《金融理论与政策》（第二版）课件 第7章 利率期限结构理论

金融理论与政策第七章利率期限结构理论学习目标1.掌握利率期限结构相关概念2.理解利率期限结构理论3.了解名义利率期限结构模型4.了解实际利率期限结构模型目

录1相关基本概念2利率期限结构理论3名义利率期限结构模型4实际利率期限结构模型第一节相关基本概念为了较为准确地把握利率期限结构这一概念,我们必须对与之相关的一些金融概念,如债券、利率、期限(存续期)、即期利率、远期利率以及收益率曲线等有所了解。债券债券的存在是利率期限结构分析的前提。对于其持有者而言,作为一种有价证券,债券代表着一项对事先确定的一系列支付的索取权。这意味着对于一个在t时发行、在T时到期的债券的刻画需要两个向量:一个是由支付日期构成的w维向量(t,t+1,…,T),另一个是由与支付日期对应的正的支付额构成的w维向量(c1,c2,…,cT)。常见的债券支付形式有两种:贴现债券与息票债券。贴现债券是由债券发行人做出的在一特定日期(偿付日)向持有者支付一笔固定金额款项(本金)的承诺。这意味着贴现债券的支付形式非常简单——支付日期向量只包含一个元素T,而支付额向量中也只包含一个元素(即本金)。与之相对,息票债券则是债券发行人按固定的时间间隔向持有者支付数额为c的款项(即息票),并在债券清偿日支付最后一期息票和本金的承诺,进而其支付日期与支付金额都是多维向量,其维数与支付点数相同。利率(到期收益率)

利率(到期收益率)

期限(存续期)

期限(存续期)从麦考利久期的定义式(7.3)可以看出,其中隐含假设了所有现金流均按相同折现率进行折现,而这个折现率恰好等于债券的到期收益率。因此,久期具有一个非常重要的基本性质——就利率风险而言,投资者通常认为附息债券与到期日等于附息债券久期的零息债券无差异。即期利率N年期即期利率(spotrate),有时也称N年期零息票利率,是从今天开始计算并持续N年期限的投资的利率。我们可以用rd(t,T)来刻画期限为(T-t)期的即期利率。即期利率可以通过观察市场交易来得到。比如,我们知道一份5年期的零息债券当前的市场价格是多少,根据收益率计算公式,可以很方便地计算出5年期债券的到期收益率,按照定义,即期利率就是零息债券的到期收益率。远期利率

利率的期限结构与收益率曲线期限不同但风险、流动性和税负等其他属性均相同的各种债券的收益率关系称为利率的期限结构。采用图形描述,连接不同期限债券收益率的光滑曲线即为收益率曲线(yieldcurve)。从理论上说,利率期限结构考察的是即期利率与到期期限之间的关系,因此,在构造利率期限结构时,为避免息票效应和再投资风险的影响,只能用零息债券计算利率期限结构。但考虑到某些期限的利率很难得到,加之零息公司债券极为少见,实践中多数人以市场收益率曲线——具有相同其他属性的各种债券的到期收益率与其期限之间的关系——作为利率期限结构的替代物。收益率曲线的基本形态第二节利率期限结构理论利率期限结构理论的核心是研究何种力量决定期限结构的形状变化。在最简单的形式上,对期限结构的研究所考察的债券不包含违约风险、可转换条款、赎回条款、浮动利率条款或者其他一些特征。因此,我们可以把利率期限结构理论视为对不同间隔的时间本身的市场价格的研究。利率期限结构的预期理论预期理论认为,长期债券的即期利率是短期债券的预期利率的函数,长期利率与短期利率之间的关系取决于现期短期利率与未来预期短期利率之间的关系。换言之,在预期理论之下,任何时间段上的远期利率均可被投资人无偏差地预测到,进而在能够连续、准确地统计出每一个投资者对未来某一特定时段利率预期的基础上,这些预期与对应时段上的远期利率相等,即:

1fn=E[r(n)]给定公式(7.5)成立,那么,对于n期内的到期收益率r(n),在离散时间结构下我们就有:

[1+r(n)]n=[1+r(n-1)]n-1(1+1fn)=[1+r(n-1)]n-1[1+E(r(n))]显然,公式(7.6)意味着到期收益率仅仅由已经过去的n-1期到期收益率和未来1期的预期利率决定。利率期限结构的预期理论预期理论假说能够成立的一个关键点,是投资者对未来短期利率的预期,本身就可能影响人们对未来利率的整体预期,这进一步改变了远期利率。关于这一点,我们可以借助一个简单的例子来说明这一思想。假定1年期的短期利率已知是r(1)=12%,此外,E[r(2)]=12%,E[r(3)]=12%,…,E[r(n)]=12%,那么,如果预期理论成立,2年期的到期收益率就应该是:

[1+r(2)]2=[1+r(1)](1+1f1) =[1+r(1)][1+E(r(2))]=1.12×1.12即r(2)=12%,同理我们可以得到r(3)=12%,…,r(n)=12%,出现了一条水平的收益率曲线。利率期限结构的预期理论

预期理论体系

预期理论体系

预期理论的缺陷预期理论最主要的缺陷是严格地假定人们对未来短期债券的利率具有确定的预期,不存在因不确定性而产生的风险;此外,该理论还假定,资金在长期资金市场和短期资金市场之间的流动是完全自由的。这两个假定都过于理想化,与金融市场的实际差距太远。(1)若未来利率具有不确定性,则朴素预期假说基本可以认为是无效的;(2)其他四种预期假说的含义有区别,就利率的不确定性而言,四种假说存在不一致性;(3)只有局部预期假说和均衡理论具有一致性。利率期限结构的流动性偏好理论从内涵上看,流动性偏好理论是对预期理论的拓展。希克斯首先提出了不同期限债券的风险程度与利率结构的关系,较为完整地建立了流动性偏好理论,对预期假说提出了修正。流动性偏好理论认为远期利率应该是预期的未来利率与流动性风险补偿的累加。其理论基础是,尽管不同期限的债券之间存在一定的替代性,或者说一种债券的预期收益确实可以影响不同期限债券的收益,但由于投资者对不同期限的债券具有不同的偏好,不同期限的债券并非是完全可替代品。因此,投资者在收益率相同的情况下,更愿意持有短期债券,以保持较好的流动性。此时,长期债券的收益率必然表现为在预期的短期利率基础上,增加对流动性的补偿,而且期限越长,补偿也就越高;投资者之所以要保持资产流动性,其原因往往出于自身对长期利率进行预期所具有的难度的考虑。利率期限结构的流动性偏好理论

利率期限结构的市场分割理论市场分割理论认为,债券市场由一系列不同期限的市场组成,每个发行人或投资者均有其偏好的期限,且其风险规避特性要求他仅在偏好的期限范围内投资,进而每个市场各有自己独立的均衡——长期借贷活动决定了长期债券利率,而短期交易决定了独立于长期债券的短期利率。根据市场分割理论,利率期限结构和债券收益率曲线是由不同市场的供求关系决定的,或者说债券的风险溢价可以为正、负或者零。如果投资者(买方)偏好长期市场,将导致短期资金缺乏而长期资金较为充裕,短期利率将比长期利率高,收益率曲线出现向下倾斜的态势;反之,如果投资者偏好短期市场,导致长期资金缺乏而短期资金充裕,则长期利率会高于短期利率,收益率曲线呈上扬形态;而如果长短期资金供求处于类似的状况,则不同时期的利率相等。利率期限结构的一些其他理论假说优先置产理论不同期限的债券的确会都处在借贷双方的考察范围之内,这说明任何一种期限的债券利率都与其他债券的利率相联系。这种理论被称作优先置产理论,它认为债券市场不是分割的,投资者会考察整个市场,并选择溢价最高的债券品种进行投资。集中偏好理论集中偏好理论认为,债券的期限结构实际上反映了未来利率走势与风险补贴的相互作用,这一理论感到,没有必要假定风险贴水一定会随期限增长而增加,债券期限结构取决于不同期限范围内资金的供求平衡。第三节名义利率期限结构模型利率期限结构模型的发展单因子模型均衡分析方法和套利方法是构建期限结构模型的两种基本方法均衡分析模型——瓦西塞克(Vasicek,1977)模型瓦西塞克(1977)是较早从一般均衡框架来刻画利率期限结构的学者。其基本假设是:(1)市场是有效的,没有交易成本,投资者可以同时获取各种信息;(2)只有一个状态变量决定利率过程,即利率过程服从连续马尔可夫过程(Markovprocess);(3)贴现债券的价格由投资期间的现期利率决定。基于这些假设,瓦西塞克得到短期市场利率服从奥恩斯坦

乌伦贝克过程(Ornstein-Uhlenbeckprocess)的假设,或者说围绕利率的长期平均水平展开“均值回复”(mean-reverting),进而短期利率r的变化是“漂移项”与扰动项的函数,即

dr=k(θ-r)dt+σdw均衡分析模型——瓦西塞克(Vasicek,1977)模型式中,k、θ、σ为常数,其中k为均值回归的速度,θ为短期利率的“正常”水平(均值),即利率所要回归的值,而σ则是利率波动的标准差参数,w是一个均值为零、标准差为1的标准维纳过程(Wienerprocess)。因此,在瓦西塞克(1977)看来,当短期利率r高于θ时,由于k假设为正,第一项倾向于将r往下拉,而当短期利率r低于θ时,r倾向于向上漂移。当然,随机过程的第二项把随机扰动应用于短期利率,这可能暂时抵消标准随机过程的均值回复趋势。均值回复的影响是创造了真实的利率周期,且k的水平决定了利率升降的长度和强度。均衡分析模型——瓦西塞克(Vasicek,1977)模型

均衡分析模型——瓦西塞克(Vasicek,1977)模型

均衡分析模型——CIR(Cox,Ingersoll&Ross,1985)模型CIR理论详细论述了持续竞争经济的总体均衡模型,其理论基础是个人从消费单一商品中取得的预期效用达到最大化,该商品是通过有限数量的技术状态生产出来的,其特点是对于所有期限的债券来说,风险/收益比率相同,套利是导致这种现象的力量。CIR理论的基本假设是:(1)市场是无摩擦的,即没有交易成本和税收;(2)市场是完全竞争的,市场参与者都是价格接受者;(3)所有消费者无须付出成本就可同时获得市场中的所有信息;(4)交易是连续的且允许卖空;(5)经济体中存在一个短期信贷市场;(6)经济系统只有一个状态变量等。均衡分析模型——CIR(Cox,Ingersoll&Ross,1985)模型

均衡分析模型——CIR(Cox,Ingersoll&Ross,1985)模型

均衡分析模型——朗恩斯塔夫(Longstaff)模型

均衡分析模型——朗恩斯塔夫(Longstaff)模型

均衡分析模型——朗恩斯塔夫(Longstaff)模型

均衡分析模型——朗恩斯塔夫(Longstaff)模型

均衡分析模型——朗恩斯塔夫(Longstaff)模型

无套利机会模型——默顿(1970)模型默顿(1970)的利率期限结构模型有时被称为“平行利率扰动模型”,其核心是把随机游走假说应用于短期无风险利率r。如果用随机方程表示,就是:

dr=σdw(7.25)即短期利率r的变化等于固定的σ乘以一个随机扰动项,其中w是一个均值为零、标准差为1的标准维纳过程。固定的σ是利率的瞬时波动率,可通过上下测量其大小来最大化匹配可观察到的收益率曲线的好处。无套利机会模型——默顿(1970)模型

无套利机会模型——默顿(1970)模型

无套利机会模型——默顿(1970)模型

无套利机会模型——Ho-Lee模型Ho-Lee(ThomasY.Ho.&Shang-bingLee,1986)假定利率期限结构已经给定,然后推演期限结构的演变。期限结构的演变必须满足一定的约束条件以确保这些演变符合某种均衡框架。特别地,期限结构的这种演变不允许套利机会的存在。他们的方法的主要优点是可以将期限结构的信息充分运用于定价实践。所以将这种方法导出的期限结构模型用于债券定价,可以确保其理论价格与由观察到的市场期限结构决定的价格一致。他们建立期限结构动态的解析框架的基本假设是:(1)市场是无摩擦的,没有交易成本和税收,所有证券都是完全可分的;(2)市场在离散时间点出清;(3)债券市场是完全的,每个到期时间都存在一种贴现债券;(4)在每个时间点,只存在有限个状态。在这些假定条件下,他们推出了离散时间背景的Ho-Lee模型。无套利机会模型——Ho-Lee模型

无套利机会模型——Ho-Lee模型这里的偏导数表示时间t到期的初始远期利率曲线的斜率,f(0,t)表示远期利率。正是这个时间变量使得Ho-Lee模型定价的债券价格与所观察到的市场债券价格相吻合。这个模型与默顿(1973)模型很相似,也与英格索尔(1987)模型很相似。

这个模型的优点是极为简明,任何时间段的利率都等于前一阶段的利率加上或减去某种随机冲击。但是这个期限结构模型没有均值回复的性质,而且利率将以正的概率取负值。另外,模型表明的利率水平对波动利率水平的影响,或者说利率随机波动的标准差是一个常数,这一点可能与实际不符。一般而言,当利率水平比较高的时候,短期利率的随机波动较大。无套利机会模型——赫尔

怀特(Hull-White)模型

无套利机会模型——赫尔

怀特(Hull-White)模型

无套利机会模型——赫尔

怀特(Hull-White)模型

无套利机会模型——赫尔

怀特(Hull-White)模型

无套利机会模型——布莱克

卡拉辛斯基(Black-Karasinski)模型

无套利机会模型——布莱克

卡拉辛斯基(Black-Karasinski)模型从式(7.44)中可以看出,μ(t)是利率过程的均值回复参数,而a(t)表示均值回复的速度,σ(t)表示利率的对数的波动参数。这个模型的构建可以先确定均值回复速度参数a(t),如设定均值回复速度为常数,再调整模型中的其他参数,使利率期限结构和波动率的期限结构能够相互匹配;也可以先确定波动率参数σ(t),再确定模型的其他参数,使模型的波动率的期限结构和利率期限结构能够相互匹配。此外,独立地决定均值回复参数μ(t)也是可行的,但是同样要使各参数相互协调,并使利率的期限结构与波动率的期限结构相匹配。无套利机会模型——布莱克

卡拉辛斯基(Black-Karasinski)模型

无套利机会模型——布莱克

卡拉辛斯基(Black-Karasinski)模型布莱克

卡拉辛斯基模型是一种非常有弹性的模型,它和其他无套利机会模型一样,要求模型的期限结构与当时观察到的市场期限结构一致。由于模型中含有利率的对数,它比平方根模型更进了一步。平方根模型或双平方根模型消除了利率取负值的可能性,零利率成了模型的“反射壁”。对数正态利率过程不仅消除了利率取负值的可能性,而且它让利率远离了零利率值。这种特性使模型与现实更接近,因为只要人们愿意持有现金,名义利率就不可能降到零或零以下。双因子模型单因子模型虽然形式简便,参数的个数少,容易估计,并且应用起来也比较简单,但单因子模型的缺陷也很明显。首先,单因子模型的灵活性较差,难以反映实际的各种可能的零息债券的收益率曲线和利率期限结构的动态。其次,单因子模型隐含地假定所有可能的零息债券利率之间是完全相关的,而这显然与实际有很大的差距。最后,利用单因子模型对短期债券定价的误差是比较小的,但如果用单因子模型对较长期限的债券定价就会出现比较大的误差,此时用多因子模型进行定价比较合适。均衡模型朗恩斯塔夫和施瓦茨(Longstaff&Schwartz,1992)在一般均衡框架下,导出了一个双因子随机波动利率期限结构模型。在这个框架下,他们同样给出了生产和偏好方面的假设。例如,市场是完全竞争的,连续的;存在无风险借贷;偏好是时间可加的等。因此,投资者的决策问题又转化为一个预算约束下的效用最大化问题。短期利率可以表示成两个随机因子(或状态变量)的线性组合:

r(t)=αx(t)+βy(t)式(7.49)中,α≠β是两个非负常数。短期利率的波动σ也可以表示成两个随机因子(或状态变量)的线性组合:

σ(t)=α2x(t)+β2y(t)均衡模型

均衡模型

均衡模型动态方程(7.55)、(7.56)结合r(t)和σ(t)的表达式有许多重要的性质:第一,r(t)和σ(t)共同组成一个联合马尔可夫过程。第二,这两个动态演变过程是相互依赖的,r(t)的随机演变取决于σ(t),反过来,σ(t)的随机动态也取决于r(t)。第三,从r(t)和σ(t)的微分方程可以看出,r(t)和σ(t)的变化是正相关的,并且相关系数介于0到1之间。如果r(t)等于0,那么σ(t)也一定等于0,因为r(t)等于0,意味着x(t)和y(t)必须同时等于0,那当然会有σ(t)等于0。这样σ(t)的值被约束在α·r(t)和β·r(t)之间,以确保r(t)和σ(t)的微分方程的根号内的表达式为非负值。这与单变量期限结构模型形成了鲜明的对比,因为在单因子期限结构模型中,σ(t)完全取决于r(t)的值;但在这个多因子期限结构模型中,σ(t)的值既取决于r(t),也受制于另外两个常数α和β。均衡模型第四,从r(t)=αx(t)+βy(t)可以看出r(t)可以取0到无穷大之间的任何值,因为决定r(t)的两个状态变量服从平方根过程,并且r(t)有长期无条件平稳分布,其均值和方差分别为:

第五,从σ(t)=α2x(t)+β2y(t)可看出σ(t)也可以取0到无穷大之间的任何值,且有长期无条件平稳分布,其均值和方差分别为:

无套利机会模型——布伦南

施瓦茨(Brennan-Schwartz)模型布伦南和施瓦茨(Brennan&Schwartz,1979)利用无套利机会的约束条件建立了一个双因子期限结构模型,这两个状态变量是短期利率和长期利率,其动态过程分别是:

式(7.61)和式(7.62)中,a1,a2,b1,b2,c2,σ1,σ2都是正常数,w1(t),w2(t)是两个相关的布朗运动。无套利机会模型——舍费尔

施瓦茨(Schaefer-Schwartz)模型舍费尔和施瓦茨(Schaefer&Schwartz,1984)在无套利机会条件下,提出了一个以长期利率以及长期利率与短期利率的差为状态变量的双因子期限结构模型,其动态过程为:

式(7.63)和式(7.64)中,σ,m,μ,γ是正常数,w1(t),w2(t)是两个相关的布朗运动。多因子仿射模型多因子期限结构模型是为了提高理论研究的精确性和适应实际需要而产生的,多因子模型的最大特点是包括了影响期限结构变化的更多因素,因此多因子期限结构模型与实际更接近。首先,多因子期限结构模型包括更多的因素从而能较好地解决单因子模型对收益率曲线的变化解释力不足的问题。其次,多因子模型能更真实地解释不同到期期限的债券利率变化之间的相关性,弥补了单因子模型中债券的所有到期期限利率之间的相关系数都为1的缺陷。最后,利用多因子模型计算出的债券模型价格与市场所观察到的价格更接近,尤其是可以大幅度地降低利用单因子模型对衍生证券定价的误差。仿射收益模型

仿射收益模型

仿射收益模型

仿射利率模型另外一类多因子模型的特征是短期利率表示成长期均值和随机波动的函数。朗恩斯塔夫

施瓦茨模型的主要特点是短期利率动态过程可以表示成几个随机因子的线性组合,但是许多情况下,利率过程的动态不可能用几个随机因子的线性组合来演变。如切恩(Chen)和巴尔杜茨(Balduzzi)在1996年分别提出了两个比较类似的三因子期限结构模型。他们的模型包括三个状态变量,即瞬时短期利率、瞬时短期利率的均值和瞬时短期利率的波动率。仿射利率模型

仿射利率模型

仿射利率模型因此,这类多因子模型被称为仿射利率模型。比较仿射收益模型和仿射利率模型可以发现,仿射收益模型可以直接表示成多因子的线性函数,而仿射利率模型不能直接表示成原来的多因子的线性函数,但是它可以被等价地表示成另外同样个数的多因子的线性函数。第四节实际利率期限结构模型

确定性背景下的实际利率期限结构

确定性背景下的实际利率期限结构

确定性背景下的实际利率期限结构

确定性背景下的实际利率期限结构

确定性背景下的实际利率期限结构

不确定性背景下的实际利率期限结构

不确定性背景下的实际利率期限结构

不确定性背景下的实际利率期限结构

不确定性背景下的实际利率期限结构

不确定性背景下的实际利率期限结构

不确定性背景下的实际利率期限结构

不确定性背景下的实际利率期限结构

本章小结利率的期限结构指的是期