2023年概率论与数理统计知识点总结

第1章随机事件及其概率

P：：t=就从m个人中挑出n个人进行排列时也许数。

(1)排歹U(tn-〃)！

组合公式

C：=—也—从m个人中挑出n个人进行组合的也许数。

加法原理(两种措施均能完毕此事)：m+n

某件事由两种措施来完毕，第一种措施可由m种措施完毕，第二种措施可由

n种措施来完毕，则这件事可由m+n种措施来完毕“

(2)加法

乘法原理(两个环节分别不能完毕这件事)：mXn

和乘法原

某件事由两个环节来完毕，第一种环节可由m种措施完毕，第二个环节可由

理

n种措施来完毕，则这件事可由mXn种拮施来完毕。

某件事由两个环节来完毕，第一种环节可由m种措施完毕，第二个环节可由

n种措施来完毕，则这件事可由mXn种措施来完毕。

反复排列和非反复排列(有序)

(3)某些

对立事件(至少有一种)

常见排列

次序问题

假如一种试脸在相似条件下可以反复进行，而每次试验的也许成果不止一种，

(4)随机

但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个成果，则称这种试验为随机试

试验和随

验。

机事件

试验时也许成果称为随机事件。

在一种试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具

有如下性质：

①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一种事件；

②任何事件，都是由这一组中的部分事件构成的。

这样一组事件中H勺每一种事件称为基本领件，用来表达。

(5)基本

基本领件的全体，称为试验的样本空间，用表达。

领件、样

一种事件就是由中的1部分点(基本领件)构成口勺集合。一般用大写字母

本空间^口

A,B,C,…表达事件,它们是附子集.

事件

为必然事件，。为不也许事件。

不也许事件(0)日勺概率为零，而概率为零的事件不一定是不也许事件；同

理，必然事件(Q)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。

不也许事件(0)口勺概率为零，而概率为零的事件不一定是不也许事件；同

理，必然事件(Q)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。

①关系：

假如事件A的构成部分也是事件B的构成部分，(A发生必有事件B发生)：

假如同步有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B:A=B。

4B中至少有一种发生的事件：AB,或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B,也

(6)事件可表达为A-AB或者，它表达A发生而B不发生的事件。

的关系与尔B同步发生:AB,或者AB。AB=0,则表达A与B不也许同步发生,

运算称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本领件是互不相容的。

-A称为•件A的逆♦件.取若A的对立事件.记为•它表达A不发生的事件.互斥未必对立.

②运算：

结合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC

分派率：(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)

德摩根率：，

德摩根率：，

88■

QA=|JA__________

德摩根率：7r=iAU8=AnB,An8=AU3

设为样本空间，为事件，对每一种事件均有一种实数P(A),若满

足下列三个条件：

1°OWP(A)W1,

2°P(Q)=1

(7)概率

的公理化3°对于两两互不相容口勺事件，，…有

定义壮山14P⑷

"7/=«

常称为可列(完全)可加性。

则称P(A)为事件4日勺概率。

1°,

2°P(OJ=P3)=・・-P(%)=L

n

(8)古典设任一事件，它是由构成的，则有

概型尸⑷={(。1)U(亚)U…U⑷")}=PM)+)+…+)

二一二A所包含的基本事件数

'n~基本事件总数

若随机试验的成果为无限不可数并且每个成果出现的也许性均匀，同步样本

空间中的每一种基本领件可以使用一种有界区域来描述，则称此随机试验为

(9)几何几何概型。对任一事件A,

概型

P(A)=J禺。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

(10)力口当AB不相容P(AB)=0时，P(A+B)=P(A)+P(B)

法公式当AB独立，P(AB)=P(A)P(B),P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

当AB独立，P(AB)=P(A)P(B),P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

P(A-B)=P(A)-P(AB)

(11)减当BA时,P(A-B)=P(A)-P(B)

法公式当A=Q时，P()=1-P(B)

当A=Q时，P(B)=1-P(B)

定义设A.B是两个事件，且P(A)>0,则称为事件A发生条件下，事件B

(12)条发生的条件概率，记为。

件概率条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P(Q/B)=1=>P(豆/A)=1-P(B/A)

乘法公式：

(13)乘更一般地,对事件Al,A2,…An,若P(A1A2…An1)>0,则有

尸(知

法公式P(A\Ai...An)=P(AI)P(A214)A1A2)……P(An\A\Ai...

An-l)o

①两个事件的独立性

设事件、满足，则称事件、是互相独立的。

若事件、互相独立，且，则有

(14)独

立性

P(4)P(A)

若事件、互相独立，则可得到与、与、与也都互相独

立。

必然事件。和不也许事件0与任何事件都互相独立。

0与任何事件都互斥。

②多种事件叼独立性

设ABC是三个事件，假如满足两两独立H勺条件，

P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)

并且同步满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么A.B.C互相独立。

对于n个事件类似。

设事件8,…,8,满足

r两两互不相容，，

Au

2°«=i,

则有

(15)全P(4)=P(Bi)P(A|B)+0(&)P(A|及)+…+P网P(A|Bn)

o

概公式

全概率公式处理的是多种原因导致的成果问题，全概率公式欧1题型：将试验

可当作分为两步做，假如规定第二步某事件的概率，就用全概率公式；

全概率公式处理的是多种原因导致的成果问题，全概率公式的题型：将试验

可当作分为两步做，假如规定第二步某事件的概率，就用全概率公式；

全概率公式处理的是多种原因导致的成果问题,全概率公式的题型：将试

验可当作分为两步做，假如规定第二步某事件的概率，就用全概率公式；

设事件，，…，及满足

1°,，…，两两互不相容，＞0,1,2,…，，

2°,,

则

,i=l,2,…n。

此公式即为贝叶斯公式。

,(,,…，),一般叫先验概率。，(，，…，)，一般称为后验概

(16)贝

率。贝叶斯公式反应了“因果”的概率规律，并作出了“山果朔因”的推断。

叶斯公式

将试验可当作分为两步做，假如求在第二步某事件发生条件卜第一步某事件时

概率，就用贝叶斯公式。

P田)，(i=l,2,…，〃),一般叫先验概率。P(BJA),d=l,

2,…，，?)，一般称为后验概率。贝叶斯公式反应了“因果”的概率规

律，并作出了“由果朔因”的推断。将试验可当作分为两步做，假如求在第

二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用贝叶斯公式。

♦我们作了次试验，且满足

♦每次试验只有两种也许成果，发生或不发生；

次试驶是反复逆行的，即发生的概率包次均同样；

每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不

影响的。

(17)伯

这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。

努利概型

用表达每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表达重伯努

利试验中出现次口勺概率，

=％=0,12…

第二章随机变量及其分布

(1)离设离散型随机变量FI勺也许取值为Xk(k=l,2,…)且取各个值R勺概率，即事

散型随机件(X二Xk)的概率为

变量的分P(X=xk)=pk,k=l,2,

布律则称上式为离散型随机变审的概率分布或分布律。有时也用分布列的形

式给出：

X|Xl,X2,…,JQ,…

P(X=Xi)〃2,…，小，…。

显然分布律应满足下列条件：

(1),,⑵。

00

Vpk=1

(1)p“»°,A=1,2,…，(2)A=1。

(2)持设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有

续型随机

变量的分则称为持续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密

布密度度。

密度函数具有下面4个性质：

1.。

2.o

3、P(玉<XV&)=)-/(X)=£'f(x)dx

4、P(x=a)=<),a为常数.持续型随机变量取个别值的概率为0

4.P(x=a)=0,a为常数，持续型随机变量取个别值的概率为0

4、P(x=a)=O,a为常数，持续型随机变量取个别值的1概率为0

(3)离P(X=x)«P(x<X<x+dx)xf(x)dx

散与持续积分元f(x)dx在持续型随机变量理论中所起口勺作用与尸(X=M)=Pk在离散

型随机变

量的关系型随机变量理论中所起的作用相类似。

(4)分设为随机变量，是任意实数，则函数

布函数F(x)=P(X<x)

称为随机变量X的分布函数，木质上是一种累积函数。

可以得到X落入区间的概率。分布函数表达随机变量落入区间(-

8,X］内的概率。

分布函数具有如下性质：

1°0<F(x)<1,—OO<X<4-OO;

2°是单调不减的函数，即时，有；

3°,;

4。，即是右持续的I；

5。P(X=x)=F{x}-F(x-0)o

对于离散型随机变量，；

对于持续型随机变量，。

X

对于持续型随机变量，F(x)=jf(x)dxo

-00

(5)八0-1分布P(X=l)=p,P(X=O)=q

大分布二项分布在重贝努里试验中，设事件发生的概率为。事件发生U勺

次数是随机变量，设为，则也许取值为。

,其中，

则’称血机5量服从参数为，的二项分布。记为。

当时，，,这就是(0T)分布，因此(0T)分布是二项

分布的特例。

当”=1时，P(X=k)=pkqifk=0.\,这就是(0—1)分

布，因此(0T)分布是二项分布日勺特例。

泊松分布设随机变量XE向分布律为

则'称M疝变量服从参数为的泊松分布，记为或者P()。

泊松分布为二项分布日勺极限分布(np=X,n-8)。

泊松分布为二项分布口勺极限分布(np=X,n-8)。

几何分布,其中p20,q=l-po

随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。

随机变量X服从参数为pin几何分布，记为G(p)。

均匀分布设随机变量时值只落在［a,b］内，其密度函数在［a,b］上为

常数，即

其他

则称随机变量在［a,b］上服从均匀分布，记为X~U(a,b)o

分布函数为

0»x<a»

x-a

Jb-a'a这x这b

F(x)=£/(x)公=

1,x>bo

当aWxl〈x2Wb时，X落在区间()内的概率为

P(再<X<x^)=~—。

b-a

指数分布

r及弋x>0,

"x)=Y八

L0,x<。，

其中，则称随机变量X服从参数为U勺指数分布。

X的分布函数为

「〜弋x>0

°

15x<0o

记住枳分公式：

+X

\x,le-xdx=^

0

正态分布

设随机变量X的密度函数为

，，

其中、为常数，则称随机变量服从参数为、的正态分

布或高斯(Gauss)分布，记为。

具有如下性粉：

1°/(X)的图形是有关X=〃对称的；

2。当时，为最大值；

若，则时分布函数为

参数、时的正态分布称为原则正态分布，记为，其密度函

数记为

分布函数为

G(x)=—==fe2dto

而L

是不可求积函数,其函数(ft.己珀制成衣可供杳用.

O(-x)=1-①(x)且①(0)=—。

2

假如~，则~。

P(x,<X<x2)=①①。

(6)分

位数下分位表：；

上分位表：。

上分位表：P(X>)=2。

(7)函离散型

已知的分布列为

数的分布X

函数X孙X2,…，X”，•••

P(X=Xi)pi,〃2,…，pn,•­•

的分布列(互不相等)如下：

Yg(xi),g(X2),…，g(x”)，…

若有某嚏’相聚则卷滴病的魄力口和为的1概率。

若有某些g(果)相等，则应将对应日勺P,相加作为gQi)日勺概率，

持续型

先运用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)=P(g(X)^y),

再运用变上下限积分的求导公式求出fY(y)o

(2)定理法：

当Y=g(X)严格单调并且可导时：

，八一、JA1^(J)l1/»<(>•)ha<y<fl.

其中h%y)是g(x)的反函数

第三章二维随机变量及其分布

(1)联合离散型假如二维随机向量(X,Y)的所有也许取值为至多可列

分布个有序对(x,y),则称为离散型随机量。

设=(X,Y)的所有也许取值为，且事件｛=出、J概

率为pij,,称

P｛（X,丫）=区，匕）｝=p/J=1,2,…）

^

=(

昉X,

^W布

^

门

<或

联

合触

布

用

合

律

时

的

分

概••••••

面71Y2y.i

也

分

的

表

分

布

达

：K

1

••••••

X】PnPl2Pu

X2/上；••••••

*••

***

*•

•••…

X,p>iPij

*•*

*•*

*••

这里Pij具有下面两个性质:

(1)p*(i,j=l,2,…)；

⑵ZZP)=L

ij

持续型对于二维随机向量，假如存在非负函数，使对任意一种

其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即

D=｛(X,Y)|a<x<b,c<y<d｝有

P[｛Xy)eD]=\\f^y)dxdy,

则称为持续型随加向量；并称f(x,y)为=(X,Y)的分布

密度或称为X和Y的联合分布密度。

(1)分布密度f(x,y)具有下面两个性质：

(2)f(x,y)>0;

<2)匚匚/(x,y)dxdy=1.

(2)二维4(x=_r,y=)，)=4(x=xny=y)

随机变量

的本质

(3)联合设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数

分布函数F^y)=P{X<^Y<y]

称为二维随机向量(X,Y)日勺分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布

函数。

分布函数是一种以全平面为其定义域，以事件H勺概率为函数值的一

种实值函数。分布函数F(x,y)具有如下的基本性质:

(1)0<F(x,y)<1;

(2)F(x,y)分别对x和y是非减的，即

当x2〉xl时,有F(x2,y)2F(xl,y);当y2>yl时，有F(x,y2)2F(x,yl);

(3)F(x,y)分别对x和y是右持续的，即

F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0)；

(4)F(-co,-co)=F(-co,y)=F(x,-co)=0,F(+co,+oo)=1.

f

(5)对于为<%，<y2

P(xi〈x/x2,yivyWyz尸尸(马，乃)一尸(X2,凹)一尸(2，当)+尸(为，凹)“)

(4)离散P(X=x,¥=y)^P(x<X<x+dx,y<Y<y+dy)®/(x,y)dxdy

型与持续

型的关系

(5)边缘离散型X的边缘分布为

分布P"P(X=Xj)=工p£i,j=\,2,…);

Y的边缘分布为

p.j=p(y=%)=Zp£i，j=12…)。

f

持续型X的边缘分布密度为

八*)=匚/。,丁)力；

Y的边缘分布密度为

人(4)=匚/®y)dx.

(6)条件离散型在已知X=xi的条件下，Y取值的J条件分布为

分布P(y=y"X")="

Pi.

在已知Y=yj口勺条件下，X取值口勺条件分布为

P(X="=x)="

P・j

持续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为

/r(3,)

在已知X=x0^条件下，Y的条件分布密度为

/。\幻=喑?

fxM

(7)独立一般型F(X,Y)=Fx(x)Fv(y)

性离散型Pij=P"・j

有零不独立

持续型f(x,y)=fx(x)fr(y)

直接判断，充要条件：

①可分离变量

②正概率密度区间为矩形

二维正态分

IUK-M,y-/t2VI

布〃、_1IJ]

八芭y)i----e，

2m-p~

p=0

随机变量的若XI,X2,-Xm,Xm+1,-Xn互相独立,h,g为持续函数，则:

函数h(XI,X2,-Xm)和g(Xm+1,-Xn)互相独立。

特例：若X与Y独立，则：h(X)和g(Y)独立。

例如:若X与Y独立,则：3X+1和5Y-2独立。

例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。

例如:若X与Y独立,则：3X+1和5Y-2独立,

(8)二维设随机向量(X,Y)口勺分布密度函数为

均匀分布9(%”。

3。

y)="

0,其他

其中SD为区域D曰勺面积，则称(X,Y)服从D上的均匀分布，记为(X,

Y)〜U(D)0

例如图3.1.图3.2和图33。

yi

1

0I*X

图3.1

J小

图3.3

（9）二维设随机向量（X,Y）的|分布密度函数为

正态分布1x

（-p\y2p（A-p,）（＞-//；）ry-pzy1

〃_12（l-p2）[[bj6%IJJ

j（x，y）—八I---------e，

2TZCFICT2Jl—~

其中是5个参数，则称（X,Y）服从二维正态分布，

记为（X,Y）〜N（

由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分

布，

即X〜N（从，o■:）,y〜N（〃2.b；）.

不过若X~N（,（X,Y）未必是二维正态分布。

不过若X〜N〜N（〃2.b；）,（X,Y）未必是二维正态分布。

（10）函Z=X+Y根据定义计算：

数分布对于持续型,fZ（z）=

两个独立的正态分布的和仍为正态分布

（41+42,b：+b；）o

n个互相独立的正区分布的线性组合，仍服从正态分布。

N=M=£c2;

ii

Z=max,min(若互相独立，其分布函数分别为，则

Xi,X2,-Xn)Z=max,min（XI,X2,…Xn）的分布函数为：

入皿。）=&（X）•"（公…心（龙）

/n（x）=1-U-&«]•[!-与（功…口-FXn（X）]

第四章随机变量的数字特性

U，

离散型持续型

维

一期望设X是离散型随机变量，其设X是持续型随机变量，其概

机

随

期望就是平均值分布律为P（）=pk,率密度为f（x）,

量

变

k=l,2,…，n,+00

数

的E（X）=jxj\x）dx

特

字E（X）=2XkPk

-00

性*=l（规定绝对收敛）

（规定绝对收敛）

函数日勺期望Y=g（X）Y=g(X)

E（y）=tg®）p&■KO

E(Y)=Jg(x)/a)aY

*=|-oo

方差+30

o(x)二J次一七(x)f/a)dE

D(X)=E[X-O(X)=ZX-E(X)]2PA

-00

E(X)]2,人

原则差

b(x)=Jzxx)

(22)(1)E(C)=C

期

望

性(2)E(CX)=CE(X)

的

质(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y),

E(XY)=E(X)E(Y),充足条件：X和Y独立;

充要条件：X和Y不有关。

充要条件：X和Y不有关。

(3)(1)D(C)=O；E(C)=C

方差(2)D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)

的性(3)D(aX+b)=a2D(X):E(aX+b)=aE(X)+b

质(4)D(X)=E(X-)-E2(X)

D(X±Y)=D(X)+D(Y),充足条件：X和Y独立;

充要条件：X和Y不有关。

D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))],无条件成

立。

而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。

期望方差

0-1分布

B(l,p)P/XI-p)

二项分布

np叩Q-p)

B(n,p)

)泊松分布

(422

常尸⑷

见

分

布几何分布\_1一〃

的

期G(p)P2

望P

和

方

塞超几何分布nM

N(N大N-J

N

均匀分布a+h

U(a,b)212

指数分布J_1

eWI不

正态分布

(T2

N(")

G

期望-HO

5)维

二

E(X)=X^A.E(X)=jxfx(x)dx

机

随

-00

量

变玖丫)=储必4<O

数

的

E(Y)=\yfY(y)dy

特

字>>