在(0,x0)上有唯一的零点x1,且p=x1<1.(3)当1个微生物个体繁殖下一代的数学期望值小于或等于1时,这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝;当1个微生物个体繁殖下一代的数学期望大于1时,这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能.

[解题过程](1)枚举法(i,j)=(1,2),剩余数列:a3,a4,a5,a6;(i,j)=(1,3),剩余数列:a2,a4,a5,a6;(i,j)=(1,4),剩余数列:a2,a3,a5,a6;(i,j)=(1,5),剩余数列:a2,a3,a4,a6;(i,j)=(1,6),剩余数列:a2,a3,a4,a5;(i,j)=(2,3),剩余数列:a1,a4,a5,a6;(i,j)=(2,4),剩余数列:a1,a3,a5,a6;(i,j)=(2,5),剩余数列:a1,a3,a4,a6;(i,j)=(2,6),剩余数列:a1,a3,a4,a5;(i,j)=(3,4),剩余数列:a1,a2,a5,a6;(i,j)=(3,5),剩余数列:a1,a2,a4,a6;(i,j)=(3,6),剩余数列:a1,a2,a4,a5;(i,j)=(4,5),剩余数列:a1,a2,a3,a6;(i,j)=(4,6),剩余数列:a1,a2,a3,a5;(i,j)=(5,6),剩余数列:a1,a2,a3,a4.故符合条件的(i,j)为(1,2),(1,6),(5,6).

[方法2]当m=3时,设a1,a2,…,a14的公差为d(d≠0).∵a1,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10,a11,a12,a14可分成3组:(a1,a4,a7,a10),(a3,a6,a9,a12),(a5,a8,a11,a14),且每组的4个数均能构成公差为3d的等差数列.∴m=3时符合.当m>3时,数列a1,a2,…,a4m+2去掉a2,a13后,剩余的项中的a1,a3,a4,…,a11,a12,a14还按m=3时的分法,即(a1,a4,a7,a10),(a3,a6,a9,a12),(a5,a8,a11,a14),剩余的项a15,a16,…,a4m+2每4个相邻的项为一组即可,即(a15,a16,a17,a18),…,(a4m-1,a4m,a4m+1,a4m+2),共m-3组,且每一组的4个数都能构成等差数列,∴数列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)—可分数列.[方法3]由题意知,相应项的下标成等差数列是相应项成等差数列的充要条件,∴等差数列a1,a2,…,a4m+2去掉第2项a2和第13项a13后,剩余项组成的数列为a1,a3,a4,…,a12,a14,a15,a16,…,a4m+2,其中a1,a3,a4,…,a12,a14可分为3组,分别为(a1,a4,a7,a10),(a3,a6,a9,a12),(a5,a8,a11,a14),且每组的4个数均构成等差数列,其余的项ak,k∈[15,4m+2]按照每连续4个为一组,可被平均分为m-3组,