2023年浙江省温州市中考数学考前一月知识回顾卷06-24题压轴题(原卷版+解析)

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2023年浙江省温州市中考数学考前一月知识回顾卷06

24题压轴题精选

编题者寄语：经过紧张的中考总复习，初中时代已然接近尾声。不少同学认为成绩

已然成定局。其实不然：只要我们熟悉中考高频考点，不要在基础题中丢分，我们的数

学成绩依然可以提升一个档次。再次，预祝全体温州中考生考试顺利。

一、解答题（共100分

1.（本题10分）（2023•浙江温州•统考一模）如图，点。在的斜边A3上，半

圆。切AC于点。，切BC于点、E,连结。ROE,Q为线段BC上一点，QP上AB交八3

于点P,已知AC=3,8c=6,设OP=x,EQ=y.

⑴求半圆。的半径和。8的长.

⑵若点。在线段跖上.

①求），关于x的函数表达式.

②在OE上取点尸（不与点。重合），连结尸EQ尸，当尸为等腰直角三角形时，求

所有满足条件x的值.

⑶当P0经过OE的中点G时，求作的长.

2.（本题10分）（2023•浙江温州•模拟预测）如图①，点M是正方形A8CO的对角线AC

上的一点，射线与AAMB的外接圆的另一个交点为N,与射线C8相交于点P.

（备用图）

(1)当点N与点8重合时，)的值为：

CA

CM

(2)如图②，当MN是一AM4外接圆的直径时，求夫•的值;

CA

⑶若.PNC为等腰三角形，求三的值.

3.(本题10分)(2023•浙江温州・统考一模)如图I,在矩形A8CD中，AH=4,

ZACT=30°.P,。分别是AC,。。上的动点，且满足得=],£是射线40上一点,

AP=EP，设。。=%，

(I)求了关于1的函数表达式.

(2)当VPQE中有一条边与AC垂直时，求。。的长.

⑶如图2,当点。运动到点C时，点/，运动到点尸.连结尸Q,以尸Q,尸。为边作PQFG.

①当G/所在直线经过点力时，求PQFG的面积；

②当点G在“8C的内部(不含边界)时，直接写出刀的取值范围.

4.（本题1（）分）（2023•浙江温州•统考一模）如图I,在菱形ABC。中，ND4A=60°,A3=4,

以A3为宜径作半圆。交AO于点E,过点石作OO的切线交C。于点G,交84的延长

线于点F.当点P从点G运动至点尸时，点Q恰好从点4运动至点8,设AQ=x,P/7=丁.

（1）求证：AF=DG.

⑵求），关于x的函数表达式.

⑶连接PQ.

①当PQ与八4£»的一边平行时，求K的值.

②如图2,记尸。与BE交于点M,连结MG,BG若/EPM=/MGB,求，8MQ的面积.

5.（本题10分）（2023•浙江温州・统考一模）如图，点八尸分别为矩形A8C。边4）,

。。上的点，以非为直径作。。交班'于点G,且所与O相切，连结EG.

(1)若人石二届，求证：AABEgAGBE.

(2)若4A=2,tan/EBF=-.

①求DE的长.

②连结AG,若A8G是以AG为腰的等腰三角形，求所有满足条件的8C的长.

（3）连结CG,若CG的延长线经过点A,且KO=EG,求尊的值.

EF

6.（本题10分）（2023秋♦浙江温州•九年级校考阶段练习）如图1,在RtAABC中，？890?,

8C=4石，D是A8边上的一点，E是AC边上的一点，且AP=OEBJLOE的延长

线于点F.

⑵若E是。产的中点，AD=3BD.

①求b和A8的长.

②如图2,G是CE的中点，在8C边上取一点M,连接A/G并延长交线段。户于M连

接EN,若五边形瓦比NM中有两条边平行，求出所有满足条件的CM的长.

7.（本题10分）（2023春・浙江杭州•九年级专题练习）如图，在RtZ\A8C中，4=90。,

D,2分别是AB,BC上的点，过8,。，P三点作圆，与射线C。交于点E,AC=3,

BC=5,AD=\

备用图

⑴若点七在8的延长线上，求证：ACDPSACBE

（2）当夕点在射线CB上运动，且BE与△AQC三边中的一边垂直，求OP

（3）记△也店、△比中的面积分别为52,若DE=DC,求的值

8.（本题10分）（20。秋•浙江温州•九年级期末）如图1,我们把一个半圆和抛物线的一

部分围成的封闭图形称为“蛋圆”，已知A,B,3。分别为“蛋圆”与坐标轴的交点，

与“蛋圆”中的抛物线+法+c交于E,C两点.

44

图1图2备用图

⑴求“蛋圆”中的抛物线的解析式，并直接写出“蛋圆”被y轴截得的线段8。的长.

（2）“蛋圆”上是否存在点尸使是等腰三角形？如果存在，请直接写出点尸的坐标；

如果不存在，请说明理由.

⑶如图2,E为直线8c下方“蛋圆”上一点，连结AEA&8E,设AE与8C交于F,/\BEF

的面积记为S-△AB/的面积记为邑，求*的最小值.

9.（本题10分）（2023秋•浙江温州•九年级校考阶段练习）如图1,在平面直角坐标系中,

点4-4,0）,点8是），轴正半轴上一点，以A3为直径作:M,A与C关于），轴对称，直

线CM交M于点D,E（点E在左侧），交），轴于点F.设08=。.

⑴求M的坐标（用〃的代数式表示）和AC的长.

⑵若E是半圆人4的中点，求点E的坐标.

⑶如图2,过点A作人G〃。石交），轴于点G,连结并延长交4G延长线于点K.

①试说明./WK是等腰三角形.

②当点G为AK中点时，求。的值.

10.（本题10分）（2023春•浙江•九年级期末）如图，矩形4BC。中，BC=8,点F是AB

边上一点（不与点8重令）△8c/的外接圆交对角线BD于点E,连接CF交BD于点、G,

连接EC.

（1）求证：ZECG=ZBDC.

⑵当AB=6时，在点”的整个运动过程中，

①连接若226时，求CE的长.

②当△CGE为等腰三角形时，求所有满足条件的CG的长.

直接写出答案。6为_

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2023年浙江省温州市中考数学考前一月知识回顾卷06

24题压轴题精选

编题者寄语：经过紧张的中考总复习，初中时代已然接近尾声。不少同学认为成绩已然

成定局。其实不然，只要我们熟悉中考高频考点，不要在基础题中丢分，我们的数学成绩依

然可以提升一个档次。再次，预祝全体温州中考生考试顺利。

一、解答题（共100分

1.（本题10分）（2023•浙江温州・统考一-模）如图，点。在RdABC的斜边匕半圆。

切AC于点O,切BC于点£,连结ODOE,。为线段上一点，QPtAB交AB于点P,

已知4C=3,BC=6,设OP=x,EQ=y.

（I）求半圆。的半径和03的长.

（2）若点。在线段座上.

①求），关于工的函数表达式.

②在OE上取点尸（不与点。重合），连结当△出?尸为等腰直角三角形时，求所有

满足条件工的值.

（3）当P。经过的中点G时，求QG的长.

答案:⑴半径为2,03的长2有

⑵①尸巫尸1；②述或延

”27II

⑶6-芈

2

分析：（1）根据勾股定理先求出A6的长，再证得四边形ODC£是正方形，然后设半圆O的

半径为「，则CE=OE=r,BE=6-r,再根据△8。小也.。，即可求解；

（2）①根据题意可得6P=2石-x,8Q=4-y,再由BPQ^.BEOt即可求解；②根据

-BPQs-8EO,可得PQ=逐一;x,然后分两种情况：当等腰直角△尸。尸的腰为凡2尸。时；

当等腰直角△P07的腰为尸Q，PF时，即可求解；

（3）-BPQsSEO,可得PQ=T+6,连接OC,先证得点G在。。上，然后过点G作

GN工OD于点、N,设PQQD交于点R,可得△ONG是等腰直角三角形，从而得到

ON=NG=^OG=0,再由tanZAOQ=^=（=黑，可得。长=@“，再根据

2OD2OP2

tan/RGN=tan/AOO=:，可得NR="，从而得到。火=ON—NR=也，可求出x的值,

222

从而得到PQPG的长度，即可求解.

【详解】（1）解：vZC=90°,AC=3,BC=6,

••AB=\IAC2+BC2=3X/5，

•・•半圆。切AC于点。，力BCT点、E,

CD=CE,ZCDO=ZCEO=90°,

ZC=90°,

・•・四边形ODCE是矩形，

'：CD=CE,

，四边形ODC石是正方形，

：.OE=CE,OE//ACt

设半圆。的半径为〃则CE=OE=r,

/.BE=6-r,

*：OE//AC,

△BOEsaBAC,

.OBOEBE

OBr6-r

F亍T'

解得「=2。8=2后，

即半圆。的半径为2,。8的长2后；

（2）解：①由（1）得：BE=6-2=4,OE=2,

,：OP=x,EQ=y,

・•・BP=2后-x,BQ=4-y,

•：QPLAB,

：./BPQ=NOEB=90。,

,//B=NB,

:.一BPQSABEO,

,BQBP4-y2石7

・・=,RJ——>=--------,

OBBE2x/54

解得：y=^-x-\,

2

即），关于工的函数表达式为丁=当X-1；

②由①得：BPQs.BEO,

嚏嗡即条亨

・•・PQ=y/5--X,

2

当等腰直角△PQF的腰为根"。时，FQ=PQ=45-x^FQLPQ,则〃Q〃O8,

：..EFQs八EOB,

B

.EQFQx

=即3_FQ,

'BE~OB-4~~2^

FQ=?%~，

冬解得一孚

当等腰直角△PQ/的腰为尸Q.P/时，FQ=PF,NPFQ=90°,

过点。作H7J,0E,则尸HP8E,/FHP=/FEQ=90°,

/./PFH+/FPH=骄，

•「ZPF(2=90°,

/PFH+4EFQ=90。,

••・NFPH-上EFQ,

♦:FQ=PF,

:・JEFQ'HPF,

:•EQ=FH=gx-\,EF=HP,

PHPBE,

.,OPHS：.OBE,

.OPPHOHHIIxPHOH

OBBEOE2x/542

.pu2V5cu6

・•PH=------x,OH=——x»

55

•门

••EF=2-亚---x，

5

•：OH+FH+EF=OE,

.石J石,石10

•・——x+---x+——x-1=2，

552

解得：工=延，

II

综上所述，满足条件的x的值为电5或述;

7II

（3）解：根据题意得：BP=2y/5+x,

-QPLAB,

NBP。=NOEB=90°,

:一BPQs^BEO,

PC=|+>/5,

如图，连接0C，

,,DG=EG»

，/DOG=ZEOG，

••・四边形O0C上是正方形，

ZDOC=ZEOC=ZOCE=45°,OC=&OO=2&,

，点G在ocr.,

过点G作GN工OD『点N,设PQ、OD交于•点、R,

...AONG是警腰直角三住形，

：.ON=NG=&OG=&,

2

由（1）得：AD=AC-CD=l,

AHiRP

在Rt一AOD1f1,tanXAOD=，

1x

：.RP=-OP=—,

22

JOR=­x,

2

NONG=4OPR=90°,NORP=4NRG,

/./RGN=ZAOD、

tan4RGN=tanZAOD=-,

2

.NR1rm72

BPN/?=T，

OR=ON-NR=—,

2

・・.立=正工,解得：工=典，

225

OP=—,P（?=-+^5=—+V5,

5210

・•・PG=ylOG2-OP2

.PCM*R3晒RM

••n（70r=rQ-rp（rj-------F---------=yjj--------•

1052

【点睛】本题主要考杳了切线的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解

直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的

判定和性质，解直舛三角形，勾股定理等知识是解题的关键，是中考的压轴题.

2.（本题10分）（2023•浙江温州•模拟预测）如图①，点”是正方形A8CD的对角线AC上

的一点，射线0M与AM8的外接圆的另一个交点为N,与射线C6相交于点尸.

(备用图)

(I)当点N与点区重合时，的值为；

CA

CM

⑵如图②，当MN是.外接圆的直径时，求兴的值;

CA

(3)若PNC为等腰三角形，求为的值.

答案:(l)g

⑵4

2

(3)2+G

分析：(1)当N与8重合时，点。、例、8共线，根据正方形的性质即可得出结论；

(2)连接用V、AN,根据SAS证J/XMGAAC”,得出=推出

NCBM=/CMB.即CM=C6,根据维=笑=sin/C4B即可得出结论；

CACA

(3)由./NC为等腰三角形知，只能是NC=N。，过N作NG_LCOFG点，则NG=：CO,

rp

设A"=x,则”8=1,证一ADHs二BPH,根据线段二匕例美系得出叱CP,推出标的

值即可.

【详解】(1)解：当N与8重合时，点。、M、3共线，

•・•正方形48co中，AC=BD,

・・・AC、8。相交于点M,

：,AM=CM=^AC,

故答案为：::

(2)解：连接BN、AN,

•・•MN是.5AM外接圆直径，

・•・XMRA+/ARN=90°,

*.*/ABC=900即NCBM+NMBA=90°,

，/ABN=NCBM,

♦：NABN=NAMN=NDMC、CD=CB,NDCM=NBCM=45。,CM=CM,

—DCMWBCM(SAS),

J/DMC=NCMB,

:・NCBM=/CMB，

・••CM=CB,

.CM普siSB咚

CA

(3)解：由JNC为等腰三角形知，只能是可。=9,

，N在C。的垂直平分线上，

过N作NG_LCO「G点，则NG=gcD,

CB-Gr

连接AN、例4,作AQJL。。于点。，

设CD=C8=1,。尸与4B相交于点”,

设A/7=x,则”8=1,

•/AD〃C〃，

/ADH=/P,RNAHD=/PHB,

：・dADHs^BPH,

.AHAD,x1

••9RorJ

HBBP\-xBP

解得：BP='~,

x

.,.CP=I+—=-,

xx

由勾股定理得PD=Jgy+iz,

•••M是AC上的点，

：-^ABM=^ADM,

•J/ABM=NANQ,

Z.ZADM=/ANQ,

JAD=ANf

J00=；咖=；6=：朴:，

,/NADM=NP,

/.cos/ADM=cos/P,

即以乌

ADDP

整理得f-4x+l=0,

解得x=2-x/5或x=2+3（舍去）,

CP1厂

【点睛】本题主要考杳圆的综合知识，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质,

相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键.

3.（本题10分）（2023•浙江温州•统考一模）如图1,在矩形4BC。中，AB=4,ZACB=30°.P,

Q分别是AC,C。上的动点，且满足有=|,E是射线4。上一点，AP=EP,设力Q=x,

AP=y.

图1图2

⑴求）'关于上的函数表达式.

⑵当VPQE中有一条边与AC垂直时，求。。的长.

（3）如图2,当点。运动到点C时，点尸运动到点儿连结尸Q,以尸Q,PQ为边作aPQFG.

①当G/所在直线经过点。时，求uPQ/G的面积；

②当点G在58c的内部（不含边界）时，直接写出/的取值范围.

答案:⑴产-（"8

⑵二12或2

⑶①噂②*V

分析：（1）利用乙4cB=30。，4/?=4得至|JAC=2AB=8,求出CP=8-y,代入比例即可得

到函数解析式；

（2）分情况：（i）当PQ_LAC时，（ii）当Q£_LAC时，（iii）由NAEP=NC4£>=30。，

得尸E不可能垂直于4C，依次分析求解；

⑶①由。G〃PQ,得到伟=舞,得。。=4-2=2,PF=FC-CP=y.过点。作

QH±PC,则QH邛QC=G.利用S“=2sFQ/，求」僭案；②当点G落在AB边上时，

证明:"GZCQP,得4尸=",B|jS|x=4求得X、4当点G落在BC边上时，作

4S4

QN〃AD交AC于点M作M/_LAO于点M,得-QNF-GCP，即看2x=2求得x=:，

3311

即可得到十的取值范围.

【详解】（1）解：在矩形A8c。中，8=A3=4.

VZ4CT=30°,AB=4,

JAC=2AB=8.

VAP=y,

：,CP=S-y.

••丝=3

CP5,

•.x_=3

**8-y5•

/.y=--x+8.

3

(2)(i)当。Q_LAC时，

VDQ=x,AP=y,

：,CQ=4-x,CP=^-y.

cosZACD=

CQ2

・8-y_i

*'4^x"21

1212

解得K==，即"=3

(ii)当QE_LAC时，

延长EQ交AC于点

VAD//BC,AZC4D=Z4CB=30°,NACO=60。.

AP=PE,JZEPA=2ZE4C=60°,

・•・△KPC是等边三角形.

KC=CP=8-y=|x,

・•・DAT=4--x.

3

在Rt&颂中，DE=gDK,

在RlZXOEQ中，DE=BDQ,

G

5与

D=

T3一3解得x=2,即。。=2.

DE

(iii)VZAEP=ZC4D=30°,

，NAPE=120。，

12

综上，OQ的值为二或2：

・•・PE不可能垂直于AC.

5544

(3)当x=4时，y=--A+8=-—x4+8=—,BpAF=—,

20

ACF=8-AF=—

3

①在LPQ/G中，DG//PQt

20

.FC=DC即V"

,*CPC0'

-x

3

解得x=2,

.・.CQ=4-2=2,PF=FC-CP=—.

3

过点Q作Q”，尸C,则0〃=

工SPQFG=2SFQP=PFXQH=^

哈Y・

•：FG//QP,

4GFP=/QPF,

：.ZAFG=NQPC.

*.•AB//CD,

Zfi4C=ZDC4.

FG=PQ,

:._AFGACQP.

54

:・AF=CP,BP-x=

JJ

4

解得x，.

J

当点G落在8c边上时,

作QV〃A。交AC卜点N,作NM_LA。「点M,

则MN=OQ=x,

4

:,AN=2x,NF二一一2x.

3

易证.QNF&GCP,

454

:・NF=CP,即可-2x=《x,解得％=一,

3311

.44

••—<X<一・

115

【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，锐

角三角函数，求函数解析式，综合掌握各知识点是解题的关键.

4.（本题1（）分）（2023•浙江温州•统考一模）如图1,在菱形A8CQ中，ZZMB=6O°,A4=4,

以4B为直径作半圆。交A。于点E,过点E作。O的切线交。。于点G,交84的延长线于

点凡当点P从点G运动至点尸时，点。恰好从点4运动至点8,设AQ=x,PF=y.

（1）求证：AF=DG.

⑵求），关于r的函数表达式.

⑶连接PQ.

①当尸。与△人出的一边平行时，求x的值.

②如图2,记PQ与BE交干点M,连结MG,BG若NEPM=/MGB,求的面积.

答案：（1）见解析

⑶①1或②G

分析：（I）由于人区为直径，可根据三角形的性质可得=在菱形A8CO中,

AE=DE=^-AD.故即可证明八4正1三△DGE.即可得到A/=GO.

2

（2）连接OE,FG为:O的切线，ZBA£>=60°.OA=OE,/WOE为等边三角形，可得EF

的长，由（1）得AAFENADGE,故EF=EG,即尸G=4X/5.

又当点P从点G运动至点尸，点。恰好从点A运动至点3,二=丝=后,

AQ4

即PG=&,故可得y=-氐+4百.

(3)①当PQ〃AE时，MEF=NQPF=/F,FP=“FQ,求出x的长；

当PQ〃BE时,NPQF=/EBF=NF,FQ=^PF,求出工的长.

②过点。作8QM的高线QN交所于点N,则有QN=30sinNQ8N.再根据

FMPE1

4EPM△BGM,可得二•=:不，代入即可求出用B的值，故S%他=7xM8xQN求出即

MBGo2

可.

【详解】(1)解：如图所示：

AQ0

•••A4为直径,

.-.ZAEB=90o.

vZBAD=60°,

:.ZABE=30°

AE=—AB.

2

在菱形ABCQ中，AI3=AD,ABCD

.-.AE=-AD,ZEAF=ZD

2

*'■AE=DE.

在AAE/和△OEG中

NEAF=ND

AE=DE

ZAEF=/DEG

..AAFE^ADGE.

：.AF=DG.

(2)连接OE,如图所示:

.:FG为（。的切线，

.-.ZOEF=90°.

•••440=60。，OA=OE.

•••△40七为等边三角形，

.-.ZOE4=60o,ZAEF=30°,

NF=AEAB-ZAEF=30°.

•••A4=4,

..AE=AF=2^EF=2^.

由（1）得△AFEMDGE,

:.EF=EG,B|JFG=4x/3.

又当点P从点G运动至点尸，点Q恰好从点A运动至点B.

.尸G_4百一出

AQ4

•••PG=yf3x>

即：y=-#>x+4石.

（3）①i）如图1所示，

图1

当尸。〃4E时，ZAEF=NQPF=/F,

：.FQ=QP.

又•••/尸=30°,

:.FP=&Q,

.­.4V3-V3x=>/3（2+x）.

•••x=1.

ii）如图2所示,

图2

当PQ〃BE时,NPQF=/EBF=/F,

:.FP=QP.

又•••"=30°,

.'.FQ=y/3PF,

.•.®4出-呵=2+x.

5

2

综上所述：x的值为1或

②过点。作.4QW的高线。N交所于点N,

则有QN=BQ.sin/QBN=.

•:BE=EF=EG,

.••NF8G=90°.

由//=30°,得N8G/=60°,

.•YG£G为等边三角形，

:.4PEM=4GBM=60°,且/EPM=/MGB，

•••4EPMABGM,

EMPE

EMy-25/32-x

•••---=-----,=-=--------»

MB2y/32

MB2则MB盘

~EB~^x

••SM=；xMBxQN=；x¥；x=6•

ZZXz

【点睛】本题考查了圆与三角形、四边形及动点问题的综合题，熟练掌握三角形在圆中的性

质，全等三角形的判定、相似三角形的判定、锐角三角函数解三角形是解决此题的关键.

5.(本题10分)(2023•浙江温州・统考一模)如图，点£.5分别为矩形4BCD边AD,CD

上的点，以砥为直径作。。交M于点G,且放与C。相切，连结EG.

(1)若从£=历，求证：AABE当AGBE.

(2)若A8=2,tan/EBF=；.

①求OE的长.

②连结AG,若.ABG是以AG为腰的等腰三角形，求所有满足条件的的长.

(3)连结CG,若CG的延长线经过点A,且£D=EG,求要的值.

EF

答案：(1)见解析

(2)®DE=1；②当a/WG是以AG为腰的等腰三角形时，BC的长为|"或石;

⑶受二

EF3

分析：(1)AE=EG,BE=BE,根据圆周角性质得到N8G£=90°,利用直角三角形全等

判定定理即可证明.

ppnp1

(2)①根据切线与矩形的性质证明△ABE'sAD所，再根据tanNQ〃-=-f-二求

BEAB2

值.

②分别讨论G4=G3时，LBEF出ABCF得到BC=BE,借助勾股定理求解，AG=A13\i，

AFr)ppr

-ABEs」)EFs二CBF,设DF=a,根据相似比—-=——=--求解.

ABDEBC

(3)证明△4达9Z\G/汨得到AC〃即，取斯的中点从连结石，，设b=O尸=G/

借助MGFSAEFH求解.

【详解】(1)解：证明：在矩形ABCD中，ZBAD=90°

•・•是直径

，NBGE=90。

在RlABE和mGBE中

AE=GE

BE=BE

△ABE9AGBE®)

(2)解：①•・•"与OO相切

，/BEF=90°,・•・ZAEB+ZDEF=90°

;在矩形ABCO中，ZBAD=ZD=90°

，ZABE+ZA£^=90°,

JZABE=/DEF,

/./\AREs/\DEF

.EFDE

,~BE=~AB'

EFDEI

：.tanZEBF

^E~~AB~2

：,DE=-AB=-x2=l

22

②(i)当GA=GB时，则ZA4G=NAAG=NAEG,

ZABG+ZCBF=90°=/BAG+NGAD=/BEG+/EBF

4CBF=4GAD=/EBF

在△BEF和△Bb中，

ZBEF=ABCF

NEBF=NCBF

BF=BF

BEF，.BCF(AAS),

/.BC=BE

由①知，DE=3AB=1

设BC=AE=x,贝ljAE=x-l,

在Rt-ABE'P.勾股定理可得22+(x-l)2=x2,

解得x=],即=]

22

(ii)当AG=A8时，则ZABG=Z4G8=Z4EB,

JZABE=/FBC=NDEF

.1ABEs,DEFs&CBF

.AEDFFC

设OF=a,

~AB~~DE~~BC

由①知，DE」AB=1

2

则AE=la,FC=2-a,BC=2a+1

.2a1—ciAZJ4Hx^5—1i-.—\/5—1,、

一；，解得4=^-------或。=二-------(舍)，

22a+\22

8c=2。+1=6

综I•.所述，当“1BG是以AG为腰的等腰三角形时，BC的长为;或有.

(3)解：在Rf.EGF和M.EDF中,

ED=EG

'EF=EF

二・RtMGF却iMDF(HL),

JNGEF=/DEF

'：ZAEB+ZDEF=90°,N3无+NGE/=90°,

ZAEB=NGEB

在」ABE和一GBE中,

NBAE=NBGE=90。

NAEB=NGEB

BE=BE

ABE^GBE(AAS)

/.AE=EG=ED,

/.AG工BE,

/.AG//EF,

•JCG的延长线经过点A

・•・AC//EF,

/.CF=DF=GF

如图所示，取所的中点从连结£77,设CF=DF=GF=m,

则BG=BA=CD=2m,

,BF=3rn,EH=HF=\.5m

•・•AC//EF,

：.Z.GCF=CGF=ZEFH=Z.HEF,

/.△CGFsMFH

【点睛】此题考查了圆、圆周角的性质、三角形全等和相似的证明、三角函数三角形中位线

定理，解题的关键是综合应用各性质.

6.体题10分)(2023秋•浙江温州•九年级校考阶段练习)如图1,在RtAABC中，?B90?,

8c=4后，。是48边上的一点，£是AC边上的一点，且=b_LO£的延长线于

点尸.

(2)若£是。尸的中点，AD=3I3D.

①求C/7和A3的长.

②如图2,G是CE1的中点，在8c边上取一点M,连接MG并延长交线段C尸于N,连接EN,

若五边形8Q&W中有两条边平行，求出所有满足条件的CM的长.

答案：(1)见解析

(2)①C尸=3石；AB=4；②述或生叵或植

254

分析：(1)[hAD=DE,得到NA=NA££>,进•步证明NA=NCEF,再根据三角形内角

和定理即可证明ZECF=ZACB：

(2)①设4。=%,则AO=34O=3x,DE=AD=3x,AB=4x,EF=DE=3x,证明

CFEFl

△ABCs△及匕，得至ij=求出C尸=3石，连接8,由勾股定理可知，

BCAB

/+(4石)2=(6十+(3灼,解方程即可得到答案；②先由勾股定理求出AC=4指，CE=3R,

CG=^.再分三种情况：如图2/所示，当MN〃川5时，二CMGSQA,如图2-2所示,

当EN〃BC时.，则NNEG=NAC/L如图2-3所示，当A1N〃DF时,则MN_LC〃，利用相

似三角形的性质进行求解即可.

【详解】（1）证明：AD=DE,

4CEF=ZAED,

:・ZA=/CEF,

VZB=90°,CFA.DE,

NA+ZACB=90°=ZECF+ZCEF,

ZECF=ZACB；

（2）解：①设8Q=x,则AO=38D=3x,

ADE=AD=3x,A3=4N,

是。F的中点，

JEF=DE=3x,

VZB=ZF=90°,ZACB=ZECF,

・•・AABCS&EFC,

.CFEFCF_3x

.・丽=6’即而F

CF=3旧,

连接co,由勾股定理可知，CD2=BC2+BD2=CF2+DF2,

/.A-2+（475）2=（6.V）2+（3^）\

解得x=l，

AA=4x=4；

②由（D可知AC=YAB?+BC?=4瓜，CE=JE产+C尸=3巫,

TG是CE的中点，

•1er3#

••CG=-CE=-

22

如图2-1所示，当MN〃舫时，JCMGS_CBA.

如图2-2所示，当EN〃BC时,则NN£G=NACB,

,/ZECF=ZACB,

：.ZNEG=ZECF,

・•・EN=CN,

•••G是CE的中点，

・•・MNA.AC,

/.ZCGM=ZCBA=90°,

乂•：/ACB=NMCG,

CMG^.CAB,

如图2-3所示，当MN〃DF时,则MN_LC/,

.CNCG

・・・G是CE的中点,

：.CG=-CE

2

，CN=-CF=-j5

22

过点石作日/_LA4于H,则AAHESAABC,

.AHAE

••--=---，

ABAC

♦:AE=AC-CE=近,

.AH_y/6

••二产,

44x/6

，AH=1,

DH=2,

*：NB+N尸+NBDF+/BCF=360°,

，NBDF+/BCF=180°=NBDF+NHDF,

，NHDE=/NCM,

乂•・•ZDHE=/CNM=90。

:.一CMNSQEH,

.CMCNnn…毡

・・丽=而，即2=_2_

32

•••9C后M=-----，

4

综上所述，满足条件的CM的长为述或神或祗.

254

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等边对等角，三角形内角和

定理，四边形内角和定理等等，熟知相似三角形的性质与判定条件并利用分类讨论的思想求

解是解题的关键.

7.（本题10分）（2023春朝江杭州•九年级专题练习）如图，在RQABC中，ZA=90°,D,

户分别是A3,上的点，过8,。，P三点作圆，与射线C。交于点E,AC=3,BC=5,

备用图

(I)若点E在CO的延长线上，求证：ACDPSACBE

⑵当尸点在射线CB上运动，且鸵与△A0C三边中的•边垂直，求。尸

(3)记△或应、△瓦力的面积分别为5；,邑，若DE=DC,求的值

答案：(1)见解析

⑵P8=3或2或当叵

55

⑶5

分析：(1)利用圆内接四边形的性质及同角的补角相等即可得出NCBE=NCZ)P,进而证得

结论；

(2)分三种情况，①5E_LDC时，②£BJ_AD时，③BE_LAC时，分类讨论，根据用似

三角形的性质即可求解；

S.SBDESBC

（3）根据苦=产=S产DC=,,利用(1)中的结论，得出PC的长，即可求解.

3BDP3BDP

【详解】(1)证明：：四边形班73P是圆内接四边形,

/.ZCBE+ZPDE=I8O°,

:NCDP+NPDE=180。,

，/CBE=/CDP,

/BCE=NDCP,

/.ACDPSACBE；

(2)解：如图，当8E_LOC时

B,D.。三点共圆，与射线CO交于点£,

・••点石在圆上,

8。是直径，

JZDBP=90°

c

•・・RtZ\A8C中，ZA=90,AC=3,BC=5fAD=\

***AB=y/liC2-AC2=4.BD=AB-AD=4-1=3，

'：/DBP=4CBA、/BPD=NBAC,

..DBP^.CBA

.DP_DB

\\C~~CB

八"ACxDIi3x39

/.DP=------------=-----=-,

CB55

当EBJ.AD时，则P在CB的延长线上，如图,

在RlADC中，AD=\,AC=3,

•二DC=y）AD2+AC2=V10»

EB1AB.AC1AB,

工AC//EB,

・•・2cgABED,

.DE_BD_3

•・诙一而一7'

JOE=3OC=3布，

NCBD=NPECZDCB=ZPCE,

:.CDBsKPE,

.CBCD

••----=-----,

CECP

：.CP二CDCE而x（炖+屈）2

CB5

・•・PB=PC-BC=8-5=3,

当BE_L4C时，如图，则重合，过点。作OQ_LP。，设过点反R。的圆心为。，连接

DO,PO,BO

*：OD=OP=OB,DQ=PQ,

：.ZDOQ=ZPOQ

，NDOB=NPOB,

；・-BOD^.BOP

BD=BP=3,

.PDCD

••茄一正‘

•力八BDxDC3屈

••PD=------------=---------,

BC5

综上所述，28=3或苫或巫；

55

(3)记△血陀、的面积分别为3,8,

•IDE=DC,

•&_SBDE_S.Mx：_BC

・•瓦一SBDP一二一BP

.CDCP

..---=---,

CBCE

DE=DC.

：.EC=2CI）,

*.*CD=Vi0

.Cp=2CD；=2xlO=4

CB5

••・BP=BC-CP=5-4=},

5,BC5c

**S2BP1.

【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，直角所对弦是直径，圆内接四边形的对角互

补，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键.

8.（本题10分）（2023秋・浙江温州•九年级期末）如图1,我们把一个半圆和抛物线的一部

分围成的封闭图形称为“蛋圆”，己知A,B,C,。分别为蛋圆''与坐标轴的交点，y=4x-3

4

与“蛋圆”中的抛物线丁=；V+〃X+C交于B,C两点.

4

(1)求“蛋圆”中的抛物线的解析式，并直接写出“蛋圆”被y轴械得的线段8。的长.

(2)“蛋圆”上是否存在点。使△APC是等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如

果不存在，请说明理由.

⑶如图2,E为直线BC下方“蛋圆”上一点，连结4E,AB,BE,设AE与8c交于F,4BEF

的面积记为S.△AB/的面积记为邑，求，的最小值.

39

答案:⑴y干27-3,BD=5

(2)存在，点P坐标为爪3「3),6(0,-3),乙《，3，雇「3

22216

(3育的最小值为9

分析：(1)先求出点乩C坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点A坐标，

即可求出半圆的直径，再构造直角三角形求出点。的坐标即可求出B。；

(2)若△APC为等腰三角形，分三种情况：AC=AP,AC=CP,A尸=C0时，设出点尸

的坐标，分别列等式求解即可；

(3)先判断出要上■的最小值，只要CG最大即可，再求出直线EG解析式和抛物线解析式

联立成的方程只有一个交点，求出直线EG解析式，即可求出CG,结论得证.

【详解】(1)•・•直线)一1-3交坐标轴B,。两点，

4

AB(0,-3),C(4,0),

:抛物线丁=3产+法+。过从。两点，

4

c=-3

—x!6+4Z?+c=0

4

b=—

解得：4,

c=-3

3Q

即y=—x2-—x-3,