2025年高等代数核心要点汇编王萼芳石生明权威解读

第四章矩阵

I知识点考点精要

一.矩阵及其运算

1.矩阵的概念

即…a\n

(1)由sxn个数他(i=l,2…s；j=l,2……n)排成n行n列的数表i•.i，称为s行n列

矩阵，简记为A=(为几。

(2)矩阵的相等设，二(♦,,，B=(%)&，假如m=l,n=k,且与=%,对i=l,2...m；

j=l,2……n都成立,则称A与B相等，idA=Bo

(3)多种特殊矩阵行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵(上)卜.三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单

位矩阵。

2.矩阵的运算

(I)矩阵的加法

运算规律：

i)A+B=B+A

i)(A+B)+C=A+(B+C)

iii)A+O=A

iv)A+(-A)=O

(3)数与矩阵的乘法

运算规律：

(k+1)A=kA+lA,

k(A+B)=ka+kB

k(lA)=(kl)A

1*A=A.

(3)矩阵的乘法

其中c“=.+ai2b2j+........十%仇八i=1,2,….s;/=1,2.....m

运算规律：

i)(AB)C=A(BC)

i)A(B+C尸AB+AC

iii)(B+C)A=BA+CA

iv)k(AB)=A(kB)=(kA)B

一般状况，

AB丰BA

AB=AC,AH0XB=C

AB=O'A=0或B=0

(4)矩阵的转置

/\/

a\\…a\na\\…as\

A=；•・.；A的转置就是指矩阵A=；:

4…asn)%…4”

运算规律：

i)(A)=A

ii)(A+B)=AB

iii)(AB)=BA

iv)(kA)=kA

(5)方阵的行列式

614

设方阵A=；A的行列式为Ml=

必

运算规律：

1)|^|=hl

ii)|M|=r|4|

iii)MM=同网=忸H,这里A,B均为n级方阵。

二.矩阵的逆

1.基本概念

(I)矩阵可逆的定义

n级方阵A称为可逆的，假如有n级方阵B,使得AB=BA二E,这里E是单位矩阵。

（2）伴随矩阵

即1⑶…A

设为是矩阵4=:中元素与的代数余子式，矩阵A'=；；称A的伴

an,i）IAH*a•A

随矩阵。

2.基本性质

（1）矩阵A可逆的充足必要条件是A非退化（|山。0）,而47=问

（2）假如矩阵A,B可逆，那么A与AB也可逆，且

（A）-1=（A-,）（ABY1=8'A-1

⑶设A是sxn矩阵，假如P是sxs可逆矩阵，Q是nxn可逆矩阵,

那么秩（A）=秩（PA）=秩（AQ）

三.分块矩阵

理解分块矩阵的概念及运算，尤其是准对角矩阵的性质。

对于两个有相似分块的准对角矩阵

’40、40、

A=,B=假如它们对应的分块是同级的,则

10

气用0、

(1)AB=

10AB”

'A+B|0、

(2)A+B=

I04+%

⑶|小⑷阕.…⑷

'T0、

（4）A可逆的充要条件是4,&4可逆，且此时，A-=•・.

<04、

四」初等变换与初等方阵

1.基本概念

（I）初等变换

i）用一种非零的数k乘矩阵的第i行（列）记作《xHqxZ）

ii）互换矩阵中i,j两行（列）的位置.，记作，~~>7；（C/.XC/.）

iii）将第i行（歹D的k倍加到第j行（歹IJ）上，记作夕+攵晨jx",）称为矩阵的三种初等行

（列）矩阵。

初等行，列变换称为初等变换所得到的矩阵。

（2）初等方阵

单位矩阵经一次初等变换所得到的矩阵。、

2.基本性质

（1）对一种sxn矩阵A作一次初等行变换就相称于在A论左边乘上对应的sxs初等矩阵；对A

作一次初等列变换就相称于在A的右边乘上对应的nxn初等矩阵。

000、

0100

■

••

（2）任意一种sxn矩阵A都与一形式为的等价，它称为矩阵A的原则

00♦10

0000

oj

<00・・0

型，主对角线上1的个数等于A的秩。

（3）n级矩阵A为可逆的充足必要条件是，它能表到达某些初等矩阵的乘枳。

（4）两个sxn矩阵A,B等价的充足必要条件是，存在可逆的s级矩阵P与可逆的n级矩阵Q,使

B=PAQc

3.用初等变换求逆矩阵的措施

把n级矩阵A,E这两个nxn矩阵凑在一起，得到一种nx2n矩阵（AE）,用初等行变换把它的左

边二分之一化成E,这时，右边的二分之一就是A"。

第五章二次型

知识考点精要

1.二次型及其矩阵表达

（I）二次型

设P是一数域，一种系数在数域P中的%,%，・・・・・，4的二次齐次多项式

/（玉,W，…%）=4片+2a[2为12+…+2即+a12x；+…+2a2nx2xn++片称为数域

P上的一种n元二次型。

（2）二次型矩阵

设/（X1,X2,xn）是数域P上的n元二次型，/（5,％2，X”）可写成矩阵形式

…%）XAX

其中X=（XPX2,-..XH）,,A=（4）E，A'=A。A称为二次型/（X|，w，…5）的矩阵。秩（A）称为

二次型的秩・

（3）矩阵的协议

数域P上nxn矩阵A,B称为协议的，假如有属于P上可逆的nxn矩阵C,使8=CAC

2.原则型及规范性

定理数域P上任意一种二次型都可以通过非退化的线性替代化成原则型4弁+&£++4大

用矩阵的语言论述，即数域P上任意一种对称矩阵协议于一种对角矩阵。

定理任意一种复系数的二次型通过一合适的非退化的线性替代化成规范型Z；+Z；+.....+Z；且规

范形是唯一的。

定理任意一种实系数的二次型通过一合适的非退化的线性替代化成规范型

Z"..…且规范形是唯一的，其中p称为此二次型的正惯性指数，

q称为此二次型的负惯指数，2p-q称为此二次型的符号差。

3.正定二次型及正定矩阵

（1）基本概念

i）正定二次型实二次型/区,々,…匕）称为正定的，假如对于任意一组不全为零的实数

G,C、2，…C"，均有/（C10.

ii）正定矩阵

实对称矩阵A称为正定的，假如二次型XAX正定。

iii）负定半正定半负定不定的二次型

设了区,々，…%）是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数…C，假如

/（CpC2,...Cn）＜0.,那么…x“）称为负定的；假如均有/（cpc2,...cn）＞0.那么

称/（百,工2，-天）为半正定的；假如均有/（cpc2,...cn）＜0.,那么了（内,工2「乜）称为半

负定的；假如它既不是半正定的又不是半负定的，那么/区,马，X”）就称为不定的。

（2）正定二次型，正定矩阵的鉴定

对于实二次型/（R,X2，・・3）=X'AX,其中A是实对称的，下列条件等价；

i）/（内,/，乙）是正定的，

i）A是正定的

iii）/（不/，X”）的正惯指数为n

iv）A与单位矩阵协议

v）A的各阶次序主子式不小于零

第六章线性空间

知识点考点精要

二二线性空间

1.线性空间的定义

设V是一种非空集合，P是一种数域。在集合V的元素之间定义了一种代数运算：这就是说，

给出了一种法则，对于V中的任意两个元素。,夕,在v中均有唯一的一种元素r与它们对应，称为

a与1的和,记为

在数域P与集合v的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于属于P中任

意数k与V中任意元素a,在V中均有唯一的元素5与它们对应，称为k与。的数量乘积，记为

3=kao

假如加法与数量乘法满足下述规则，那么v称为数域p上的线性空间。

(1)a+B=0+a

(2)a+(£+/)=(。+/?)+/

(3)在V中有一元素0,对于V中任意元素a均有a+0=a

(具有这个性质的元素。称为V的零元素)；

(4)对于V中的每一种元素a,均有V中的元素夕，使得a+〃=0(夕称为a的负元素)

(5)l・a=a；

(6)k(la)=(kl)a

(7)(k+l)a=ka+la

(8)k(a+/3)=ka+k(3

2.维数，基与坐标

(I)假如在线性空间V中有n个线性无关的向量。不过没有更多数目的线性无关的向量，那么

V就称为n维的。假如在V中可以找到任意多种线性无关的向量，那么V就称为无限维

的。

(2)假如在线性空间V中有n个线性无关的向量.....,a〃，且V中任历来量都可以用它们

线性表出，那么V是n维的，而％就是V的一组基。

(3)在n维线性空间中，n个线性无关的向量和分……，邑称为V的一组基。设。是V中任历来

量，于是£增2.......，邑，a线性有关，因此a可以被基与邑....，邑唯一的线性表出

a=+.£]+......+a“％,其中系数4,巴，••…，巴称为a在基……，丛下的坐标，

记（«,%，•，&）•

3,基变换与坐标变换

（1）设S4……，*与耳,《，・・・・，%是n维线性空间V中两组基，假如

%…％”卬…6“

（耳,心,....,与）=（苞£2....邑）：：矩阵A=：：称为%……，*到

基备…•，松的过度矩阵。

（2）设分名.……，邑与耳,《,....,《，是n维线性空间V中两组基，由基分分...与至U基

的过度矩阵为A,向量a在这两组基下的坐标分别为（••…，乙）与

A*2

二.线性子空间

1.线性子空间

（1）数域P中线性空间V的一种非空子集合W称为V的一种线性子空间，假如W对于V的两

种运算也构成数域P上的线性空间。

（2）线性空间V的非空子集W是V的子空间的充足必要条件是W对于V的两种运算封闭。

2.子空间的交与和

（I）线性空间V的子空间匕匕的交与和，即Mc%，M+匕都是V的子空间。

（2）维数公式假如X，匕是线性空间V的两个子空间，那么

维（匕）+维（匕）=维（K+匕）+维（匕c%）

3.子空间的直和

（1）设K，匕是线性空间V的子空间，假如和K+匕中的每个向量。的分解式

2-4+a2Ct2GV2是唯一的，这个和就称为直和，记为乂㊉匕。

⑵设匕,匕是线性空间V的子空间，下列这些条件是等价的:

i)匕+匕是直和

ii)零向量的表达式是唯一的

iii)V；nK={0}

iv)维(耳+匕)=维(匕)+维(匕)。

三.线性空间的同构

1.数域P上两个线性空间V与V'称为同构的，假如由V到仆有一种1-1的映上的映射。，具有

如下性质：

(1)cr(a+/?)=cr(a)+cr(/?);

(2)a(ka)=k<y(a).

其中a,〃是V中任意向量，k是P中任意数，这样的映射。称为同构映射。

2.数域P两个有限维数线性空间同构的充足必要条件是它们有相似维数。

|第七章线性变换|

知识点考点精要

一.线性变换及其运算

L线性变换的定义

线性空间V的的一种变换d称为线性变换，假如对于V中任意元素。,仅和数域P中任意数

k,均有d(a+〃)=d(a)+d(夕)d(Ka);kd(a)

2.线性变换的运算

设d,(，是数域P上线性空间V的两个线性变换，kel\

(1)加法(d+灯)(a)=d(a)+以(a)

(2)数乘(kd)(a)=kd(a)

(3)乘法(d税)(a)=d(p(a))

(4)逆变换

V的变换d称为可逆的，假如有V的变换份，使dp=pd=o(V的恒等变换)

3.设6……，邑是数域P上的n维线性空间V的一组基，d是V中的一种线性变换,基向量的象可

以被基线性表出:

Aq=4^+42£2+・,

A«2=。21与+。22*2+…+a2n^n，

4《=%向+%2£2+・・・+%£”

用矩阵来表达是A（马4、£»）=（AqA4A%）=（八%,）A

a\\…a\n

其中A=矩阵A称为d在基苞与……，兄下列矩阵。

（2）设……，邑是数域P上n维向量空间V的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式（1）

对应一种nxn矩阵。这个对应具有如下性质：

i）线性变换的和对应于矩阵的和

ii）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；

iii）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；

iv）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵。

（3）设线性变换d在基£邑……,%下的矩阵是A,句量4在基S&……，J下的坐标是

（芯,则dj在基分4……,与下的坐标（加力，•・…，”）可按公式必=4与计

算。

（4）设A,B为数域P上两个n级矩阵，假如可以找到数域P上的n级可逆矩阵X,使得

8=X-iAX,就说A相似于Bo

（5）线性变换在不一样基下所对应的矩阵是相似的；反过来，假如两个矩阵相似，那么它们可以看

作同一线性变换在两组基下所对应的矩阵。

二.特性值与特画蔻

1.特性值与特性向量的定义

设A是数域P上线性空间V的一种线性变换，假如定于数域P中--数/1。，存在一非零向量

J，使得A4=4＞鼻那么4称为A的一种特性值，4弥为A的属于特性值4）的一种特性向

量。

2.特性多项式的定义

（1）设A是数域P上一种n级矩阵，几是一种文字，矩阵2E-A的行列式

丸一%|…一。]“

|AE-A|=：•・・称为A的特性多项式，这是数域P上的一种n次多项式，则

-an\"一4“

/（A）=A〃-（％+・・・・+4GAi+…十㈠再山石=o

3.特性值与特性向量的性质

（1）设4冬,乙是n级矩阵A=（q；）〃x“的全体特性值，则

4+•••+%=%+—+4”，4・0=网

（2）属于不一样特性值的特性向量是线性无关的。

（3）假如4,4,......4是线性变换A的不一样的特性值，而如，……〜是属于特性值4的线性无关

的特性向量，i=l,2…，k那么向量组。幡,.…4].…。奶也线性无关。

4.线性变换在某组基下为对角矩阵的条件

（1）设A是n维线性空间V的一种线性变换，A的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充要条件

是，A有n个线性无关的特性值。

（2）假如在n维线性空间V中的，线性变换A的特性多项式在数域P中有n个不一样的根，即A

有n个不一样的特性值，那么A在某组基下的矩阵是对角矩阵。

（3）在负数域上的线性空间中，假如线性变换A的特性多项式没有重跟，那么A在某组基下的矩

阵是对角矩阵。

三.矩阵的相似

1.矩阵相似的定义

设A,B为数域P上两个n级矩阵,假如可以找到数域P上的n级可逆矩阵X,使得B=XxAX,

就说A相似于B,记为A~B.

2.相似矩阵的性质

（1）相似矩阵有相似的特性多项式.（2）相似矩阵有相似的最小多项式。

四.线性变换的值域写核

1.设A是线性空间V的一种线性变换，A的全体象构成的集合称为A的值域，用AV表达。AV

是V的子空间，维（AV）称为A的秩，所有被A变成零向量的向量构成的集合称为A的

核，记为TTY。）。A-（0）是V的子空间，维（A”（0））称为A的零度。

2.设d是n维线性空间V的线性变换，£风……，邑是V的一组基。在这组基下d的矩阵是A,则

（1）dV=L（AQ.....，八£”）

（2）d的秩二A的秩

3.设A是n维线性空间V的线性变换，则A的秩+A的零度=n

子空间

1.设A是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的子空间，假如W中的向量在A下的象仍在W

中，就称W是A的不变子空间，简称A-子空间。

第九章欧几里得空间

知识考点精要

一.欧氏空间的基本概念

1.设V是是数域R上一线性空间，在V上定义了一种二元实函数，称为内积，记为(。,夕)，特具有

一下性质：

⑴(a,/?)=(/?,a)；

(2)(ka,0)=k(a,/3)

(3)(a+⑸y)=(a,y)+(7V)；

(4)(a,a)>0,当且仅当。=0时(a,夕)=0.这里a,是V中任意的向量，k是任意实数，

这样的线性空间V称为欧几里得空间。

2.非负实数J(a,a)称为向量。的长度,记为|回。

3.非零向量a,"的夹角侬⑼规定为夕〉=arccos尊符,0<<Q<乃

4.假如向量a,夕的内积为零，即(。,夕)=0,那么称为正交或互相垂直，记为

5.设V是一种n维欧几里得空间，在V中取一组基分4……，冬令为=(小叼),(。)=1,2,....〃)矩

阵4=(%)““”称为基£邑……，£〃的度量矩阵。

(1)度量矩阵是正定的；

(2)不一样基底的度量矩阵是协议的。

6.欧氏空间V中一组非零向量，假如它们两两正交，就称为一正交向量组。在n维欧氏空间中，由

n个向量构成的正交向量组称为正交基；由单位向量构成的正交基称为原则正交基。

二.同构

1.实数域R上欧氏空间V与n称为同构，假如由V到y有种1-1上的映射b,适合

(1)cr(a+/?)=a(a)+cr(/?)

(2)cy(ka)-k(j(a)

(3)(b(a)。(分))=(%/?)这里这样的映射。称为V到口的同构映射。

2.两个有限维欧氏空间同构的充足条件是它们的维数相似。

三.正交矩阵

1.基本概念

(1)n级实数矩阵A称为正交矩阵，假如A'A=E。

(2)欧氏空间V的线性变换A称为正交变换，假如它保持向量的内积不变，即对任意的

a.peV均有(Aa,月P)二(。,夕)

2.重要结论

设A是欧氏空间V的一种线性变换，于是下面4个命题等价：

(1)A是正交变换；

(2)A保持向量的长度不变，即对于asV,|Aa|二|a|：

(3)假如S4……，J是原则正交基，那么……,A%也是原则正交基;

(4)A在任一组原则正交基下的矩阵是正交矩阵。

四.正交子空间

1.基本概念

(1)设乂,匕是欧氏空间V中两个子空间。假如对于任意的。£乂,尸6%恒有(%夕)=0,则称

丁匕为正交的，记乂_L匕。一种向量a,假如对于任意的〃£匕，恒有Q,尸)=0,则称

a与子空间匕正交，记为aJ-匕。

(2)子空间匕称为子空间的一种正交补.假如耳_1_匕,并口h+%=v.

2.重要结论

(I)假如子空间乂,..…,匕两两正交，那么和M+..…+匕是直和。

(2)欧氏空间V的每一种子空间匕均有唯一的正交补«

(3)Vj恰由所有与匕正交的向量构成。

57对称矩阵的性质

1.实对称矩阵的性质

（1）实对称矩阵的特性值皆为实数。

（2）设A是n级实对称矩阵，则R”中属于A的不一样特性值的特性向量必正交。

（3）对于任意一种n级实对称矩阵A,都存在一种n级正交矩阵T,使747=厂”7成对角矩

阵。

2.对称矩阵

（1）设A是欧氏空间V中的一种线性变换，假如对于任意的a,"EV,有（Aa,』）=（a,A夕）则

称A为对称变换。

（2）对称变换的性质

i）对称变换在原则正交基下的矩阵是实对称矩阵。

ii）设A是对称变换，匕是A-子空间，则也是A-子空间。

iii）设A是n维欧氏空间V中的对称变换，则V中存在一组由A得特性向量构成的原则正交

基。

六.向量到子空间的距离，最小二乘法

1.长度.―川称为向量a和/的距离，记为。30,且

（2）d（a,0）NO,当且仅当a=£时等号成立；

（3）d（a/）Wd（a,y）+d（y、0）（三角不等式）

2.实系数线性方程组

为乂+《2々+,・・+4”%一伉二°

刘+a22x2+…+%再也=。

4川Xl+。“2工2+一十%,再一"=°

也许尢解，即任何一组实数X,々，……&都也许使£（即内+Cii2x2+......+aisxs-2）2小等十

1=1

零，寻找实数组咛,尺,..…使上式最小，这样的引，咒,..…，尺称为方程组的最小二乘解。

3.线性方程组AX=b的最小二乘解即为满足方程组A'AX=Ab的解X。

第十章双线性函数I

知识点考点精要

一.线性函数

1.基本概念

(D设v是数域p上的一种线性空间，f是v到p的一种映射,假如f满足：

i)/+f⑺

ii)f(ka)=kf(a)

其中。,尸是v中任意元素，k是P中任意数，则称f为v上的一种线性函数。

(2)设V是数域P上的一种n维线性空间。V上全体线性函数构成的集合记作L(V,P)。用自然数

措施定义L(V,P)中的加法和数显乘法，L(V,P)称为数域P上的线性空间，称为V的对•偶空

间。

(3)设数域P上n维线性空间V的一组基为昌，%……,£〃，作V上n个线性函数工，统使得

1/=/

/©)=，.i，/=L2.•…〃则//•・/为L(V,P)的一组基，称为与匕……，与的对偶

基。

2.重要结论

(1)设V是P上一种n维线性空间，£昌......，J是V的一组基，a}a2......是P中任意n个数，

存在唯一的V上线性函数f使/(与)=6.,/=1,2.....n。

(2)设……，%及九%.•……〃”是线性空间V的两组甚，它们的对偶基分别为及

SvSi-Sn。假如由£国.……，?到/.名.……，力的过度矩阵为A,那么由/；".../；到

gi，g2…g”的过度矩阵为(A)L

(3)设V是P上一种线性空间，V♦是其对偶空间，取定V中一种向量x,定义V♦的一种函数x”

如下：/7/)=/(x),/eV*轻易验证上的一种线性函数，因此是V”的对偶空间

(V・)♦二v”中的一种元素，映射川―丁•是V到V的一种同构映射。

二.双线性函数

1.基本概念

(I)设v是数域p上一种线性空间，/(a,/)是v上一种二元函数。假如/(a,/)有下列性质：

i)/(a,々典+欠2夕2)=欠1/(。，/0+&/(。，夕2)

ii)/伏臼+k?a”仍=kJ(%,。)+kJ(a?、。).

其中。,%,火，夕，/，河是丫中任意向量，是P中任意数，则称/(a,6)为V上的一种双线

性函数。

(2)设/(a,/)是数域P上n维线性空间