2026年【中考数学】第一轮复习专项：直线与圆的位置关系【附答案】

/2026年中考数学复习专项：直线与圆的位置关系一、单选题1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，则⊙O的半径是（

）A．1 B． C． D．2．如图，.分别与相切于.两点，点为上一点，连接.，若，则的度数为（

）.A．； B．； C．； D．.3．如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（

）A． B． C． D．4．如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC，若，则等于（

）A． B． C． D．5．如图，已知AT切⊙O于点T，点B在⊙O上，且，连接AB并延长交⊙O于点C，⊙O的半径为2．设．①当时，△BOC是等腰直角三角形；②若，则；③当时，AB与⊙O相切．以上选项正确的有(

)A．② B．③ C．②③ D．①③6．如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．若与的交点为，则点是（

）A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的中心7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，⊙O是△ABC的内切圆，半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A．30﹣4π B． C．60﹣16π D．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（）A． B． C． D．二、填空题9．如图所示，在矩形中，，是以为直径的圆，则直线和的位置关系是．

10．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，若OP＝4，PA＝2，则∠AOB的度数为．11．如图，在边长为2的正方形中，是以为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为．12．如图，在中，，以为圆心，为半径作圆．若该圆与线段只有一个交点，则的取值范围为．13．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为．14．如图，的半径为，圆心在正三角形的边上沿图示方向移动，当移动到与边相切时，的长为．三、解答题15．如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于点A，B)，AD⊥CD．(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的长；(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．16．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．(1)求证：AF是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为5，AD是AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．17．如图，为正方形对角线上一点，与以为圆心，长为半径的相切于点．(1)求证：与相切；(2)若正方形的边长为1，求的半径．18．如图所示，是的一条弦，切于点B，过点D作于点C，与相交于点E．(1)求证：；(2)若，求的大小．

参考答案题号12345678答案ADABCBAA1．A【分析】设AC与⊙O相切于点D，连接OD，AO．在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得BC=6，再证明BC=PC，所以可求∠BPC=45°．设⊙O的半径是r，根据三角形ABP的面积的两种表示方法，得2r+10r=12，解方程即可求解．【详解】解：设AC与⊙O相切于点D，连接OD，AO，⊙O的半径是r，∵∠C=90°，AC=8，AB=10，∴BC=6，∵PC=8-2=6，∴BC=PC；∴∠BPC=45°，∴S△APB=S△APO+S△AOB=S△ABC-S△BCP，×2r+×10r=×6×8-×6×62r+10r=12，解得r=1．故选A．【点睛】本题考查切线的性质，勾股定理．熟练运用勾股定理，根据已知条件发现特殊直角三角形，运用三角形面积的不同表示方法列方程求解．2．D【分析】连接.，由切线的性质可知，由四边形内角和可求出的度数，根据圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）可知的度数.【详解】解：连接.，∵.分别与相切于.两点，∴，，∴，∴，∴．故选D．【点睛】本题主要考查了圆的切线性质及圆周角定理，灵活应用切线性质及圆周角定理是解题的关键.3．A【分析】由切线性质得出，根据三角形的内角和是、对顶角相等求出，即可得出答案；【详解】解：PA与⊙O相切于点A，AD是⊙O的直径，，，，，，，，，故选：A．【点睛】本题考查圆内求角的度数，涉及知识点：切线的性质、对顶角相等、等腰三角形的性质、三角形的内角和是，解题关键根据切线性质推出．4．B【分析】直接利用切线的性质得出，再利用三角形内角和定理得出，结合圆周角定理得出答案．【详解】解：PA切⊙O于点A，∴，∵，∴，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查切线的性质以及圆周角定理，正确得出的度数是解题关键．5．C【分析】连接BT，当△BOC是等腰直角三角形时，即，．又可判断是等边三角形，即可求出，再根据切线的性质可求出，从而由三角形内角和定理求出，从而得出，故①错误；过点A作．由判断①时可知，当时，，，，结合含30度角的直角三角形的性质可求出，，从而求出，利用勾股定理可求出．再利用勾股定理和等腰直角的三角形的性质可求出，从而即可求出AC的长，判断②正确；如图，连接OA．由可得出，即得出∠AOT=30°，从而可判断OA垂直平分TB，得出∠AOT=∠AOB=30°，∠OAT=∠OAB．由切线的性质可求出∠ATB=30°，即得出∠OAT=∠OAB=60°，进而可求出∠ABO=90°，即AB与⊙O相切，故③正确；【详解】如图，连接BT．当△BOC是等腰直角三角形时，∴，．∵，OB=OT，∴是等边三角形，∴，∴．∵AT切⊙O于点T，∴，∴，∴，∴，∴，即当时△BOC是等腰直角三角形，故①错误；如图，过点A作．由判断①可知，当时，，，，∴，，∴，∴．∵，，∴，∴，故②正确；如图，连接OA．当时，则，∴∠AOT=30°，∴OA垂直平分TB，∴∠AOT=∠AOB=30°，∠OAT=∠OAB，又∵AT与⊙O相切，∴∠ATO=90°，∴∠ATB=30°，∴∠OAT=∠OAB=60°，∴∠AOB+∠OAB=90°，∴∠ABO=90°，∴AB与⊙O相切，故③正确；综上可知②③正确，故选C．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质，垂径定理，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，综合性强．正确作出辅助线是解题的关键．6．B【分析】本题考查了翻折变换以及角平分线的性质，三角形的内心的性质．根据折叠的性质可知点为角平分线的交点，根据角平分线的性质可知点到三边的距离相等．【详解】解：如图：过点作，，，

由题意得：，，为角平分线的交点，，点到三边的距离相等．点是的内心．故选：B．7．A【分析】先由切线长定理和勾股定理算出三角形另外两边的长，再根据图中阴影部分的面积=△ABC的面积-⊙O的面积，然后利用三角形的面积公式和圆的面积公式计算即可．【详解】解：过点O作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为D、E、F，如图，，∴四边形CEOF是矩形，，∴四边形CEOF是正方形，，∵⊙O是△ABC的内切圆，，设，在中，，，解得，，．故选A．【点睛】本题主要考查了切线长定理、勾股定理、三角形与圆的面积公式．8．A【详解】解：连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，∴四边形AFOE，FBGO是正方形，∴AF=BF=AE=BG=2，∴DE=3，∵DM是⊙O的切线，∴DN=DE=3，MN=MG，∴CM=5-2-MN=3-MN，在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，∴（3+NM）2=（3-NM）2+42，∴NM=，∴DM=3+=，故选A．9．相离【分析】首先要明确圆心到直线的距离和圆的半径；再根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析即可．【详解】根据题意，得圆心到直线的距离等于，圆的半径是，∴圆心到直线的距离大于半径，得直线和圆相离．故答案为：相离．【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，能够熟练根据数量关系判断直线和圆的位置关系是解题关键．10．120°【解析】略11．【分析】设AE与以为直径的半圆切于点F，根据题意可得AB、EC与BC为直径的半圆相切，从而得到EC=EF，AB=AF，然后在Rt△ADE中，由勾股定理可得，最后利用正方形的面积减去半圆和△ADE的面积，即可求解．【详解】解：如图，设AE与以为直径的半圆切于点F，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD=90°，∠ABC=90°，∴AB、EC与BC为直径的半圆相切，∴EC=EF，AB=AF，∵正方形ABCD的边长为2，∴DE=2-CE，AE=2+CE，在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，∴，解得：，∴，∴阴影部分面积等于．故答案为：【点睛】本题主要考查了切线长定理，正方形的性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键．12．或【分析】先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出BC，即可得出答案．【详解】解：过C作CD⊥AB于D，在Rt△BCA中，∵∠ACB=90°，AC=2，∠B=30°，∴AB=4，∴，根据三角形的面积公式得：AB•CD=AC•BC，∴，当圆与时AB相切时，r=，当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是2＜r≤2，综上所述：r的取值范围是r=或2＜r≤2，故答案为：r=或2＜r≤2．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，切线的性质，勾股定理的应用，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．13．【详解】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．∵AB、BC是⊙O的切线，∴点E、F是切点，∴OE、OF是⊙O的半径；∴OE=OF；在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，∴由勾股定理，得BC=4；又∵D是BC边的中点，∴S△ABD=S△ACD，又∵S△ABD=S△ABO+S△BOD，∴AB•OE+BD•OF=CD•AC，即5×OE+2×OE=2×3，解得OE=，∴⊙O的半径是．故答案为．14．【分析】本题主要考查切线的性质，等边三角形的性质，特殊角的三角函数的计算，根据题意，设切点为点，连接，则，结合等边三角形的性质可得，利用特殊角的三角函数值可求得．【详解】解：如图所示，当移动到与边相切时，设切点为点，连接，则，∵是等边三角形，∴，在中，，∵，∴，故答案为：．15．(1)AC=4；(2)详见解析.【分析】（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的长即可；（2）连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA=∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．【详解】解：（1）∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，∴∠ACB＝90°，又∵BC＝3，AB＝5，∴由勾股定理得AC＝4；（2）证明：连接OC∵AC是∠DAB的角平分线，∴∠DAC＝∠BAC，又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA＝∠CBA，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠OAC+∠OBC＝90°，∴∠OCA+∠ACD＝∠OCD＝90°，∴DC是⊙O的切线．【点睛】本题考查的知识点是切线的判定方法，解题关键是熟记要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．16．(1)见解析(2)【分析】（1）由圆周角定理得∠ADC=90°，则∠ACD+∠DAC=90°，从而说明，即可证明结论；（2）作于点H，利用△ADH～△ACD，，求出AH的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质得出AD=DE，利用等腰三角形的性质可得答案．【详解】（1）证明：∵AC是直径，∴∠ADC=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∵∠ACD=∠B，∠B=∠DAF，∴∠DAF=∠ACD，∴∠DAF+∠DAC=90°，∴，∵AC是直径，∴AF是⊙O的切线；（2）解：作于点H，∵⊙O的半径为5，∴AC=10，∵∠AHD=∠ADC=90°，∠DAH=∠CAD，∴△ADH～△ACD，∴，∴，∵AD＝6，∴，∵AD是△AEF的中线，∠EAF=90°，∴AD=ED，．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，根据相似三角形的判定与性质求出AH的长是解题的关键．17．(1)见解析(2)的半径为．【分析】此题综合了正方形的性质和圆的切线的性质和判定．（1）根据正方形的性质得到是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明；（2）根据正方形