2025年考研数学经典真题解析与深度点评

考研数学(一)真题评注

一、填空题(本题共6小题，每题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)

I

；----I

(1)lim(cosx)ln(l+r)=-f=.

D&

【分析】1"型未定式，化为指数函数或运用公式lim进行

计算求极限均可.

1,lim—Incosx

[详解1]lim(cos”+c=niW),

.v-»0

-sinx

十Incosx..Incosx..Cosx1

而[im---------—=lun——；-=lun»人=一,

31n(l+jr)a。x2zo2X2

--1

故原式=u，一亍.

I2

«—X1

【详解2】由于lim(cosx-l)-------------=lim-^―=一一，

iln(l+x2)J。x22

」1

因此原式二e2=7.

(2)曲面z=/+y2与平面2x+4y—z=0平行的切平面的方程是

2x+4y-z=5.

【分析】待求平面的法矢量为万={2,4,-1},因此只需确定切点坐标即可求出平面方

程，而切点坐标可根据曲面z=x2+y2切平面的法矢量与n={2,4,-1}平行确定.

【详解】令F(x,y,z)=z-.x2-y2,则

F：=-2x,F；=-2y,F：=1.

设切点坐标为(Xo，M)，Zo)，则切平面的法矢量为{-2%,-2)，0，1},其与已知平面

2x+4y-z=0平行，因此有

-2XQ-2yo1

-----------=-------------=—>

24-1

x+J5

可解得x0=1,y0=2,对应地有Zo=o3o=-

故所求的切平面方程为

2(x-l)+4(y-2)-(z-5)=0,即2x+4y-z=5.

8

(3)设式?=三ancosnx(-7i<X<TT),则由=1.

n=0

8

【分析】将/(X)=Y(一乃展开为余弦级数/=COSHA(-^-<X<7V),

n=0

其系数计算公式为凡=—ff(x)cosnxdx.

71J°

【详解】根据余弦级数的定义，有

=—rx2cos2xdx=—fx2dsin2x

~7T%)71

=—[x2sin2A:一『sinZxZxt/r]

1r/r1nC工

=—xdcos2x=—[xcos2x-cos2xdx]

JlJo兀0Jo

(4)从心的基%=(；,%=Pj到基四=；)夕2=\的过渡矩阵为

H•

【分析】n维向量空间中，从基%,。”到基4，为，…，凡的过渡矩阵P满足

[4,仅刀…，凡]=[％『，因此过渡矩阵P为：

力。2=(j到基四

【详解】根据定义，从R2的基％=的过渡矩

阵为

1

P=[%,见「[夕|，%]=

to-\n：2

(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

6x0<x<<1,

f(x,y)=

0,其他，

则P{X+YW1}=:.

【分析】已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y),求满足一定条件的概率

P{g(X,Y)<z0}t一股可转化为二重积分P{g(X,y”Zo}=JJ7。,)，)小Uy进行计算.

【详解】由题设，有

P[X+Y<\]=jj/(x,y)dxdy=pdx^6xdy

=j^(6x-12x2)^v=—.

(6)已知一批零件的长度X(单位：cm)服从正态分布N(〃J),从中随机地抽取16个

零件，得到长度的平均值为40(cm),则〃的置信度为0.95的置信区间是(39.51,40.49).

(注：原则正态分布函数值6(1.96)=0.975,①(1.645)=0.95.)

【分析】已知方差4=1,对正态总体的数学期望〃进行估计，可根据

,进而确定对应的置信文间.

【详解】由题设，1一。=0.95,可见。=0.05.于是查原则正态分布表知=1.96.

2

本题n=16,元=4(),因此，根据

P｛华2<1.96｝=0.95,即P(39.51,40.49)=0.95,故〃的置信度为0.95的置

信区间是(39.51,40.49).

二、选择题(本题共6小题，每题4分，满分24分.每题给出的四个选项中，只有一项符

合题目规定，把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设函数f(x)在(-8,+00)内持续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有

(A)一种极小值点和两个极大值点.

(B)两个极小值点和一种极大值点.

(C)两个极小值点和两个极大值点.

(D)三个极小值点和一种极大值点.[C]

【分析】答案与极值点个数有关，而也许的极值点应是导数为零或导数不存在的点，

共4个，是极大值点还是极小值可深入由取极值的第一或第二充足条件鉴定.

【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而x=0则是导数不存

在的点.三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，

一种极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故

f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).

(2)设｛&｝,｛《｝,｛c“｝均为非负数列，且lima=0,limb=\,limq,=8,则必有

KCnn〃一KC

(A)对任意n成立.(B)对任意n成立.

(C)极限lim不存在.(D)极限lim不存在.[D]

/a—〃-xo

【分析】本题考察极限概念，极限值与数列前而有限项的大小无关，可立即排除

(A),(B)；而极限limqg是0-oo型未定式，也许存在也也许不存在，举反例阐明即可；极

限lima%属型，必为无穷大量，即不存在.

n—

21

【详解】用举反例法，取。”=一，bn=1,*=—〃(〃=1,2,…)，则可立即排除

n2

(A),(B),(C),因此对的选项为(D).

(3)已知函数f(x,y)在点。0)的某个邻域内持续，且lim则

XT0.VT0(尸+y2)〃

(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点.

(B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点.

(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.

(D)根据所给条件无法判断点(0,0)与否为f(x,y)的极值点.LA]

【分析】由题设，轻易推知f(0,0)=0,因此点(00)与否为f(x,y)的极值，关键看在点(0。)

的充足小的邻域内f(x,y)是恒不小于零、恒不不小于零还是变号.

【详解】由lim/(：，)‘):?’=i知，分子的极限必为零，从而有f(0,0尸0,且

-0.5(x2+y)~

f(x,y)-xy^(x2+y2)2刎,况充足小时),于是

/(x,y)-/(0,0)^xy+(x2+y2)2.

可见当y=x且凶充足小时，/(x,y)-/(0,0)«x2+4/>0；而当产・x且可充足小时，

f(x,y)-/(0,0)«-x2+4x4<0.故点(0,0)不是f(x,y)的极值点,应选(A).

(4)设向量组I：a,%，…，％可由向量组H：4,42,…，氏线性表达，则

(A)当厂<$时，向量组II必线性有关.(B)当r>s时，向量组0必线性有关.

(C)当一<5时，向量组I必线性有关.(D)当/">s时，向量组I必线性有关.

[D]

【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理:若向量组I：%,%，…,％

可由向量组n：4，坊,…，式线性表达，则当QS时，向量组I必线性有关.或其逆否命

题：若向量组I：氏,%，…，%可由向量组山修，外，…,反线性表达，且向量组I线性无

关，则必有，•Ks.可见对的选项为(D).本题也可通过举反例用排除法找到答案.

【详解】用排除法：如q=(：,四='；)，则四=0・4+0/2，但4，42

线性无关，排除(A)；则%,%可由4线性表达，但四线

n(1)f()A

性尢关，排除(B)；囚=0=心=，％可由几夕2线性表达，但%线性尢

美,排除(C).故对的选项为(D).

(5)设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A.B均为"zx〃矩阵，既有4个命题：

①若Ax=0的解均是Bx=0的解,则秩(A)之秩(B)；

②若秩(A)之秩(B),贝IAx=0的解均是Bx=0的解；

③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)二秩(B)；

④若秩(A尸秩(B),则Ax=0与Bx=0同解.

以上命题中对的的是

(A)①②.(B)①③.

(C)②④.(D)③④.[B]

【分析】本题也可找反例用排除法进行分析，但①②两个命题的反例比较复杂某些,

关犍是抓住③与④，迅速排除不对的的选项.

【详解】若Ax=O与Bx=O同解，则n-秩(A)=n-枚(B),即秩(A尸秩(B),命题③成立,

可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A尸秩(B),则不能推出Ax=O与Bx=O同解，如A=

00

B=]，则秩(A户秩(B)=l,但Ax=O与Bx=0不一样解，可见命题④不成立，排除(D),

故对的选项为(B).

【例】齐次线性方程组Ax=O与Bx=O同解的充要条件

(A)r(A)=r(B).(B)A,B为相似矩阵.

(C)A,B的行向量组等价.(D)A,B的列向量组等价.IC]

有此例题为基础，相信考生能迅速找到答案.

<6)设随机变量x〜，(〃)(〃>i),y=」，则

x~

(A)(B)丫~/5-1).

(C)Y-F(H,1).(D)y-F(1,/z).[c]

(J1

【分析】先由/分布的定义知乂=一=,其中U〜N(OJ),V~%2(〃)，再将其代入

照

y=—L，然后运用F分布的定义即可.

X-

【详解】由题设知，X=-^=,其中U~N(0』)W~/5),于是

照

V/V/

这里炉⑴'根据F分布的定义知丁!.故

应选(C).

三、(本题满分10分)

过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.

(1)求D的面积A;

(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体枳V.

【分析】先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A;旋转体体积可用一大立

体(|员|锥)体积减去一小立体体积进行计算，为了协助理解，可画一草图.

【详解】(1)设切点的横坐标为为,则曲线y=lnx在点(%,In/)处的切线方程是

y=Inx0+——(x-x0).

由该切线过原点知Inx0-1=0,从而因此该切线的方程为

1

e

平面图形D的面积

A=j'(e'-ey)dy=-e-\.

(2)切线)，=与x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体积

e

为V.=-^2.

13

曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为

y2

V2=^7i(e-e)dy,

因此所求旋转体的体积为

V=V,-V2=；/一卜3-/)2力=//一126+3).

四、(本题满分12分)

将函数/")=arctan上必展开成x的哥级数，并求级数£上山一的和.

1+2xn=o2n+1

【分析】幕级数展开有直接法与间接法，一般考察间接法展开，即通过合适的恒等变

形、求导或积分等，转化为可运用已知幕级数展开的情形.本题可先求导，再运用函数」一

1-x

的辕级数展开一!一=1+工+/+…+x〃+…即可，然后取X为某特殊值，得所求级数的

1-X

和.

23II

【详解】由于:(尤)==一22(-1)〃4〃12〃/(---).

1+4/£G22

又f(0)=工，因此

4

fM=/(O)+1"'⑺力=/一2][£(-1)〃4〃产]力

4n=O

(一1)"41向

2〃+1'

由于级数£匕叫收敛，函数1^)在工=，处持续，因此

占2〃+12

令x=L得

2

W)=>却需击可三需

再由/(g)=0,得

S2//+1424

五、(本题满分10分)

已知平面区域£>={(x,y)|0Vx4〃,0Wy4乃},L为D的正向边界.试证:

(1)fxesinydy-ye-iinvdx=£xe'sinydy-yesinxdx;

(2)，严小ydy-ye^nxdx>2TT2.

【分析】本题边界曲线为折线段，可将曲线积分直接化为定积分证明，或曲线为封闭

正向曲线，自然可想到用格林公式；(2)的证明应注意用⑴的成果.

【详解】措施一：

(1)左边二［：癖疝>力一［万理门&

="「(6疝'+"舒”)社丫，

右边:£疝』ydy_£碇疝&

=7i^(e^nx+e-<mx)dx,

因此^xe^ydy-ye^nxdx=^xe^mydy-ye^xdx.

(2)由于*、+e-Mx>2,故由(1)得

fxesinydy-涧-疝&=1j：(*X+e-sinv)dxN2储.

措施二：

(1)根据格林公式，得

jxesinydy-ye』Xdx=JJ(*"+e』')dxdy,

D

|xe-sinydy-KsinXdx=JJ(e-^nv+/x)dxdy.

D

由于D具有轮换对称性，因此

DD

y

故dy-y/sinXdx=£ve-sinydy_泗而、公

(2)由⑴知

疝'欧=0dy+Lx)dxdy

D

=^e^ydxdy+^esinxdxdy

DD

xx

^^e^dxdy^\\e-^dxdy(运用轮换对称性)

DD

=e~^x)dxdy>|J2dxdy=2/r2.

D，D

六、(本题满分10分)

某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻

力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k,k>0).汽

锤第一次击打将桩打进地下am.根据设计方案，规定汽锤每次击打桩时所作的功与前一次

击打时所作的功之比为常数r(0<rvl).问

(1)汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？

(2)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地卜多深？

(注：m表达长度单位米.)

【分析】本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相称于求数

列的极限.

【详解】(1)设第n次击打后，桥被打进地下匕，第n次击打时,汽锤所作的功为

W"(〃=1,2,3,…).由题设，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为kr,

因此

%=(：kxdx=4々2,

卬2=「kxdx=g*；_6)=g(X；_42)

由%=八%可得

看一=ra

即x]=(\+r)a2.

2

W3=J%";二—3一x；)二一次；-(1+r)a].

“222

由1匕=rW2=〃2叱可得

%3-(l+r)«2=r2a2,

2

从而x3=VI+r+z*«,

即汽锤击打3次后，可将拉打进地下y]\+r+r2am.

(2)由归纳法，设£=71+r+r2+---+rn~la,则

叱小二厂‘%〃=一说)

=勺煤-(1+〃+…+尸)/】.

由于叱川=叫=rX-i=--=d叱,故得

n2

七一(1+厂+…+6)/=ra9

即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下m.

七、(本题满分12分)

设函数y=y(x)在(-oo,+oo)内具有二阶导数，且yr工0,x=x(y)是y=y(x)的反函数.

(I)试将x=x(y)所满足的微分方程W+(y+sinx)(空族=0变换为y=y(x)满足的微

dydy

分方程；

3

(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=o,y(o)=-的解.

I分析】将关转化为黑比较简朴，导我+关键是应注意:

dx

2

dxd,dx、d\xdx

不=7（丁）=丁㈠•7

ayaydydxyay

ff1ff

=±_L=—上

y2v（y）3'

然后再代入原方程化简即可.

【详解】（1）由反函数的求导公式知—=^7,于是有

dyy

d2xddxJIdxynIy"

丁=加与尸石（7.加二了卞二一前，

代入原微分方程得

yn-y=sinx.（*）

（2）方程（*）所对应的齐次方程），〃-），=0的通解为

xx

Y=Cxe+C2e-.

设方程(*)的特解为

)J=ACOSA+Bsinx,

代入方程(*),求得4=0,B=—,，故)，*二-2sinx,从而)，〃-y=sinx的通解是

22

4xx

y=Y+y=C1e+C2e~--sinx.

由M°)=°，y'(°)=-，得G=I,C2=—1•故所求初值问题的解为

2

y=ex-ex--smx.

2

八、（本题满分12分）

设函数f（x）持续且恒不小于零，

^jf（x2+y2+z2）dvJ0—)/)”。

尸⑴=+y2Mb

D(O

其中C«)={(x,y,z)p+y2+z2«/},。⑺={(m),)卜2+,2<r2)

(1)讨论F⑴在区间(0,+8)内的单调性.

2

⑵证明当t>o时，F(r)>-G(r).

71

【分析】(1)先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积

分，再根据导函数尸'(f)的符号确定单调性；(2)将待证的不等式作合适的恒等变形后，构

造辅助函数，再用单调性进行证明即可.

【详解】⑴由于

必_『一小或")八sinM_2s

1\1)-Z■一■

2

『dO^/(户)rdr£/(r)rdr

小⑺二2

l[f(r2)rdr]2

因此在(0,+oo)上F⑴>0,故F(t)在(0,+oo)内单调增长.

(2)因

[f(一)dr

22

要证明>0时尸⑺>-G⑺，只需证明>0时，F(t)一一G(t)>0,即

K71

222

£f(r)/力工/(户)Jr-[£f(r)rdr]>0.

令^(0=£f(r2)r2dr^f(r2)dr-[£f(r2)rdr]2,

则g'Q)=/(r)£/(r2)(r-ri力,>0,故g⑴在(0,+8)内单调增长.

由于g(t)在t=0处持续,因此当t>0时,有g(t)>g(0).

又g(0)=0,故当6)时,g(t)>0,

2

因此,当t>0时，F(O>-G(r).

71

九、(本题满分10分)

一322010

设矩阵A=232P=101,B=PKP,求B+2E的特性值与特性

223001

向量，其中A"为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.

【分析】可先求出A:pT,进而确定及B+2E,再按一般措施确定其特

性值和特性向量；或先求出A的特性值与特性向量，再对应地确定A*的特性值与特性向量,

最终根据B+2E与A*+2E相似求出其特性值与特性向量.

【详解】措施一：

经计算可得

5-2-201-1

4*二-25-2PT=00

-2-25001

700

B=P~lA'P=-25-4

-2-23

从而

900

B+2E=-27-4

-2-25

2-900

|AE-(B+2E)|=2A-74二(4-9)2(4-3),

22/1-5

故B+2E的特性值为4=4=9,4=3.

当4=%=9时,解(9E-A)工=0,得线性无关的特性向量为

-1-2

7=1%二0

01

因此属于特性值4=4=9的所有特性向量为

k，7\+攵2〃2=其中L,七是不全为零的仟意常数.

当4=3时，解(3E—A)x=0,得线性无关的特性向量为

0

小=1

1

■()■

因此属于特性值4=3的所有特性向量为左3%=攵31，其中&H0为任意常数.

1

措施二：设A的特性值为义，对应特性向量为〃，即=由于|A|=7WO,因

此4工0.

又因八*八=|八|石，故有人*〃：一？

A-

于是有B(P、)=P,A*P(pT〃)="(pT〃),

A

(3+2E)P-力=(U+2)广力.

A

因此，g+2为B+2E的特性值，对应的特性向量为尸I/.

/I

4-3—2—2

由于|%石一川二-22-3-2=(2-1)2(2-7),

-2-2义-3

故A的特性值为4=4=1,4=7.

-1

当％=4=1时，定应的线性无关特性向量可取为7=1%=0

01

当4=7时,对应佗一种特性向量为%=

01-1

由pT=100

001

因此，B+2E的三个特性值分别为9,9,3.

对应于特性值9的所有特性向量为

k\P'小+k?P小=其中人次2是不全为零的任意常数;

对应于特性值3的所有特性向量为

其中心是不为零的任意常数•

十、(本题满分8分)

已知平面上三条不一样直线的方程分别为

/1:ax+2by+3c=0,

12：bx+2cy+3c/=0,

Z3:ex+lay+3/?=0.

试证这三条直线交于一点的充足必要条件为a+〃+c=O.

【分析】三条直线相交于一点，相称于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩

阵与增广矩阵的秩均为2.

【详解】措施一：必要性

设三条直线4交于一点，则线性方程组

ax+2by=-3c,

bx+ley=-3a,(*)

ex+lay--3b,

a2ba2b-3c

有唯一解，故系数矩阵A=h2c与增广矩阵彳=b2c-3a的秩均为2,于是

c2ac2a-3Z?

X=0.

a2b-3c

由于间2c-3a=6(a+b-\-c)[a2+b2+c2-ab-ac-be]

c2a-3b

=3(a+b+e)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2],

但根据题设(〃-h)2+3-c)2+(c-Q)2,o,故

4+Z7+c=0.

充足性：由。+8+c=0,则从必要性的证明可知，印二0,故秩(印)<3.

由于

=2(ac-b2)=一2[〃(。+/?)+〃]

b2c

IQ

=-2[(4/+^)2+^2]^0,

故秩(A)=2.于是，

秩(A)=秩(彳)=2.

因此方程组(*)有唯一解，即三直线人/2，。交于一点.

措施二：必要性

设三直线交于一点(/，%)，则先为Ax=0的非零解，其中

1

a2b3c

A=b2c3a.

cla3b

于是|^=0.

a2b3c

而Ml=方2c3a=-6(a+b+c)[a2+Z?2+c~-ab-ac-bc]

cla3b

=-3(tz+b+-c)[(ci—b)~+(b—c)~+(c—a)~],

但根据题设(CL力1+S—c)2+(c—a)2wo,故

a+。+c=().

充足性：考虑线性方程组

ax+2by=-3c,

,、bx+2cy=-3a,(*)

ex+lay=-3b,

将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=O可知，方程组(*)等价于方程组

«x+2by=-3c,、

(**)

bx4-2cy--3a.

由于:胃=2(4-/)=-2r。3+/+/]

=-[a2+b2+(Q+Z?)2]WO,

故方程组(**)有唯一解，因此方程组(*)有唯一解，即三直线/1」2，/3交