2024衡水名师卷高考模拟压轴卷（二）数学试题及答案

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题

数学（二）

本试卷共4页，19小题，满分150分考试用时120分钟

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码、考场号、座位号填写清楚，将条形码准确粘贴

在

时霰殿例静照陶笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工

整、笔迹清楚.

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿

纸、试卷上答题无效.

4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的

1.已知点P6yo挑点为F的抛物线J）22px（p0）上，若[PF[则P（）

A.3B.6C.9D.12

2电影《孤注一郑》的上映弓I发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度已知某

社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随机抽样，共

抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（）

A.6人B.9人C.12人D.18人

3.已知abc0,则下列说法一定正确的是（）

A.abcB.a2be

C.acb2D.abbeb2ac

4已知向量a23,b1,2,则ab在ab方向上的投影向量为（）

816122012202020

A，IF17B,V7，17C下‘77D--17，17

S已知某正六棱柱的体积为姐，其外接球体积为二产,若该六棱柱的高为整数，则其表面积为（）

A.6小18B.3/3186邪24D.3/324

6.已知甲、乙两地之间的路线图如图所示，其可大致认为是fXcosx0X3JI喉像某日小明和小红

分别从甲、乙两地同时出发沿着路线相向而行，当小明到达乙地时，小红也停止前行若将小明行走轨迹的点

,且龌a

记为db,小红行走轨迹的点记为3n函数,则白尸个单

2

gab2dga

调递减区间为（

n4五n5兀4n8n

A.—B.D.2n,3n

o万'5

X2

9,m勺的左、右焦点分别为

7.已知椭圆C：——1(0m2，点PC上但不在丝标轴上，且

mFl,F在

7

PF16是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为万，则川)

O

A.4B.5C.6D.8

&已知函数fxIllGxeln—e1x的定义域为“,若m

xfx存在零点，则的取值范围为

)

1C.Q-D.e

A.一，B.

e0,ee

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题日

要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知432i，44i,则：)

A.4Z的虚部为-1

2

B.4zi3z,是纯虚数

C.qz在复平面内所对应的点位丁第一象限

2

L

2

D.zl4

i

7

10.已知（43x)qq13x为(13x),a7（l3x）7,则（）

7

A.a945B.ai47

1

613

C.a0a,a”42整2D.aa3a5%22

M

11.gx是定义在N*上的奇因函数，是指的最大奇因数，比如：M3M63,M81

则()

A.对kN*,M次1M次

B.M2kMk

C.M12M63931

D.M126363

三、填空题：本题共3小题,每小题5分，共15分

20,B{x|xin)-若小

12已知集合Ax|4xx5ABR

0则6A

B_；若

则口的取值范围为__________f

1工某校拟开设“生活中的数学’“音乐中的数学逻辑推理论”'彩票中的数学'和“数学建模'5门研究性学习课

程，要求每位同学选择其中2门进行研修，记事件A为甲、乙两人至多有1口相同，且甲必须选择“音乐中

的数学，则PA

14定义：对于函数f料物七，若xn1xfxnfxn°,则称数列x具有f魏

性质”・已知二次函数

f囹醐最低点为0,4,且fx1f2x1若数列百fX

±11AQXllAg

函数性质,且首项为1的数列Ma”nZnNaSn

,记的前项和为，则数列

n

535的最小值为一

四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.(13分)

_b2tanB

在ABC中，内角A,RC所对的边分别为a,he,其中c邪——5――广一.

、且atanBtanAB

(1)求C

/

(2)求a?b2的取值范围.

16.(15分)

已知函数fxxa—

x

(1)讨论的最值；

fx

（2）若a1"，且fxkeXxk

x,求的取值范围

17.（15分）

在如图①所示的平面图形中，四边形ACDE为菱形，现沿AC进行翻折，使得AB平面ACDE,过点E

作EF||AB,且EFIAB,连接FD,FB,BD,所得图形如图②所示，其中"为线段BD的中点，连

乙

⑴求证：FG平面ABD;

（2）若ACAD2,直线FG与平面DUU所成角的正弦值近，求AB的值.

7

ia（17分）

某汽车销售公司为了提升公司的业绩，现将最近300个工作日每日的汽车销售情况进行统计，如图所示

（1）求a的值以及该公司这300个工作日每日汽车销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值

作代表）；

（2）以须率估计概率，若在所有工作曰中随机选择4天，记汽车销售量在区间ZUU,ZbU内的天数为x.

求X的分布列及数学期望；

（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：抽奖区有AB两个

盒子，其中A盒中放有9张金卡、1张银卡，B盒中放有2张金卡、8张银卡，顾客在不知情的情况下随机选

择其中一个盒子进行抽奖，直到抽到金卡则抽奖结束（每次抽出一张卡，然后放回原来的盒中，再进行下

次抽奖，中途可更换盒子），卡片结果的排列对应相应的礼品已知顾客小明每次抽奖选择两个盒子的概率

相同，求小明在首次抽奖抽出银卡的条件下，第二次从另外一个盒子中抽奖抽出金卡的概率

19.（17分）

2N

已知双曲线C:勺%Ka0,b0）的左顶点为A,直线l：yX2与cC

a卜1的一条渐近线平行，且与

交于点B,直线AB的斜率为1.

O

(1)求c的方程；

(2)已知直线l,:y2xmm8与匕交于P,Q

两点，问：是否存在满足EAEPEPEQEAEQ

的点Ex0,y?若傩，求x片的值；若不存在，请说明理由.

02

数学（二）

一、选择题

D15

1.A【解析】由抛物线的定义可知|PFI6-p3

22,解得.故选A项

200x80

2B【解析】设中年人抽取x人青少年抽取y人，由分层随机抽样可知

480雨闲

yxJLQy

二、解得口，故中年人比青少年多9人故选B项

36

川八i时a，且M

3.D［解析］当b2,故A,C项错误；因为ab0ac0

bc

所以Mbe,故B项错误；abbeb2acbcabQ故D项正确.故选D项

4c【解析】由题意得abL1,ab35,则ab在ab方向上的投影向量为

(ab)(ab)(ab)20

ab|2与万，故选C项.

,4,20褥,

5.1）【解析】设该正六棱柱的底面边长为a,高为h,其外接球的半径为R,易知与五N

Oo

孚a26h班②，联立①②,

因为h4解得a4

Lh,所以正六

棱

6ah24.故选D项

0a3n,

a

dA【解析】依题意得bcosa,dcosecos3n—20s—,且03n?0a3n

223兀,解得

2

a

则gacosa2cos—2cos2色2cos—士令cosF则L1,因为y2t22t1在区间

222

£八4冗Q8n

内单调递减，在区间v1内单调递增,所以g@在区间0,—,2n,_内单调递减.故选

233

A项.

7.B【解析】依题意得|PFJ|PFz|6,设n|PFI|FFIn

,不妨设点P在第一象限,则

22♦1(6祝2Q步

"_一IcosPFF

严

2|6n(0n6),故cosPF,F?---

1/2cn28或2n6n8'

21

2

24n.11$111

解得n4或n丘，又mZ,m—9,所GC以hB项.

2故选

0,则e'InmxInme1nxclnx$-gxx

ac【解析】由题意得m0.令eeqx易知

fx

gx单调递增.所以gxInmgInx，即xInmInx,即•令,则

InmInxxhxInxx

1x,

——,当XQ1时hx0hx单调递增，当x时hxQhx单调递减,

hxX

叫nm1

又h11,当hx故选C项.

e

x0,解得。in

时,

二、多选题

9.BC【解析】447i的虚部为1,故A项错误；4z3zHi

为纯虚数，故B项正确；

12

Z7.,轻国平面内所对应的点位于第一象限，故C项正确；

32i4i145i

I1

I—|1叫"，网464,故D项错误故选BC项.

10.AC【解析】依题意得（43x）7[313x]7,械十C*43527x

945,故A项正确；令3

7

得为3,令x0,得ai4‘，所以ai473,故E项错误；令x得

i0i1O

%a132aBa,a5线，①，又，

aaaaaaaa

②，由①+②可得

479701234567

135

a0外露3b---22,故C项

2132,故D项错误故选AC项

正确；同理，由②■①得当a3%a7

11.ABD【解析]由题意得M2kMk，故B项正确；M2kMkk,M2k12k1k,

故A项正确；

1Z2Q

12363------632563,所以M12363M6363,故D项正确；

2

M1M2M63[M1

M3M63M2M4

M621363M1

M2M31210M1

M3M31M2M4

M30]2102s262o

1/

1UUU

故C项错误故选ABD项

三、填空题

12xOx-【解析】集合aXX1或上6A

4」4,所以

BX。X）若ABR,结合数轴可知川

L故01(,D

的取值范围为

13.^【解析】若甲、乙两人的优课都不相同则共苞;C；

4312

25种；若甲、乙两人的选课有1门相同,

12249

则共有2C；24

25,

种故

3

511

14-——【解析】由题意知fxax2,又

2所以

4(a0)fx1a2x12x1ar

AJ

则fXX24.由题意得缘—

Inxn2In2lnXn21

LA

nM4F4

由「f%f%0,得XxnXXn力又

fXI,即2xn

n1

2

八9Xn2

0MzoX)Zn1Zx2

,则如nl-21n-

xn12---------,xn12所以2即

2xn2xnx2xn2Xn12xn2'

n1

3,112?,故a。是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an2n1,Sn2n1.令

CnSn

-5-52n1,Mecnn82n11故当n8时,

22n12

511

cn1,当n9时，cCn.故

r2

C

四、解答题min

15•解：⑴因为tanABtannCtanC,

所以b2tanB

atanBtanC

im'asinB2tanB

由正弦/E理付菽1amtanC

2sinBcosC2sinBcosC

sinBcosCcosBsinCsinBC

2sinBcosC

sinA

霞馈%”'所以2cosC1.

则cosC—,

2

又CQ兀,所J.

•3

(2)由余弦定理得JQ&ab,

.a*2If,

因m为-------ab,

2

a2L22L2

所以Maba21J-―--―-

22

即a?tr6.当且仅当ab小时等号成立

又a,3ab,且ab0,

所以a?1J3.

综上，a2b2的取值范围为

36

16解：（1）由题怠得f的定义域为Q

1ax1

a--------,

fXXX

当a0,XQ时0

fx.

所以褪间内单调递减，无最值；

fxQ

1

当a0时，令

0,得xa

fx

当XQL时fxQfX

a'单调递减，

当：《时fxftfX

a单调递增.

故当x一时，取得最小值，且最小值为f-1ha

afxa,无最大值.

综上，当a°fx词§；当a0时.fx糠卜值为

时，,无最大值

1Ina

(2)当a'时由fX竺，，

x

得xInx------,

x

整理得ke"x2xxlnx,

x2xxlnx

即k

x2xxlnx

令hx

Xxxlnxex

则hx―i—tnx―1e2

e

xInx1x

由(1)知，当的最

a1时，fxxInx

小值为f11°

即:<Inx0恒成£,

所以当xQIhxQhx

时单调递增；

当KL时hx0,hx

单调递减

故当x1时，hx幅最大值h1扁k

ee

故k的取值范围为工

e

17.(1)证明：连接CE交AD于点0,连接G0.在菱形ACDE中，CEAD,

因为AB平面ACI)E,CEACDE,所以J-AB

平面，

又ABADA,AB,AD平面ABD,

所以CE平面ABD.

因为U'u分别为BD,AD

的中点

所以w1AB,GO||AB,

又EF1AB,EF||AB,

2

所以GO幺EF,

色的耕形为平行四边形,

所以FG||E0.所以FG平面ABD.

(2)解：在菱形ACDE中，因为ACAD.

所以CL”和“盟煌正三角形，

取ED的中点H,连接AH,则AHAC,

又AB平面ACDE,所以ABAC,ABAH,即AB,AC,AH两两垂直

以A为坐标原点,AB,AC,AH所在直线分别为x,y,z

轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

设AB2a(a0),

则C(0,2,0),B(2&a0),D(QL凉F(&L次Ga

贝IJBC2a,2,0,CI)(0,1

祗，FGQ|今

设平面"J”的法向量为3y,z

mBC2ax2y0,

则

mCDy串zQ

取z1,贝ijm

a

记直线FG与平面DU”所成角为

mi•Ipp।FGinI

贝ijsin|cosFG,m--------

|FG||m|

解得a1,即A格)值为2

1&解：⑴依题意得(Q001Q002Q0032aQ006)501

解得aQ004.

所求平均数为25(1175015125

0.217503225Q2275Q0515Q

(2)依题意得XB4,-

5

44256

则PX0

5625

14256

PX1

55625

4296

PX

25625

1416

PX3

55625

141

PX4

5625

X01234

25625696161

p

625625625625625

414

故

EX55

AA.,B

⑶设“选到A盒，为事件1,“选到B盒'为事件一,,摸到金卡”为事件摸到银卡”为事件

因为BpB是对立事件,2

2

191211

所以।

PB2102W20

9

PB1PB,

220

由题意得PA,PA21

2

tP