第22章 二次函数期末复习（知识清单）（教师版）-人教版(2024)九上

第二十二章二次函数【知识点01】二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数【知识点02】二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．【知识点03】二次函数的图象及性质解析式二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）对称轴x=–顶点（–，）a的符号a>0a<0图象开口方向开口向上开口向下最值当x=–时，y最小值=当x=–时，y最大值=最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小【知识点04】二次函数的平移二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．【知识点05】二次函数与一元二次方程的关系1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．【知识点06】用二次函数的性质解决实际问题利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值易错点1利用二次函数的定义求待定系数时忽略“a≠0”1.易错总结：求二次函数待定系数时，易因忽略二次项系数a\neq0出错。比如设y=ax^2+bx+c形式，若没考虑a取值，会导致函数不是二次函数，得出错误结果。2.注意事项：确定二次函数待定系数，先明确二次项系数a，必须保证a\neq0，再求解其他系数。解题后检查，确认二次项系数符合a\neq0，避免因遗漏条件致错。例题1．当时，函数是二次函数．【答案】【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数．【详解】解：由题意可知：，解得又∵，即，综上所述：故答案为．易错点2利用二次函数的增减性求待定系数时忽略分类讨论1.易错总结：利用二次函数增减性求待定系数时，常因未对二次项系数a的正负（即开口方向）分类讨论，导致增减性判断错误，进而使待定系数求解出错，忽略不同开口下增减性的差异。2.注意事项：先根据a的正负，分a>0（开口向上）、a<0（开口向下）两类讨论增减性。结合自变量取值范围与对称轴位置，对应增减性确定函数值变化，精准求解待定系数。例题2．已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则．【答案】或【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，先求出二次函数的对称轴，再分、和三种情况，结合二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．【详解】解：∵二次函数，∴二次函数的对称轴为直线，又∵当自变量时，函数有最大值为10，∴当即时，时取最大值，即，解得，当即时，号时取最大值，即，则∵，方程没有实数根，当时即，时取最大值，即，解得综上，的值为或，故答案为：或．易错点3二次函数与一元二次方程的交点问题1.易错总结：处理二次函数与一元二次方程交点问题时，易忽略二次项系数a≠0，导致函数不是二次函数；或未结合判别式△判断交点个数，误判方程解与函数图象和x轴交点的关系。2.注意事项：先确认二次函数y=ax2+bx+c中a≠0，保证是二次函数。利用判别式△=b2-4ac，判断方程ax2+bx+c=0根的情况，对应函数与x轴交点个数。例题3．（2025·安徽滁州·三模）已知抛物线的对称轴为直线．（1）的值为．（2）若抛物线向下平移个单位长度后，在范围内与轴只有一个交点，则的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，掌握知识点的应用是解题的关键．（）由题意可知，求出的值即可；（）由题意可知平移后函数解析式为，然后通过二次函数的平移，二次函数的性质即可求解．【详解】（）由题意可知，解得，故答案为：；（）由题意可知平移后函数解析式为，当顶点在轴上时，，解得，即需向上平移个单位长度，不符合条件；由于抛物线关于对称，∴抛物线在内对称，若存在交点，始终有两个交点，若只有一个交点，则抛物线与轴交点只能在，故当时，，解得，当时，，解得，∴的取值范围是，故答案为：．易错点4利用二次函数解决实际问题中最值问题1.易错总结：在利用二次函数解决实际问题的最值问题时，一是容易忽略自变量的实际取值范围，直接套用二次函数顶点坐标公式求最值，得到不符合实际情况的结果；二是没有正确分析二次函数的开口方向，导致对函数增减性判断失误，从而找错最值点。2.注意事项：明确实际问题中自变量的取值范围，结合函数图象在该范围内的单调性来确定最值。准确判断二次项系数的正负，确定函数开口方向，再依据自变量取值范围，精准找出能使实际问题取得最值的点。例题4．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）春节期间，《哪吒2》热映，某文创公司设计了一款成本价为每卷4元的哪吒贴纸投放到市场，公司以不低于成本价且不超过每卷8元的价格销售，当每卷售价为6元时，每天售出贴纸900卷；当每卷售价为7元时，每天售出贴纸850卷，通过分析销售数据发现：每天销售贴纸的数量（卷）与每卷售价（元）满足一次函数关系．(1)求每天销售贴纸的数量（卷）与每卷售价（元）满足的函数关系式；(2)当每卷售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？【答案】(1)(2)当每卷售价定为8元时，每天获利最大，最大利润为3200元【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键．（1）设出解析式，并利用待定系数法求解即可；（2）设利润为W元，根据利润等于单卷贴纸的利润乘以销售量列出W关于x的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解；设每天销售贴纸的数量（卷）与每卷售价（元）满足的函数关系式为，由题意得，，∴，∴；（2）解：设利润为W元，由题意得，，∵，∴当时，W随x的增大而增大，又∵，∴时，，答：当每卷售价定为8元时，每天获利最大，最大利润为3200元．易错点5二次函数中的新定义型综合问题1.易错总结：解二次函数新定义型问题时，常因未吃透新定义内涵，直接套用旧知识导致错解；或忽略新定义中隐含的二次函数基本特征（如二次项系数非零），使推理偏离前提。2.注意事项：先逐字分析新定义，明确其与二次函数知识的关联，转化为熟悉的函数问题。解题中紧扣二次函数定义，验证是否满足a≠0等基本条件，确保逻辑严谨。例题5．（2025·上海闵行·二模）定义：如果一条抛物线的顶点坐标满足条件，那么称该抛物线为“优雅”抛物线．例如：抛物线的顶点坐标为，此时由于，，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线．(1)如果抛物线是“优雅”抛物线，求的值．(2)如图，把（1）中的抛物线向下平移得到抛物线，抛物线与轴负半轴交于点，顶点为点，对称轴与轴交于点．①点在延长线上，点是轴上一点，且四边形是矩形，求点的坐标．②如果抛物线为“优雅”抛物线，它的顶点在轴上，抛物线与交于点，且，求抛物线的解析式．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为，即可求解；（2）①由点的坐标得，直线的表达式为，可得，四边形是矩形，由解得，进而可得，，由于是的中点，从而求出点坐标；②抛物线为“优雅”抛物线，求出，由于，可得，结合，求出，联立与，求得坐标，进而求出的解析式．【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为，即，；（2）解：①如图：由（1）知，点，设，，，，，，四边形是矩形，，，，，，，②，，，，，，，，，解方程组，得，，将代入得：，解得，1．（24-25九年级上·山东东营·期末）如果是二次函数，则的值为．【答案】【分析】本考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．根据二次函数中未知数的最高次数为2，二次项系数不能为0，可知，，由此可解．【详解】解：函数是二次函数，，，解得：或，解得：，，故答案为：．2．若是关于x的二次函数，则m的值为．【答案】2【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数定义，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．利用二次函数定义进行解答即可．【详解】解：由题意可知，，解得：．故答案为：2．3．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知函数，当时，若y的最大值与最小值之差为8，则．【答案】或【分析】本题考查二次函数最值，熟练掌握二次函数的性质，分类讨论思想的应用是解题的关键．分三种情况：①当时，即；②当且时，即；③当时，即，．分别求解即可．【详解】解：当时，，①当时，即，时，y取得最小值，此时；时，y取得最大值，此时；，解得：，∵，∴不符合题意；②当且时，即，此时最小值为，当取得最大值时，，，解得：，∵，，∴不符合题意；∴符合题意；当取得最大值时，，，解得：，∵，，，∴符合题意，不符合题意，∴；③当时，即，时，y取得最小值，此时；时，y取得最大值，此时；，解得：，∵，∴不符合题意；综上所述，当时，若y的最大值与最小值之差为8，k的值为或．故答案为：或．4．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）对于二次函数，当时，函数的最小值为1，则的值为．【答案】0或3/3或0【分析】本题考查了二次函数的图象性质，结合在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大，所以分类讨论：当时，则把代入，当时，把代入，进行计算即可作答．【详解】解：∵函数，∴二次函数的顶点坐标为，开口向上，则在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大；当时，函数的最小值为1，∴当时，则把代入，得，解得（舍去），∴当时，把代入，得，解得（舍去），综上：的值为0或3．故答案为：0或3．5．（2025·福建厦门·模拟预测）在平面直角坐标系内，已知点，点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了抛物线和直线的交点问题，掌握以上知识是解答本题的关键；本题先求得交点坐标为：和，然后分和进行讨论，然后即可求解；【详解】解：已知点，点，∴线段在直线上面，联立方程组：，解得：，，∴交点为和，由于线段的范围为：，∵，∴，当时，，，均在之间，且，保证两点不同，当时，，在之间，但是不在之间，仅有一个交点，综上所述：抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是：；故答案为：；6．（2025·安徽六安·二模）把函数的图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，x轴上方部分的图象不变，得到函数的图象．（1）函数的顶点为．（2）若函数与函数有3个交点，则b的值为．【答案】5或【分析】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，翻折的性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点．（1）把解析式化成顶点式即可求解；（2）先根据原抛物线的解析式得出翻折后得出新图象的解析式，进而画出图象，结合图形确定出直线的位置即可求出b的值．【详解】解：（1）函数，函数的顶点为；故答案为：；（2）当时，，解得，，则抛物线与x轴的交点为，，把抛物线图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标，如图，当直线过点B时，直线与该新图象恰好有三个公共点，，解得，当直线与抛物线相切时，直线与该新图象恰好有三个公共点，即有相等的实数解，整理得，则，解得，所以b的值为5或；故答案为：5或．7．（2025·安徽合肥·三模）对于一个函数，自变量x取m时，函数值y等于2m，则称点是这个函数的“二倍点”，已知二次函数．（1）若点是此函数的“二倍点”，则此函数另一个“二倍点”B的坐标是，（2）若此函数有两个相异的“二倍点”、，且，则k的取值范围．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数结合，解题的关键是理解同值点的定义，并根据定义列方程求解．（1）根据题意将点A代入确定，再由“二倍点”的定义得出方程求解即可；（2）根据题意得出，，然后利用一元二次方程的解及根与系数的关系求解不等式即可．【详解】解：（1）把点代入中得，解得，∴，根据题意得：，解得：，∴当时，，∴，故答案为：（2）∵二次函数图象上有两个相异的“二倍点”、，∴二次函数与直线有两个交点、，联立得，解得，，∵，∴；∵，∴，，解得，综上所述，故答案为：．二、解答题8．某奶茶店用3000元按批发价购入一批椰果奶茶原料．若将原料批发价降低，则可多购买500杯椰果奶茶所需原料．市场调研显示：该奶茶每杯售价8元时，每日可售出320杯；每杯每涨价1元，日销量减少20杯．该奶茶每杯的配料、包装等其它成本为2元．(1)该奶茶每杯原料成本是多少元？(2)若销售该奶茶每天的利润为1920元，且销量尽可能大，该奶茶每杯售价是多少元？(3)为了让利给顾客，该奶茶店决定每杯椰果奶茶涨价不超过5元，问该奶茶一天最大的销售利润是多少元？【答案】(1)2元(2)12元(3)每杯椰果奶茶涨价不超过5元，一天最大的销售利润是1980元【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用．（1）设该奶茶每杯原料成本是x元，根据将原料批发价降低，则可多购买500杯椰果奶茶所需原料，列出分式方程，解方程即可；（2）设该奶茶每杯售价是a元，根据销售该奶茶每天的利润为1920元，列出一元一次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可；（3）设该奶茶一天的利润为W元，每杯奶茶的售价为a元，根据题意得，再根据二次函数的性质求最大值即可．【详解】（1）解：设该奶茶每杯原料成本是x元，由题意得，解得，经检验是原方程的解，答：该奶茶每杯原料成本是2元；（2）解：设该奶茶每杯售价是a元，由题意得，化简得，解得，，销量尽可能大，答：该奶茶每杯售价是12元；（3）解：设该奶茶一天的利润为W元，每杯奶茶的售价为a元，依题意得，每杯椰果奶茶涨价不超过5元，．时，W随a的增大而增大，当时，W有最大值为1980，答：每杯椰果奶茶涨价不超过5元，一天最大的销售利润是1980元．9．（24-25九年级下·江西抚州·期中）坐落于江西省南昌市赣江之畔的滕王阁，不仅是中国四大名楼之一，也是国家重点风景名胜区．景区内的官方纪念品店销售一系列精美的手工艺品及地方特产，包括一种颇受欢迎的儿童木质拼图．该拼图的成本价固定为40元/件，依据景区规定，销售利润必须限制在进价的50%以内．近期的销售数据表明，当拼图定价为50元时，每日销量可达350件，然而，每当价格提升5元，销售数量便会随之减少50件．设销售单价为x元（销售单价不低于50元）．(1)当这种木质拼图以最高价出售时，每天的销售量为多少件？(2)求这种木质拼图每天获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式；(3)当销售单价为多少元时，该景区销售这种木质拼图每天获得的利润最大，最大利润是多少元？【答案】(1)当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为250件；(2)(3)当销售单价为60元，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是5000元．【分析】本题主要考查二次函数的应用、有理数的混合运算的应用等知识点，审清题意、正确列出函数关系式是解题的关键．（1）先求出最高价，算出比50元涨了多少元钱，再除以5求出涨了多少个五元，算出少卖的件数，再用350减去少卖的件数即可解答；（2）用含x的式子表示出每件木质拼图的获利和每天的销售量，每天获得的利润等于每件玩具的获利乘以每天的销售量，据此列出函数关系式即可；（3）把w关于x的函数解析式化成顶点式，再根据函数的增减性，判定出最大值并求解即可．【详解】（1）解：每件的最高价为（元），（件）．答：当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为250件．（2）解：∴w与x的函数关系式；（3）解：∵销售利润必须限制在进价的50%以内，∴，∵，∴抛物线开口向下，又∵抛物线的对称轴是，∴当时，w随x的增大而增大，∴当时，w有最大值，w的最大值为5000，∴当销售单价为60元，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是5000元．10．（24-25九年级上·辽宁·期末）定义：若函数和函数的图象关于直线对称，则称函数和关于直线互为“友好函数”，函数和的图象交点叫做“友好点”．例如：函数关于直线的“友好函数”为，“友好点”为．(1)求函数关于直线的“友好函数”的表达式及“友好点”的坐标；(2)函数关于直线的“友好点”的纵坐标为，当时，求的取值范围；(3)函数关于直线的“友好函数”为，“友好点”为．函数的图象的顶点为，与轴交点为，函数的图象的顶点为，与轴交点为，