专题强化练(第八章专题强化课七弹簧振子模型的综合应用)

专题强化练(40分钟60分)一、选择题:本题共8小题,每小题6分,共48分。1.(2024·九江模拟)蹦床比赛中运动员由最高点自由下落,从开始下落到最低点的过程中,位移—时间(x-t)图像如图所示,其中t1为运动员触网的时刻,t2为运动员运动到最低点的时刻。蹦床弹簧形变在弹性限度内,空气阻力不计。则()A.t2时刻运动员的加速度大小比重力加速度大B.0~t2时间内运动员的机械能先增大后减小C.t1~t2时间内,运动员做加速度先减小后增大的减速运动D.图中AB段曲线为抛物线的一部分【解析】选A。运动员刚与蹦床接触时,加速度为g,速度不为零。若运动员刚与蹦床接触时速度为零,由简谐运动的对称性知,运动员在最低点时,加速度大小为g,方向竖直向上,而现在运动员刚与蹦床接触时有向下的速度,所以最低点位置比没有初速度时更靠下,弹簧压缩量更大,所以在最低点处的加速度大小必大于g,故A正确;运动员与蹦床组成的系统机械能守恒,故下落过程中,运动员的机械能先不变后减小,故B错误;运动员接触蹦床后先做加速度减小的加速运动,再做加速度增大的减速运动,故C错误;OA段运动员做自由落体运动,曲线为抛物线,AB段曲线为正弦曲线的一部分,故D错误。2.如图所示,劲度系数为k的轻弹簧上端固定在天花板上,下端连接一质量为m、可视为质点的小球。重力加速度大小为g。将小球托起至O点,弹簧恰好处于原长,松手后小球在竖直方向做简谐运动,最远能够到达B点,A点为OB的中点。下列说法正确的是()A.O点到B点弹力的冲量大小等于重力冲量的大小B.O点到B点弹簧先做正功,后做负功C.O点到A点弹力做的功与A点到B点弹力做的功一样多D.小球经过A点时的加速度大小为g【解析】选A。小球从O到B根据动量定理有IG-I弹=0,则O点到B点弹力的冲量大小等于重力冲量的大小,故A正确;O点到B点弹簧一直被拉伸,弹簧一直做负功,故B错误;O点到A点的弹力要比A点到B点的弹力小,则O点到A点弹力做的功小于A点到B点弹力做的功,故C错误;A点为OB的中点,即小球做简谐运动的平衡位置,则小球经过A点时的加速度大小为0,故D错误。3.(多选)如图甲所示,物块A、B相互紧靠着放置在光滑水平面上,劲度系数为k的轻质弹簧左、右端分别与墙壁和物块A连接,用外力向左缓慢推动物块B运动一段距离,使弹簧处于压缩状态。t=0时撤去外力,A向右运动过程中,速度v随时间t变化的规律如图乙所示,已知t1、t3时刻A的速度大小均为v2,t2时刻A的速度达到最大值v,t4时刻A的速度减为0,则(A.t2=3t1 B.t4=2t2C.t1=t4-t2 D.t3-t2=2(t4-t3)【解析】选A、D。AB整体从速度为0运动到速度为v,此过程为简谐运动,速度随时间的变化为vi=vsinω1t,当v1=v2时,此刻的时间ω1t1=π6,当v2=v时,此刻的时间ω1t2=π2,所以t1t2=13,故A正确;当AB分开时,只有A连接弹簧,从t2~t4也属于简谐运动,速度随时间的变化为vj=vsinω2t,由于质量发生了改变,根据弹簧振子的周期公式T=2πmk,周期T也发生了改变,则t4≠2t2,故B错误;由于不知道A、B质量的关系,故不知道两个周期的关系,故C错误;根据图像ω2t2=π2,ω2t3=56π,ω2t4=π,则t3-t24.(2024·沈阳模拟)如图所示,质量为2m的物块甲和质量为m的小球乙静止于固定光滑斜面上,二者间用平行于斜面的轻质弹簧相连,甲用细线拴在挡板上。将乙缓慢推到弹簧原长处,然后由静止释放乙,此后运动过程中,细线对甲的弹力最大值与最小值之比为()A.2 B.2.5 C.3 D.4【解析】选A。设斜面倾角为θ,将乙缓慢推到弹簧原长处,然后由静止释放乙,此时细线对甲的弹力最小,为Tmin=2mgsinθ,乙释放后做简谐运动,最高点加速度大小为a=mgsinθm=gsinθ,根据对称性可知,最低点时,乙的加速度大小为gsinθ,方向向上,以乙为研究对象,根据牛顿第二定律可得F弹-mgsinθ=ma,可得F弹=2mgsinθ,以甲为研究对象,可知细线对甲的弹力最大值为Tmax=F弹+2mgsinθ=4mgsinθ,则细线对甲的弹力最大值与最小值之比为TmaxT5.(2025·保定模拟)如图所示,倾角为α的光滑斜面上有两质量均为m的物块A、B,它们分别与平行于斜面的两根劲度系数均为k的轻质弹簧固定连接,两弹簧的另一端分别固定在斜面上。已知简谐运动的周期公式T=2πMk,M为振子的质量,k为回复力与位移的比例系数。初始时,物块A、B间用一平行于斜面的轻绳相连,此时下方弹簧恰好处于原长。某时刻轻绳突然断裂,关于此后物块A、B的运动,下列说法正确的是(A.物块A、B可能会发生碰撞B.物块A、B振动的相位差随时间变化C.物块A的加速度为零时,物块B的加速度可能不为零D.物块A、B振动的最大速度之比为1∶1【解析】选D。由于轻绳断裂后,物块A、B均在斜面上做简谐运动,其初始位置分别为A、B的最高点和最低点,所以两物块不会发生碰撞,故A错误;由于A、B两物块质量相等,重力沿斜面的分力和弹簧的弹力的合力提供回复力,即回复力与位移的比例系数相等,所以两物块运动的周期相等,振动的相位差不随时间变化,故B错误;当物块A的加速度为零时,即物块A处于平衡位置,从初始运动开始经历四分之一个周期,所以此时物块B运动的时间也为四分之一个周期,物块B也处于平衡位置,加速度为零,故C错误;当物块处于平衡位置时,速度最大,此时两弹簧的形变量相等,根据能量守恒定律可知,两物块动能相等,即物块A、B振动的最大速度之比为1∶1,故D正确。6.(多选)如图所示,质量为M的物块A放置在光滑水平桌面上,右侧连接一固定于墙面的水平轻绳,左侧通过一倾斜轻绳跨过光滑定滑轮与一竖直轻弹簧相连。现将质量为m的钩码B挂于弹簧下端,当弹簧处于原长时,将B由静止释放,当B下降到最低点时(未着地),A对水平桌面的压力刚好为零。轻绳不可伸长,弹簧始终在弹性限度内,物块A始终处于静止状态。以下判断正确的是()A.M<2mB.2m<M<3mC.在B从释放位置运动到最低点的过程中,所受合力对B先做正功后做负功D.在B从释放位置运动到速度最大的过程中,B克服弹簧弹力做的功等于B机械能的减少量【解析】选A、C、D。由题意可知,钩码B可以在开始位置到最低点之间做简谐运动,故在最低点时有弹簧弹力T=2mg;对A分析,设绳子与桌面间夹角为θ,则依题意有2mgsinθ=Mg,故有M<2m,故A正确,B错误;由题意可知,B从释放位置到最低点过程中,开始时弹簧弹力小于重力,B加速,合力做正功;后来弹簧弹力大于重力,B减速,合力做负功,故C正确;对于B,在从释放到速度最大过程中,B机械能的减少量等于弹簧弹力所做的负功,即等于B克服弹簧弹力所做的功,故D正确。7.(2024·广西适应性测试)如图甲,弹簧振子的平衡位置O点为坐标原点,小球在M、N两点间做振幅为A的简谐运动,小球经过O点时开始计时,其x-t图像如图乙。小球的速度v=A2πTcos2πTt,加速度为a,质量为m,动能为Ek,弹簧劲度系数为k,弹簧振子的弹性势能为Ep,弹簧对小球做功的功率为P,下列描述该运动的图像正确的是(【解析】选C。由小球做简谐运动,速度v=A2πTcos2πTt,可知在t=0时速度最大,小球位于平衡位置,此时加速度为0,位移为0,动能最大,弹性势能为0,弹簧的弹力为0,对小球做功的功率为0,故A错误;由v=A2πTcos2πTt可知ω=2πT,则小球速度变化周期为T'=T,所以动能和势能的周期为T″=T2,小球的最大速度为vm=A2πT,则最大动能为Ekm=12mvm2=2mA2π2T2,根据机械能守恒可知最大弹性势能Epm=Ekm=2mA2π2T2,故B错误,C正确;由x-t图像可知小球的位移x=Asin2πTt,弹簧对小球做功的功率P=|Fv|=|kxv|=|kAsin2πTt×A2πTcos2π8.(多选)(2024·黄石模拟)如图所示,在倾角为θ=30°的固定光滑斜面上,有两个用轻质弹簧相连的物体A和B,它们的质量均为m=4kg,弹簧的劲度系数为k=100N/m,C为一固定挡板。现让一质量为M=8kg的物体D在A上方某处由静止释放,D和A相碰后立即粘为一体,此后做简谐运动,运动过程中,物体B恰好不能离开挡板C,弹簧始终在弹性限度内,物体A、B、D均可视为质点,重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是()A.简谐运动的振幅为0.8mB.从开始做简谐运动到物体A第一次回到初始平衡位置的时间为简谐运动周期的一半C.物体D与物体A碰后瞬间的速度大小为2m/sD.简谐运动过程中弹簧的最大弹力为160N【解析】选A、C。当弹簧弹力等于A、D的重力沿斜面方向的分力时,A、D处于平衡状态,有kx0=(M+m)gsinθ,可知A、D在平衡位置时弹簧的形变量为x0=(M+m)gsinθk=0.6m,弹簧处于压缩状态。运动过程中,物体B恰好不能离开挡板C,对B分析有mgsinθ=kx,故弹簧应伸长到最大位移处,此时形变量x=mgsinθk=0.2m,弹簧处于伸长状态,由此可知简谐运动的振幅为A=x+x0=0.8m,故A正确;碰后新的平衡位置在初始平衡位置的下方,则从开始做简谐运动到第一次回到初始平衡位置的时间间隔大于简谐运动周期的一半,故B错误;开始时,对A分析有mgsinθ=kx1,解得x1=0.2m,此时弹簧处于压缩状态。从物体D与物体A刚碰后到物体B恰好不能离开挡板C的过程中,根据能量守恒有(M+m)g(x+x1)sinθ=12(M+m)v2,解得v=2m/s,故C正确;当A、D运动到最低点时,B对C的弹力最大,由对称性可知,此时弹簧的形变量为Δx=A+x0=1.4m,弹簧的弹力为二、计算题:本题共1小题,共12分。9.如图所示,足够大的光滑水平桌面上,劲度系数为k的轻弹簧一端固定在桌面左端,另一端与小球A拴接。开始时,小球A用细线跨过光滑的定滑轮连接小球B,桌面上方的细线与桌面平行,系统处于静止状态,此时小球A的位置记为O,A、B两小球质量均为m。现用外力缓慢推小球A至弹簧原长后释放,在小球A向右运动至最远点时细线断裂,已知弹簧振子的运动周期T=2πmk,弹簧的弹性势能Ep=12kx2(x为弹簧的形变量),重力加速度为g,空气阻力不计,(1)细线断裂前瞬间的张力大小FT;(4分)答案:(1)32mg【解析】(1)A静止于O点平衡时,有kx0=mgA、B组成的简谐运动中,振幅为A=x0=mg由对称性,小球A向右运动至最远点时,对A有k·2x0-FT=ma对B有FT-mg=ma联立解得FT=32(2)从细线断裂开始计时,小球A第一次返回O点所用的时间t;(4分)答案:(2)π3【解析】(2)细线断裂后A球单独做简谐运动,振幅变为A'=2x0=2则A球单独做简谐运动的运动方程为xA=A'cos2πTt=2