2026高考蓝皮书高考关键能力培养与应用第2节　2.2　表达的规范性

数学2.2表达的规范性数学表达是将数学概念和思想用恰当的数学语言具体表示和传达的过程.它包括准确的数学符号和术语、清晰的逻辑结构、有效的数学符号和公式使用.遵循规范的数学语言和表达,能够提高数学学习效果,促进数学研究和创新,同时也有利于培养学生的数学思维和逻辑推理能力.例1

(2025北京卷,18)有一道选择题考查了一个知识点,甲、乙两校各随机抽取100人,甲校有80人答对,乙校有75人答对,用频率估计概率.(1)从甲校随机抽取1人,求这个人做对该题目的概率;(2)从甲、乙两校各随机抽取1人,设X为做对的人数,求恰有1人做对的概率以及X的数学期望;(3)若甲校同学掌握这个知识点,则有100%的概率做对该题目,乙校同学掌握这个知识点,则有85%的概率做对该题目,未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个,设甲校学生掌握该知识点的概率为p1,乙校学生掌握该知识点的概率为p2,试比较p1与p2的大小(结论不要求证明).[思维路径]

X012P0.050.350.6故E(X)=1×0.35+2×0.6=1.55.

学友聊斋例2

(2025天津卷,19)已知数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,a1=b1=2,

a2=b2+1,a3=b3.(1)求{an},{bn}的通项公式;(2)∀n∈N*,I∈{0,1},有Tn={p1a1b1+p2a2b2+…+pn-1an-1bn-1+pnanbn|p1,p2,…,

pn-1,pn∈I},(ⅰ)求证:对任意实数t∈Tn,均有t<an+1bn+1;(ⅱ)求Tn所有元素之和.[思维路径]

[思维路径]

能

力训

练A组

基础性题组题号选题理由1考查图形语言与符号语言的转化,要注意表达的规范性2考查双曲线的焦点三角形,注意双曲线标准方程的规范表达3考查函数的公切线问题,注意导数的几何意义应规范表达为切点处切线的斜率4考查导数的综合应用,注意解答过程中数学语言表达的规范性5考查立体几何中的线线垂直和二面角的应用,注意规范建立空间直角坐标系进而利用向量求解1.(☆)(2022北京卷,7)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论正确的是(

D

)A.当T=220,P=1026时,二氧化碳处于液态B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态C.当T=300,P=9987时,二氧化碳处于超临界状态D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态[解题过程]

对于选项A,lg

P=lg

1

026>3,T=220,根据图象可知二氧化碳处于固态;对于选项B,lg

P=lg

128>2,T=270,根据图象可知二氧化碳处于液态;对于选项C,lg

P=lg

9

987≈3.999,T=300,根据图象可知二氧化碳处于固态;对于选项D,lg

P=lg

729>2,T=360,根据图象可知二氧化碳处于超临界状态.故选D.

(3)证明:设函数F(x)=f(x+t)-f(x)(x>0),F'(x)=f'(x+t)-f'(x)=g(x+t)-g(x).因为t>0,所以x+t>x>0.因为g(x)在[0,+∞)上单调递增,所以g(x+t)>g(x),即g(x+t)-g(x)>0,F'(x)>0,所以F(x)在(0,+∞)上单调递增.又因为s>0,所以F(s)>F(0),即f(s+t)-f(s)>f(t)-f(0).又f(0)=0,所以f(s+t)>f(s)+f(t).

B组

综合性题组题号选题理由1考查三角恒等变换和三角函数图象和性质,要注意推理的规范性2考查数列中Sn与an的关系、求通项、求和及数列与不等式问题的综合应用,要注意求解过程的规范表达3考查待定系数法求椭圆方程及直线与椭圆的位置关系,解决本题的关键在于规范表达△OAB的面积和|AB|以及准确的数学计算4考查独立事件与互斥事件的概率求解以及随机变量的分布列,注意求解过程的规范性5考查椭圆的标准方程以及直线和椭圆的位置关系的综合应用,注意点的坐标和证明结论的规范表达

X123…k…P……

C组

应用性题组题号选题理由1考查回归分析与残差分析,求解的关键是对残差的规范表达2考查对数的实际应用,求解中注意对数不等式的规范求解3本题的解决关键是如何将已知条件与所求问题用恰当的数学符号规范表达4考查圆台的体积,注意圆台高的准确表达5考查独立性检验和全概率公式,注意各事件概率的规范表达

3.(☆☆☆)(2025浙江温州第二次适应性考试,多选题)甲、乙两人用动漫卡牌玩游戏.游戏开局时桌上有n盒动漫卡牌,每个盒子上都标有盒内卡牌的数量,每盒卡牌的数量构成数组(a1,a2,…,an),游戏规则如下:两人轮流抽牌,每人每次只能选择其中一盒并抽走至少一张卡牌,若轮到某人时无卡可抽,则该人输掉游戏.现由甲先抽,则下列开局中,能确保甲有必胜策略的是(

ACD

)A.(1,3) B.(1,2,3)C.(3,3,6) D.(3,4,5)

甲乙

(1)食堂对A套餐的菜品种类与品质等方面进行了改善后,对员工对于A套餐的满意程度进行了调查,统计了120名员工的数据,如下表(单位:人).套餐A满意度A套餐改善前A套餐改善后合计满意204060不满意303060合计5070120

α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828(2)若A套餐拟提供2种品类的素菜,n(n≥3,n∈N+)种品类的荤菜,员工小李从这些菜品中选择3种菜品,记选择素菜的种数为X,求P(X=1)的最大值,并求此时n的值.(3)设员工小李第n天选择B套餐的概率为Pn,求Pn.

D组

创新性题组题号选题理由1考查正态分布和函数的对称性,注意函数对称性的规范表达2以集合和向量为背景考查新定义问题和随机变量的分布列和期望,要注意所求对象的规范表达3以“格点”“3格曲线”为情境,考查椭圆的离心率、古典概型以及直线与椭圆的综合问题,求解中注意对新定义的规范表达4以集合中元素个数构造数列,考查等差、等比数列的综合问题,解题中注意数学符号的规范使用

[解题过程](1)设c=(c1,c2,c3,c4),ci∈{0,1},i∈{1,2,3,4},因为a=(0,1,1,1),b=(1,1,0,1),a·c=b·c=2,所以c2+c3+c4=2,c1+c2+c4=2,所以c1=c3.若c1=c3=0,则c2=c4=1,若c1=c3=1,则c2=1,c4=0或c2=0,c4=1,所以满足a·c=b·c=2的c为(1,1,1,0),(1,0,1,1),(0,1,0,1).

所以随机变量X的分布列为

XP0123……n-1

所以随机变量X的分布列为

XP0123……n-1

4.(☆☆☆)(2025