2024级高二年级上学期期中考试（数学答案）

参考答案与试题解析1．B2．D3．A．4．B5．B．6．B【解答】解：因为点A在以F1，F2为焦点的椭圆M上，所以|AF1|+|AF2|＝3+9＝12，所以椭圆M中2a＝12，因为|BF1|+|BF2|＝5+9＝14≠12，|CF1|+|CF2|＝5+6＝11≠12，|DF1|+|DF2|＝5+7＝12，|EF1|+|EF2|＝11+1＝12，所以D，E在椭圆M上．故选：B．7．C【解答】解：因为OA=32|OA→|⋅(|OC→|−|OB→8．B【解答】解：联立x2+y2=9y=−1，则x=−22y=−1或x=22y=−1，即B(−22，−1)，C(22，−1)，当直线x﹣y+m＝0过点B(−22，−1)时，得m=−1+22，由对称性可知，折叠后的弧BC对应的圆的方程为x2+（y+2）2＝9，当x﹣y+m＝0与劣弧BC相切时，有|m+2|9．BCD【解答】解：直线l：kx+1+2k﹣y＝0化为（x+2）k+（1﹣y）＝0，可知直线系恒过（﹣2，1）点，所以A不正确；圆O：x2+y2＝8，可知（﹣2）2+12＝5＜8，所以定点在圆的内部，所以B正确；实数k＝﹣2时，直线l与直线l1：x﹣2y+2＝0垂直，所以C正确；直线l被圆O截得的最短弦长为2＝28−((−2−0)2+(1−0)2)10．AD【解答】解：对于选项A，因为平面α：x+y﹣2z+1＝0，且1+0﹣2×1+1＝0，所以点M（1，0，1）∈α，故选项A正确；对于选项B，由平面α：x+y﹣2z+1＝0，可得平面α的法向量为n→=(1，1，−2)，又O（0，0，0），P（1，1，2），所以OP→=(1，1，2)，又11=11≠2−2，所以OP→=(1，1，2)与n→=(1，1，−2)不共线，故PO不垂直于平面α，故选项B错误；对于选项C，由点到平面的距离公式可得点P到平面α的距离d=|1×1+1×1−2×2+1|12+12+(−2)2=611．ABD【解答】解：由题意点O（0，0），A(−3，0)，B(3，0)，点P在曲线C：（x2﹣4）2+5（x2﹣4）y2+4y4＝0上，可将（x2﹣4）2+5（x2﹣4）y2+4y4＝0化简得（x2﹣4+y2）（x2﹣4+4y2）＝0，即x2+y所以曲线C由圆x2+y2＝4与椭圆x24+y2=1组成，且圆x2+y2＝4的圆心为O，椭圆x24+y2=1的焦点为A，B，故A，B均正确．将y＝2x﹣3代入x2+y2＝4，得5x2﹣12x+5＝0，由判别式大于0，得该方程有两个不相等的实根x1，x2，则x1+x2=125，x1x2＝1，将y＝2x﹣3代入x24+y2=1，得1712．．【解答】解：，由题意得，所以．故答案为：．13．．【解答】解：因为点在圆上，圆心坐标为，所以，则，从而切线的方程为，它与轴，轴的交点坐标分别为，和，故所求三角形的面积为．故答案为：．14．1【解答】解：连接F1I，F2I，因为I是△MF1F2的内心，所以F1I，F2I分别是∠MF1F2和∠MF2F1的角平分线，由角平分线定理得，|MI||IN|=|MF1||F1N|=|MF2||F2N|，所以|MI||IN|=|MF1|+|MF2|15．【解答】解：（1）根据A（﹣1，1）、B（﹣2，﹣2），可得AB的中点为D(−32，−12)，由AB的斜率kAB=1−(−2)−1−(−2)=3，可得AB的垂线的斜率k=−1kAB=−13，故kCD=−13，可得直线CD方程为y+12=−13(x+32（2）由（1）的结论，可知点C（3，﹣2）到x+y+9＝0的距离d=|3−2+9|2=52＞5，所以直线x+y+9＝0与圆C相离，可得|PQ|的最小值为16．【解答】解：（1）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是23，乙答对每道题目的概率都是12，对抽到的不同题目能否答对是独立的，甲、乙两人答题互不影响，设A1＝“甲答对3道题目”，A2＝“甲答对2道题目”，B1＝“乙答对3道题目”，B2＝“乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得：P(A1)=23×23×23=827，P(A2)=3×23×23×13=49，P(B1)=12×12×12=18，P(B2)=3(12)3=38，设A为“甲、乙两人共答对5道题目”，则A＝（A1B2）∪（A2B1），∵A1B2与A2B1互斥，（2）C＝“甲通过面试”，D＝“乙通过面试”，C与D相互独立，P(C)=1−P(CP(D)=1−P(D)=1−12×12×12=78，E＝“甲、乙两人只有一人通过面试”，则E=(CD)∪(CD)，因为C17．【解答】解：（1）圆C2化成标准方程为（x﹣2）2+y2＝9，圆心C2（2，0），半径r2＝3，圆C1化成标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝4，圆心C1（﹣1，2），半径r1＝2，由于|r1−r2|=1＜|C1C2|=9+4=13＜r1+r2=5，故两圆相交．两圆方程作差得（x2+y2（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），将y＝kx+1代入x2+y2+2x﹣4y+1＝0，得x2+（kx+1）2+2x﹣4（kx+1）+1＝0，整理得（1+k2）x2+（2﹣2k）x﹣2＝0，Δ＝（2﹣2k）2+8（1+k2）＞0，所以x1+x2=−2−2k1+k2，x1x2=−21+k2，所以y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x18．【解答】（1）证明：连接BD，因为菱形ABCD和等边三角形BCE有公共边BC，点B在线段AE上，所以∠ABC＝120°，且AB＝BC＝CD＝AD＝CE＝BE，CD∥BE，所以四边形BDCE为菱形，所以BC⊥DE，翻折后BC⊥DO，BC⊥PO，因为DO∩PO＝O，DO、PO⊂平面POD，所以BC⊥平面POD，又BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面POD．（2）解：由（1）知BC⊥平面POD，因为BC⊂平面ABCD，所以平面POD⊥平面ABCD，又BC⊥OD，故以O为原点，OD，OB所在直线分别为x，y轴，作Oz⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(3，0，0)，A(3，2，0)，B（0，1，0），C（0，﹣1，0），因为DP=3=OD＝OP，所以△POD为等边三角形，∠POD＝60°，所以P(32，0，32)，所以BA→=（3，1，0），BP→=（32，﹣1，32），CB→=（0，2，0），设平面PAB的法向量为m→=（x，y，z），则m→⋅BA→=3x+y=0m→⋅BP→=32x−y+32z=0，令x＝﹣1，则y=3，z=3，所以m→=（﹣1，3，（3）解：由（2）知P在平面xOz上，且OP=3，不妨设P（3cosα，0，3sinα），α∈（0，π），则AP→=（3cosα−3，﹣2，3sinα），BP→=(3cosα，−1，3sinα)，设平面PBC的法向量为m1→=（x1，y1，z1），则m1→⋅CB→=2y1=0m1→⋅BP→=3cosαx1−y1+3sinαz1=0，取x1＝sinα，得m1→19．【解答】解：（1）由题意得：e=ca=22，2c=2，又a2＝b2+c（2）证明：易知F（﹣1，0），l：y＝x+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由y=x+1x22+y2解得x1=0，x2=−43，则|MA|⋅|BF|=2|x1若直线l，m中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线x＝﹣2平行，所以直线l的斜率存在且不为零