2026高考蓝皮书高考关键能力培养与应用第2节　2.1　数量与数量关系的数学抽象

数学第二节数学抽象能力能力阐释数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象,得到数学研究对象的素养.主要包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并用数学语言予以表达.通过高中数学课程的学习,学生能够从具体情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系,积累从具体到抽象的活动经验;培养在日常生活中和实践中进行一般性思考问题的习惯,把握事物的本质,以简驭繁;运用数学抽象的思维方式来思考和解决问题.能力表现数学抽象贯穿于数学产生、发展、应用的全过程,是数学的基本思想,也是形成理性思维的重要基础,反映了数学的本质特征.数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统.进行数学抽象的思维路径如下:

第三步:形成数学方法与思想函数思想是通过建立函数关系式或构造新函数,利用函数的单调性解决大小比较的问题.第四步:认识数学结构与体系能力评价水平质量描述水平一能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则,能够在特例的基础上,归纳并形成简单的数学命题,能够模仿学过的数学方法解决简单问题.能够解释数学概念和规则的含义,了解数学命题的条件与结论;能够在熟悉的情境中抽象出数学问题.能够了解用数学语言表达的推理和论证;能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法,体会其中的数学思想.在交流的过程中,能够结合实际情境解释相关的抽象概念水平质量描述水平二能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则,能够将已知数学命题推广到更一般的情形,能够在新的情境中选择和运用数学方法解决问题.能够用恰当的例子解释抽象的数学概念和规则;理解数学命题的条件与结论;能够理解和构建相关数学知识之间的联系.能够理解用数学语言表达的概念、规则、推理和论证;能够提炼出解决一类问题的数学方法,理解其中的数学思想.在交流的过程中,能够用一般的概念解释具体现象水平质量描述水平三能够在综合的情境中抽象出数学问题,并用恰当的数学语言予以表达;能够在得到的数学结论基础上形成新命题;能够针对具体问题运用或创造数学方法解决问题.能够通过数学对象、运算或关系理解数学的抽象结构,能够理解数学结论的一般性,能够感悟高度概括、有序多级的数学知识体系.在现实问题中,能够把握研究对象的数学特征,并用准确的数学语言予以表达;能够感悟通性通法的数学原理和其中蕴含的数学思想.在交流的过程中,能够用数学原理解释自然现象和社会现象高考链接数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象得到数学研究对象的素养.作为六大数学核心素养之首,数学抽象是数学的基本思想,是形成理性思维的基础.在众多数学关键能力中,数学抽象作为数学学习的基础,是形成数学概念、构建数学模型、提升数学思想、完成命题推演的必备能力.在高考中它常在函数与导数、平面解析几何、数列、概率统计等多个知识模块中进行考查.近三年高考中,考查数学抽象的试题分布情况如下:关键能力2025年2024年2023年新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷全国甲卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷全国甲卷全国乙卷数学抽象数量与数量关系的数学抽象3,5,6,8106,115,6理12,理1811,194,6,11,18理12,理17,理21理10,理16,理21关键能力2025年2024年2023年新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷全国甲卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷全国甲卷全国乙卷数学抽象图形与图形关系的数学抽象7,106,115,7,127,10文3,理3,理7,文10,理146,14,155,14,16理10,理11,理15理5,理8,理9,理11生活实践情境的数学抽象614

4,18理171012

2.1数量与数量关系的数学抽象

例1

(2025天津卷,11)在(x-1)6的展开式中,x3的系数为

.

[思维路径]

学友聊斋

[思维路径]

学友聊斋

[思维路径]

学友聊斋能

力训

练A组

基础性题组题号选题理由1通过数据,利用平均数和中位数定义,进行相关计算2利用周期性和奇偶性把待求自变量转化为[2,3]的范围中求解3以分段函数为载体,由解析式抽象出图形,由图形得性质,利用性质解不等式4以复合函数为载体,抽象出同增异减法则,得出结果5利用赋值法可求a0,利用换元法结合赋值法可求a1+a2+a3+a4的值

B组

综合性题组题号选题理由1根据正切函数的对称中心的结论抽象出算法,解决问题2抽象函数为载体,根据它运算,抽象出性质,利用性质比较大小3以抽象函数为载体,通过赋值法,抽象出性质,利用性质做出判断4结合指数、对数的运算,抽象出指对函数,利用它们的图象解题

C组

应用性题组题号选题理由1在实际生活中考查百分位数的定义2根据实际问题抽象出数学模型,结合对数的运算性质即可求解3在实际问题中抽象出向量,考查向量的图形运算和坐标运算4实际问题中的分组分配问题,应用排列组合知识解题5以天文学中天体明暗程度为背景,考查对数的运算

3.☆☆(2025新高考Ⅰ卷,6)帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小与方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和,其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示(线段长度代表速度大小,单位:m/s),级数名称风速大小(单位:m/s)2轻风1.6~3.33微风3.4~5.44和风5.5~7.95劲风8.0~10.7图1图2

D组

创新性题组题号选题理由1由表格数据抽象出数学模型,进而做出判断2根据条件抽象出点P的轨迹方程,利用图形求最值3抽象出曲线C,再应用三角换元,结合点到直线距离公式及三角函数值域得出最大距离4根据题意作图时,根据点与圆的位置关系进行讨论,结合各曲线定义,得出轨迹方程5第(2)问由题目条件得2m+3m-10=0,抽象出对应函数,结合函数的单调性可得结果

l0123WW00.5W00.25W00.125W0[解题过程]

由图表中数据可知函数模型满足:第一,定义域为[0,3];第二,在定义域单调递减且单位减少率变慢;第三,函数图象过(0,W0).函数W=W0·log0.5(l+1)和W=0.5W0l图象不过(0,W0),不符合条件,故B,C错误;函数W=W0+0.5l单调递增,故A错误;D选项,W=W0·(0.5)l满足上述条件,故D正确.故选D.

4.☆☆☆☆(2025吉林长春三模,多选题)在平面内,存在定圆M和定点A,点P是圆M上的动点,若线段PA的中垂线交直线PM于点Q,关于点Q轨迹叙述正确的是(

ABD

)A.当点A与圆心M重合时,点Q的轨迹为圆B.当点A在圆M内且不与圆心M重合时,点Q的轨迹为椭圆C.当点A在圆M上时,点Q的轨迹为抛物线D.当点A在圆M外时,点Q的轨迹为双曲线

当点A在圆M上时,如图所示,根据圆的性质可知线段PA的中垂线与直线PM的交点Q即为圆心M,轨迹为一个点,故选项C错误;当点