2026届陕西省高三上学期适应性检测（一）数学试卷（含答案）

姓名准考证号座位号

密★考试启用前

2026年陕西省高考适应性检测(一)

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、

座位号填写在本试卷上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。涂写在本试卷上无效。

3.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是

正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知复数是复数单位),则z+1在复平面内对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知集合A={x∈Qlx³-2x=0},则集合A的子集个数为()

A.1B.2C.4D.8

3.等比数列{an}中，若,则log₂a₄+log₂as=()

A.4B.6C.8D.9

4.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,,则a=()

AB.√3C.1D.3

5.已知双曲线(的离心率为√10,C的一条渐近线与圆(x+2)²+(y+

ABC.2√5

下

-6.若tanθ=-3,则

ABCD

数学试题第1页(共4页)

7.多重完美数是其所有因数之和是其本身的整数倍.从以下6,9,12,28,45数中随机任取

两个数，若取出的两个数中有完美数，其中一个不是完美数的概率为()

ABCD

8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x₁、x₂∈(0,+∞),且x₁≠x₂时，都有

成立，f(2025)=4050,则不等式f(x)-2x<0的解集为()

A.(-∞,-2025)U(2025,+∞)B.(-2025,0)U(2025,+∞)

C.(-2025,2025)D

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.若高为4√2,底面半径为2的圆锥内切一个球，以下说法正确的是()

A.圆锥的侧面积为12π

B.内切球的半径为√2

C.以平行于圆锥底面的平面截圆锥形成圆台，若该圆台与原圆锥共内切球，则其母线长

为3

D.圆锥侧面上的切点形成的轨迹长度为4π

10.已知M(-2,0),N(2,0),Q(0,1),D(1,0),动点P满足PM与PN的斜率之积为,动

点P的轨迹记为T,e为自然常数，则下列说法正确的是()

A.P的轨迹方程

B.存在点P,使得∠MPN=120°

C.|PQ|的最大值为4+2√3

D.曲线Γ上存在点P,使得IPDI=e

11.已知函数f(x)=sinwx-coswx(w>0,x∈R),且f(x)的所有位于y轴右侧的对称轴构成

一个公差为的等差数列，把函数f(x)的图象的横坐标伸长到原来的2倍得到函数g(x)的图

象，则下列关于函数g(x)的结论正确的是()

A.函数g(x)的最小正周期为π

B.g(x)的图象上的所有点向右平移个单位长度得到的函数为偶函数

C.g(x)在上是增函数

D.若g(x)在区间上的最值分别为m,n,则|m-n|的取值范围是[√2-1,2]

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

的展开式中，常数项是_

数学试题第2页(共4页)

13.已知△ABC的外接圆圆心为0,且),向量CA在向量CB上的投影向量

,则B=.(用弧度制表示)

14.已知a>0,函数,若定义域内存在x,使得f(x)<0,则a的取值范围

是·

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)记S,为数列{an}的前n项和，已是等差数列.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设b=2(n+1)(a+1),证明

16.(15分)体育锻炼有助于学生全面发展，为研究某市学生体育锻炼时长，随机抽取了100

名学生进行调查，并绘制频率分布直方图如下：

(1)估计这100名学生日均体育锻炼时长的平均数；

(2)若规定“日均锻炼时长不少于40分钟为运动积极型学生”,

(i)采用分层抽样抽取8人，再在这8人中随机抽出3人，记抽到运动积极型学生人数为

Y,求Y的分布列和数学期望；

(ii)现从样本中有放回地抽取n次，每次抽取1人，若希望至少抽到1名运动积极型学生

的概率不低于95%,至少需抽取多少次?(参考数据：lg2≈0.3010)

频率/组距

8:038

0.015

0.010

0203040506070日均时长/分钟

第16题图

数学试题第3页(共4页)

17.(15分)已知动圆Q与直线相切且与圆外切.

(1)求圆心Q的轨迹厂的方程；

(2)若过定点F(1,0)的两条相互垂直的直线lAc,lBD交曲线厂于A,C,B,D四点，求四边形

ABCD面积的最小值.

18.(17分)在如图所示的圆柱中，轴截面是边长为4的正方形，点M为底面半圆弧AD上

的动点(点M不与点A,D重合).

(1)当三棱锥D-MAB体积最大时，

(i)求二面角C-BM-A的余弦值；

(ii)点N在线段MB上运动，求(AN+DN)²的最小值.

(2)是否存在动点M,使得直线MB与平面ABCD所成角最大?若不存在，请说明理由.

第18题图

19.(17分)已知函数f(x)=(2+2ax)In(1-x)+2x,g(x)=x²eˣ-Inx.

(1)当a=0时，求f(x)的极值；

(2)当x≤0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；

(3)当时，证明：g(x)-1>0恒成立.

数学试题第4页(共4页)

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2026年陕西省高考适应性检测(一)

数学参考答案

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是

正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.【答案】D

【详解】因为i²=-1,所i,故,所以在复平面对应的点在

第四象限.

2【答案】B

【详解】根据题意，方程x³-2x=0的根为0,±√2,但是有理根只有一个0,所以子集个数为

2个.

3.【答案】C

【详解】设等比数列{an}的公比为q,q≠0.

当q=1时，由,可得：S₆=3,,此时S₆=9S₃不成立；

当q1时，由等比数列的前n项和公式可得,解得：q=2

由等比数列的通项公式可得：a₆=a₁q⁵=16.

由题意得log₂a₄+log₂a₈=log₂(a₄a₈),由等比中项性质得a₄a₈=a²=256,

故Log₂a+log₂ag=log₂(aag)=log₂256=8.

4.【答案】A

【详解】因,由正余弦定理,即b²+c²-a²+a²+c²-

b²=3c×2ac,化简得

5.【答案】D

【详解】由e=√10,则,解得,所以双曲线的渐近线为γ=±3x,当渐

近线为y=-3x时，圆心(-2,-1)到该渐近线的距离,不合题意；当渐

近线为y=3x时，则圆心(-2,-1)到渐近线的距离,所以弦长|MN|=

数学答案第1页(共8页)

6.【答案】A

【详解】

7.【答案】B

【详解】根据题意，1+2+3=1×6,故6是多重完美数，1+2+4+7+14+28=56=2×28,故28是多

重完美数，事件A=“取出的两个数有完美数”,事件B=“其中一个不是完美数”,则

8.【答案】B

【详解】得设函数,x=(0,+∞),则

g(x)在(0.+∞)上单调递减，又因为f(x)为定义在R上的奇函数,所

以g(x)为偶函数，g(x)在(-∞,0)上单调递增，而不等式f(x)-2x<0,等价于g(x)<2(x>

0)或g(x)>2(x<0)又因为f(2025)=4050,所以g(2025)=g(-2025)=2,所以不等式的解集

为(-2025,0)U(2025,+∞).

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.【答案】ABC

【详解】圆锥的侧面积公式,故A正确；根据题意，圆锥的轴截面

如图，DH是圆锥的高，0是球心，P是切点，则OP⊥CH,由已知DC=2,DH=4

√2,CH=6,由三角形相似可知，,则,解得OP=√2,故B正

确；若圆锥与圆台共内切圆，则过点A作截面，交于点B,BC是母线，又HD=o

2AD,所以DC=2AB,所以AB=1,BC=BP+PC=AB+DC=1+2=3,所以C正确；过

点B作BM⊥DC于M,过点P作PQ⊥BM于Q,延长PQ与AD交于0₁,则P的

第9题答图

轨迹以O₁为圆心，0₁P为半径的圆.作PN⊥CD于N,得△BQP∽△PNC,则

排,得,所以，点P的轨迹的长度是,故D错误.

10.【答案】AD

【详解】对于A:设P(x,y),则kPA·,整理1(x≠±2),所以M

数学答案第2页(共8页)

的轨迹方程1(x≠±2),故A正确；

对于B,当点P位于楷圆的上顶点时，则直角三角形MOP中，,则

,故B错误；

(0,√3)),故当y=-√3时，IPQ1mm=√3+1,故C错误；

对于D:因为点D(1,0)恰为轨迹椭圆T的右焦点，所以a-c<IPDI<a+c,,即1<IPDI<3,所

以在轨迹椭圆厂上存在点P,使IPDI=e,故D正确.

11.【答案】ABD

【详解】因为.由,k∈Z可得，

,keZ由已知可得，,所以

将函数f(x)的图象的横坐标伸长到原来的2倍，可得

对于A项，函数g(x)的最小正周期为,故A项正确；

对于B项，将g(x)图象上的所有点向右平移·个单位长度，得到

的图象，所以为偶函数，故B项正确；

对于C项，因

因为函数y=sinx在上单调递减，上单调递增，故C项错误；

对于项，由,k∈Z,得

DEZ.

即g(x)图象的对称轴为、k∈Zg(x)的最小正周期为T=π,由对称性可知，

当t与关于直线,keZ对称时，|m-n|取得最小值，

,keZ得,k∈Z,此时,k∈Z.

数学答案第3页(共8页)

当k为偶数时，最小值为,最大值为

当k为奇数时，最大值为,最小值为

故1m-nl的最小值为√2-1;

,k∈Z,k∈Z时，

函数g(x)在上单调，此时|m-n|取得最大值，

当L=0或时等号可以成立，所以|m-n|的取值范围为[√2-1,2],D正确.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12【答案】

【详解】的展开式的通项为,令5-5k=0,得k=1,所

以，常数项为

13.【答案】

【详解】因为210=AB+AC,所以△ABC外接圆圆心0为BC的中点，即BC

为外接圆的直径，所以如图，

因为向量在向量上的投影向量

CACB第13题答图

所以,所以,故

14.【答案】

【详解】·∴e¹+lna<ln(x-1)-1,且a>0,

两边加上x得，e+(x+lna)<ln(x-1)+(x-1)=In(x-1)+e(z-1).

设g(x)=x+e³,则g'(x)=1+e³>0,所以g(x)单调递增.

x+lna<ln(x-1),即Ina<ln(x-1)-x,

数学答案第4页(共8页)

令k(x)=ln(x-1)-x,则

∵f(x)的定义域是(1,+∞).

∴当x∈(1,2)时，k'(x)>0,k(x)单调递增，当x∈(2,+∞)时，K'(x)<0,k(x)单调递减，

∴当x=2时，k(x)取得极大值即为最大值，b(x)=k(2)=-2,

∴

Ina<k(x)=-2,.又∵a>0,

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.(1)证明：设等差数列的公差为d,则………………(1分)

因为S₅=25,所可得S₁+4d=5①,………(2分)

又因为a=3,则S₂=a₁+a₂=S₁+3,结可得S₁+2d=3②,………………(3分)

联立①②解得S₁=1,d=1,所!,即S₀=n²,………(5分)

当n≥2时，aₙ=S。-S₁=n²-(n-1)²=2n-1,

又当n=1时，a₁=S₁=1,满足a。=2n-1,所以a。=2n-1(n∈N*).………………(7分)

(2)由(1),………………(9分)

,………………(11分)

∵n∈N,∴……(13分)

16.(1)由题可知，平均值为(25×0.010+35×0.015+45×0.035+55×0.030+65×0.010)×10=

46.5;………………(3分)

(2)(i)由题可知：运动积极型学生的频率为0.75,分成抽样抽取的8人中运动积极型学生

有人，其他2人，易得Y服从超几何分布，Y的可能取值有1,2,3,………(5分)

则

故Y的分布列为

Y123

…(8分)

P

数学答案第5页(共8页)

………………(9分)

(ii)设至少需抽取x次，则…(10分)

………………(12分)

所以……(14分)

故至少需抽取3次.…………(15分)

17.(1)设圆心为Q(x,y),由题得,化简得=4x.………(5分)

(2)由题意可知直线AC既不平行x轴，也不平行于γ轴，………………(6分)

于是，设直线AC的斜率为kac=k(h0),则直线AC的方程为：y=k(x-1),

联立方程组,化简得k²x²-(2k²+4)x+k²=0,

设点A(x₁,y₁),C(x₂,Y₂),则x₁,x₂是此方程的两个根

……………(11分)

又AC⊥BD,,所以弦长IBDI=4(1+k²).…………(12分)

…(14分)

当且仅当,即k=±1时，等号成立，四边形ABCD面积的最小值为32.………(15分)

18.(1)(i)∵,又∵SALBD是定值，∴当三棱锥体积VN-ILED最大时即

高h最大，即点M为半圆弧AD的中点时.…(2分)

以D为原点，建立如图①所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,0,4),M(2,2,0),C(0,0,4),

所以BC=(-4,0,0),BM=(-2,2,-4)

设平面BMC的法向量为n=(x,y,z)

,得n=(0,2,1)第18题答图①

∵AB1平面MAD,MDC平面MAD,∴MD⊥AB,又∵MA⊥MD,

数学答案第6页(共8页)

∴MD⊥平面MAB,MD=(-2,-2,0)是平面MAB的法向量.……(4分)

设二面角C-BM-A的平面角为θ,则……………(5分)

∵二面角C-BM-A的平面角是钝角，∴二面角C-BM-A的余弦值为………(6分)

(ii)将面MAB与面MBD展开成平面图，连接AD,如图②所示，

此时AN+DN最小，…………(7分)

由题意可知MA=MD=2√2,MB=2√6,BD=4√2,所以

…………(9分)

第18题答图②

再由余弦定理可知

即(AN+DN)²的最小值为…………………(11分)

(2)过点M作ME⊥AD,则ME⊥平面ABCD,EB为MB在平面ABCD内的射影，∴∠MBE为

直线MB与平面ABCD所成角，当直线MB与平面ABCD所成角最大时，cos∠MBE取最小

值，设DE=a,a∈(0,4),ME=h,则AE=4-a.

∴在直角三角形AMD内，ME²=AE·ED,即h²=a(4-a),…(13分)

∴E(a,0,0)、M(a、h,0),B(4,0,4),BM=(a-4,h,-4),BE=(a-4,0,-4),

∵a∈(0,4),∴8-a>0∴

∴当且仅,即a=8-4√2时，cos∠MBE取最小值，直线MB与平面ABCD所成角

最大，即存在点M,使得直线MB与平面ABCD所成角最大.…(17分)

19.(1)当a=0时f(x)=21n(1-x)+2x,定义城为(-∞,1),……(1分)

对f(x)求导得