云南省昭通一中教研联盟2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（A卷）（含答案）

昭通一中教研联盟2025年秋季学期高二年级期中考试

数学（A卷）参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共58分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

题号12345678

答案BCABACDA

【解析】

22

1．因为an=n+2n-1(n∈N+)，所以a3=3+2×3-1=14，故选B．

2．直线l1：ax-y+2025=0，l2：(4-3a)x+ay-1=0，l1丄l2，则a(4-3a)-a=0，解得a=0

或1，故选C．

3．因为A(0,-5)，B(0,5)，所以AB=10，则PA-PB=6<AB，由双曲线的定义可知，点

P的轨迹为双曲线的一支，故选A．

4．根据题意知圆心为(-3,2)，半径为3，故圆方程为(x+3)2+(y-2)2=9，故选B．

5．当a=时，a1={a}=-1，a

a…，无穷数列{an}周期性变化，周期为2，所以a2025=a1=-1，故

选A．

6．因为直线x=4与抛物线y2=2px(p>0)交于D,E两点，且OD丄OE，根据抛物线的对称

性，不妨设D点在第一象限，可以确定上DOx=上EOx所以D(4,4)，代入抛物线方

程16=8p，求得p=2，所以其焦点坐标为(1,0)，故选C．

．建立如图空间直角坐标系，则，

71D-xyzE(2,4,0),D1(0,0,4),P(1,2,2),B(4,4,0),B1(4,4,4)

，，故点到直线的距离

:=(-3,-2,2)=(0,0,4)PBB1

2

()

2|BP.BB1，故选．

d=BP-=17-4=13D

|BB

(1,

图1

8．如图2，函数y的图象的两条渐近线为x=0和

y=·、x，直线y=-(2-·、)x为其实轴，易得：渐近线与实

轴所成的角为75，则tan75o，

2

)故选

e=1+(|==·、×(·、+1)=·、+·,A．

(,

图2

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项

是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

题号91011

答案BCDACABD

【解析】

22

9．n=1时，a1=S1=8，n≥2时，an=Sn-Sn-1=-n+9n--(n-1)+9(n-1)=-2n+10，

综上，an=-2n+10，所以，数列{an}是递减数列，故A错误；a10=-20+10=-10，故B

2

正确；n>5时，an<0，故C正确；Sn=-n+9n，所以当n=4或n=5时，Sn取得最大

值，故D正确，故选BCD．

10．以D为原点建立如图3所示空间直角坐标系，则有D(0,0,0)、

A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,2)、A1(2,0,2)、

B1(2,2,2)、C1(0,2,2)；对A：1=(0,-2,2)、1=(-2,0,2)，

设直线CD1与直线BC1所成的角为β,则

图3

CD1.BC1

cosβ=cosCDBC==，故直线与直线所成的角为

\1,1=CD1BC1

CD1.BC1

,故A正确；对B：由z轴丄平面ABCD，则平面ABCD的法向量可为=(0,0,1)，

又，则cos设直线与平面所

1=(-2,2,-2)A1CABCD

成角为θ,则sinθ=cos则cos故B错误；对C：

=(2,0,2)、=(0,2,0)，设平面B1DC的一个法向量为=(x,y,z)，则有

{〔.=2x+2z=0

，取x=1，则=(1,0,-1)，设平面B1DC与平面DCB的夹角为α,

la.DC=2y=0

,

又平面DCB的一个法向量为=(0,0,1)，则cosα=cos,,===，故平

面B1DC与平面DCB的夹角为，故C正确；对D：1=(-2,0,2)、1=(0,2,2)、

1=(0,2,-2)，设平面BC1D的法向量为=(a,b,c)，则有取

a=1，则=(1,-1,1)，则点A1到平面BC1D的距离d，故D错误，故

选AC．

11．对于A：由图可知，曲线Ω关于y轴对称，A选项正确；对于B：明显是C，B到原点

的距离最小，最小值为2·、，所以B正确；对于C：，，所在的圆的方程分

别为(x+2)2+y2=4，x2+(y-2)2=4，(x-2)2+y2=4，曲线Ω与x轴围成的图形是一

个半圆，一个矩形和两个圆，其面积为S=2π+8+2××4=4π+8，故C错误；对于

D：由对称性知：Ω截直线y=1所得弦长可由所在的圆截得的弦长加上一个矩形的长

4，而所在的圆的方程为(x+2)2+y2=4，圆心(-2,0)，圆心到直线y=1的距离d=1，

截得的弦长为则所求弦长为故正确故选

2·\=2·、，4+2·、，D，ABD．

第Ⅱ卷（非选择题，共92分）

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

题号121314

3

答案—362·、/33

2

【解析】

12．在等差数列{an}中，a2=3，a7=—12，所以a1+a8=a2+a7=—9，S

4(a1+a8)=—36．

13．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，AD=4，AA1=6，上BAD=上BAA1=

222

上如图，，则

DAA41=++11=1=(++1)

222πππ

=AB+BC+CC+2AB.BC.cos+2BC.CC.cos+2AB.CCcos

131313

14．［方法一］：点差法

图4

22

设A(x1,y1),B(x2,y2)，则，所以y1—y2=6x1—6x2，所以k，

取AB中点M’(x0,y0)，分别过点A,B作准线x的垂线，垂足分别为A’,B’，因为

上AMB，MMABAAB’)，因为M’为AB中点，所

以MM’平行于x轴，因为M所以y0=2，则y1+y2=4，即k

［方法二］：【最优解】焦点弦的性质

记抛物线的焦点为F，因为上AMB=90。，则以AB为直径的圆与准线相切于点M，由抛

，所以

物线的焦点弦性质可知MF丄ABkAB

［方法三］：【通性通法】暴力硬算

由题知抛物线C:y2=6x的焦点为F，设直线AB的方程为y=k代

222

入C:y=6x中得kx-，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则

x1+xx1x同理有y1+yy1y2=-9，由上AMB=90。，即丄．又

所以.

四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分13分）

解：（1）由题意对任意正整数n，有2S=，

nnan

令n=1时，2S1=a1，即2a1=a1，可得a1=0；……（2分）

令n=3时，2S3=3a3，即2(0+2+a3)=3a3，可得a3=4．

………………（4分）

由a1=0,a2=2,a3=4，猜想：an=2(n-1)．…………………（6分）

（2）由（1）可知a1=0,a2=2,a3=4；

当n≥3时，由2Sn=nan得2Sn+1=(n+1)an+1，

则2an+1=(n+1)an+1-nan，………（8分）

即(n-1)an+1=nan，即………（10分）

故n≥3时，an

………………（12分）

且a1=0,a2=2也适合上式，所以an=2(n-1)．

…………………（13分）

16．（本小题满分15分）

（1）证明：不妨设BC=AB=AA1=2，以B为原点，

,y,

BC,BA,BB1所在直线分别为xz轴，建立空间直角坐标系，

如图5，………（2分）

B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0)，A1(0,2,2)，C1(2,0,2)，

图5

=(0,2,2)，1=(2,—2,2)，……………（4分）

因为，………（分）

.1=06

所以BA1丄AC1．………（7分）

（2）解：M(1,0,2),N(1,1,0),=(0,1,—2)，………………（9分）

易知平面BCC1B1的一个法向量为=(0,2,0)，………………（11分）

设直线MN与平面BCC1B1所成角为θ,则

sinθ=cos……………（14分）

即直线MN与平面BCC1B1所成角的正弦值为．

………………（15分）

（最后一句话不写也可不扣分1分，用几何法做酌情给分）

17．（本小题满分15分）

解：（1）因为双曲线E的渐近线方程为x±、y=0，

所以解得b2=3，………（1分）

从而c2=6+3=9，即c=3，………（3分）

所以右焦点为(3,0)，从而解得p=6，………………（5分）

抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程依次分别为y2=12x，—=1．

………（7分）（一个方程一分）

（2）由题意直线l:y=x—3，它过抛物线的焦点(3,0)，如图6，

联立抛物线方程得，化简并整理得x2—18x+9=0，

....................................................（9分）

显然2，+=，

Δ=18—4×9=288>0x1x218图6

所以AB=p+x1+x2=6+18=24，………（11分）

点O到直线l的距离为d…………………（13分）

所以SOAB，即AOB的面积为18·、．

………………（15分）

18．（本小题满分17分）

解：（1）3a2=2a3，:3(a1+d)=2(a1+2d)，解得a1=d，

…………………（1分）

:S3=3a2=3(a1+d)=6d，

又b1+b2+b

:S………（3分）

即2d2—7d+3=0，解得d=3或d=，………（5分）

当d=3时，an=a1+(n—1).d=3n；

当d时，an=a1+.d………（7分）

（2）{bn}为等差数列，

:2b2=b1+b3，即

解得a1=d或a1=2d，………（9分）

0<d<1，:an>0，

又T99—S99=99，由等差数列性质知，99b50—99a50=99，

即b50—a50=1，………（11分）

=2或

a501，即a50+a50—2550=0，解得a50=50a50=—51（舍去）．

………（13分）

当a1=2d时，a50=a1+49d=51d=50，解得d

…………（15分）

当a1=d时，a50=a1+49d=50d=50，解得d=1，与0<d<1矛盾，无解．

综上，d………（17分）

19．（本小题满分17分）

解：（）由题可知

1E(0,—·、),G(0,·、),P(2λ,0),Q(2,·、(1—λ))，

直线PE的方程为y可化为yx，

…………（1分）

直线GQ的方程为y可化为yx，

…………………（2分）

则两式联立得