2025-2026学年第三章二次函数应用题专项练习鲁教版（王四制）九年级数学上册【附答案】

/初四数学1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？2．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3．（1）求出这个抛物线的对称轴方程和顶点坐标；（2）在给定的坐标系中画出这条抛物线，设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求△ABC的面积．3．如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9m，AB＝36m，D、E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为m．4．如图，某学校的校门是一抛物线形状的建筑物，地面宽度为8m，两侧距地面6m高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为4m，则校门的高度为m．5．某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．6．某市体育馆为了让体育运动的人方便停车，体育馆利用一块矩形空地建了一个停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为58米，宽为22米，阴影部分为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位的面积为700平方米．（1）求通道的宽是多少米？（2）该停车场共有车位70个，据调查分析，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，那么停车场的月租金收入最大为多少元？7．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，当售价为30元时销量为200件，每涨1元少卖10件，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？8．为满足市场需求，郴州某超市在“中秋节”来临前夕，购进一种品牌月饼，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种月饼的每盒售价不得高于57元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售月饼多少盒？9．某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？10．某商店经营一种商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件（1）假定每件商品降价x元，商店每天销售这种商品的利润是y元，请写出y与x间的函数关系式．（2）若商店每天销售这种商品的利润要达到6000元，则每件商品应降价多少元？（3）每件商品销售价是多少元时，商店每天销售这种商品的利润最大？最大利润是多少？宏达汽车租赁公司共有出租车120辆，每辆汽车的日租金为160元，出租业务天天供不应求，为适合市场需求，经有关部门批准，公司准备适当提高日租金，经市场调查发现，每辆汽车的日租金每增加10元，每天出租的汽车相应的减少6辆，若不考虑其他因素，公司将每辆汽车的日租金提高几个10元时，才能使公司的日租金收入最高？这时公司的日租金总收入比提高租金前增加了多少元？12．在一块等腰直角三角形区域内要建一个内接于Rt△ABC的矩形水池DEFN，其中DE在AB上，AC＝8米，∠ACB＝90°（1）求△ABC中AB边上的高h；（2）设DN＝x米，请用x表示NF；（3）设水池DEFN面积为y（平方米），试确定y与x的函数表达式；（4）请确定点N在AC什么位置时y最大，最大值是多少？

参考答案与试题解析一．二次函数的最值（共1小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？【解答】解：（1）动点D运动x秒后，BD＝2x．又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．∵DE∥BC，∴，∴，∴y关于x的函数关系式为y＝（0＜x＜4）．（2）解：S△BDE＝＝＝（0＜x＜4）．当时，S△BDE最大，最大值为6cm2．二．抛物线与x轴的交点（共1小题）2．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3．（1）求出这个抛物线的对称轴方程和顶点坐标；（2）在给定的坐标系中画出这条抛物线，设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求△ABC的面积．【解答】解：（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标是（1，4），对称轴是直线x＝1；（2）画图象：在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0）．又∵C（0，3），∴AB＝4，OC＝3，∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6．三．二次函数的应用（共8小题）3．如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9m，AB＝36m，D、E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为48m．【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，x轴在直线DE上，y轴经过最高点C．设AB与y轴交于点H，∵AB＝36m，∴AH＝BH＝18m，由题可知：OH＝7m，CH＝9m，∴OC＝9+7＝16cm，∴C（0，16）、B（18，7）．设该抛物线的解析式为：y＝ax2+16，将B（18，7）代入得：∴7＝18×18a+16，∴a＝﹣，∴抛物线：y＝﹣x2+16，当y＝0时，即：0＝﹣x2+16，∴x＝±24，∴E（24，0），D（﹣24，0），∴OE＝OD＝24m，∴DE＝OD+OE＝24+24＝48m，故答案为：48．4．如图，某学校的校门是一抛物线形状的建筑物，地面宽度为8m，两侧距地面6m高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为4m，则校门的高度为8m．【解答】解：如图所示：由题意可得，A（8，0），B（2，6），设二次函数解析式为：y＝ax（x﹣8），则6＝2a（2﹣8），解得：a＝﹣，故二次函数解析式为：y＝﹣x（x﹣8）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣4）2+8，则校门的高度为8m．故答案为：8．5．某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．【解答】解：设矩形鸡场与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（47﹣2x+1）m，由题意可得：y＝x（47﹣2x+1），即y＝﹣2（x﹣12）2+288，由题意，解得11.5≤x＜24，∵﹣2＜0，∴当x＝12时，y有最大值为288，当x＝12时，47﹣x﹣（x﹣1）＝24＜25（符合题意），∴鸡场的最大面积为288m2．6．某市体育馆为了让体育运动的人方便停车，体育馆利用一块矩形空地建了一个停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为58米，宽为22米，阴影部分为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位的面积为700平方米．（1）求通道的宽是多少米？（2）该停车场共有车位70个，据调查分析，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，那么停车场的月租金收入最大为多少元？【解答】解：（1）设通道的宽为x米，根据题意得：（58﹣2x）（22﹣2x）＝700，解得：x＝36（舍去）或x＝4，答：通道的宽为4米；（2）设月租金上涨a元，设停车场的月租金收入为w元，根据题意得：w＝（300+a）（70﹣a）＝﹣（a﹣700）（a+300），∵﹣＜0，故w有最大值，当a＝×（700﹣300）＝200（元）时，w的最大值为25000（元），答：停车场的月租金收入最大为25000元．7．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，当售价为30元时销量为200件，每涨1元少卖10件，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？【解答】解：（1）由题意，得：w＝（x﹣20）•y＝（x﹣20）•（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000，即w＝﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32）；（2）对于函数w＝﹣10x2+700x﹣10000的图象的对称轴是直线．又∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下．∴当20≤x≤32时，W随着x的增大而增大，∴当x＝32时，W＝2160答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．（3）取W＝2000得，﹣10x2+700x﹣10000＝2000解这个方程得：x1＝30，x2＝40．∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下．∴当30≤x≤40时，w≥2000．∵20≤x≤32∴当30≤x≤32时，w≥2000．设每月的成本为P（元），由题意，得：P＝20（﹣10x+500）＝﹣200x+10000∵k＝﹣200＜0，∴P随x的增大而减小．∴当x＝32时，P的值最小，P最小值＝3600．答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．8．为满足市场需求，郴州某超市在“中秋节”来临前夕，购进一种品牌月饼，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种月饼的每盒售价不得高于57元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售月饼多少盒？【解答】解：（1）由题意得：y＝700﹣20（x﹣45）＝﹣20x+1600；（2）P＝（x﹣40）（﹣20x+1600）＝﹣20x2+2400x﹣64000＝﹣20（x﹣60）2+8000，∵x≥45，a＝﹣20＜0，∴当x＝60时，P最大值＝8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；（3）由题意，得﹣20（x﹣60）2+8000＝6000，解得x1＝50，x2＝70，∵抛物线P＝﹣20（x﹣60）2+8000的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天销售糕点的利润不低于6000元的利润，又∵x≤57，∴50≤x≤57．∵在y＝﹣20x+1600中，k＝﹣20＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝57时，y最小值＝﹣20×57+1600＝460，即超市每天至少销售糕点460盒．9．某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）由题意得：y＝80+20×∴函数的关系式为：y＝﹣2x+200（30≤x≤60）（2）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝1800解得x1＝55，x2＝75（不符合题意，舍去）答：当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元．（3）设每月获得的利润为w元，由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝﹣2（x﹣65）2+2000∵﹣2＜0∴当x≤65时，w随x的增大而增大∵30≤x≤60∴当x＝60时，w最大＝﹣2（60﹣65）2+2000＝1950答：当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元．10．某商店经营一种商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件（1）假定每件商品降价x元，商店每天销售这种商品的利润是y元，请写出y与x间的函数关系式．（2）若商店每天销售这种商品的利润要达到6000元，则每件商品应降价多少元？（3）每件商品销售价是多少元时，商店每天销售这种商品的利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）由题意可得，y＝（13.5﹣x﹣2.5）（500+100x）＝﹣100x2+600x+5500，即y与x间的函数关系式是y＝﹣100x2+600x+5500；（2）当y＝6000时，6000＝﹣100x2+600x+5500，解得，x1＝1，x2＝5，即每件商品应降价1元或5元；（3）y＝﹣100x2+600x+5500＝﹣100（x﹣3）2+6400，∴x＝3时，y取得最大值，此时y＝6400，即每件商品销售价是3元时，商店每天销售这种商品的利润最大，最大利润是6400元．四．二次函数的应用（共1小题）11．宏达汽车租赁公司共有出租车120辆，每辆汽车的日租金为160元，出租业务天天供不应求，为适合市场需求，经有关部门批准，公司准备适当提高日租金，经市场调查发现，每辆汽车的日租金每增加10元，每天出租的汽车相应的减少6辆，若不考虑其他因素，公司将每辆汽车的日租金提高几个10元时，才能使公司的日租金收入最高？这时公司的日租金总收入比提高租金前增加了