湖北省天门市2025届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

天门市2024—2025学年度第一学期期末考试九年级数学试题（本试题共6页，满分120分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上；并将“条形码”粘贴在答题卡指定位置．2．每道选择题的答案选出后，请用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题的答案也应写在答题卡对应的区域内，写在试卷上无效．3．考试结束，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）1.2025年1月5日，是二十四节气的小寒．二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“立夏”、“大雪”、“小寒”、“立春”，其中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.答案：A解：A．是中心对称图形，故A选项符合题意；B．不是中心对称图形，故B选项不合题意；C．不是中心对称图形，故C选项不合题意；D．不是中心对称图形，故D选项不合题意；故选：A．2.已知方程有一个根是，则的值是（）A. B. C.1 D.2答案：A解：把代入方程，得，解得，，故选：．3.下列事件中是必然事件的是（）A.床前明月光 B.大漠孤烟直 C.手可摘星辰 D.黄河入海流答案：D解：A、床前明月光是随机事件，不符合题意；B、大漠孤烟直是随机事件，不符合题意；C、手可摘星辰是不可能事件，不符合题意；D．黄河入海流是必然事件，符合题意；故选D．4.关于二次函数的图象，下列结论正确的是（）A.开口向下 B.对称轴是C.与轴交于点 D.当时，随的增大而减小答案：D解：二次函数，该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意；对称轴是直线，故选项B错误，不符合题意；当时，，即该函数图象与轴交于点，故选项C错误，不符合题意；当时，随的增大而减小，故选项D正确，符合题意．故选：D．5.设，是方程的两个实数根，则的值为（）A.2022 B.2023 C.2024 D.2025答案：B解：∵，是方程的两个实数根，，，，．故选：B．6.汽车刹车后行驶的距离s（米）关于行驶时间t（秒）的函数关系式是，则该汽车从刹车到停止所用时间为（）A.3秒 B.6秒 C.9秒 D.10秒答案：A解：∵，∴当秒时，取得最大值，即汽车停下来，故选：A．7.用半径为30，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（）A.20 B.15 C.10 D.5答案：C解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得，解得．故选：C．8.如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，若的面积等于4，则k的值等于（）A.8 B. C.4 D.答案：B解：设点，则，∵的面积等于4，∴∴故故选：B9.如图，内接于，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（）A. B. C. D.答案：C解：∵，∴，∴阴影部分的面积．故选：C．10.已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解：∵抛物线的对称轴为直线，∴，∴，∵关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，∴二次函数与直线在的范围内有交点，∵二次函数的对称轴为直线且开口向下，∴离对称轴越远函数值越小，当时，，当时，，当时，，∴当时，，∴当时，二次函数与直线在的范围内有交点，故选：D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分）11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是______．答案：解：点关于原点对称点的坐标是故答案：12.如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以为圆心的圆的一部分，，垂足为，路面宽为，若圆的半径为，则隧道的最大高度______．答案：解：如图，连接，垂足，且，是中的弦的中点，∴，∵的半径长为，则，在中，，则．故答案为：9．13.如图是边长为的正方形健康码，为了估计图中黑色部分的总而限，在正方型区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为______．答案：解：边长为正方形面积为，设黑色部分的总面积为，∴，∴，故答案为：．14.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是八百六十四平方步，其中宽与长的和为六十步，问宽和长各几步？若设矩形的长为x步，根据题意可列方程______．答案：解：设矩形的长为x步，则宽为步，根据题意得：．故答案为：．15.抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则不等式的解集是，其中所有正确结论的序号是___________．答案：①③解：①抛物线的开口向下，，抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线，即，，抛物线与y轴的交点在x轴的上方，，，故①正确，满足题意；②抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点，抛物线与x轴的另一个交点为，将代入，得，故②不正确，不满足题意；③，，故③正确，满足题意；④此抛物线经过点，抛物线的对称轴为直线，此抛物线经过点，抛物线与直线的交点的横坐标分别为和6，不等式的解集是或，不等式的解集是或，故④不正确，不满足题意，故答案为：①③．三、解答题（本大题共9个小题，满分75分）16.解方程：（1）；（2）．答案：（1），（2），【小问1详解】解：配方，得：∴，；【小问2详解】解：∴，．17.一个不透明的口袋中装有4个分别标有数字，，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同．小红先从口袋中随机摸出一个小球记下数字为；小颖在剩下的3个小球中随机摸出一个小球记下数字为．（1）请用列表法或画树状图的方法表示出由，确定的点所有可能的结果；（2）若规定：点在第一象限或第三象限小红获胜；点在第二象限或第四象限则小颖获胜．这个游戏是否公平，请说明理由．答案：（1）见详解（2）这个游戏不公平，理由见详解【小问1详解】列表如下：3434【小问2详解】从上面的表格可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且每种结果出现的可能性相同，其中点在第一象限或第三象限的结果有4种，第二象限或第四象限的结果有8种，所以小红获胜的概率，小颖获胜的概率，∵这个游戏不公平．18.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）设，是方程的两个根且，求m的值．答案：（1）．（2）．【小问1详解】解：∵．∵原方程有两个不相等的实数根，∴，解得．【小问2详解】由根与系数的关系，得，，∴可化为，即，解得，．又∵，∴．19.图中网格由边长为1的小正方形组成的，点A、B、C都在格点上．（1）△ABC的面积为；（2）在网格图中，画出一个以AC为边的△ACD，使得△ACD与△ABC全等（点D与点B不重合）；并进一步探究：满足条件的三角形可以作出个．答案：（1）3（2）作图见解析；3【小问1详解】解：如图所示：【小问2详解】△ACD与△ABC全等的图，如图所示：（三种情况画出一种即可）根据画出的图形可知，满足条件的三角形可以作出三个．20.如图，切于点，是的直径，是上一点，，连接交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，求的长．答案：（1）见解析（2）【小问1详解】解：连接，∵切于点，是的直径，∴，即，∵，∴，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线；【小问2详解】设，则，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴∵，∴，∴，∴，则，解得或（不合题意，舍去）∴21.如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一，第三象限分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点．（1）求一次函数和反比例函数关系式；（2）比较大小：（填“＜”，“=”或“＞”）；（3）当时，请直接写出的取值范围．答案：（1）一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为（2）=（3）或【小问1详解】解：把代入反比例函数得，，解得，∴反比例函数的解析式为；∵点在反比例函数的图象上，∴，解得，∴，∵一次函数的图象经过，两点，∴，解得，∴一次函数的解析式为；小问2详解】解：由一次函数的解析式为可知，，∴，，∴，故答案为：＝；【小问3详解】解：由图象可知：时的取值范围是或．22.根据以下素材，探索完成任务．如何设计喷灌器喷水口的升降方案素材1随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．图1中某庭院内有一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱成抛物线形．图2是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．素材2为了美化庭院，准备在庭院内沿围墙建花坛种花，矩形是花坛截面，花坛高，宽，侧面用大理石包围，如图3．调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同且随之上下平移，使花坛的上方从到的区域刚好都能被水柱浇灌（大理石厚度不计），从而达到给花坛喷灌的效果．问题解决任务1确定水柱的形状在图2中，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；任务2确定喷灌器的位置求出喷灌器与围墙的水平距离；任务3拟定喷头升降方案调整喷水口的高度，使花坛的上方边上刚好都能被水柱喷灌，直接写出喷水口距离地面高度的取值范围．答案：任务1：；任务2：；任务3：任务1：解：以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：设抛物线解析式为，把代入得：，解得：，抛物线的表达式为；（2）令，得，解得：，∴，得到，喷灌器与围墙的水平距离为；（3）如图所示：，花坛高，宽，，∴∴，设，把代入得，解得：，∴，当时，，，设，把代入得，，解得：，∴，当时，，∴，即喷水口距离地面高度的取值范围为．23.探究：如图1和图2，四边形中，已知，，点、分别在、上，．（1）①如图1，若、都是直角，把绕点A逆时针旋转至，使与重合，直接写出线段、和之间的数量关系______；②如图2，若、都不是直角，但满足，线段、和之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（2）拓展：如图3，在中，，，点、均在边边上，且，若，求的长．答案：（1）①；②成立，证明见解析（2）小问1详解】解：①，理由如下，如图1，把绕点逆时针旋转至，使与重合，，，，，，、、共线，，，，，即，在和中，，≌，，，；②成立，理由：如图，把绕点旋转到，使和重合，则，，，，，、、在一条直线上，与①同理得，，在和中，，，，，；【小问2详解】解：中，，，，由勾股定理得：，

如图，把绕点旋转到，使和重合，连接．则，，，，，，在和中，，，，设，则，，，，，，由勾股定理得：，，解得：，即．24.已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．（1）求二次函数的表达式；（2）若点向上平移2