备战2026高考数学八大专项41小项助你死磕直线圆锥曲线直线讲义3

5对称问题5.1中心对称1.点关于点的对称解题时，注意分清哪个点是对称中心，然后再利用中点坐标公式求解即可；譬如，点关于中心的对称点为．2.直线关于点的对称仍为直线，且这两条直线平行！【重点掌握法一，其他发散了解！】法一利用相关点代入法，也即是转化为点与点的对称，再回代即可！例如，直线关于中心的对称直线为：．法二在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程．法三求出一个对称点，再利用由点斜式得出直线方程．法四利用点到直线的距离相等，求出直线方程．例(1)

求点关于点的对称点的坐标；(2)

求与直线关于点对称的直线的方程．解(1)

；(2)

；例已知矩形ABCD相邻两个顶点，若矩形对角线的交点在x轴上，求另两个顶点C和D的坐标．解设矩形对角线的交点为Mx，0．因为MA=MB，则x+12+33=x+22+42，解得x=-5，所以M-5，0．设例平行四边形ABCD的两边AB、AD所在的直线方程分别为、，其对角线的交点坐标为求另两边BC、CD所在的直线方程．解CD：x+y-11=0；BC：3x-y-16=0．5.2轴对称1.点关于直线对称法一点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数．例如，设点关于直线的对称点为：①当时，则有 ；【书写套路】②当时，点关于直线的对称点为．法二求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解．法三在平面直角坐标系中，设点关于直线的对称点为，则点的坐标公式为：（亦适用）．注(1)

记忆口诀中间，中减！中间的是减号，不是加号！！(2)

特殊地，①点关于直线的对称点分别为、．②点关于直线、的对称点分别为、．【求谁就把谁单独写到一边，然后取另一边即可．】(3)

其他的应用参考后续的专题总结．2.直线关于直线对称求直线关于直线对称直线．法一利用直线的两点式方程=1\*romani）如果两条直线相交，可以先求出交点，再求出上的任意一个点关于的对称点，最后由两点式求出直线的方程．显然，如果两条直线平行，只须求出一个对称点即可！=2\*romanii）或者直接求出上两个点A、B关于的对称点，再由两点式求出直线的方程.法二利用相关点代入法【思路清晰，但是计算量大了很多！！】设为所求直线上的任意一点，则关于直线的对称点的坐标适合的方程．法三若相交，则到的角等于到的角；若，则，且与的距离相等．例(1)

求点关于直线的对称点的坐标．(2)

求直线关于直线对称的直线的方程．解(1)

；(2)

法一易得交点坐标为，在直线上任取一点，求出点关于直线的对称点为，利用两点式可得直线的方程为．法二代入法；设直线上的动点关于直线的对称点为，列出中点和斜率两个方程，可得，又在直线上，代入化简即可！例(1)

求点关于直线的对称点B的坐标．(2)

已知直线与直线关于直线对称，求直线的方程．解这两小题利用上面的总结的规律即可轻松解决．(1)

；(2)

．例将一张坐标纸折叠，使得点与点重合，且点与点重合，则的值为．解；点与点重合，可知折痕所在的直线为，因此，点关于直线的对称点为，故．例过点作直线l，且夹在两条已知直线和之间的线段AB恰好被点M平分，求直线l的方程．解；法一：直译法，硬算！设出直线l，不过，需对l的斜率k是否存在分类讨论！法二：分析法，巧算！利用点是AB的中点，设得到点A的坐标，再利用点A在直线上，解得a的值，进而确定点B、A的坐标，求得直线的方程．练过点作一直线，使它被两直线和所截的线段以为中点，求此直线的方程．【】例(1)

已知的两条高所在直线的方程为和，且它的一个顶点是，求边BC所在直线的方程．(2)

已知的两条中线所在直线的方程为和，且它的一个顶点是，求边BC所在直线的方程．(3)

已知的两条角平分线所在直线的方程为和，且它的一个顶点是，求边BC所在直线的方程．解(1)

由于点A不在给出的两条高上，故AB、AC所在直线的方程分别为y-2=-32x-1和y-2=x-1，即3x+2y-7=0由3x+2y-7=0，x+y=0，得B7，因此，边BC所在直线的方程为2x+3y+7=0．(2)

点A不在给出的两条中线上，不妨设在中线上，则AB的中点在另一条中线上，故，解得，同理可得，因此，边BC所在的直线方程为．(3)

点A不在给出的两条角平分线上，同时，结合角平分线的性质可知，点A关于∠B、∠C的平分线的对称点都在直线BC上，因此，只需要求出点即可．易知顶点关于角平分线、的对称点分别为、，因此，边BC所在的直线方程为．例(1)

已知的顶点的坐标为，边上的中线所在直线方程为，的角平分线所在直线方程为，求直线的方程．(2)

已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求直线的方程．(3)

已知△ABC中顶点，AB边上的高线所在直线方程为，∠B的角平分线所在直线方程为，求BC边所在直线的方程．解(1)

设，则，解得，接下来有两种方法：法一求出点关于的平分线的对称点，则点在直线上，易得直线的方程为．法二利用到角公式！易得斜率．根据，所以直线的方程为．(2)

易知直线的方程为，解方程组，可得．设，则，解得，于是直线BC的方程为．(3)

易得直线AB的方程为，故联立，解得；又点A关于角平分线对称点为，在直线BC上，故BC边所在直线的方程为．例(2005广东压轴)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示）．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．(1)

若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；(2)

求折痕的长的最大值．解(1)①

当时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程；②当时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为，所以A与G关于折痕所在的直线对称，有，即，即，故，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为．因此，折痕所在的直线方程，即．综上所述，可得折痕所在的直线方程为：当时，；当时，．(2)

当时，折痕的长为2；当时，折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为，，因此，，则，令，解得，故．综上所述，折痕的长度的最大值2．5.3光线的入射与反射根据平面几何知识和光学知识，入射光线和反射光线所在的直线关于法线对称轴对称，一般利用点的对称关系求解．例从点发出的光线经直线反射，若反射线恰经过点，求光线所在直线的方程和反射光线的方程．解求关于直线的对称点为，故光线所在直线的方程为；同理，要求反射光线的方程，可以先求点关于直线的对称点，再求直线的方程：，即为反射光线的方程．练习光线通过点，经直线反射，若反射光线通过点．求入射光线和反射光线所在直线的方程．解入射光线为，反射光线为．例(2013湖南理压轴)在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A、B的一点，光线从点P出发，经BC、CA发射后又回到点P（如图）．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等()．A．2 B．1 C． D．解以点A为原点建立直角坐标系，则，，，△ABC的重心为．直线BC的方程为，设，则点P关于直线BC的对称点为，即为，点P关于直线AC的对称点为．因此，直线的方程为：，代入点G，解得，即，故选D．练习如图，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射又回到点，则光线所经过的最短路程是()．A． B．6 C． D．答案选A．例已知，，，，，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则FD斜率的取值范围是．解设落到线段AE上的反射点为，则M关于直线AC：的对称点为，关于直线AB：的对称点为，故FD斜率为： ．例已知直线，一光线从点处射向轴上一点，又从点反射到上一点，最后又从点反射回点．(1)

试判断由此得到的是有限个还是无限个？(2)

依你的判断，认为是无限个时，求出所有这样的面积中的最小值；认为是有限个时，求出这样的线段的方程．解设Bm，0，点A关于x轴的对称点为A'1，-2根据光学性质，点C在直线A'B上，点C又在直线B'A上．可得A'B的直线方程为BʹA的直线方程为y-2=-m-14x-1．由y-2=-m而当m=-3时，点B在直线x-y+3=0上，不能构成三角形，故这样的△ABC只有一个．例(1)(2003全国卷文)已知长方形的四个顶点、、、，一质点从AB的中点沿与AB的夹角的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和（入射角等于反射角），若与重合，则()．A． B． C． D．1(2)(2003全国卷理)已知长方形的四个顶点、、、，一质点从AB的中点沿与AB的夹角的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和（入射角等于反射角），设的坐标为，若，则的取值范围是()．A． B． C． D．解(1)C；(2)C；这两小题，处理方法一样，下面以第(2)小题为例进行说明．利用对称，最终将、、、和这五个点对称到一条直线上，如图所示，由于，易知对称后的到的水平距离，故．例(1)(2012大纲卷文压轴)正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动点P从E发沿直线向F动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E，P与正方形的边碰撞的次数为()．A．8 B．6 C．4 D．3解(1)法一在正方形内，利用平行关系，依次作出各条边上的反射点将正方形的边长取为3，结合点E、F的位置，可知入射角的正切值为2，利用，作出点G，再利用平行关系，作GH∥EF，HI∥GF，…，依次作出其他的反射点，如图所示，易得当点P一次碰到E，P与正方形的边碰撞的次数为6．法二方格网法由于反射点可以对称到一条直线上，因此，不妨画出精确的方格网，延长EF，观察直线EF和水平网格线的交点，判断该交点是否和点E的位置是一致的！如图，根据题目的选项，最多是8次，画出8个交点，显然，第8次为，是不成立的！对于，将这段路径还原到正方形中，易知也不成立，因此，只能在处成立，由于直线和方格网有6个交点，因此，当点P一次碰到E，P与正方形的边碰撞的次数为6．(2)(2012大纲卷理压轴)正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动点P从E发沿直线向F动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E，P与正方形的边碰撞的次数为()．A．16 B．14 C．12 D．10(2)法三正面推导如图所示，假设点为临界点，延长交方格网于点，则，且E、之间间隔了x个方格，F、间隔了y个方格，同时，注意AB的位置，易知x、y必定都是偶数．因此，由于，则，即，即，易知满足条件的最小x、y分别为，，因此，当点P一次碰到E，P与正方形的边碰撞的次数为．法四将点E平移到原点，则直线第一次遇到格点，且x、y都是偶数，即为所求．一般化当（且两者互质）时，则当点P一次碰到E，P与正方形的边碰撞的次数为．练习已知单位正方形的四个顶点、、和，从A点向边CD上的点发出一束光线，这束光线被正方形各边反射（入射角等于反射角），光线经过正方形某个顶点后射出，则这束光线在正方形内经过的路程长度为 ．解直线AP的方程为：，取整数解，即为（如果是回到A，则是两倍），因此，如图所示，这束光线经过5次反射后从某个顶点射出，光线在正方形内经过的路程为图中AQ的长，因此，．5.4角平分线问题例若的顶点，，，求的角平分线所在的直线的方程．法一利用角平分线的方向向量，直接求出斜率！由于，，，，因此，的角平分线的方向向量为，又直线的方向向量为，故直线AT的斜率为．法二利用角平分线上的点到角的两边的距离相等易求得直线、的方程分别为：、．设的角平分线上任一点为，则，即，即或（外角平分线，舍去，可画出草图判断）．法三利用到角公式，求出斜率，或者夹角公式（须舍去一个），具体过程略．法四利用角平分线定理，结合定比分点，求出角平分线和对边的交点！易得，，设为直线与直线的交点，所以，设，则，解得，进而可得的方程为．法一：利用点关于直线的对称，求出角平分线上的一个点！例在中，点，边上的高所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为，求．解解x-2y+1=0，y=0，得A-1，设Cx0，y0，因为BC与BC边上的高线垂直，并且C关于直线y=0（∠A的平分线）的对称点Cʹ在直线AB上，所以，k所以，y0-2x0-1=-2，例(2006重庆理)与向量、的夹角相等，且模为1的向量是()．A． B．或C． D．或法一设所求向量的平行向量为，则，故选B．法二设所求向量的平行向量为，，，利用夹角相等：，即．例(2005天津理)在直角坐标系xOy中，已知点和点，若点C在∠AOB的平分线上且，则．解；．6直线系方程6.1直线系1.平行直线系与直线平行的直线系方程为．2.垂直直线系与直线垂直的直线系方程为3.过两交点的直线系过两相交直线和交点的直线系方程为，此直线系不包括．注推广到过曲线与的交点的方程为：.例已知点，和直线．(1)

求过点与直线平行的直线的方程；(2)

求过的中点与垂直的直线的方程．解(1)

设的方程为：，将点的坐标代入得，所以的方程为．(2)

设的方程为，将的中点代入得，所以的方程为．例已知直线，试求与直线的距离为的直线的方程；解设所求直线方程为，根据题意，解得或，所以，所求直线方程为或．例求经过直线和的交点，且平行于直线的直线方程．解设所在直线的为，整理得．因为所求直线平行于直线，所以，解得，故所求直线方程为．例求经过直线与直线的交点，且满足下列条件的直线的方程：(1)

与直线平行；(1)

与直线垂直．【适时的选用直线系！】解(1)

和的交点为．依题意，所求直线斜率，故所求直线方程为．(2)

依题意，所求直线斜率，故所求直线方程为，即．例(2008江苏)如图，设的顶点分别为，，，点在线段AO上的一点（异于端点），这里a、b、c、p均为非零实数，设直线BP、CP分别与边AC、AB交于点E、F，某同学已正确求得直线OE的方程为．请你完成直线OF的方程：()．解；由截距式可得直线AB：，直线CP：，点F是直线AB、CP的交点，利用过交点的直线系方程，可得，代入原点O，解得，可得直线OF的方程是．6.2直线系过定点问题的处理例已知a、b满足，则直线必过定点()．A． B． C． D．法一消元利用恒等式；将代入直线方程整理得，令，解得，故选D．法二利用比例式，即，故选D．例已知直线方程为．(1)

求证：不论取何实数值，此直线必过定点；(2)

过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线的方程．解(1)

把直线整理为，令，解得，即点，因此，此直线必过定点．(2)

设经过点的直线与两坐标轴分别交于，．由中点坐标公式：，解得，故所求直线的方程为，即．7两直线的交角1.到的角把直线依逆时针方向旋转到与重合时所转的角；它是有向角，范围是．注①到的角与到的角是不一样的；②旋转的方向是逆时针方向；③绕“定点”是指两直线的交点．2.直线与的夹角是指由与相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范围是．3.到角公式和夹角公式设两直线方程分别为或；(1)

若为到的角，或；【逆时针＋后减去前！】(2)

若为和的夹角，则或；(3)

当或时，．注①上述与