河北省强基联盟2025-2026学年高二上学期12月期中考试数学试题

注意选择题⽤2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂⿊；⾮选择题⽤⿊⾊签字笔在答题卡上作考试结束后，请将试卷和答题卡⼀并上交之间的距离是A.2.，向B.C.，，D.已知抛物线的焦点为，点在上，，则点到直线的距离为A. B. C. D.已知圆与圆相交于两点，则直线的⽅程为 B. C. D.平⾏六⾯体中，点，分别在棱，上，且．若，则 已知等⽐数列的⾸项，且满⾜，，则公⽐q为 B. C.或 D.阅读材料空间直⻆坐标中过点且⼀个法向量为的平⾯的⽅为阅读上⾯材料解决下⾯问题直线是两平⾯的交线，则下列向量可以为直线的⽅向向量的是 B. C. D.已知椭圆的左右焦点分别为，过原点的直线与交于两点，且的⾯积为，则的离⼼率是 B. C. D.已知数列是公⽐为的等⽐数列，且成等差数列，则 C.D.如图，已知的边⻓为列结论正确的是 平⾯异⾯直 与EF所成⻆的余弦值已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的 ⾯积的最⼩值为可能为直⻆已知数列为等差数列，为其前n项和，若，， 已知圆：（）与圆：没有公共点，则r的取 点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右⽀上，直线与直线的交点为B，则的最⼩值为 已知数列为等差数列，为其前n项和，求数列的通项公式若，数列的前n项和为，求证：已知椭圆C的⽅程为（）上顶点为，离⼼率为求椭C的若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求的⻓已知圆C经过点和，且圆⼼C在直线上求C的标若直线l经过 且与圆C相切，求直线l的⽅程若直线与圆C相交于E、F两点，且，求实数a的值如图，已知矩形，所平⾯与直⻆梯形所在平⾯交于直线，且设点为棱的中点，求证：平⾯求⼆⾯ 正弦值 已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的⼀点，直，的斜率分别为，且求双C的已知过点的直线，交C的左，右两⽀于D，E两点（异于A，B．求m的取值范围设直 与直 交于点Q，求证：点Q在定直线上注意选择题⽤2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂⿊；⾮选择题⽤⿊⾊签字笔在答题卡上作考试结束后，请将试卷和答题卡⼀并上交之间的距离是A.【答案】B.C.D.【解【分析】由两条平⾏直线的距离公式直接可得 故选故选2.，向，A.【答案】【分析】由向量共线性质可得、，即可得解【详解】，，故选的焦点为，上，则到直线的距离为A.B.C.D.【答案】【解【分析】直接根据抛物线定义进⾏求解即可 的距离为3，因故选4.已平⾏，且距离为2，所以与到相距离为两点，则直线的⽅程为 B.D.【答案】【解【分析】两圆⽅程直接作差，整理可得所求直线⽅程【详解①－②化简可得的故选:，分别在 ， A.B.C.D.【答案】【解【详解】在中，因【分析】根据【详解】在中，因所故选的，且满，则公⽐q为 A.B.C.或D.【答案】【解【分析】根 列出公⽐的等式，求解⽅程后再确认是否满 即可 当时，当时，阅读材料空间直⻆坐标中过点且⼀个法向量为的平⾯的⽅为阅读上⾯材料解决下⾯问题直线是两平⾯的交线，则下列向量可以为直线的⽅向向量的是 B. C. D.【答案】【解【分析】根据题意求平⾯的法向量，再由垂直关系即可求直线的⽅向向量设直线的⽅向向量为 已知椭圆的左右焦点分别为，过原点的直线与交于两点，且的⾯积为，则的离⼼率是 B. C. D.【答案】【解【分析】依题意可得，根据对称性可知四边形为矩形，从⽽得到，再由椭圆的定义，可求、，再在中利⽤勾股定理得、的关系，即可求出离⼼率. ⼜因 ，所 是公⽐为的等⽐数列，成B.C.D.【答案】【解【分析】根据等⽐数列的通项公式结合等差中项列⽅程求解【详解】由题意，由等⽐数列通由于等⽐数列每⼀项都不，故即，解或故选的边⻓为列结论正确的是 平⾯异⾯直线与EF所成⻆的余弦值点【答案】【解【分析】由图建系，写出相关点的坐标，根据各选项内容分别求出相关向量，利⽤空间向量垂直、夹⻆、距离等公式计算即可逐⼀验证判断.【详解】建⽴如图所示的空间直⻆坐标系对于A，因，则，故，A正确设平⾯AEF的法向量为， 故可取故平⾯AEF，故B正确；对于C， 则异⾯直线与EF所成⻆的余弦值为，故C错误对于D，，由上分析已得平⾯AEF的法向量为，则点到平⾯AEF的距离为 ，D正确.故选已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的 ⾯积的最⼩值为可能为直⻆【答案】【解【分析对于根据抛物线的焦半径公式即可判断对于B设直线⽅程与抛物线联求得弦⻓表示出三⻆形⾯利⽤⼆次函数的性质计算即可判断对于利⽤抛物线焦半径公式代⼊计算易得对于，通过计算即可判断【详解对于A，由题意，，所以⽆最⼩值，故A错误；对于B，因直线的斜率不可能为0，故可设，与联⽴消元得：显然，设， 点到直线的距离 则的⾯积 则当时，即时，取得最⼩值2，故B正确 ，故C正确；对于D，由B选项可得 故与所夹的⻆为钝⻆，故D错误.已知数列为等差数列，为其前n项和，若，， 【答案】【解【分析】根据等差数列前项和公式和下标和性质求解【详解】因为等差数列的前项和为，，故故答案已知圆：（）与圆：没有公共点，则r的取 【答【解【分析】根据两圆⽆公共点，可知两圆外离或者内含，根据圆⼼距和两圆半径的关系即可求解【详解】圆的圆⼼坐标为，半径为圆的圆⼼坐标为，半径为1，则，若外离 ；若内含 综上：故答案为：点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右⽀上，直线与直线的交点为B，则的最⼩值为 【答案】【解，所以，当A，，B三点共线时，最⼩，过与圆⼼M的直线与圆的交点B且在和圆⼼M之间时最⼩【详解】由双曲线的，，右可，所当A，，B三点共线时，最⼩联⽴直线的⽅ ，可 消参数t可得，可得交点B的轨迹为圆⼼在，半径为1的圆（除去点 的最⼩值为9.故答案已知数列为等差数列，为其前n项和，求数列的通项公式【答（2）证明⻅解【解【分析（1）根据等差数列基本量运算求出，进⽽求出通项公式（2）由（1）求出通项，利⽤裂项相消法求得，得证【⼩问1详解 故【⼩问2详解由（1）可 故因 ，所 ，得证已知椭圆C的⽅程为（）上顶点为，离⼼率为求椭C的若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求的⻓【解【分【解【分（1），求出椭圆（2）利⽤弦⻓公式求解【⼩问1详解由题意，，，因此椭圆的⽅程【⼩问2详解设椭圆左焦点联⽴直线⽅程与椭圆 ，可得，解得：，所已知圆C经过 ，且圆⼼C在直 上求C的标若直线l经过点且与圆C相切，求直线l的⽅程若直线与圆C相交于E、F两点，且，求实数a的值【答（2）（3）【解【分析（1）设，根据列式求出，进⽽求得圆⼼坐标和半径，得解（2）分直线斜率存在和不存在讨论，结合直线和圆相（3）由题可得圆到的求解【⼩问（3）由题可得圆到的求解【⼩问1详解由圆⼼在直 ，上，设圆，解 因此圆所以圆的标准⽅程【⼩问2详解当直线斜率不存在时，圆到的距离为半径所以直线符合题意当直线斜率存在时，设的，圆⼼到直线的距离，解得，直线⽅程综上所述，直线的【⼩问3详解由（1）知，圆的圆⼼为，半径由，得圆⼼到直线的距 ， 解得或，所以实数的值为或设点为棱的中点，求证：平⾯求⼆⾯⻆的正弦值线段上是否存在⼀使得直线与平⾯所成⻆的正弦值为？若存在试确定的位置；若不存在，请说明理由.【答（1）证明⻅解（3）存在 点 点重【解【分析（1利⽤勾股定理逆定理先判定建⽴合适的空间直⻆坐标系利⽤空间向量研究线关系即可；利⽤空间向量计算⾯⾯夹假设存在，设，由空间向量计算线⾯夹⻆，解⽅程求参数即可【⼩问1详解由已知，，可知，则⼜矩中，平，所以平⾯，所两两垂直故为原点建⽴如图所示的空间直⻆坐标系则，所以易知平⾯的⼀个法向量等于所以，所以⼜平⾯，所以平⾯【⼩问2详解因为设平 的法向量 ， 取，则设平⾯的法向量为 ， 取，则 ，故【⼩问3详解存在，当点与点重合时，直与平⾯所成⻆的正弦值为理由如假设线上存在⼀，使得与平⾯所成的⻆的正弦值等 所所 ，解 (舍去已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的⼀点，直，的斜率分别为，且求双C的已知过点的直线，交C的左，右两⽀于D，E两点（异于A，B．求m的取值范围设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上【答（2（i）（ii）【解【分析（1由已知条件去设点的坐标表示斜率之积通过点在双曲线上代⼊并消元⼀个量，即可得到，从⽽求出双曲线⽅程；（2（i）利⽤过点的直线与双曲线的左右两⽀相交，必满⾜，从⽽去求出的取值范围（ii）先⽤交点坐标去表示直的⽅程，