广东省领航高中联盟2025-2026学年高一上学期12月期中数学试题含答案

广东省2025—2026学年领航高中联盟12月高一检测考试

数学参考答案

1234567891011

ACBDDCCAABABDABD

12.（－1，8）

13.2

14.(－，写成，也正确)

log23log2

15.解：（1）由题意得（3分）

即3lga=3，（5分）

解得a=10.（7分）

（2）解法一log13分）

解法二：（13分）

16.解：（1）由A≠∅,得m2≥m，（2分）

解得m≤0或m≥1，（4分）

故m的取值范围是(-∞,0］⋃［1，+∞).（5分）

（2）当A=∅时题设显然成立，（7分）

此时有m2＜m，解得0＜m＜1；（9分）

当A≠∅时，有－2＜m≤m2≤9，（12分）

解得－2＜m≤0，或1≤m≤3.（14分）

综上m的取值范围是（－2，3］．（15分）

17.解：（1）4=a2＋b≥2，（4分）

2

即a2b≤4，当且仅当a=a，bb=2时等号成立．（6分）

故a2b的最大值为4.（7分2）

（2）a4＋a2b＋b2=（a2＋b）2－a2b=16－a2b≥12，（13分）

当且仅当a=，b=2时等号成立．（14分）

故a4＋a2b＋b22的最小值为12.（15分）

18.解：（1）当a=b=2时，f（x）=x2－2x=（x－1）2－1，

故f（x）在区间［－2，1）上单调递减，在区间［1，3］上单调递增，（2分）

注意到f（－2）=8，f（3）=3，

故f（x）在区间［－2，3］上的最大值为8.（4分）

（2）由∀x∈R，f（x）≥0可得Δ=（－a）2－4（a－b）=4b＋a2－4a≤0，（5分）

于是b当且仅当a=2时等号成立，（8分）

故b的最大值为1，于是f（x）=x2－2x＋1，f（b）=f（1）=0.（9分）

（3）解法一：原题设等价于h（x）=x2－ax＋a在区间［1，3］上有零点．

注意到h（x）的对称轴为，

当≤1，即a≤2时，h（x）在区间［1，3］上单调递增，（11分）

而h（1）=1＞0，此时h（x）≥h（1）＞0，矛盾．（12分）

当a＞2时，令h（3）=9－3a＋a=9－2a≤0，得a≥,

由零点存在性定理可知此时h（x）在区间［1，3］上有零点，符合题意．（13分）

当a∈（2，4）时，Δ=a2－4a＜0，h（x）＞0，矛盾．（14分）

当a∈，时，∈，⊆［1，3］，此时只要h即可．

42

注意到h

故由零点存在性定理知h（x）在区间，上有零点．（16分）

综上，a的取值范围是［4，+∞).（117分）

解法二：原题设等价于方程x2－ax＋a=0在区间［1，3］上有解，（10分）

显然x=1不是方程x2－ax＋a=0的解，（11分）

当1＜x≤3时，

有a==4，（14分）

当且仅当x=2时取等号，（15分）

又当x→1＋时，，（16分）

综上，a的取值范围是［4，+∞).（17分）

19.（1）解：当b=2时，f（x）=loga（2x－2－1）=loga（2x－3）．（1分）

根据对数函数的定义可知2x－3＞0，即x＞log23，（2分）

故f（x）的定义域为（log23，+∞).（3分）

（2）证明：当a=b时，f（x）=logb（bx－b－1），设f（x）的定义域为D．

在D上任取x1，x2，且x1＜x2.

f（x1）=logb（bx1－b－1），f（x2）=logb（bx2－b－1）．（4分）

当b＞1时，指数函数y=bx在R上单调递增．（5分）

由于x1＜x2，则bx1＜bx2，bx1－b－1＜bx2－b－1.

又b＞1，故y=logbu在区间（0，+∞)上单调递增，

所以logb（bx1－b－1）＜logb（bx2－b－1），即f（x1）＜f（x2）．

故当b＞1时，f（x）在D上单调递增；（6分）

当0＜b＜1时，指数函数y=bx在R上单调递减．

由于x1＜x2，则bx1＞bx2，bx1－b－1＞bx2－b－1.（7分）

又0＜b＜1，故y=logbu在区间（0，+∞)上单调递减，

所以logb（bx1－b－1）＜logb（bx2－b－1），即f（x1）＜f（x2）．

即当0＜b＜1时，f（x）在D上单调递增．（8分）

综上所述，当b＞1或0＜b＜1时，

对于任意x1，x2∈D且x1＜x2，均有f（x1）＜f（x2），

故f（x）在其定义域内单调递增．（9分）

（3）证明：令f（x）=0，则loga（bx－b－1）=0，即bx－b－1=1，即bx=b＋2，

故原题等价于关于x的方程bx－b－2=0在区间（0，2）上有解．（11分）

设g（x）=bx－b－2.

当b＞1时，g（x）在R上单调递增；

当0＜b＜1时，g（x）在R上单调递减，（12分）

又由