东北三省精准教学联盟2025年12月高三联考数学

2025年12月高三联考

数学

本试卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干肖

后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={xllog₂Ixl>0},则A∩B=

AB

C.|-√5,-√3,√2,√7}D.{-√5,√7}

2.已知复数z满足z(1-√3i)=4i,则1z+√31=

A.4B.1CD

3.已知圆锥SO的轴截面是边长为2√2的正三角形，则该圆锥的的侧面积为

A.2πB.2√2πe.3√2πD.4π

4.已知点,B(n,3),0为坐标原点，若OA,OB的夹角为钝角，则实数m的取值范围为

AB

5.已知数列|a|是首项为1的等差数列。岩a²=a₇,则a₃+a₇+ag的值为

A.63B.21C.3或63D.3或21

6.已知函数定义在(-∞,0)U(0,+∞i)上的奇函数，则f(log₃8)=

ABCp

7.已知α,β满足4tana+1=0,sin(α+β)=3cos(α+B),J

ABCD

8.若关于x的不等式Inx³+x(3-e*)+a≥0在(0,+∞)上有解，则实数a的最小值为

A.-3In3B.3ln3C.3-3In3D.3+3ln3

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6

分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知x,y,z∈R,x>y,下列不等式一定成立的是

AB.xz²>yz²D.z²-3z+2>0

10.已知函数f(x)的定义域为R,f'(x)为其导函数，若f(4x-1)为偶函数，则下列说法正确的是

A.函数f(x)的图象关于直线：对称B.函数f'(x)的图象关于点(-1,0)对称

C.若f(x+4)+f(-x+4)=0,则f(-5)=f(15)D.若f'(x+4)+f'(-x+4)=0,则f'(-5)=f'(5)

11.在平面直角坐标系x0y中，射线OP从x轴的非负半轴开始绕坐标原点逆时针旋转时与x轴的非负半轴所成的

角为α,定,则下列说法正确的是

A.3α∈R,使得[f(α)]²+[g(α)]²>1

C.f(α)+g(α)的最小正周期D.当α∈[0,π]时，f(α)+2g(α)的最大值为2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.过P(-1,-√2)作直线与圆x²+y²=4交于A,B两点，则JAB|的最小值为

13.在数列{a。中，a₁=1,且,则aa=_

14.已知0为△ABC所在平面内一点，且IOA1=IOB1=l0C1,若AB=4,,则OB;BC=

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)如图，在三棱锥P-ABC中，R4士底面ABC,AB=AC,,二面角P-BC-A的大小为,D为BC

的中点.

(1)证明：BC1平面PAD;

(2)若BC=2,求异面直线PD与AC所成角的余弦值.

1#4币)

16.(15分)手机实际充电过程中，为保护电池健康，在不同电量时往往采用不同的充电模式，在某次实验室针对某

旧电池从某个电量开始充电到100%的模拟充电实验中，手机电量Q(单位：%)与充电时间(单位：min)近似

满足：当0≤i≤10时;当10<l≤60时;当t>60时，Q(l)=√15t+50.设t=0为

该旧电池开始充电的时刻；当t=10时，电量不产生跃变；当t=60时，Q(60)=80,已知Q(t)单调递增.

(1)求该旧电池开始充电时的电量以及充满电所需的时间；

(2)求a,b的值.

17.(15分)在△ABC中，角A,B,C是△ABC的内角，且

(1)求A;

(2)若D为边BC的中点，且AD=√7,AB=√3AC,求△ABC的面积；

(3)的最大值.

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18.(17分)已知函数f(x)=(x+a)Inx,aeR.

(1)若a=2,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；

(2)若f'(x)为函数f(x)的导函数，讨论函数f'(x)的极值；

(3)若a>1,证明：f(x)-2x>-2在(1,+∞)上恒成立.

19.(17分)已知数列a|,1,a₁=t₁,a₂=L₂,≠t₂,且a,a+2,4。成等差数列.

(1)若t₂=2t₁=2keN",求数列|b,的前4项和

(2)若,c。=am₁-a,,是否存在m,peN’,使得mleaI=3ple,l?若存在，求出所有满足条件的m,p的

值；若不存在，请说明理由.

(3)定义：对于一个无穷数列1aI,如果存在常数a,对于任意给定的正数e,总存在正整数N₀,使得当n>N。

时，都有la。-a₀I<e,则称常数a。为数列{a。?的极限，记.设数列{a。I的前6项和为S,

求实数t和t₂的值.

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2025年12月高三联考

数学

1.C2.B3.D4.C

5.C6.A7.D8.C

9.AC10.BCD11.BD

12.2B14.-18

15.(1)证明见解析(5分)(2)(8分)

【解析】(1)因为AB=AC,D为BC的中点，所以AD⊥BC,……2分

因为PA⊥底面ABC,BCC平面ABC,所以PA⊥BC,…………4分

又因为AD∩PA=A,PA,ADC平面PAD,所以BC1平面PAD.…分

【另解】(1)因为AB=AC,,D为BC的中点，所以AD⊥BC,……2分

因为PA⊥底面ABC,ABC平面ABC,ACC平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC,

所以PB=√PA²+AB²,PC=√PA²+AC²,所以PB=PC.

又因为D为BC的中点，所以PD⊥BC.…4分

又因为AD∩PD=D,AD,PDC平面PAD,所以BC⊥平面PAD………………5分

(2)由(1)知，∠PDA即为二面角P-BC-A的平面角，所以,………7分

因为BC=2,AB=AC,,D为BC的中点，所以AB=AC=√2,AD=1,所

…8分

因为PA⊥底面ABC,,所以AB,AC,AP两两垂直，故以A为坐标原点，AB,

AC,AP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0.0.0),p(0.0√3),c(0√2.0),,………9分

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则AC=(0.√2.0),,……·10分

……………12分

所以异面直线PD与AC所成角的余弦值为.…………13分

【另解1】(2)因为PA⊥底面ABC,,所以AB,AC,AP两两垂直，故以A为

坐标原点，AB,AC,AP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为BC=2,AB=AC,D为BC的中点，所以AB=AC=√2.

设PA=a(a>0),则A(0,0,0),B(√2.0,0),c(o,√2.0),P(0,0,a),

…………6分

则PB=(√2,0,-a),BC=(-√2.√2.0),

设平面PBC的一个法向量为n,=(x,y,z),

令x=a,则y=a,z=√2,所以n,=(a,a,√2)·………7分

易知平面ABC的一个法向量为n₂=(0,0.1),又二面角P-BC-A的大小为,……8分

,解得a=√3(负值舍去).…………9分

所以

AC=(0,J2.0),

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,……12分

所以异面直线PD与AC所成角的余弦值为.………13分

【另解2】(2)取AB的中点M,连接PM和DM,

由(1)知，∠PDA即为二面角P-BC-A的平面角，所以，,………7分

因为BC=2,AB=AC,,D为BC的中点，所以AB=AC=√2,AD=1,所

以,PD=2.…………………8分

因为D为BC的中点，M为AB的中点，所以DM为△ABC的中位线，DM//AC,DM=

,所以∠PDM为异面直线PD与AC所成的角.………9分

在Rt△PAM中，由勾股定理,……10分

在△PMD中，由余弦定理可得

所以异面直线PD与AC所成角的余弦值为·.……………13分

评分细则：

(1)得出AD⊥BC给2分：得出PA⊥BC给2分；推导出BC1平面PAD给1分.

【另解】(1)得出ADIBC给2分；得出PDIBC给2分；推导出BC⊥平面PAD

给1分.

(2)推导出∠PDA为二面角P-BC-A的平面角给2分；求出PA=√给1分；建系

写出点坐标给1分：求出给3分；下结论给1分，过程酌情给分.

【另解1】(2)建系写出点坐标给1分：推导出平面PBC的一个法向量给1分；推导

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平面1BC的一个法向量给1分:求出P-√3给1分:求出给3分：下

结论给1分，过程酌情给分.

【另解2】(2)推导出∠PDA为二面角P-BC-A的平面角给2分；求出PA=√3给1

分：推导出∠PDM为异面直线D与AC所成的角给1分：求出给3分；

下结论给1分，过程酌情给分，

16.(1)开始充电时的电量为27.5%(3分);充满电需(4分)

(2),b=56(8分)

【解析】(1)由题意知，当t=0时电池开始充电，此时,将=0代入得

,…………2分

故该旧电池开始充电时的电量为27.5%.…3分

当Q(1)=100,即电量达到100%时，电池充满电，已知Q(60)=80,且Q(1)单调递增，故充

满电所需的时间必大于60min,………………4分

此时Q(1)=√151+50,令Q(1)=100得√15r+50=100,解得,…………6分

故充满电需……7分

(2)由题意知，当0≤I≤10时，当10<t≤60时，,因

为当t=10时，电量不产生跃变，故在t=10附近，第一段和第二段函数连续.

当0≤I≤10时，:当10<I≤60时，若1→10,则Q1)→100a-2+b,

…………9分

令两式相等得100a-2+b=55,即100a+b=57.①………11分

又当t=60时，化简得3600a+b=92.②………………13分

联立①②,可得。,b=56.……15分

评分细则：

(1)求出Q(0)=27.5给2分；下结论“该旧电池开始充电时的电量为27.5%”给1

分：判断出Q1)=100时，1>60给1分；求出给2分：下结论“充满电需

给1分.

a+b=57a+b=92

(2)推导出100给4分；推导出3600给2分；求出,b=56

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给2分，过程酌情给分.

17.(1)(2)√3(5分)(3)0(6分)

【解析】(1)因为：

所以,…………1分

所以sinAcosC+√3sinAsinC=sin(A+C),

所以sinAcosC+√3sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

整理得sinc(J3sinA-cosA)=0,……………2分

又sinC≠0,所以√3sinA-cosA=0,…………3分

所以,又A∈(0,π),所以.………………4分

(2)因为D为边BC的中点，所以2AD=AB+AC,……………5分

因为，AD=√7,AB=√3AC,所以4AD²=(AB+AC)²=AB²+AC²+2AB·

,…6分

解得|AC|=2,即AC=2,所以AB=2√3………………7分

所以,即△ABC的面积为√3.………9分

(3)由正弦定理得

…………12分

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令1,由知,当时，t=0;当

(0,+∞),此时r∈(一√3.0)U(0.+∞).所以r∈(一3.+∞).

…………13分

te(-√3,+∞),则易知

…………14分

即当且仅当时，取得最大值0.……………15分

【另解】(3)由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA,

由正弦定理12分

令由知当时，

,时，

.所以1∈(0,+∞).

…………13分

,t∈(0,+∞),,则易知

……………14分

即当且仅当时，取得最大值0.………15分

评分细则：

(1)推导出sinc(√3sinA-cosA)=0给2分；推导出√3sinA-cosA=0给1分；推

导出给1分.

(2)推导出2AD=AB+AC给1分(其他形式也给分):求出AC=2,AB=2√3给

2分：求出SAʙc=√3给2分.

(3)化简出给3分：写出

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给1分；求出的最大值为0给2分，过程的情给分.

【另解】(3)化简出给2分；写出

2分；求出的最大值为0给2分，过程酌情给分.

18.(1)3x-y-3=0(4分)(2)当a≤0时，f'(x)在(0,+∞)上无极值：当a>0时，

f'(x)的极小值为Ina+2,无极大值(7分)(3)证明见解析(6分)

【解析】(1)因为当a=2时，f(x)=(x+2)Inx,x∈(0,+∞),所以f'(x)=Inx+(x+2)·

……1分

所以f(1)=3,f(1)=0,…………3分

则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-0=3(x-1),即3分

(2)因为f(x)=(x+a)lnx,x∈(0,+∞),所,x∈(0,+∞),

………………5分

,x∈(0,+∞),则,x∈(0,+∞).

……………6分

当a≤0时，g'(x)>0,函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，

所以函数g(x)在(0,+∞)上无极值：……7分

当a>0时，令,解得x=a,…………8分

当x∈(0,a)时，g'(x)<0,所以函数g(x)在(0,a)上单调递减：

当x∈(a,+∞0)时，g'(x)>0,所以函数g(x)在(a,+oo)上单调递增，…………9分

则当x=a时，函数g(x)取得极小值g(a)=Ina+2,无极大值.……10分

综上可知，当a≤0时，函数f'(x)在(0,+∞)上无极值：

当a>0时，函数f'(x)在x=a处取得极小值Ina+2,无极大值.……11分

(3)不等式f(x)-2x>-2,即(x+a)Inx-2x+2>0,即(x+a)Inx-2(x-1)>0,令

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h(x)=(x+a)lnx-2(x-1),x∈(1,+oo)·…………12分

,x∈(1,+∞0),

由(2)可知，a>0时，函数1在(0,a)上单调递减，在(a,+o0)上单调递增，

在x=a处取得最小值Ina+2,………14分

因为a>1,所以h'(x)在(1a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增，所

h'(a)=Ina>0,…………15分

所以函数h(x)在(1,+0)上单调递增，所以A(x)>h(1)=0,·………16分

即当a>1时，f(x)-2x>-2在(1,+oo)上恒成立.……………·17分

评分细则：

(1)求出1分；求出f'(1)=3.f(1)=0给2分(一个1分);

求出切线方程为3x-y-3=0给1分.

给1分：令g(x)=f'(x),求出

(2)求出.xe(0.+∞)

给1分；求出当a≤0时，f'(x)在(0.+z)上无极值给1分；求出当a>0时，f'(x)的极小

值为Ina+2,无极大值给3分；下结论给1分(当a>0时，未写明f'(x)无极大值扣1分).

(3)构造函数h(x)=(x+a)lnx-2(x-1),x∈(1.+o)给1分：推导出h'(x)>0给3分：

推导出h(x)>0给1分：下结论给1分，过程的情给分.

19.(1)(2)存在.m=6,p=8(7分)(3)t=6,I₂=-3(6分)

【解析】(1)依题意，a=1,a₂=2,………1分

因为a,Qni₂,a成等差数列，所以2₂=a+a,即,……2分

所以

所以b=a₂-a₁=1,,……3分

所以数列{b.}的前4项和为1……………4分

(2)由a,aᴀ-2·a成等差数列可知，2(a.₂-a₄)=-(a-a。),即又

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,所以数列{c。}是以为首项，为公比的等比数列，…·5分

所以,所以

假设存在m,peN',满足即,neN,则u。>0.易知

u:=u₂,当n≥2时，,所以u,=u:>u,>…>u。(n≥3).

所以m<p,………6分

令λ=p-m∈N,,……7分

当λ=1时，m=-3,不合题意：

当λ=2时，m=6,此时p=8,符合题意：……………8分

当λ=3时，,不合题意：

当A≥4时，总有2²=3>3λ,则(,即此时m∈N',不合题意.………10分

综上所述，存在正整数m=6,p=8,满足m|eal=3p|e,p|…分

(3)因为a。,a.2,a。成等差数列，即2(aᴀ2-aa)=-(a-a。),

即又a₂-a₁=I₂-I=0.

所以数列{a-a}是以t₂-t为首项，公比为的等比数列，…………12分

所以

于是,n≥2,

.....

以上各式相加可

,n≥2,

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当n=1时，a₁=t,符合上式，

所以,neN,……14分

所以

“…………15分

因为,所以+212=0,」解得t=6,I₂=-3.

所以实数和r₂的值分别为6,-3…………17分

评分细则：

(1)求出a₁=1,a₂=2给1分：推导出给1分(其他形式也给分):

求出{b的前4项和为给2分.

(2)推导出{cn}是等比数列给1分：推导出m<P给1分：判断出m=6,p=8符合题

意给2分，说明其他情况不符合给2分：下结论给1分.

(3)推导出{a.-a)是等比数列给1分：求出

.neN

给2分：求出分：求出I₁=6,I₂=-3给2

分，过程酌情给分.

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数学考点细目表

题号题型分值考查的主要内容及知识点难度

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