辽宁省点石联考东北“三省一区”2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题含答案

绝密★启用前(点石联考)7.已知过点(xo,yo,zo)且法向量为m=(A,B,C)的平面方程为A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-

z0)=0,现有一点M(1,t,0)在平面α:x+2y=3t上，则点P(2,3,-2)到α的距离为

2025年点石联考东北“三省一区”高二年级12月份联合考试ABC.√5D.17

数学

8.在空间直角坐标系O-xyz中，A(-2,0,0),B(0,2,2),点P满足PA·PB=5,则点P到x轴

本卷满分150分，考试时间120分钟。

距离的最大值为

☆注意事项：A.2√3B.4C.3√2D.2√5

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题

题卡的指定位置。考试结束后，将答题卡交回。目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

记直线则

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改9.l₁:mx+(2m-1)y+3=0,l2:x+m²y-3=0,

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。A.l₁过定点(一6,3)B.l₂的倾斜角为钝角

3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。C.若m=1,则l₁//l₂D.若l₁⊥l₂,则m=0

10.现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，则

一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，有且只有一项A.从中任选1幅画布置房间，有14种不同的选法

是符合题目要求的)B.从这些国画、油画、水彩画中各选1幅布置房间，有70种不同的选法

1.直线y-2025=0的倾斜角为C.从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法

D.从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有12种不

不存在

A.πBC.0D.同的挂法

2.如图，三棱锥O-ABC中，点E,F分别是OB,AC的中点，M是EF的中点，设OA=a,OB=b,11.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C:(x²+y²)²=8(y²-x²),点P在曲线C上，则

OC=c,则BM=A.曲线C关于原点对称

AB.直线y=2x与曲线C有2个公共点

C.点P的纵坐标的取值范围是[-2,2]

B.D.|PO|的最大值为2√2

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

C.

12.已知点A(0,2),B(4,4),则以线段AB为直径的圆的标准方程为

D.13.记双曲线E:z²-3y²=1斜率为正的渐近线为1,则E虚轴的上端点到l的距离为

14.在1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13共13个数中挑出k个数，使得这k个数中任意两个差

3.已知椭)的焦距为6,离心率,则b=的绝对值都不是5或8,则k的最大值是

四、解答题(本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

A.2√2B.3√3C.4√2D.6√3

4.已知空间向量a=(2,1,-2),b=(|a|,—1,0),则a·b=15.(本小题满分13分)

记圆直线

A.-5B.-1C.1D.5T:(x—2)²+y²=4,l:x-y+a=0.

5.若抛物线C₁:y²=4x与抛物线C2关于直线y=x+1对称，则C2的焦点坐标为(1)若点T在l上，求a;

A.(-2,2)B.(-2,3)C.(-1,3)D.(-1,2)(2)若圆T与I相切，求a;

6.若从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任取三个不同的数字，则取出的这三个数字之和能被3(3)若圆T与I相交，求a的取值范围.

整除的种数为

A.28B.29C.30D.32

(点石联考)高二数学第1页(共4页)(点石联考)高二数学第2页(共4页)

16.(本小题满分15分)18.(本小题满分17分)

在平面直角坐标系xOy中，直线x—√2y+2=0与曲线E:y²=2px(p>0)有且仅有一个公在直角坐标系xOy中，F(1,0),曲线E:y²=4x上两点P,Q满足PF=2FQ,PF的垂直平分

共点A.线与E交于M,N两点.

(1)求E的方程；(1)证明：|0Q|=|FQ|;

(2)过A的直线l与E另交于点B,若OA⊥AB,求△OAB的面积.(2)求|MN|;

(3)记点T为MN中点，H为圆(x-20)²+y²=1上一点，求|TH|的最大值.

17.(本小题满分15分)19.(本小题满分17分)

如图所示，直三棱柱中，⊥

ABC-A₁B₁C₁AA₁=AC=2,B₁C₁A₁C.如图，从椭圆1上一点P(异于椭圆的左、右顶点)射出的光线照射到椭圆的右焦点

(1)证明：A₁C⊥AB₁;

F₂上，经x轴反射，反射光线过椭圆上的另一点Q.

(2)若平面AB₁C与平面A₁B₁C夹角的余弦值为,求BC.(1)求点F₂的坐标；

(2)证明：直线PQ过定点；

(3)探究O、F₂、P、Q四点能否共圆，并说明理由.

(点石联考)高二数学第3页(共4页)(点石联考)高二数学第4页(共4页)

点石联考12月高二联考数学

参考答案

2025年点石联考东北“三省一区”高二年级12月份联合考试·数学

说明：

一、本解答给出的解法仅供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内

容比照评分标准制订相应的评分细则.

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容

和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分；如果后继部分的解答有较严重的错误，

就不再给分.

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

一、单选题

12345678

CABDDCCC

二、多选题

91011

ACDABCAD

三、填空题

四、解答题

15.解：(1)显然T(2,0),(1分)

由2-0+a=0解得a=-2.(3分)

(2)显然圆心到直线的距离(6分)

即|a+2|=2√2,解得a=-2√2-2或a=2√2-2.(9分)

(3)由可得|a+2|<2√2,(11分)

解得a∈(-2√2-2,2√2-2),故a的取值范围为(-2√2-2,2√2-2).(13分)

16.解：(1)联立,有y²-2√2py+4p=0,(2分)

其中△=(-2√2p)²-16p=8p²-16p=0,(4分)

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点石联考12月高二联考数学

解得p=0(舍)或p=2,(5分)

故E的方程为y²=4x.(6分)

(2)此时由y²-4√2y+8=0可解得y=2√2,而,故A(2,2√2),(8分)

于是OA的斜率,故AB的斜率,于是,(10分)

即x=—√2y+6,联立,可得y²+4√2y-24=0,解得y₁=2√2,y₂=-6√2,(12分)

故|AB|=√1+(一√2)²Iy₁-y₂I=8√6,(13分)

而|OA|=√2²+(2√2)²=2√3,(14分)

故△OAB的面积!|×|AB|=24√2(15分)

17.解：(1)因为AA₁=AC,所以由直三棱柱的性质知四边形AA₁C₁C为正方形，所以A₁C⊥AC₁,(2分)

而B₁C₁⊥A₁C,B₁C₁∩AC₁=C₁,B₁C₁,AC₁C平面AB₁C₁,所以A₁C⊥平面AB₁C₁,(4分)

而AB₁C平面AB₁C₁,所以A₁C⊥AB₁.(5分)

(2)由题意知B₁C₁⊥A₁C,B₁C₁⊥CC₁,A₁CnCC₁=C,A₁C,CC₁C平面AA₁C₁C,所以B₁C₁⊥平面

AA₁C₁C,而A₁C₁C平面AA₁C₁C,所以B₁C₁⊥A₁C₁,故C₁A₁,C₁B₁,C₁C两两垂直，以C₁为坐标原点，

C₁B₁,C₁A,C₁C方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，(7分)

设BC=a(a>0),则C₁(0,0,0),A₁(0,2,0),A(0,2,2),B₁(a,0,0),C(0,0,2),从而CA=(0,2,0),

CB=(a,0,-2),A₁C=(0,-2,2),设平面AB₁C的一个法向量为m=(x₁,y,21),(9分)

则,即,可取m=(2,0,a),(10分)

设平面A₁B₁C的一个法向量为n=(x₂,y₂,22),则,即,可取n=(2,a,a),

(12分)

(14分)

平方化简得a²=6,又a>0,所以a=√6,故BC=√6.(15分)

18.解：(1)记P(x₁,y),Q(x₂,y₂),不妨设PQ斜率为正，PF=(1-x₁,-y₁),FQ=(x₂-1,y₂),(2分)

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点石联考12月高二联考数学

由PF=2FQ得-y₁=2y₂,1-x₁=2(x₂-1),(3分)

前者可得y=4y²=4x₁=16x₂,得x₁=4x₂,(4分)

代入后者得3=即(5分)

于是O|Ql=√x+y=√1-x₂)²+yz=|FQl.(6分)

(2)此时由斜率为正且x₂<x₁显然有y₂<0<yi,于是y₂=-√4.x2=-√2,x₁=4.x₂=2,y=√4x₁=

2√2,故P(2,2√2)(7分)

此时PQ的斜率,PF中点为,故MN的方程为

-2√2(y—√2),即(9分)

联立,得y²+8√2y-22=0,记M(x₃,y₃),N(x₂,y₄),则y₃+y;=-8√2,y₃y₄=-22,

于是|MN|=√1+(-2√2)²√(y₃+y。)²-4y₃yc=3√128+88=18√6.(12分)

(3)显,故(14分)

记A(20,0),|(15分)

于是|7当且仅当T,A,H三点按序共线时，等号成立，(16分)

故|TH|的最大值(17分)

19.解：(1)在椭圆1中，a=2,b=√3,则c=√a²-b²=√4-3=1,(1分)

故F₂(1,0).(2分)

(2)若直线PQ的斜率不存在，则点P、Q重合，不合乎题意，若直线PQ的斜率为零，则该直线与x轴重

合，与题意矛盾，故直线PQ的斜率存在且不为零，设直线PQ的方程为y=kx+m(k≠0),设点

P(x₁,y)、Q(xr₂,y₂),(4分)

由,得(3+4k²)x²+8kmx+4(m²-3)=0,△=64k²m²-4(4k²+3)×4(m²-3)=

48(4k²+3-m²)>0,(6分)

由韦达定理可得ax₁+.由km₂+koe,=0,(8分)

又y=kx+m(i=1,2),

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点石联考12月高二联考数学

(m—k)(x₁+x₂)-2m=0,(10分)

则—2m=0,

化简整理得m=—4k,于是直线PQ的方程为y=k(x-4),因此直线PQ过点(4,0).(12分)

(3)O、F₂、P、Q四点不能共圆，事实上，F₂总在△OPQ的外接圆的内部.

理由如下：

线段OP的垂直平分线方程为

卿同理，线段0Q的垂直平分线方程为(14分)

联立上述两个方程，得△OPQ的外心C的横坐标为

因k²>0,故

(16分)

于是|F₂C|<|OC|,所以F₂在△OPQ的外接圆的内部，故O、F₂、P、Q四点不能共圆.(17分)

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点石联考12月高二联考数学

答案详解

一、单选题

1.C【解析】由方程y-2025=0,可知直线与x轴平行，倾斜角为0.故选C.

2.A【解析】因为M是EF的中点，E,F分别是OB,AC的中点，所

3.B【解析】记椭圆的半焦距为c,由2c=6得c=3,于是由,可知b=√a²-C=√36-9=

3√3.故选B.

故

4.D【解析】注意到|a|=√2²+1²+(-2)=3,故b=(3,-1,0),于是a·b=2×3+1×(-1)=5.

选D.

则

5.D【解析】由题意得C₁:y²=4.x的焦点为(1,0),设(1,0)关于直线y=x+1的对称点为

得故C₂的焦点坐标为(-1,2).故选D.

6.C【解析】被3除余1的数有1,4,7,被3除余2的数有2,5,8,被3整除的数有3,6,9,若要使选取的三

个数字的和能被3整除，则需要从每一组中选取一个数字，或者从同一组中选取三个数字，则取出的这三

个数字的和能被3整除的种数3×3×3+1+1+1=30种。故选C.

7.C【解析】易知平面a的法向量n=(1,2,0),而由1+2t=3t可得t=1,于是M(1,1,0),MP=(1,2,

-2),故点P到α的距离.故选C.

8.C【解析】设P(x,y,2),易知P到x轴的距离d=√y²+z²,而PA=(-2-x,-y,—z),PB=(一x,

2-y,2-z),于是5=PA·PB=x(x+2)+y(y-2)+2(z-2)=(x+1)²+y²-2y+z²-2z-1≥d²-1

-2y-2z,于是d²-6≤2(y+z)≤2√2(y²+z²)=2√2d,得d²-2√2d-6≤0,可得

=3√2,当且仅当x=-1,y=z=3时等号成立.故选C.

二、多选题

9.ACD【解析】对于A,代入(一6,3)可得—6m+6m-3+3=0,符合方程，故lA

正确；对于B,当m=0时，l₂:x=3的倾斜角为直角，故B错误；对于C,代入m=1可得l₁:x+y+3=0,

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l₂:x+y-3=0,由,3≠-3可得二者平行，故C正确；对于D,由垂直可得m+m²(2m—1)=0,

即m(2m²—m+1)=0,注意到得m=0,故D正确.故选ACD.

10.ABC【解析】对于A,根据分类加法计数原理可知，共有5+2+7=14种不同的选法，故A正确；对于

B,根据分步乘法计数原理可知，共有5×2×7=70种不同的选法，故B正确；对于C,可分为三类：第一类

是1幅选自国画，1幅选自油画，有5×2=10种不同的选法；第二类是1幅选自国画，1幅选自水彩画，有

5×7=35种不同的选法；第三类是1幅选自油画，1幅选自水彩画，有2×7=14种不同的选法，故共有

10+35+14=59种不同的选法，故C正确；对于D,可以分两个步骤完成：第一步，从3幅画中选