2025年专升本《高等数学（一）》积分模拟诊断卷

2025年专升本《高等数学（一）》积分模拟诊断卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若F(x)是函数f(x)=ln(1+x)的一个原函数，则∫F(x)dx等于（）。（A）xln(1+x)+C（B）xln(1+x)-x+C（C）(xln(1+x))/2+C（D）(xln(1+x))/2-x+C2.下列积分中，可以用牛顿-莱布尼茨公式计算的是（）。（A）∫[0,1]1/(x^2)dx（B）∫[1,2]√(1-x^2)dx（C）∫[0,1]e^(-x^2)dx（D）∫[0,1]1/(1+x^3)dx3.若∫f(x)dx=x^2+C，则∫xf(x^2)dx等于（）。（A）(x^2+C)^2/2（B）2xf(x^2)+C（C）(x^2f(x^2))/2+C（D）x^2f(x^2)+C4.下列凑微分正确的是（）。（A）xlnxdx=lnx^2/2+C（B）√(1-x^2)dx=-√(1-x^2)+C（C）e^(x^2)dx=e^(x^2)+C（D）sin(x^2)dx=-cos(x^2)+C5.若f(x)在[a,b]上连续，且f(x)≥0，则∫[a,b]f(x)dx表示（）。（A）曲线y=f(x)与x轴及直线x=a,x=b所围成的图形的面积（B）曲线y=√f(x)与x轴及直线x=a,x=b所围成的图形的面积（C）以f(x)为底，(b-a)为高的矩形面积（D）函数F(x)=∫[a,x]f(t)dt在[a,b]上的最大值二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。6.∫(sinx+cosx)dx=________+C。7.∫x^5dx=________+C。8.计算∫[0,π/2]cosxdx=________。9.若f'(x)=sinx，且f(0)=1，则f(x)=________。10.反常积分∫[1,∞](1/x^2)dx=________。三、计算题：本大题共5小题，共50分。11.（本小题满分8分）计算不定积分∫xlnxdx。12.（本小题满分8分）计算不定积分∫(x^2+1)/(x+1)dx。13.（本小题满分10分）计算定积分∫[0,1]x^2e^xdx。14.（本小题满分10分）计算定积分∫[1,4]√(x-1)/(x^2)dx。15.（本小题满分14分）计算反常积分∫[1,∞](x+1)/(x^2+2x+2)dx。试卷答案1.B2.B3.C4.A5.A6.sinx-cosx7.x^6/68.19.-cosx+110.111.解：(1/2)x^2lnx-(1/4)x^2+C（利用分部积分法，设u=lnx，dv=x^2dx）12.解：原式=∫(x^2+1-x+1)/(x+1)dx=∫(x-1+2)/(x+1)dx=∫(x+1)/(x+1)dx+∫(1)/(x+1)dx=∫1dx+∫(1)/(x+1)dx=x+ln|x+1|+C（利用多项式除法和基本积分公式）13.解：∫[0,1]x^2e^xdx=(x^2e^x)[0,1]-∫[0,1]2xe^xdx=(1*1-0*1)-2∫[0,1]xe^xdx=1-2[(xe^x)[0,1]-∫[0,1]e^xdx]=1-2[(1*e^1-0*e^0)-(e^x)[0,1]]=1-2[(e-0)-(e-1)]=1-2(e-1)=1-2e+2=3-2e（利用分部积分法两次）14.解：令x-1=t，则dx=dt，当x=1时，t=0；当x=4时，t=3。原式=∫[0,3]√t/((t+1)^2)dt=∫[0,3]t^(-1/2)/(t+1)^2dt=-2∫[0,3]t^(-1/2)d(1/(t+1))=-2[t^(-1/2)*1/(t+1)]|[0,3]+2∫[0,3]1/(t+1)*(-1/2)t^(-3/2)dt=-2[√t/(t+1)]|[0,3]+∫[0,3]t^(-3/2)/(t+1)dt=-2[(√3/4)-(√0/1)]+∫[0,3](t+1-1)t^(-3/2)/(t+1)dt=-2(√3/4)+∫[0,3][t^(-3/2)-t^(-1/2)]dt=-√3/2+[(t^(-1/2)/(-1/2))-(t^(1/2)/(1/2))]|[0,3]=-√3/2+[-2t^(-1/2)-2t^(1/2)]|[0,3]=-√3/2+[-2/(√3)-2*√3-(-2/(√0)-2*√0)]=-√3/2-2/(√3)-2√3+2=-√3/2-2√3/3-6√3/3+2=-(1/2+2/3+6/3)√3+2=-(1/2+2/3+2)√3+2=-(3/6+4/6+12/6)√3+2=-19√3/6+2（利用换元法，凑微分d(1/(t+1))）15.解：原式=∫[1,∞][(x+1)/(x^2+2x+1+1)]dx=∫[1,∞][(x+1)/(x+1)^2+1/(x+1)^2]dx=∫[1,∞][1/(x+1)+1/((x+1)^2)]dx=∫[1,∞][1/(x+1)+1/(x+1)^2]dx=[ln|x+1|-1/(x+1)]|[1,∞]=lim(t→∞)[ln(t+1)-1/(t+1)]-(ln(1+1)-1/(1+1))=(lim(t→∞)ln(t+1)-lim(t→∞)1/(t+1))-(ln2-1/2)=(ln∞-0)-(ln2-1/2)=∞-0-ln2+1/2=∞-ln2+1/2（原式发散）（令x+1=t，则dx=dt，当x=1时，t=2；当x→∞时，t→∞。原式=∫[2,∞](t)/(t^2)dt=∫[2,∞]t^(-1)dt=[ln|t|][2,∞]=lim(t→∞)ln(t)-ln(2)=∞-ln2=∞（原式发散）