2026高考蓝皮书高考关键能力培养与应用第2节　2.3　生活实践情境的数学抽象

数学2.3生活实践情境的数学抽象生活实践情境来自现实世界,它蕴含着丰富的数学信息.数学抽象方法的一个直接应用就是现实问题的抽象建模——通过建立数学模型来研究、解决问题.生活实践情境问题的数学抽象一般步骤如下:(1)分析问题:把情境问题转化为数学语言,找出问题的主要关系.(2)抽象问题:对问题合理简化,取主舍次,进而理想化、数学化,用数学语言和符号表示各种量的关系,并抽象为一个数学问题.(3)解决问题:把数学问题化为常规问题,选择合适的数学方法求解.例1

(2020全国Ⅰ卷,理5)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:由此散点图,在10℃至40℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(

)A.y=a+bx

B.y=a+bx2 C.y=a+bex D.y=a+blnx[思维路径][解题过程]

结合题中散点图,由图象的大致走向判断,此函数应该是对数函数模型,故应该选用的函数模型为y=a+bln

x.[答案]D学友聊斋

[思维路径]

学友聊斋例3

(2023上海卷,11)公园修建斜坡,假设斜坡起点在水平面上,斜坡与水平面的夹角为θ,斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米,游客每走一米消耗的体能为(1.025-cosθ),要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少,则θ=

.

[思维路径]

学友聊斋能

力训

练A组

基础性题组题号选题理由12实际问题中的解三角形3在实际问题中考查分步乘法计数原理可得4

2.☆☆☆(2025湖北八校三统联考)镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法,在如图所示的模型中,已知人眼距离地面高度h=1.5m,某建筑物高h1=4.5m,将镜子(平面镜)置于平地上,人后退至从镜中能够看到建筑物顶部的位置,测量人与镜子间的距离a1=1.2m,将镜子后移am,重复前面的操作,测量人与镜子间的距离a2=3.2m,则a=(

A

)A.6 B.5

C.4

D.3

B组

综合性题组题号选题理由1实际问题中抽象成数列问题,先根据已知得出a1,a9,再结合等差数列求和公式计算求解即可2在实际问题中考查分步乘法计数原理可得3实际问题中的立体几何问题,由题设可得球的半径为r=3,结合正四棱锥的结构特征及其外接球半径与棱长、底面边长的关系得6h=l2,进而得到纪念碑体积关于l的表达式,应用导数求其最大值,并确定对应的侧棱长4实际生活中超市里的奖励问题,利用排列数计算概率,再利用期望公式计算期望

C组

应用性题组题号选题理由1实际问题中排列组合数的问题2将立体几何问题转化为平面问题,将侧面ABB1A1和BCC1B1展开到同一个平面,利用两点之间线段最短求解即可3在双曲线电瓶新闻灯的实际问题中,利用双曲线的光学性质及正弦定理,求解离心率4在实际问题中,利用三垂线定理逆定理得出二面角的平面角,转化为解三角形1.☆☆(2025四川高三适应性考试第三次联考)甲、乙等6人参加某次会议,会议安排其前后两排入座,每排3人(如图所示),其中甲坐后排,乙与甲前后、左右均不相邻,则不同的坐法种数共有(

C

)A.144种 B.168种C.192种 D.216种

[解题过程]

如图1,设灯带经过侧棱BB1上的点E.如图2,连接A1B,将侧面ABB1A1和BCC1B1展开到同一个平面,图1图2

D组

创新性题组题号选题理由1以物理学、天文学为背景,考查分式函数的化简及三角函数的有界性2集合与概率相结合,综合性较高,考查学生的逻辑思维及运算能力3借助春晚背景,利用分类加法计数原理、乘法公式计算概率4考查数列中的累乘法、作差法求通项公式,列举法、反证法在数列中的创新应用,考查学生计算能力5概率中的创新,解决本题的关键是深入理解游戏得分的规则,找出累计得分n+1分与n分,n-1分之间的概率递推关系,从而得到G(n+1)与G(n),G(n-1)的关系式

4.☆☆☆(2025重庆九龙坡三模)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,(n-2)Sn+1+2an+1=nSn,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式.(2)若无穷的非常数数列{Tn}同时满足两个性质:①对于{Tn}中任意两项Ti,Tj(i>j),在{Tn}中都存在一项Tm,使得2Ti-Tj=Tm;②对于{Tn}中任意一项Tn(n≥3),在{Tn}中都存在两项Tk,Tl(k>l),使得Tn=2Tk-Tl.则称数列{Tn}为T数列.(ⅰ)判断数列{an}是否为T数列,并说明理由;(ⅱ)若数列{bn}是T数列且为单调递增数列,证明:数列{bn}是等差数列.

(2)(ⅰ)∵∀i,j∈N*,i>j,2ai-aj=2×2i-2j=2(2i-j),∴2ai-aj=a2i-j,∴{an}具有性质①.∵∀n∈N*,n≥3,∃k=n-1,l=n-2,2ak-al=4(n-1)-2(n-2)=2n=an,∴{an}具有性质②.∴数列{an}是T数列.(ⅱ)证明:∵{bn}是单调递增数列,首先利用性质②,取n=3,此时b3=2bk-bl=bk+(bk-bl)(k>l).由数列的单调性可知bk>bl,∴b3=bk+(bk-bl)>bk,故k<3,此时必有k=2,l=1,即b3=2b2-b1,即b1,b2,b3成等差数列,不妨设b2=b1+d,b3=b1+2d(d>0).利用性质①,取i=3,j=2,则bm=2b3-b2=2(b1+2d)-(b1+d)=b1+3d,即数列中必然存在一项的值为b1+3d.下面证明b4=b1+3d,若b4≠b1+3d,则由数列的单调性可知b4<b1+3d.在性质②中,取n=4,则b4=2bk-bl=bk+(bk-bl)>bk,从而k<4,则{k,l}⊆{1,2,3}(k>l).若k=3,l=2,则b4=2b3-b2=b1+3d,与假设矛盾;若k=3,l=1,则b4=2b3-b1=b1+4d,与假设矛盾;若k=2,l=1,则b4=2b