2026年高考数学复习难题速递之椭圆（2025年11月）

第46页（共46页）2026年高考数学复习难题速递之椭圆（2025年11月）一．选择题（共6小题）1．设椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，椭圆E上点P满足PF1⊥PF2，直线PF1A．32 B．53 C．104 2．已知椭圆C：x24+y2=1与直线l：A．3 B．352 C．212 3．一动圆与圆x2+y2+6x+5＝0外切，同时与圆x2+y2﹣6x﹣91＝0内切，则动圆圆心的轨迹方程是（）A．x236+y2C．x216+y4．在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆x29+y25=1的左、右顶点为A、B，右焦点为F．设过点T（9，m）的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）5．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点，设I，GA．12 B．13 C．12或13 D6．直线l过点M（﹣1，1）且与椭圆x24+y23=1相交于A、BA．45 B．34 C．53 二．多选题（共6小题）（多选）7．如图，圆F1：(x+2)2+y2=4，圆F2：(x-2A．C的方程为x2B．∠MPN的最小值为120° C．MP→D．曲线C在点P处的切线与线段MN垂直（多选）8．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为A．△PF1F2的面积最大值为2 B．1|PFC．若以PR为直径的圆经过A，B两点，则R点的轨迹方程为4x2+3y2＝16（x≠±2） D．椭圆C上存在点P，使得∠（多选）9．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，我们把圆x2+y2＝a2+bA．|PQ|的最大值为a2B．若P为OQ的中点，则C的离心率的最小值为63C．过点Q不可能作两条互相垂直的直线都与C相切 D．若点（2，1）在C上，则C的蒙日圆面积最小为9π（多选）10．椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线通过椭圆的另一个焦点．请根据椭圆的这一光学性质解决以下问题：已知椭圆C：x264+y236=1，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C相切于点P，且|PF1|＝4，F1关于直线l的对称点为F′1A．∠FB．|PMC．点F′1在以F2为圆心，16为半径的圆上 D．|F1M|：|F2M|＝1：2（多选）11．如图，已知椭圆x24+y22=1的左、右顶点分别是A1，A2，上顶点为B，点P是椭圆上的一点（不同于A1，A2），直线A1P与直线x＝2交于点M，直线OM交直线A2P于点G（O是坐标原点），记直线PA1，PA2A．k1k2=-B．OM⊥PA2 C．|GB|的最小值为2-D．tan∠OMA1的最大值为2（多选）12．已知椭圆E：x24A．当﹣3≤c≤3时，直线l与椭圆E有两个公共点 B．当c＝0时，椭圆E上到直线l的距离为3的点恰有4个 C．当c=52时，椭圆E上的点到直线l的最短距离小于D．当直线l与椭圆E相交时，直线l被椭圆E截得的线段的中点可能为(三．填空题（共4小题）13．我们规定：在四面体P﹣ABC中，取其异面的两条棱的中点连线称为P﹣ABC的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”，如图1．如图2，在空间直角坐标系中，xOy平面内有椭圆C：x2+y22=1，F1为其下焦点，经过F1的直线y＝kx+m与C交于A，B两点，P为xOy平面下方一点，若P﹣ABO为垂棱四面体，则其外接球表面积（1）S（k）的定义域是；（2）S（k）的最小值是．14．椭圆x216+y29=1的离心率，过右焦点F2作直线l交椭圆于A、B两点，F1是椭圆的左焦点，则△AF115．椭圆x212+y23=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y16．已知O为坐标原点，点A，B，C为椭圆x22+y2=1上三个不同的点（A，B，C依次逆时针排列）．若∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，则|OA四．解答题（共4小题）17．已知平面内的动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆（动点M与两定点A，B的距离之比|MA||MB|=λ，（λ＞0且λ≠1的常数），其方程为x2+y2＝4，定点分别为椭圆C：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的上焦点F与上顶点D，且椭圆C与y轴的两个交点之间的距离为42，过点D作斜率为k（1）求椭圆C的标准方程；（2）若∠SOT为锐角（其中O是原点），求斜率k的取值范围；（3）设椭圆C的下焦点为E，求△EST面积的最大值．18．已知椭圆C：x2a2+（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若A(-52，0)，直线l：x=ty+3219．已知椭圆E：x2a2（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线l：3x-3y+m=0(m∈R)与椭圆E交于P，Q两点，线段PQ的中点为（Ⅲ）点A，B两点在椭圆E上，且关于坐标原点O对称，过点A与AB垂直的直线与椭圆E的另一个交点为C，AM⊥x轴，垂足为M，直线BC与x轴交于点N，△AOM的面积和△BON的面积分别记为S1，S2，求S120．如图，圆E：（x+1）2+y2＝16，F（1，0）是圆E内一个定点，M是圆E上任意一点．线段MF的垂直平分线l和半径EM相交于点N，当点M在圆上运动时，记动点N的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为曲线C上异于A，B的动点，设PA交直线x＝﹣4于点T，连结BT交曲线C于点Q，直线BP，BQ的斜率分别为kBP，kBQ．（i）求证：kBP•kBQ为定值；（ii）证明：直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标．

2026年高考数学复习难题速递之椭圆（2025年11月）参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）题号123456答案DCAACB二．多选题（共6小题）题号789101112答案BCDBCDABDABCABDAD一．选择题（共6小题）1．设椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，椭圆E上点P满足PF1⊥PF2，直线PF1A．32 B．53 C．104 【考点】求椭圆的离心率．【专题】转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】D【分析】令∠PF1F2＝θ，|F1A|＝2m，|F2B|＝3m，得|PF1|＝2ccosθ，|PF2|＝2csinθ，|F2A|＝2a﹣2m，|F1B|＝2a﹣3m，结合椭圆的定义及勾股定理得e（sinθ+cosθ）＝1、2ecosθ﹣3esinθ＝1，即可求离心率．【解答】解：由题设，令∠PF1F2＝θ，故得|PF1|＝2ccosθ，|PF2|＝2csinθ，所以|PF1|+|PF2|＝2c（cosθ+sinθ）＝2a，故e（sinθ+cosθ）＝1①，由|F1A||F2B|=23，令|F1A|＝2m，|F2B|＝3m则|F2A|＝2a﹣2m，由|PA|2+|PF2|2=|F2A|2，则（2ccosθ+2m）2+（2csinθ）2＝（2a﹣2m）2，整理得由|PB|2+|PF1|2=|F1B|2，则（2csinθ+3m）2+（2ccosθ）2＝（2a﹣3m）2，整理得所以2m（ccosθ+a）＝3m（csinθ+a），整理得2ecosθ﹣3esinθ＝1②，联立①②，得ecosθ=45，esinθ=15，故tanθ=1所以e=17故选：D．【点评】本题考查利用椭圆的定义和三角函数求椭圆的离心率，属于中档题．2．已知椭圆C：x24+y2=1与直线l：A．3 B．352 C．212 【考点】直线与椭圆的综合．【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】C【分析】将直线l的方程与椭圆方程联立，求出两个交点的横坐标，结合弦长公式可求得|PQ|的值．【解答】解：设点P（x1，y1）、Q（x2，y2），直线l的方程可化为y=联立y=32解一元二次方程x2-3所以根为x1＝0，x2由弦长公式可得|PQ故选：C．【点评】本题考查直线与椭圆的综合，属于中档题．3．一动圆与圆x2+y2+6x+5＝0外切，同时与圆x2+y2﹣6x﹣91＝0内切，则动圆圆心的轨迹方程是（）A．x236+y2C．x216+y【考点】椭圆相关动点轨迹．【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】A【分析】由圆与圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程可得结果．【解答】解：设动圆圆心为M（x，y），半径为R，设已知圆的圆心分别为O1、O2，将圆的方程配方得：（x+3）2+y2＝4，圆心O1（﹣3，0），半径为2，圆x2+y2﹣6x﹣91＝0同理化为（x﹣3）2+y2＝100，圆心O2（3，0），半径为10，当动圆与圆O1相外切时，有|O1M|＝R+2①，当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|＝10﹣R②，将①②两式相加，得|O1M|+|O2M|＝12＞|O1O2|，因此动圆圆心M（x，y）到点O1（﹣3，0）和O2（3，0）的距离和是常数12，因此动圆圆心点M的轨迹是焦点为点O1（﹣3，0）、O2（3，0），长轴长等于12的椭圆，因此a＝6，c＝3，b2＝27，因此x2故选：A．【点评】本题考查椭圆相关动点轨迹，属于中档题．4．在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆x29+y25=1的左、右顶点为A、B，右焦点为F．设过点T（9，m）的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）【考点】直线与椭圆的位置关系及公共点个数．【专题】分类讨论；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】A【分析】通过联立方程组求得M，N两点的坐标，进而确定定点的坐标．【解答】解：因为椭圆x29+y25=1则A（﹣3，0），B（3，0），F（2，0），直线TA的方程为y=联立方程组y=m12(x+3)x29+y25=1，化简得（m2+80）则Δ＝36m4﹣4（m2+80）（9m2﹣720）＞0，所以xA则y1所以M(3直线TB的方程为y=联立方程组y=m6(x-3)x29+y25=1，化简得（m2+20）所以Δ＝36m2﹣4（m2+20）（9m2﹣180）＞0，则xB所以y2所以N(若x1≠x2，依题意y1≠y2，所以直线MN的方程为y-即y-化简得y=-=-所以直线MN过点（1，0）；若x1＝x2，即3-即80-m2m2+80=m2-20m2+20，即（80﹣m2）（因为m＞0，解得：m=2则3-6m2m2+80=3-240此时直线MN过点（1，0），综上，直线MN过定点（1，0）．故选：A．【点评】本题考查了椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，属于难题．5．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点，设I，GA．12 B．13 C．12或13 D【考点】椭圆的几何特征．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．【答案】C【分析】由题意，GI垂直于x轴（或平行于x轴）时，IG的倾斜角不随P的变化而变化，所以IG始终垂直于x轴（或平行于x轴），设P的坐标，由重心性质及角平分线的性质可得MN：ME的比值，由△MIN与△MEP相似可得I的坐标，再由△PF1F2的面积相等，将内切圆的半径代入可得a，c的关系，求出离心率．【解答】解：当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，取P特殊情况在上顶点时，内切圆的圆心在y轴上，重心在y轴上，由此可得不论P在何处，GI始终垂直于x轴，设内切圆与边的切点分别为Q，N，A，如图所示：设P在第一象限，坐标为（x0，y0），连接PO，则重心G在PO上，连接PI并延长交x轴于M点，连接GI并延长交轴于N，则GN⊥x轴，作PE垂直于x轴交于E，可得重心G（x03，x03），所以I的横坐标也为x03由内切圆的性质可得，PG＝PA，F1Q＝F1N，NF2＝AF2，所以PF1﹣PF2＝（PQ+QF1）﹣（PA+AF2）＝F1N﹣NF2＝（F1O+ON）﹣（OF2﹣ON）＝2ON=2而PF1+PF2＝2a，所以PF1＝a+x03，PF2＝由角平分线的性质可得：PF1P可得OM=c所以可得MN＝ON﹣OM=x所以ME＝OE﹣OM=x所以INPE=MNME=a-c3a所以S△PF1F2=12（PF1+F1F2+PF2）•即12（2a+2c）•a-c3a-c•y0=整理为：ca同理，当IG始终平行于x轴时，同以上的方法，可得ca故选：C．【点评】本题考查椭圆的性质及其内切圆的性质，属于较难的题目．6．直线l过点M（﹣1，1）且与椭圆x24+y23=1相交于A、BA．45 B．34 C．53 【考点】椭圆的中点弦．【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】B【分析】设A，B点坐标，代入椭圆中，作差化简可得答案．【解答】解：设A（x1，y1）和B（x2，y2）为直线与椭圆的交点，因为M（﹣1，1）是AB的中点，所以x1+x2＝﹣2，y1+y2＝2，点A（x1，y1）和B（x2，y2）满足椭圆方程：x1将方程（1）减去（2）：x1因式分解：(x代入中点坐标：(x得：-1整理得：4（y1﹣y2）＝3（x1﹣x2），因此，斜率k=故选：B．【点评】本题考查椭圆的中点弦，属于中档题．二．多选题（共6小题）（多选）7．如图，圆F1：(x+2)2+y2=4，圆F2：(x-2)A．C的方程为x2B．∠MPN的最小值为120° C．MP→D．曲线C在点P处的切线与线段MN垂直【考点】直线与椭圆的综合；圆锥曲线的轨迹问题；由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】BCD【分析】直接根据椭圆的定义即可判断选项A；利用∠MPN与∠F1PF2互补，求出∠F1PF2的最大角即可判断选项B；结合向量的坐标运算即可判断选项C；求出点P处的切线斜率，再利用PN→=-r6NF2→，PM【解答】解：易知圆F1的圆心为F1（﹣2，0），半径为r1＝2，圆F2的圆心为F2（2，0），半径为r2＝6，对于选项A：设动圆P的半径为r，因为动圆P与圆F1外切于点M，与圆F2内切于点N，圆心P的轨迹记为曲线C，易知|PF1|＝r+2，|PF2|＝6﹣r，此时|PF1|+|PF2|＝8＞|F1F2|，且P，M，N不重合，所以点P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆（去掉P，M，N重合的点），则曲线C的方程为x216+对于选项B：由图可知∠MPN与∠F1PF2互补，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，m+n＝2a＝8，|F1F2|＝4，由余弦定理得cos∠因为mn≤所以cos∠当且仅当m＝n时，等号成立，因为0＜∠F1PF2＜π，所以∠F则∠MPN的最小值为120°，故选项B正确；对于选项C：由椭圆的方程知F1（﹣2，0），F2（2，0），因为MP→当且仅当r＝1时，等号成立，故选项C正确；对于选项D：设P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），联立x2a2+y此时Δ=4又b2所以Δ＝0，可得过点P（x0，y0）的椭圆的切线方程为x0x16因为|PN所以PN→即(x此时x2解得x2所以kMN又r=(因为﹣4＜x0≤4，所以r=此时kMN所以-3则曲线C在点P处的切线与线段MN垂直，故选项D正确．故选：BCD．【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．（多选）8．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为A．△PF1F2的面积最大值为2 B．1|PFC．若以PR为直径的圆经过A，B两点，则R点的轨迹方程为4x2+3y2＝16（x≠±2） D．椭圆C上存在点P，使得∠【考点】椭圆的几何特征；椭圆的焦点弦及焦半径；轨迹方程．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】BCD【分析】由题意，求椭圆方程，当点P位于短轴顶点时，△PF1F2的面积最大，进而可判断选项A；证明四边形PF1QF2为平行四边形，再结合基本不等式进而可判断选项B；设过点P，A，B的圆的一般方程，将P，A，B三点坐标代入求出圆方程，利用P，R关于圆心对称，求出R点坐标，再利用消参思想求出轨迹方程，进而可判断选项C；当点P位于短轴顶点时符合题意，此时可判断选项D．【解答】解：因为椭圆C的短轴长为23，离心率为1所以2b=23又a2＝b2+c2，解得a=2则C：x24+y23=1，F1（﹣1，0），F2（1，0），A（﹣2当点P位于短轴顶点时，△PF1F2的面积最大，最大值S=12×2×因为点Q与点P关于原点对称，所以四边形PF1QF2为平行四边形，此时|QF1|＝|PF2|，因为|PF1|+|PF2|＝4，所以1=1当且仅当||PF1|＝|PF2|＝2时，等号成立，故选项B正确；设过点P，A，B的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，P（x0，y0），因为点P在椭圆上，所以x024+y023=1，x此时x02+y02+Dx0+Ey0+F=0解得D＝0，F＝﹣4，E=则过点P，A，B的圆的方程为x2+y因为PR为圆M的直径，所以P，R关于点M对称，此时R(令x=解得x0因为x0所以4x2+3y2＝16，因为x0≠±2，所以R点的轨迹方程为4x2+3y2＝16（x≠±2），故选项C正确；当点P位于短轴顶点时，此时△F1PF2为等边三角形，∠F1P故选：BCD．【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．（多选）9．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，我们把圆x2+y2＝a2+bA．|PQ|的最大值为a2B．若P为OQ的中点，则C的离心率的最小值为63C．过点Q不可能作两条互相垂直的直线都与C相切 D．若点（2，1）在C上，则C的蒙日圆面积最小为9π【考点】直线与椭圆的综合．【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】ABD【分析】根据圆及椭圆的几何性质判断A，根据P为OQ的中点建立关于a，b的齐次不等式，从而得到离心率的最值可判断B，举反例排除C，利用点在椭圆上与基本不等式“1”的妙用可判断D．【解答】解：对于A选项，因为圆x2+y2＝a2+b2的圆心为O（0，0），半径为r=又椭圆C：x2a2+y因此|PQ|=|OQ对于B选项，若P为OQ的中点，则|OP则a2≥3b2，因此e=1-b对于C选项，取Q（a，b），则直线x＝a，y＝b互相垂直，且都与C相切，C选项错误；对于D选项，因为点（2，1）在C上，因此4a则r2当且仅当4b2a因此C的蒙日圆面积最小为9π，D选项正确．故选：ABD．【点评】本题考查直线与椭圆的综合，涉及解齐次不等式，属于中档题．（多选）10．椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线通过椭圆的另一个焦点．请根据椭圆的这一光学性质解决以下问题：已知椭圆C：x264+y236=1，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C相切于点P，且|PF1|＝4，F1关于直线l的对称点为F′1A．∠FB．|PMC．点F′1在以F2为圆心，16为半径的圆上 D．|F1M|：|F2M|＝1：2【考点】椭圆的焦点三角形；椭圆的定义；椭圆的几何特征．【专题】对应思想；综合法；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】ABC【分析】对A：根据椭圆的定义结合余弦定理计算即可得；对B：根据题意结合椭圆的光学性质可得PM为∠F1PF2的角平分线，再利用等面积法计算即可得；对C：借助椭圆的光学性质计算即可得；对D：根据题意结合正弦定理运算即可得．【解答】解：对A：因为椭圆C：x264+y2又直线l与椭圆C相切于点P，所以|PF1|+|PF2|＝16，|F又|PF1|＝4，则|PF2|＝12，所以cos∠又∠F1PF2∈[0，π），则∠F1P对B：由椭圆光学性质结合MP⊥l可得PM为∠F1PF2的角平分线，又S△则12化简得4|PM|=123，即|对C：由椭圆光学性质可得F′1在直线PF2上，且|PF′1|＝|PF1|＝4，则|F2F′1|＝16，故点F′1在以F2为圆心，16为半径的圆上，故C正确；对D：由正弦定理可得|F1M即有|F1M又∠F1PM＝∠F2PM、∠F1MP+∠F2MP＝π，故sin∠F1即|F1M||F2M|=|PF1||PF2故选：ABC．【点评】本题考查了椭圆的性质，正余弦定理，直线与椭圆的位置关系，属于难题．（多选）11．如图，已知椭圆x24+y22=1的左、右顶点分别是A1，A2，上顶点为B，点P是椭圆上的一点（不同于A1，A2），直线A1P与直线x＝2交于点M，直线OM交直线A2P于点G（O是坐标原点），记直线PA1，PA2A．k1k2=-B．OM⊥PA2 C．|GB|的最小值为2-D．tan∠OMA1的最大值为2【考点】椭圆的几何特征．【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】ABD【分析】设点P（x0，y0）且y0≠0，由椭圆方程可得A1，A2的坐标，由点P在椭圆上及两点求斜率公式可得k1•k2值；由直线A1P与直线x＝2的交点得点M的坐标，直线OM，PA2的斜率用k1来表示，进而可得OM⊥PA2；将|OG|用∠BOM来表示，再利用余弦定理，辅助角公式，正弦函数的最小值来求得|GB|的最小值；将利用∠OMA1＝∠MOA2﹣∠MA1A2和直线A1P，OM的斜率关系得到11tanθ+2tanθ，再利用基本不等式讨论tan【解答】解：已知椭圆x24+y22=1的左、右顶点分别是A1，A2，上顶点为B，点P直线A1P与直线x＝2交于点M，直线OM交直线A2P于点G（O是坐标原点），记直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2，对于A选项，由椭圆x24+y22=1，可得A1（﹣2，0），设点P（x0，y0）且y0≠0，k1所以k1又点P是椭圆上的一点，则x0化简得x02-故k1⋅k对于B选项，直线A1P的方程为y＝k1（x+2），因直线A1P与直线x＝2交于点M，由y=k1(x+2)x=2得M（由k1⋅k因为kOM所以OM⊥PA2，故B选项正确；对于C选项，记∠BOM＝α，则∠MO所以在△OBG中，|OG由余弦定理可得|=2+2(1-cos2所以|BG当且仅当2α+φ=π2时|BG|=3对于D选项，记∠MA1A2＝θ且θ≠0，则k1＝tanθ，kOM＝tan∠MOA2＝2k1＝2tanθ，所以tan∠当θ∈(0，π2)时，则11tanθ+2tanθ≤当θ∈(π2，π)时，﹣则1-(1tanθ+2tanθ)≤1综上tan∠OMA1的最大值为24，故D故选：ABD．【点评】本题考查了椭圆的性质，属于难题．（多选）12．已知椭圆E：x24A．当﹣3≤c≤3时，直线l与椭圆E有两个公共点 B．当c＝0时，椭圆E上到直线l的距离为3的点恰有4个 C．当c=52时，椭圆E上的点到直线l的最短距离小于D．当直线l与椭圆E相交时，直线l被椭圆E截得的线段的中点可能为(【考点】直线与椭圆的综合．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】AD【分析】联立x24+y29=1y=32x+c，利用判别式大于0可求出-32【解答】解：对于A，联立x24+y29=1y=32x+c令Δ＝36c2﹣36（2c2﹣18）＝36（18﹣c2）＞0，得-3此时直线l与椭圆E有两个公共点，由于当﹣3≤c≤3时，必有-3故当﹣3≤c≤3时，直线l与椭圆E有两个公共点，A正确；对于B，当c＝0时，直线l：y=设和直线l：y=32联立x24+y29=1y=32x+t令Δ＝36t2﹣36（2t2﹣18）＝36（18﹣t2）＝0，解得t=不妨取y=32x+32，求其和而d=故此时椭圆E上不存在到直线l的距离为3的点，B错误；对于C，当c=52时，直线l：结合A的分析可知此时直线和椭圆没有公共点；结合B的分析可知和直线l：y=32显然y=32x+3计算l：y=32x+5故此时椭圆E上的点到直线l的最短距离大于1，C错误；对于D，当直线l与椭圆E相交时，设两交点为A（x1，y1），B（x2，y2），结合A的分析可知x1+x令x1+x22=-c3=23故直线l被椭圆E截得的线段的中点可能为(23，故选：AD．【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．我们规定：在四面体P﹣ABC中，取其异面的两条棱的中点连线称为P﹣ABC的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”，如图1．如图2，在空间直角坐标系中，xOy平面内有椭圆C：x2+y22=1，F1为其下焦点，经过F1的直线y＝kx+m与C交于A，B两点，P为xOy平面下方一点，若P﹣ABO为垂棱四面体，则其外接球表面积（1）S（k）的定义域是(-22，22)；（2）S（【考点】直线与椭圆的位置关系及公共点个数；函数的定义域及其求法．【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．【答案】(-22【分析】根据题设新定义证明“垂棱四面体”P﹣ABC可补为长方体，将P﹣ABO补成长方体，设长宽高分别为a，b，c，则S=π(a2+b2+c2)=12(AB2+BO2+AO2)π，设A（x【解答】解：如图，连接M1M2，M3M4，M1M3，M1M4，M3M2，M4M2，由题知，M1M3∥12PB，M4M2∥12PB，且M1M3=12PB所以M1M3∥M4M2，M1M3＝M4M2，故四边形M1M3M2M4为平行四边形，所以对角线M1M2∩M3M4＝O，则O是M1M2，M3M4的中点，同理O也是M5M6的中点，故“垂棱四面体”的三条内棱交于一点，由三条内棱两两垂直，易知M1M3M2M4为菱形，则M1M3＝M1M4，显然PB＝2M1M3，AC＝2M1M4，故PB＝AC，同理PA＝BC，PC＝AB，所以“垂棱四面体”P﹣ABC可补为如下图示的长方体，综上，题设右图可将P﹣ABO补成长方体，设长宽高分别为a，b，c，则外接球半径为该长方体的体对角线长的一半，为R=所以S＝4πR2＝π（a2+b2+c2），显然AB2＝a2+b2，BO2＝b2+c2，AO2＝a2+c2，则S=设A（x1，y1），B（x2，y2），因为直线y＝kx+m过椭圆焦点F1，所以m＝﹣1，联立x2得（2+k2）x2﹣2kx﹣1＝0，则Δ＝4k2+4（2+k2）＞0，所以x1+x又AB2=(x1所以S=则S=[4=6即S(由A，B，O为某长方体的三个顶点，结合题设新定义，易知△ABO中A，B为锐角，所以只需角O为锐角，即OA→则x1x2由S(所以11k2+14(2+k令t=11则11k由y=t+64t所以S(故答案为：(-22【点评】本题考查的结构特征，考查联立直线与椭圆方程的以及，韦达定理的应用，考查利用函数单调性求最值，属于难题．14．椭圆x216+y29=1的离心率74，过右焦点F2作直线l交椭圆于A、B两点，F1是椭圆的左焦点，则△AF【考点】椭圆的焦点三角形；求椭圆的离心率．【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】74；16【分析】根据方程可得a，b，c，即可得离心率；根据椭圆定义求△AF1B的周长．【解答】解：对于椭圆x216+y29=1，其中a2＝则a＝4，c=因此椭圆的离心率e=因此△AF1B的周长|AB|+|AF1|+|BF1|＝|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝4a＝16．故答案为：74；16【点评】本题考查椭圆的焦点三角形及求椭圆的离心率，属于中档题．15．椭圆x212+y23=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y【考点】椭圆的焦点弦及焦半径．【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】7．【分析】由题意可得PF2平行y轴，然后结合椭圆方程和椭圆的定义整理计算即可求得最终结果．【解答】解：∵原点O是F1F2的中点，∴PF2平行y轴，即PF2垂直于x轴，∵c＝3，∴|F1F2|＝6，设|PF1|＝x，根据椭圆定义可知|P∴(43-x|P∴|P∴PF故答案为：7．【点评】本题考查椭圆的焦点弦及焦半径，属于中档题．16．已知O为坐标原点，点A，B，C为椭圆x22+y2=1上三个不同的点（A，B，C依次逆时针排列）．若∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，则|OA【考点】椭圆上的点与焦点的距离．【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】14449【分析】利用极坐标方程和权方和不等式求解即可．【解答】解：已知O为坐标原点，点A，B，C为椭圆x22+y2=1上三个不同的点（A，B，C依次逆时针排列），若∠AOB＝∠设|OA|＝ρ1，|OB|＝ρ2，|OC|＝ρ3，∴A（ρ1cosθ，ρ1sinθ），B（ρ2cos（θ+120°），ρ2sin（θ+120°）），C（ρ3cos（θ+240°），ρ3sin（θ+240°）），∴ρ1cos2θ+cos2（θ+120°）+cos2（θ+240°）=cossin2∴1ρ⇒ρ∴|OA当且仅当1ρ即ρ12=则|OA|2故答案为：14449【点评】本题考查了椭圆中的最值问题，属于中档题．四．解答题（共4小题）17．已知平面内的动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆（动点M与两定点A，B的距离之比|MA||MB|=λ，（λ＞0且λ≠1的常数），其方程为x2+y2＝4，定点分别为椭圆C：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的上焦点F与上顶点D，且椭圆C与y轴的两个交点之间的距离为42，过点D作斜率为k（1）求椭圆C的标准方程；（2）若∠SOT为锐角（其中O是原点），求斜率k的取值范围；（3）设椭圆C的下焦点为E，求△EST面积的最大值．【考点】直线与椭圆的综合；根据椭圆的几何特征求标准方程．【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．【答案】（1）y2（2）k∈（3）3．【分析】（1）由阿波罗尼斯圆定义可得|MF||MD|（2）联立方程组，结合韦达定理求解即可；（3）设lD：y=kx【解答】解：（1）取M（0，±2），由阿波罗尼斯圆定义可得|MF由题知，a=22，代入上式可解得c2＝所以b2＝8﹣2＝6，所以椭圆C的标准方程为y2（2）由题设可知k存在且不为零，设lD则y=得(1+k设两交点S（x1，y1），T（x2，y2），Δ＝32k2﹣16（k2+1）＞0，解得k2＞1，x1+x若使∠SOT为锐角，则满足OS→OS→即OS→⋅OT解得1＜k2＜3，即k∈（3）由题知D(0，22)，显然由则y=得(1+k设两交点S（x1，y1），T（x2，y2），Δ＝32k2﹣16（k2+1）＞0，解得k2＞1，x1+x由图知，S△可知x1，x2同号，所以S=3令k2S△=62×t所以S△max＝3，所以△EST面积的最大值3．【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，考查运算能力，属于难题．18．已知椭圆C：x2a2+（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若A(-52，0)，直线l：x=ty+32【考点】直线与椭圆的综合；根据椭圆的几何特征求标准方程．【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】（Ⅰ）x2（Ⅱ）2．【分析】（Ⅰ）根据题意得出a，b的值，进而可得结果；（Ⅱ）首先设E（x1，y1），F（x2，y2），根据直线与椭圆联立，结合根系关系得到|y1-y2|=16t2【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e=ca=222b=2椭圆C的方程为x2（Ⅱ）由题意设E（x1，y1），F（x2，y2），如图所示：联立x=整理得(t2+2)则y1+y故|y设直线l与x轴的交点为D(又A(-5故S△结合t＞0，解得t=【点评】本题考查直线与椭圆的综合与求标准方程，属于中档题．19．已知椭圆E：x2a2（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线l：3x-3y+m=0(m∈R)与椭圆E交于P，Q两点，线段PQ的中点为（Ⅲ）点A，B两点在椭圆E上，且关于坐标原点O对称，过点A与AB垂直的直线与椭圆E的另一个交点为C，AM⊥x轴，垂足为M，直线BC与x轴交于点N，△AOM的面积和△BON的面积分别记为S1，S2，求S1【考点】直线与椭圆的综合．【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．【答案】（Ⅰ）x2（Ⅱ）xR的取值范围为(-3，3)（Ⅲ）12【分析】（Ⅰ）结合已知求解椭圆方程即可．（Ⅱ）联立直线l和椭圆方程，设出点P，Q，M的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（xM，yM），进而结合根的判别式和韦达定理求解．（Ⅲ）设A（x0，y0），B（﹣x0，﹣y0），M（x0，0），直线BC的方程为y+y0＝k（x+x0），点C（xc，yc），联立直线BC和椭圆方程进而求解．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆E的离心率为63，所以c所以a2=32c2，所以a2=因为椭圆E经过点(3，1)，所以3所以b2＝2，所以a2＝6．所以椭圆E的方程为x2（Ⅱ）由方程组3x-3y+设点P，Q，M的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（xM，yM），所以Δ＝12m2﹣24（m2﹣18）＞0，解得﹣6＜m＜6．所以x1+x所以y1因为线段PQ的中点为R（xR，yR），所以xR因为﹣6＜m＜6，所以-3＜x所以xR的取值范围为(-3，3)（Ⅲ）因为点A，B两点在椭圆E上，且关于坐标原点O对称，AM⊥x轴，垂直为M，所以设A（x0，y0），B（﹣x0，﹣y0），M（x0，0），设直线BC的方程为y+y0＝k（x+x0），点C（xc，yc），由方程组y+y0=k所以-x所以xC因为AC⊥AB，所以OA→所以(x整理得（y0﹣kx0）（y0﹣3kx0）＝0，解得y0＝kx0或y0＝3kx0，当y0＝kx0时，BC过原点，不符合题意．当y0＝3kx0时，直线BC的方程为y＝kx﹣2kx0．所以N（2x0，0），所以S1=12|【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用以及椭圆方程的求解，属于难题．20．如图，圆E：（x+1）2+y2＝16，F（1，0）是圆E内一个定点，M是圆E上任意一点．线段MF的垂直平分线l和半径EM相交于点N，当点M在圆上运动时，记动点N的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为曲线C上异于A，B的动点，设PA交直线x＝﹣4于点T，连结BT交曲线C于点Q，直线BP，BQ的斜率分别为kBP，kBQ．（i）求证：kBP•kBQ为定值；（ii）证明：直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标．【考点】直线与椭圆的综合；轨迹方程；椭圆的定义．【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）x2（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析．【分析】（1）由椭圆的定义及性质即可得解；（2）（i）设P（x1，y1），Q（x2，y2），T（﹣4，m），由题可得kBP=y1x1-2，kBQ=kBT=-（ii）由题意可知，直线PQ与x轴不平行，设直线PQ的方程为x＝ty+n（﹣2＜n＜2），P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，然后由根与系数的关系可得y1+y2=-6tn3t2【解答】解：（1）由题意可知，|NE|+|NF|＝|NM|+|NE|＝4＞|EF|＝2，由椭圆定义可得，点N的轨迹是以E，F为焦点的椭圆，且长轴长2a＝4，焦距2c＝|EF|＝2，所以b2＝a2﹣c2＝3，故曲线C方程为x2（2）证明：（i）设P（x1，y1），Q（x2，y2），T（﹣4，m），由题可知A（﹣2，0），B（2，0），如下图所示，则kBP=y而kAP=k所以kBP又x12因此kBP（ii）由题意可知，直线PQ与x轴不平行，设直线PQ的方程为x＝ty+n（﹣2＜n＜2），P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程组x=ty+nx24+y23=1，化简得（3t2+4）则Δ＝（6m）2﹣4（3t2+4）（3n2﹣12）＞0，即3t2﹣n2+4＞0，所以y1由（i）可知，kBP又kBP•kBQ==y=3=-化简得3n解得：n＝﹣1或n＝2（舍去），所以直线PQ的方程为x＝ty﹣1，因此直线PQ经过定点（﹣1，0）．【点评】本题考查了椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，属于难题．

考点卡片1．函数的定义域及其求法【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；②根式（开偶次方）被开方式≥0；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域；【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．2．由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数【知识点的认识】﹣方程或参数：根据圆与圆的位置关系，可以确定圆的方程或参数，如圆心位置和半径．【解题方法点拨】﹣确定方程：1．分析位置关系：根据圆与圆的位置关系确定方程形式．2．代入条件：根据位置关系求解方程的参数和具体形式．【命题方向】﹣方程参数求解：考查如何根据圆与圆的位置关系确定圆的方程或参数，涉及几何解释和代数计算．3．椭圆的定义【知识点的认识】1．椭圆的第一定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距．2．椭圆的第二定义平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e=ca（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数3．注意要点椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a}．（1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆；（2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；（3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹．【命题方向】利用定义判断动点运动轨迹，需注意椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨迹才为椭圆．1．根据定义判断动点轨迹例：如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆分析：根据CD是线段MF的垂直平分线．可推断出|MP|＝|PF|，进而可知|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|结果为定值，进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹．解答：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|＝|PF|，∴|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|（定值），又显然|MO|＞|FO|，∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．故选A点评：本题主要考查了椭圆的定义的应用．考查了学生对椭圆基础知识的理解和应用．2．与定义有关的计算例：已知椭圆x24+y23=1A．25B．23C．5D．3分析：先由椭圆的第一定义求出点P到右焦点的距离，再用第二定义求出点P到右准线的距离d．解答：由椭圆的第一定义得点P到右焦点的距离等于4-32=5再由椭圆的第二定义得52d=∴点P到右准线的距离d＝5，故选C．点评：本题考查椭圆的第一定义和第二定义，以及椭圆的简单性质．4．根据椭圆的几何特征求标准方程【知识点的认识】椭圆的几何特征包括长轴2a、短轴2b、焦点(±【解题方法点拨】1．提取几何特征：从题目中得到长轴、短轴或焦距．2．代入标准方程：使用几何特征计算a和b，代入标准方程：x2【命题方向】﹣由椭圆的几何特征（如长轴、短轴）求标准方程．﹣根据焦点位置和长短轴所在位置推导标准方程．5．椭圆上的点与焦点的距离【知识点的认识】椭圆上任意点（x1，y1）到焦点的距离可以用以下公式计算：距离=【解题方法点拨】1．计算距离：代入点坐标和焦点位置计算距离．【命题方向】﹣给定椭圆上的点和焦点，计算距离．﹣利用椭圆的几何性质计算点到焦点的距离．6．椭圆的几何特征【知识点的认识】1．椭圆的范围2．椭圆的对称性3．椭圆的顶点顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．4．椭圆的离心率①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ca叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e=ca，且0＜e②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．7．求椭圆的离心率【知识点的认识】椭圆的离心率e由公式e=ca【解题方法点拨】1．计算离心率：使用公式e=【命题方向】﹣给定a和b，求椭圆的离心率．﹣计算椭圆的离心率，并分析其含义．8．椭圆相关动点轨迹【知识点的认识】动点在椭圆上的轨迹问题通常涉及到椭圆的参数和方程的变换．【解题方法点拨】1．求解轨迹：设定动点的运动规律，找到对应的椭圆方程或参数．2．方程变换：通过变换确定动点的轨迹方程．【命题方向】﹣给定动点的运动规律，求椭圆的轨迹．﹣分析动点在椭圆上的运动特征．9．直线与椭圆的综合【知识点的认识】直线与椭圆的位置判断：将直线方程与椭圆方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：直线与椭圆相交⇔Δ＞0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ＜0；【解题方法点拨】（1）直线与椭圆位置关系的判断方法①联立方程，借助一元二次方程的判别式来判断；②借助直线和椭圆的几何性质来判断．根据直线系方程抓住直线恒过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的位置关系，也是解决此类问题的难点所在．（2）弦长的求法设直线与椭圆的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|=(1+k2注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．（3）中点弦、弦中点常见问题①过定点被定点平分的弦所在直线的方程；②平行弦中点的轨迹；③过定点的弦的中点的轨迹．解决有关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”，这两种方法的前提都必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点．（4）椭圆切线问题①直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点；②过椭圆外一点可以作两条直线与椭圆相切；③过椭圆上一点只能作一条切线．（5）最值与范围问题的解决思路①构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解；②构造关于所求量的不等式，通过解不