2024暑假初升高数学课后练习题解析版

目录

第一讲集合定义..........................................................................2

第二讲集合关系..........................................................................9

第三讲集合运算........................................................................16

第四讲充分条件必要条件与量词.........................................................19

第五讲不等式定义、性质、二次不等式（1）...........................................27

第六讲二次不等式（2）............................................................33

第七讲基本不等式.......................................................................42

第八讲函数概念.........................................................................51

第九讲函数三要素.......................................................................59

第十讲函数的单调性....................................................................72

第十一讲函数奇偶性....................................................................81

第十二讲函数函数单调性与奇偶性综合应用................................................92

1

2024初升高数学课后练习题解析版

第一讲集合定义

一、单选题

1.下列关于集合的说法正确的有（）

①很小的整数可以构成集合；

②集合｛巾=2/+1｝与集合｛«y）\y=2x2+1）是同一个集合；

③1,2J-J1,0.5,g这些数组成的集合有5个元素.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】A

【分析】根据集合的定义判断.

【详解】很小的整数可以构成集合是错误的，不满足元素的确定性,故①错误.

集合｛巾=+\｝=｛y\y>1）表示），的取值范围，而｛（Xy）\y=2x2+1｝表示的集合为函数y=2/+1图象

上的点，所以不是同一集合，故②错误.

,0.5,g这些数组成的集合有3个元素，而不是5个元素，故③错误.

古嫡：A.

2.已知集合^=｛|2,々2+4〃,〃-2｝,-3GA,贝卜=（）

A.-1B.-3或1C.3D.-3

【答案】D

2

【分析】由元素与集合关系分类讨论，结合元素的互异性判断即可.

【详解】-3eA，，-3=4+4。或-3=a-2.

若-3=a2+4a,解得。=-1或a=-3.

当〃=7时，/+4a=a_2=-3,不满足集合中元素的互异性，故舍去；

当〃=-3时，集合A={12,-3,-5},满足题意，故〃=-3成立.

若-3=。-2,解得。=-1,由上述讨论可知，不满足题意，故舍去.

综上所述,«=-3.

3.已知集合4={1,2,3,4,5},3={«）邛€4+'£4%一），£力,则8中所含元素的个数为

A.3B.6C.8D.10

【答案】D

【详解】列举法得出集合8={（2#,（川，（4,6（5,1）,（30,（4,2）,（5,2卜（4,3卜（5,3）,（54）},共含10个元素.

故答案选。

二、多选题

4.若集合4={川外2+2工+1=0}中有且只有一个元素,则实数，的值为（）

A.0B.-1C.2D.1

【答案】AD

【分析】分〃=。，和〃工。两种情况讨论，可得〃=。，或〃=1.

3

【详解】当〃=0时，可得AH-^｝，符合题意；

当”。时，因为方程X+2x+l=。有唯一解，所以△=4-4〃=。,.・.〃=1.

雌：AD.

5.已知x,），，z为非零实数，代数式向+向+百十里的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是

（）

A.OeMB.2GMC.-4?MD.41M

【答案】CD

【分析】讨论My，？的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M,进而确定正确的选项.

【详解】当"z均为负数时，百+向+百+^^二-4

当2衣两负-正时,向+R+百然=。；

当兄两正一负时，n+N+n+^^=0；

WN目孙z

当一均为正数时,方向+/粤=4；

・•・”={-4,0,4},A、B错误，C、D正确.

故选：CD

二二，的解集可以表示为（）

6.（多选题）方程组）

x=l

B.依，力

y=2

c.{1,2}D.{(x,y)k=l,y=2}

【答案】ABD

【分析】由方程组"''"3解得”=；,得到解集中只含有一个元素，根据集合的表示方法，逐

x-y=-l[y=2

项判定，即可求解.

【详解】由题意，方程组解得「二,其解集中只含有一个元素，

根据集合的表示方法，其中A,B.D项表示都是正确的，其中选项C是表示由两个元素组成的集

合，不符合要求，所以不能表示为乩2}.

故选：ABD.

三、填空题

7.(填空题)用符号''1和''史〃填空：

(1)N；(2)1_Z；(3)-2_R；

(4)兀—Q+;(5)32—N;(6)0—0.

【答案】任史w任w史

【分析】根据元素与集合的关系判断.

【详解】由N,Z_,R,£,0所表示的集合，由元素与集合的关系可判断

(1)任(2)任(3)£(4)任(5)e(6)任.

故答案为：(1)史(2)任(3)e(4)£(5)e(6)E

8.已知工«1,2,/},则x的值为.

5

【答案】0或2

【分析】根据工£{12巧，由4=1,.丫=2,x=V,并利用集合的特性判断求解.

【详解】因为xw{L2,x2},

所以当％=1时,集合为{"J}不成立；

当户2时，集合为{124},成立；

当"V时，解得x=l(舍去)或》=0,

若”0,则集合为{120},成立.

所以x的值为。或2

故答案为：0或2

四、解答题

9.已知A为方程奴2+2x+1=0的所有实数解构成的集合，其中a为实数.

⑴若A是空集，求。的范围；

(2)若A是单元素集合,求a的范围：

(3)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.

【答案】(1">1;

(2)。=0或a=l；

(3)a=0或.

【分析】(1)讨论。，根据△<()可得结果；

6

(2)讨论。，根据△=()可得结果；

(3)转化为方程a?+2x+1=0至多有一个解，由(1)(2)可得结果.

【详解】(1)若A是空集，则方程"2+2工+1=0无解，

当〃=0时，方程2犬+1=0有解，不符合题意；

当〃时，A=4—4«<0，得々>1.

综上所述：

(2)若A是单元素集合,则方程B2+2x+l=0有唯一实根，

当〃=0时,方程2、+1=0有唯一解x=,符合题意；

当〃=0时，△=4—4a=0,得a=1.

综上所述：。=0或。=1.

(3)若A中至多有一个元素,则方程公2+2x+l=0至多有一个解，

当方程⑪2+2x+l=0无解时，庄(1)知，”1；

方程ad+2x+l=0有唯一实根时，由(2)知，。=0或4=1.

综上所述：”0或4之1.

10.已知集合4={4〃-3x+2=0,xe凡awR).

⑴若A是空集，求。的取值范围；

(2)若A中只有一个元素，求。的值，并求集合A；

【答案】(l)g，y)

7

(2)①当。=0时，A=\-21\;②当〃9时A=上f4

【分析】(1)方程加-34+2=0无根时，集合A是空集；

(2)对。分类讨论，保证方程如二3x+2=O只有一个根.

2

【详解】(1)当。=0时，方程o?-3x+2=0化为-3x+2=0,有一个根5,不符合题意；

当"0时，若方程如2_31+2=0无根，

;"09

则749八即一

9-4x2«<08

9

综上，。的取值范围为〃

O

(2)当。=0时，方程办2一3工+2=。化为3+2=0，有一个根;，丹=｛芥；

当〃，。时，若方程办2-31+2=0只有T根，

「〃工09

则"A9n即

9一4x2。=08

止匕时方程*2-3x+2=0化为9丁c-3%+2=。，有-二重根4:，4=上f41

OJIJJ

8

第二讲集合关系

一、单选题

1.集合M={x\ax2+3x-1=0}至多有1个真子集,则。的取值范围是（）

99-9

A.aW————C.=0D.。=0或〃4——

444

【答案】D

【分析】由题意得M元素个数，分类讨论求解

【详解】当〃=0时，M={1},满足题意，

9

当"0时，由题意得A=9+4aW0,得心-了，

4

9

综上，〃的取值范围是（f{0}

故选：D

2

2.已知集合收={-2,0,1},N={x\x+ax-2=0},若NjM,则实数〃=（）

A.2B.1C.0D.-1

【答案】B

【分析】对于集合N,元素x对应的是一元二次方程的解，根据判别式得出必有两个不相等的实数

根，又根据韦达定理以及Nq",可确定出其中的元素,进而求解.

【详解】对于集合N,因为△=片+8>0,

所以N中有两个元素，且乘积为-2,

9

又因为Nq例，所以N={-2,1},

所以-。=-2+1=-1.即.

故选：B.

3.已知集合4=«h=号+；入2},8=卜卜=；+聂€2，,则()

A.ABB.BAC.A=BD.A与8关系不确定

【答案】A

【分析】将集合4B中的形式通分,再分析集合的包含情况即可.

2k+\(k+2

【详解】4=卜工二丁/£2[4=立1=丁水€2厂因为2Z+l(ZeZ)表示奇数，攵+2(2eZ)表示

整数，故按子集的定义，必有兄

故选：A

4.已知集合股={14丫},A/={1,?},若N=M,则实数Y组成的集合为()

A.{0}B.{-2,2}C.{-2,0,2}D.{-201,2}

【答案】C

【分析】若N=M,所以x=%2或丁=4,解出X的值，将X的值代入集合，检验集合的元素满足互异

性.

【详解】因为NC",所以x=/，解得x=0,x=l或f=4,解得尸±2,

当<=0时，M={1,4,0}#N={1.0},N=M，满足题意.

当"1时，"={1,4,1},不满足集合的互异性.

10

当1=2时，M={1,4,2}rN={1,4},若NqM，满足题意.

当上=-2时，例={1,4,—2},N={1,4},若NqM,满足题意.

雌：C.

5.下列六个关系式：①伍,〃}1自。}；®{a,b}={b,a};③0=0;®0e{0};⑤0e{O};⑥0a{0},

其中正确的个数为（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【分析】根据集合与集合、元素与集合的关系判断.

【详解】由子集定义任何集合都是本身的子集，知①正确，由集合中元素的无序性知②正确，空集中

没有任何元素但它是一个集合,而。是一个实数，③错误，由集合的定义，④正确，《〃是连接元素

与集合的关系，⑤错误，空集是任何集合的子集，⑥正确.正确的个数有4个.

故选：C.

6.设。，,集合（1，4+/7，0={O，，4，贝［］片°23一82023=（）

A.1B.—1C.2D.—2

【答案】D

【分析】根据两集合相等，对应元素相等,然后列出方程求出〃，〃即可得到结果.

【详解】因为UM+仇。}=［。上力

11

b=\

所以a+b=O，解得।

bI-

—=a

贝u产-产=(-1)-1=-2

故选：D.

二、多选题

7.给出下列四个集合，其中为空集的是()

A.{0}B.{x£R|f+x+l=O}

1

y=—

c.{(Xzy)H'x,x,y£R}D.{xWR|R<0}

y=x

【答案】BCD

【分析】利用空集的定义、一元二次方程、方程组、不等式的性质直接求解.

【详解】解：对于A,表示集合中的元素为空集，故A不是空集；

对于B,集合中的元素为方程f+X+1=0的实根，

•.•△=12-4=-1<0,

・・・方程x2+x+1=0无实根，故B为空集；

对于C,方程X=-,无实数解，故C为空集；

X

对于D,不等式卜|<0的解集是空集，故D为空集.

故选：BCD.

12

8.（多选）若集合”满足{1}GMG{1,2,3,4},则集合M可以是（）

A.{1,2}B.{1,3}C.{1,2,3}D.{1,2,3,4}

【答案】ABCD

【解析】根据所给包含关系直接可得答案.

【详解】因为集合M满足{1}GMC{1,2,3,4},

所以集合M可以为{1}所1,2},{1,3},{1所},{1,2,3},{1,2,4},{1,所4},{1,2,

3,4},

故选：ABCD

三、填空题

9.若集合卜€叫同J。}为空集，则实数。的取值范围是

【答案】{布＞2或"-2}

【分析】根据不等式的解集为空集，比较左右端点值的大小，列式即可求解.

【详解】因为集合{xeRM=«2}为空集，所以同＞2,即心2或av-2.

故答案为：{小＞2或〃＜-2}

10.满足23}之F={2,3,4,5,6}的集合P的个数为.

【答案】8

【分析】又题意可知集合尸中至少有2个元素，最多有5个元素，分别写出来即可.

【详解】・・・{2,3}uP={23,4,5,6}

，集合P中至少有2个元素，最多有5个元素.

13

当集合尸中有2个元素时，集合。可为：{2,3);

当集合P中有3个元素时，集合尸可为：{2,3,4},{2,3,5},{2,3,6};

当集合户中有4个元素时,集合。可为：［2,3,4.5},{2,3,4,6},{2,3,5,6};

当集合户中有5个元素时，集合P可为：{234,5,6};

故答案为：8.

四、解答题

11.设集合A={x|%2—8x+15=0},8=卜如一1=。}.

⑴若,试判断集合A与"的关系；

(2)若,求实数〃的取值集合.

【答案】(1)8A

(2)ae{ogf.

【分析】(1)直接代值计算判断即可；

(2)得到5=0,{3},{5},依次计算即可.

【详解】(1)当时，"={5},

因为人={划％2-81+15=0}={3,5},

所以3A.

(2)因为集合8至多有f元素，由8=A，所以8=0,{3},{5}

14

当8=0时，a=0；

当8={3}时，所以a=g;

当8={5}时，所以4=]

所以

12.已知集合A={X-2«X«5}.

⑴若AuB,B={^m-6<x<2m-1}，求实数机的取值范围；

(2)旱否存在实数次，便得A=A,B={^m-6<x<2m-\}?若存在，求实数”的取值范围；若不存

在，请说明理由.

【答案】⑴[3,4]

(2)不存在，理由见解析

【分析】(1)由包含关系可构造不等式组求得结果；

(2)由集合相等关系可得方程组,由方程组无解知不存在.

(1)

，〃-6W—2rT

一二解得：3W〃?W4,即实数〃，的取值范围为3,4;

2m-\>5

(2)

/％6_2

；~,方程组无解，，不存在满足题意的”.

{2m-\=5

15

第三讲集合运算

一、单选题.

1.C解：・.,8=卜£21(》-1)仪-4)<0}=[2.3},・・.AUB={L235L

2.C解：,：A=[xl-2<l-x<3],B={XGNI0^X<6|=(0,l,Z3,4,S6],

CaA={xtz<-2或x>3],(Q4)nB=

(3.45.61

,4uS=4BQA.x2=1

3.c解：因为AuB=n,3H,A=“3xl,B=fLN],所以，即，所以小=3或.当

/=3时，得：

X=±G.若x=V3,则A=[13.yfi\B=(1.31,符合题意;若x=-V3,则A={1,3,-VJ],B={131,符合题

意.当

时,得X=。或X=1.若x=0,则A={1,3.0),B={1,0],符合题意;若X=1,则A={1,3.1],B={1.1],不符合

集合中元素

的互异性，舍去.综上所述,x=±或x=0.

4.C解:

(RQ

易求得=或122],如图所示，若能保证并集为，则只需实数在2的右

边(含端点2),・・・。22.

2ax

二、多选题.

13ES

5.ACD解：,・・左「8=13]，：则3?+3c+15=0,解得c=-8.由方程小-8-15=0得1=3或

x=5,・•・8=

16

3eASeA.

f351由AU(AuB),且Au8=£35],An8=f3同知，，，故必有A={3],••・方程/+ax+b=。

有两个相

3+3=-o3x3=£abc

同的实数根3,由根与系数的关系得，，即。=-6,6=9.故实数，，的值分别为

一6,g,-8,所以

6.ACD解：根据题意作出Venn图，如图所示，易知B不正确，A,C,D正确.

三、填空题.

7.(2te：若x=2,则N-2=2,与集合中元素的互异性矛盾，故X工2,从而X=f-2,解得x=一1或

x=2(舍去).故

9WA,

8.【—8.-7,-449]解：由ACB二洞■知，则必=9或2~1=9,解得x=±3或T=5.当x=3

时,4=[9.5.-

B

4),8=[-2,-291,集合中元素不满足互异性，故舍去x=3；当T=-3

时/—1,8=1-8491满足题

意,此时AuB={-8.-7,-4.4,9]；当x=5时,A={25.9,-4],8={0,-4,91此时AnB={-4.91这与

AnB={9岳盾,故舍去x=5.综上所述,AuB={-8,-7.-449}.

四、解答题.

9.⑴解：由|x-l|<2,解得：-1<r<3,故[={幻―1<r<3),xvB={x10<r<5),

{xl0<x<3|；

17

⑵由(1)知：=x<31,­••(JJA=|xlx1afex3],

»(CtM)uB={xlx<-ls£r>Ol

1efi8efi9/eA

10.解：⑴由(GM)c8={1用知,；由仁*八(&8)={469},知4,6,，且

9/€fiAB7EA

4,6,；由八。8二[2,31,知2,3是集合与的公共元素.因为U=^,234567,891,所以5,.画

Veni\

出图，如图所示.

(1】由图可知A-{2,3,5J1,3=[123,8].

(2)(2)(QU)u[G(A八刃]={x|xWR,融=2,x=31

11.⑴解:。=一附，集合A={xl《-4x-5*0}=[xU£-l或x35],集合

B=32。<x<a+2)=伫」『)...八0B={xl-2SxM-l],4u5=fxlx<1>5].

74n5=fi:•BQA

⑵解：，，当8=C时,2a>a+2时，解得a>2；当

a<2(a42

B工。时,ta+2<—域12a>5,

解得as-3.综.匕a>2或as-3.

12.(1)解：当m=0时，B-Ixllxl<11=(-1,1],因此，QB=(-8,-i)u(L+8)

⑵解：才={xlx2-Sx+6g0}=[23],

AQB

B={xl|x-m|=因为

n\

所以，解得2sms3.因此，实数的取值范围是亿31

18

第四讲充分条件必要条件与量词

一、单选题

1.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为''七绝圣手〃，其诗作《从军行》中的诗句''青海长云暗雪

山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还〃传诵至今.由此推断，其中最后一句''返回

家乡〃是''攻破楼兰〃的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由题意不破楼兰'可以推出''不还〃，但是反过来''不还"的原因有多种，按照充分条件、必

要条件的定义即可判断

【详解】由题意不破楼兰终不还〃即''不破楼兰〃是''不还〃的充分条件，即''不破楼兰'可以推出''不

还〃，但是反过来''不还〃的原因有多种，比如战死沙场；

即如果已知''还〃，一定是已经''破楼兰〃，所以''还〃是''破楼兰〃的充分条件

故选：A

2.已知p：Tci<4,/2<x<3,若，是4的必要条件,则实数。的取值范围是()

A.[T，6]B.(t,T]C.[6,+e)D.(-•»,-1]u[6,+oo)

【答案】A

【分析】根据必要条件的概念得集合之间的包含关系，列不等式组求解即可.

【详解】由-4<x-a<4得-4+4vxv4+a,

p:-4+a<x<4+a

19

若p是q的必要条件,

则(2,3)=(-4+“4+〃),

2>-4+«

解得-1

3<4+«

噂：A.

3.已知xeR,若集合M={1,幻,N={123},5rx=2〃是"MqN〃的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.

【详解】若"2,则”={1,2},所以M=N,故充分性满足；

若M=N,则x=2或3,显然必要性不满足；

所以''x=2〃是''M三N〃的充分不必要条件.

古嫡：A

4.不等式'"+2"-〃此()在xeR上恒成立〃的一个充分不必要条件是()

A.m<-\B.m>4C.2<m<3D.-\<m<2

【答案】A

【分析】先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.

20

【详解】因为''不等式V+2.r-〃此()在R上恒成立〃，所以等价于二次方程的丁+2工-〃?=0判别式

A=4+4/W<0,BPtn<-\.

所以A选项，〃?<-1是〃区-1充分不必要条件，A正确；

B选项中，加>4不可推导出相£-1,B不正确；

C选项中,2<〃?<3不可推导出力《-1,故C不正确；

D选项中，-1<机<2不可推导出m<-1,故D不正确.

雌：A.

5是'”23〃的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据不等式所表示的集合的包含关系以及必要不充分条件的判定方法即可得到答案.

【详解】因为"lx之3}{x|x>0),所以前者无法推出后者，后者可以推出前者，

故'”>0〃是'”23〃的必要不充分条件，

雌：A.

6.若p：/+66=0是小以-1=0(。=0)的必要而不充分条件，则实数。的值为()

・1C1.1Cj1

A.--B.--So-C.--D.5或一］

【答案】D

21

【分析】根据题意确定q可以推得P,但〃不能推出q,由此可得到关于。的等式，求得答案.

【详解】P:x2+x-6=0,即x=2或》=一3,q:「,：.x=—,

a

由题意知〃：x2+x-6=()是g：ax-\=O("0)的必要而不充分条件，

贝0=2,或，=-3,解得，或，

aa23

故选：D.

二、多选题

7.已知关于x的方程Y+(〃?-3)X+〃7=O,则下列说法正确的是()

A.当〃?=3时，方程的两个实数根之和为0

B.方程无实数根的一个必要条件是以>1

C.方程有两个正根的充要条件是0<m<\

D.方程有一个正根和一个负根的充要条件是〃”0

【答案】BD

【分析】对于A,直接解方程判断，对于B,根据必要条件的定义判断，对于CD,根据根的分布和充

要条件的定义判断.

【详解】对于诜项A,方程为f+3=0,方程没有实数根，所以诜项A错误；

22

对于选项B,如果方程没有实数根，JJ!l|A=(m-3)-4m=m-10/W+9<0,所以1<〃2<9,心1是

1<m<9的必要条件,所以选项B正确；

22

A=7n2-10/n+9>0

对于选项C,如果方程有两个正根,则J-3）>0，所以0<W1,所以方程有两个正根的充

m>0

要条件是0<〃底1,所以选项。错误；

对于选项D,如果方程有一个正根和一个负根,则=,所以〃,<0所以方程有一个

正根和一个负根的充要条件是〃2V。，所以选项D正确.

雌：BD

8.如果A是/）的充分不必要条件，8是C的充要条件，A是C的必要不充分条件，则下列说法正确

的是（）

A.A是8的必要不充分条件B.B是。的充分不必要条件

C.C是。充要条件D.8是D的既不充分又不必要条件

【答案】AB

【分析】根据充分条件与必要条件的定义，可得答案.

【详解】由4是。的充分不必要条件，则4能推出。,且。推不出A；由8是C的充要条件,则B

能推出C,且C能推出B,由A是。的必要不充分条件，则4推不出C,且C能推出A,

对于A,由8能推出C,且C能推出B,4推不出C,且C能推出A,则A推不出B,且B能推出

A,故A正确；

对于B,由A推不出B,且8能推出A,A能推出D,且。推不出A,则8能推出D,且D推不出

8,故B正确；

对于C,由B能推出C,且C能推出B,B能推出。，且。推不出13，则C能推出。，且D推不出

C,故C错误;

23

对于D,由B选项，可得D错误.

故选：AB.

三、填空题

9.已知命题P：用7＜1,命题/（x+a）（x-l）＜。.若〃是4的充要条件，则。的值是—.

【答案】1

97r

【解析】解不等式言YVI,根据不等式合VI与不等式（x+a）（x-l）〈。的解集相同可求得实数〃的值.

【详解】解不等式々〈I,即2'一（"「）==＜。,解得-levL

x-lx-\x-\

由于〃是4的充要条件，则不等式（x+0（x-l）＜。的解集为（T」），

・1是关于x的方程（1+祖工-1）=0的一根，则，解得。=1.

故答案为：L

【点睛】本题考查利用充要条件求参数，考查分式不等式的解法以及利用一元二次不等式的解求参

数，考查运算求解能力，属于基础题.

10.写出''实数工）'满足条件1-）后0〃的一个充分不必要条件：—（答案不唯一）

【答案】x=o,y=2（此题答案不唯一）

【分析】根据允分不必要条件的定义填空即可

【详解】根据充分不必要条件的定义,只需找出一组满足不等式的值即可，不妨令工=0,＞=2,而

x+y20不能推出该组值，故符合要求.（答案不唯一）

故答案为：x=0,尸2.

24

四、解答题

11.已知命题Q：l<r<2,命题外：l<x<a.

(1)若。是少必要非充分条件，求实数。的取值范围；

(2)求证：心2是。=/，成立的充要条件.

【答案】(1)81。〈2}

(2)证明见解析

【分析】(1)®^={A|1<X<2},B={.x\l<x<a},由«是夕必要非充分条件，得至I」B是人的真子

集，分类讨论，求出实数。的取值范围；

(2)分别证明充分性和必要性即可.

【详解】(1)设A={M1&W2},B={x\l<x<a},

若。是夕必'要非充分条件，则8是A的真子集,

当B=0时，a<1,此时满足8是4的真子集，符合题意，

当BW0时，若B是A的真子集，则广，解得l<a<2.

a<2

综上所述实数。的取值范围为{。|。<2},

(2)证明：充分性(若心2,则。=夕).

若aN2,则{x|lVxW2}q{x|lq«a},

所以命题a：可得出命题夕：l<x<a,故充分性成立，

必要性(若a=〃，贝|」心2).

25

若命题a:14x42可得出命题0：l<A<tz,

则,所以心2,故必要性成立，

综上所述：是。=或成立的充要条件.

12.已知命题〃：玉wR,丁_太+/=0,命题〃为真命题时实数。的取值集合为A.

(1)求集合A；

(2)设集合8=伍|2〃-34=切+1},且AuB,求实数〃?的取值范围.

【答案】⑴、={a|TKa«l}

(2)0</n<l

【分析】(1)根据判别式求解可得结果；

(2)根据子集关系列式，解不等式组可得结果.

【详解】(1)命题〃为真命题时，贝！]△=4-4/>0,得TWaKl,

:.A={a\-\<a<\],

(2)由(1)知，A={a\-\<a<\},

：A^B,：.<!</«+1,解得()K"z£l.

2m-3<ni+\

26

第五讲不等式定义、性质、二次不等式（1）

一.选择题

1.下列命题中，正确的是（）

A.若砒〉be,贝B.若a>b,od>贝Ua—d

C.若a>b,c>d,W1]ac>bdD.若G<G，WJa<b

【解答】解：A:cvO时，不成立；

B:a=3>b=2,。=4,d=0时不成立；

C:a=3>b=2c=—1,d=—2时不成立，

。：两边平方可知，结论成立.

故选：/）.

2.下列命题正确的是（）

A.若片>A?,则a>。B.若|a|>〃，则/>b2

C.若则D.若a>b,则‘J〉/??

【解答】解：对J4：错误，女「a=—3,〃=（）;

对于A：错误，如|a|=2,b=-5、

对于C：正确；

对于。：错误，如a=0,。=—3，

故选：C.

3.已知a、bwR,且a>〃，则（）

A.-a<-bB.a2>b2C.-<-D.|a|>|加

ab

27

【解答】解：对于A选项，因为a>b,由不等式的基本性质可得F<-〃，A对;

对一卜4选项，取a=l,Z?=—2>则a2VB借;

对于C选项，取a=l,〃=—2,则C错；

ab

对于。选项，取a=l,〃=一2,则|。|<|〃|,。错.

故选：A.

4.如果"0〈"那么下列不等式中正确的是()

A.-\[a<4bB.a2<b2C.er1<lrD.ab>b2

【解答】解：・.,a<0<〃，函数y=V在R上单调递增，

/./<I)'.

故选：C.

二.多选题

5.若a,b,cwR,av〃<(),则卜列不等式正确的是()

A.-<-B.ab>护

ab

C.«|c|>Z?|c|D.a(c2+1)</J(C■2+l)

【解答】解：取〃=—2,b=—\>c=0，显然A,C错误；

对于皿:avbv0,故时〈从，«(?+1)<Z?(c2+1),BD正确,

故选：BD.

6.下列结论正确的是()

A.若a>b,则ac>beB.若a>b>0,则!

ab

C.若ac2>be2,贝lja>bD.若a<b,Ma2<b2

28

【解答】解：当时，若取G,0,则有ac”权、.故A错误；

当心〃>0时，两边同乘以工，有色>2,即_!_」，故3正确：

abahahab

当两边同乘以4，则故。正确；

c~

当“V。时，取a=—2,b=2f\\a2=b2,故。错误.

故选：BC.

三.填空题

7.比较大小：x/5-2_<_V3-x/2(填“>"或).

【解答】解：:(6+&)2=7+2加，(2+6)2=7+46，2710<473,

二(6+扬2<(2+6)2,

6+夜〈2+6，

>/5-2<V3-x/2,

故答案为：<.

8.已知—Iv2s+/v2,3V$T<4,则5s+/的取值范围—(用区间表示).

【解答】解：设5s+f=血2s+f)+g-f),

则5s+t=(2m+n)s+(m-n)t,

则产+〃=5,解得F=2,

[m-n=\[/?=1

则5s+t=2(2s+r)+(5-0»

-1<2s+f<2,-2v2(2s+f)<4,

又「3vs-f<4,

/.l<2(2.v+r)+G?-/)<8,

29

即1<5.v+r<81

:.5s+t的取值范围是(1,8).

故答案为：(1.8).

四.解答题

9.解下列不等式：

(l)(.r-2)(x+3)<0;(2)X2-5X-6>0；(l)2x2+5x-3<0；(2)-3x2+6x-2<0；

【详解】(1)不等式(x—2)(x+3)<0,解得—3<X<2,即不等式解集为W—3vxv2}.

(2)不等式d-5x-6>0,gp(x-6)(x+l)>0,解得x<—l或x>6,即不等式解集为{,"<一1或x>6}.

【详解】(3)由2/+5%-3<0,得(x+3)(2x—l)vO,得—3<x<g,

所以不等式2x2+5x-3<0的解集为A-I-3<x<.

(4)由不等式—3d+6%-240，可化为3d-6%+220,

而3d-6x+2=0的解为x=1-4或x=1+4，

所以不等式的解集为卜彳41_4或壮1+4}.

10.比较(X-2)(x—4)与(x—1)(X—5)的大小关系.

【解答】ft?：V(A:-2)(^-4)-(X-1)(X-5)

=(X*—6x+8)-(广-6x+5)=x2—6x+8-丁+6x—5=3>0,

(x-2)(x-4)>(x-l)(x-5).

30

11.关于、的不等式/+〃x+c>0的解集是(-3,2),求不等式0：2_区+4工0的解集.

【详解】•，不等式o?+6+c>0的解集是(一3,2),

.,.一3和2是方程0^+反+。=0的两个根，且。<0,

由韦达定理可得，°。，解得‘一二，

£=-3x2

a

•.K等式ex?_加+々/0可化为-64—or+awo,

叉」。<。，，不等式化为6/+%-1«0,解得-gg,

即不等式c?一灰+a«0的解集为［一；《］.

12.已知不等式o?-3x+2>0的解集为{XI%<1或”>外.

(1)求实数”，师勺值；

(2)解不等式ax2-(ac+b)x+be<0(ceR).

【详解】(1)因为不等式加-3x+2>0的解集为或x>>},则1，。是方程依2-3H2=0的二

根，且”0,

l+b=-

因此，黑解得。=1,b=2,

\xb=-

a

所以〃=1,b=2.

(2)由(1)知，不等式av2-(ac+Z?)x+Z?cW0为《-(。+2)刀+2。工0,gp(x-2)(x-c)<0,

当c<2时，c<x<2；当c=2时，x=2；当。>2时，2<x<c,

31

所以当c<2时,不等式的解