2025-2026学年第三章二次函数专项训练-二次函数与几何图形综合鲁教版（五四制）九年级数学上册【附答案】

/第三章二次函数专项训练二次函数与几何图形综合一二次函数与线段1.如图，已知抛物线与x轴交于A(1,0)和B(-5,0)两点，与y轴交于点C.直线y=−3(1)求抛物线的函数表达式；(2)若直线x=2.如图，抛物线y=−2(1)A,B,C三点的坐标为_________,__________,_________;(2)连接AP,交线段BC于点D,①当CP与x轴平行时，求PDDA②当CP与x轴不平行时，求PDDA3.如图，二次函数y=−(1)求直线AB的函数表达式及点C的坐标；(2)点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线.PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m.当二二次函数与面积(最值，定值)4.如图,抛物线y=x²+bx(1)求b,c的值;(2)点Px₀y₀(0<x₀<5)是抛物线上的动点.当5.如图，抛物线.y=(1)求m的值和直线BC对应的函数表达式；(2)点P为抛物线上一点，若S△PBC6.如图，抛物线y=ax²+x(1)求抛物线的表达式和点C的坐标；(2)若点M在直线BC上方的抛物线上运动(与点B,C不重合),求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积.三二次函数与图形存在性7.如图,抛物线y=x²+bx(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH,DH,求.MH+(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.8.如图,二次函数y=x²+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为(1，0)，对称轴是直线.(1)求这个二次函数的表达式；(2)若点P在线段AO上运动(点P与点A,点O不重合)，求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标；(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.9.已知抛物线y=ax²+(1)求抛物线的表达式；(2)点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M,当PMAM(3)在(2)的条件下,过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.10.如图,点C为二次函数y=x²+2x+1的顶点，直线(1)求m的值及点C坐标;(2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；(3)连接AC,BC,求△ABC(4)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，直接写出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1.解:(1)∵抛物线与x轴交于A(1,0)和B−5∴抛物线对称轴为直线x=1−52=−2,在y=−3x∴抛物线顶点P为(−2设抛物线函数表达式为y将A(1,0)代入,得(0=9a+9,解得∴抛物线函数表达式为y(2)如图,在y=−x²−4x+5中，令由B(-5,0),C(0,5),得直线BC表达式为y∴Em∴EF=−∵-1<0,∴当m=−52∴m的值为−52,2.解:(1)令x=0,则y=4,∴C(0,4).令y=0,则−2∴A(-2,0),B(3,0).故答案为:(-2,0),(3,0),(0,4);(2)①∵CP∥x轴,C(0,4),抛物线对称轴为直线x∴P(1,4),∴∵AB=5,CP∥x②如图，过点P作PQ∥AB交BC于点Q.∵B(3,0),C(0,4),∴直线BC的表达式为y=−4∴PQ=∵PQ∥∴当m=32时，PD(另一种解法：分别过点P，A作y轴的平行线，交直线BC于两点，仿照以上解法即可求解)3.解:(1)由y=−x²+4x,得当y∵点A在x轴正半轴上，∴点A的坐标为(4,0).设直线AB的函数表达式为y将A,B两点的坐标(4,0),(1,3)分别代入y得4k+b=0,∴直线AB的函数表达式为y将x=0代入y=-x+4,得y=4.∴点C的坐标为(0,4);(2)由题意，设P∴∵点C的坐标为(0,4),∴①如图1，当点P在直线上方时,PD=图1∵PD=2,∴−m②如图2，当点P在直线AB下方时，PD=图2∵PD=2,∴m∵0<m<1,综上所述，m的值为2或3或5−4.解:(1)∵抛物线y=∴抛物线的表达式为y=x+1(2)由(1)，得抛物线的表达式为y=∴C(0,-5)∴直线BC的表达式为y如图，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点D，则D∴S△∴当x₀=2.5时，S的值取最大，最大值为5.解:(1)将B(3,0)代入y=mx²+则m=0(舍)或m=-1,∴m==1,∴y=−设直线BC的函数表达式为y将B(3,0),C(0,-3)代入,得0=3k+b∴直线BC的函数表达式为y(2)如图,过点A作AP₁∥BC,设直线AP₁交y轴于点G，将直线BC向下平移GC个单位，得到直线P₂P₃,直线①由(1)，得直线BC的表达式为y=∴直线AG的表达式为y联立y=x−1,y=−x∴②由直线AG的表达式可得(G又∵C(0,-3),∴GC=∴直线P₂P₃联立y=x−5,∴P2综上所述，符合题意的点P的坐标为(2，1)，3−6.解:(1)将B(3,0),D−2−5得9a+3+c=0,4令x=0,则y=3(2)作直线BC,过M点作MN∥y轴交BC于点N,连接CM,BM.设直线BC的表达式为y将B(3,0),C032代入，得3设Mm−∴S当m=32时，△MBC的面积有最大值7.解:(1)∵抛物线y=−∴−1−b+∴该抛物线的表达式为y2∵又∵A−10则k+d=4,∴直线AM的表达式为y当x=0时,y=2,∴D(0,2),作点D关于x轴的对称点.D'0则DH=D'H,∴MH+DH=MH+∴DM=1−02+(3)对称轴上存在点Q,使得以D,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形.由(2),得D(0,2),M(1,4),∵点P是抛物线上一动点，∴设P∵抛物线y=−∴设Q(1,n),①当DM,PQ为对角线时,DM,PQ的中点重合，∴0+1=m+1,2+4=−②当DP,MQ为对角线时,DP,MQ的中点重合，∴0+m=1+1,③当DQ,PM为对角线时,DQ,PM的中点重合，∴0+1=1+m,综上所述，对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为(1,3)或(1,1)或(1,5).8.解:(1)∵抛物线对称轴是直线x=-1,点B的坐标为(1,0),∴点A的坐标为(−3∴二次函数表达式为y(2)连接ON,如图,设P(m,0),则N(m,m在y=x∴S四边形∵−32<0,∴当m=−32时，S∴四边形ABCN面积的最大值是758,此时点P的坐标为(3)在y轴上存在点Q,使以M,N,C,Q为顶点的四边形是菱形，理由：由A−30,设Q(0,t),P(n,0),则M(n,-n-3),N(n,n∵MN∥CQ①当MC,NQ为对角线时,MC,NQ的中点重合,且CN=CQ,∴−n−3−3=(此时M,N与C重合,舍去)或n=−2,t②当MQ,CN为对角线时,MQ,CN的中点重合,且CQ=CM,∴解得n=0,t=−3(舍去)或n∴Q0−1−3综上所述，Q的坐标为0−1或(0,−1−39.解:(1)将点A(-2,0),B(6,0),C(0,-3)代入y得4a−2b+c=0,(2)如图1,过点A作.AE⊥x轴交直线BC于点E,过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，∴设直线BC的表达式为y∴6k+d设Pt14t2∵A−20,∴∴当t=33时,MPAM有最大值93∵P3①如图2，当∠CBD=90°时，过点B作GH⊥x∴∠DBG∴△DBG∽△BCH,∴DGBH=BG②如图3,当∠BCD=90°时,过点D作DK⊥y轴于点K,∵∠KCD+∠OCB=90°,∠KCD+∠CDK=90°,∴∠CDK=∠OCB,∴△OBC∽△KCD,∴OBKC=OC③如图4,当∠BDC=90°时,线段BC的中点T3−∵DT=12BC,∴D33综上所述，△BCD是直角三角形时，D点坐标为(3,6)或(3,-9)或3−3510.解:(1)∵直线y=-x+m过点A(-3,4),∴4=3+m,∴m=1,∴y=-x+1;二次函数表达式为y=(2)将x=0代入y=由图象，得一次函数值大于二次函数值的x的取值范围为-3<x<0;(3)由(1),得直线AB的表达式为y=-x+1,C(-1,0),二次函数对称轴为x=-1,∴