2025版《考点一遍过》高考理数考点18平面向量的概念及其线性运算含答案

专题18平面向量的概念及其线性运算

考拥雇攵

1.平面向量的实际背景及基本概念

（1）了解向量的实际背景.

（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.

（3）理解向量的几何表示.

2.向量的线性运算

（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.

（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.

（3）/解向量线性运算的性质及其几何意义.

禽知识整多

一、平面向量的相关概念

名称j乂表小方法注意事项

既有大小又有方向的量叫做向量；向量或。；

向量平面向量是自由向量

向量的大小叫做向量的长度（或模）模1A8|或|a|

零向量长度等于。的向量，方向是任意的记作0零向量的方向是任意的

非零向量。的单位向量是言

单位向量长度等于1个单位的向量常用e表示

平行向量方向相同或相反的非零向量。与b共线可记

0与任一向量平行或共线

共线向量平行向量又叫共线向量为。=劝

两向量只有相等或不等，不能

相等向量长度相等且方向相同的向量a=b

比较大小

相反向量长度相等且方向相反的向量a=-b0的相反向量为0

二、向量的线性运算

1.向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义、运算律

向量

定义法则(或几何意义)运算律

运算

(1)交换律：

求两个向a+b=b+a

加法量和的运(2)结合律：

算(a卜b)+c=a+

平行命I形法则(b+c)

求a与b

的相反向

量一人的和

减法a-b=a+(-ft)

的运算叫

三角形法则

做。与b

的差

(1)|I=|入||。|;

求实数；I(2)当A>0时・入。的

(A+^)a=Aa+

与向量a方向与a的方向相

数乘flci；

的积的运回；当A<0时•相的

A(a+&)=Ao+

算方向与a的方向担

Ab

区；当A=0时,；Ui=?

2.共线向量定理

向量a(a对)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数九使得力=勿.

【注】限定值0的目的是保证实数Z的存在性和唯一性.

考向一平面向量的基本概念

解决向量的概念问题应关注以下七点：

(I)上确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.

(2)用等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

⑶共线向量即平行向量，它们均与起点无关.

(4)用等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量.

(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.

(6)非零向量。与‘L的关系：/二是。方向.上的单位向量.

1«11〃1

(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.

典例引领

典•例1卜列命题正确的是

A.单位向量都相等B.模为。的向量与任意向量共线

C.平行向量不一定是共线向量D.任一向量与它的相反向量不相等

【答案】B

【解析】对于A,单位向量的模长相等，方向不一定相同，・・・A错误：

对于B,模为()的向量为零向量，零向量和任一向量平行，JB正确；

对于C,共线向后是方向相同或相反的向品，也叫平行向后，・・・c错误；

对于D,例如零向量，与它的相反向量相等，・・・D错误.

故选B.

变式拓展

1.给出卜.列四个命题:

①若何=BI，则°=力：

②若A8,co是不共线的四点，则AB=。。是四边形A3CO为平行四边形的充要条件；

③若a=b,b=c,则。=c；

®a=b的充要条件是同=例且a//b.

其中正确命题的序号是

A.①②B.②③

C.③④D.②④

考向二向量的线性运算

平面向量线性运算问题的求解策略：

(I)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三

角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来.

(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变

形手段在线性运算中同样适用.

(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：

①观察各向量的位置；

②寻找相应的三角形或多边形；

③运用法则找关系；

④化简结果.

典例引领

典例2若A、B、C、。是平面内任意四点，给出下列式子：

①A8+CD=3C+O4,②=+③AC-BD=OC+A3.

其中正确的有

A.3个B.2个

C.I个D.0个

【答案】B

【解析】①AB+CO=BC+D4的等价式是A8-OA=8C-CQ,左边=AB+A。，右边=BC+DC,

不一定相等；

②AC+3。=8C+A。的等价式是4C-A。=8C-B。，左边=右边=。。，故正确;

③：4乙—3。=。。+4后的等价式是4。一43=8。+。。，左边=右边=BC,故正确.

所以正确的有2个，故选B.

【名师点睛】熟练掌握向量的线性运算法则是解题的关键.

变式拓展

2.如图所示，在正方形ABCD中，七为AB的中点，F为CE的中点,则万：二

3一|一

A.—+—AD

44

1---

C.-AB+AD

2

典例引领

典例3如图，在平行四边形A8CO中，对角线AC与8D交于点0,AB+AD=AAO,财4=

【答案】2

【解析】由平行四边形法则，褥A3+AO=AC=2AO,故42.

变式拓展

__21_._.

3.如图，在△ABC中，AD=-AC,BP=-PD,若AP=+,则义+〃的值为

D

乂5

3

-

A.4

B.

87

CD.

9-9-

考向三共线向量定理的应用

共线向量定理的主要应用：

(1)证明向量共线：对于非零向量。，b,若存在实数九使。二乃，则。与力共线.

(2)证明三点共线：若存在实数九使=则A,B,C三点共线.

【注】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.

(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.

典例引领

S________r

典例4已知两个非零向量。与力不共线.

(1)若而二。+儿说=2。+8力，而=31。一》),求证:A,氏。三点共线；

(2)试确定实数A,使履小和。共线.

【解析】(I)VAB=a+bJBC=2a+Sh,'CD=3(a-h\

・••丽=BC+CD=2a+Sb+3(a-b)=5(a+b)=5AB,

,而，丽共线，

又•:它们有公共点B,

.•・4反。三点共线.

(2)•・乂〃+6与。+人力共线，

，存在实数A使得ka+b=Ma+kb),

(k-X)a=(/.k-1)b.

Tab是两个不共线的非零向量，

k-k=).k-1=0,

/.Ic-\=0,

/.A=l或-1.

【名师点睛】利用向量证明三点共线时,一般是把问题转化为证明过同一点的两条有向线段所在的向量共线.

对于第(2)问，解决此类问题的关键在于利用向量共线的条件得出疆+〃=蜘+助,再利用对应系数相等这一

条件，列出方程组，解出参数.

变式拓展

4.如图,MJV是平行四边形ARCD的边AD,CD的中点，石尸是对角线AC的三等分点,求证:三点共线，

且仇F,N三点共线.

、.手点冲关上

I.下列说法正确的是

A.向量AS与向量CD是共线向量，则点A氏C,。必在同一条直线上

B.两个有共同终点的向量，一定是共线向量

C.长度相等的向量叫做相等向量

D.两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同

2.已知。是正六边形ABC7)石尸的中心，则与向量Q4平行的向量为

A.AB+ACB.AB+BC+CD

c.AB-^AF+CDD.AB+CD+DE

3.设M是平行四边形ABC。的对角线的交点，。为任意一点（且不与M重合），则OA+O8+OC+OO

等于

A.0MB.20M

C3OMD.40M

4.设。为AABC所在平面内一点，BC=4CQ，则

一1一4一

A.AD=——AB+-ACB.AD=~AB+-AC

3344

144

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB-

553严

5.已知〃3为非零不共线向量，句量一妙与一总+力共线，则上=

A.2A/2B.-2>/2

C.±272D.8

6.已知〃力为两非零向量，若|。+同=|。一可，则。与力的夹角的大小是

A.90B.60

C.45D.30

7.已知非零向量。,力，且A3=a+2瓦3。=一5。+64CO=7a-2〃，则一定共线的三点是

A.A、B、DB.A、B、C

C.B、C、DD.A、C、D

8.如图，。在ZiA3c的内部，。为A3的中点，且OA+O8+2OC=0,则八43c的面积与△AOC的

面积的比值为

AB

A.3B.4

C.5D.6

9.已知。为△ABC内一点，且AO=：（O8+OC）,AD=tAC^若3.0,0三点共线，则，的值为

\1

A.—B.—

43

、12

C.-D.一

23

10.已知等边三角形A3c中，。是线段AC的中点，DE±AB,垂足为民厂是线段8。的中点，则£＞七=

3一5—•3—、一•

A.--BD+-FCB.-BD一一FC

8484

1—3—1—3—

C.-BD--FCD.一一BD+-FC

8484

11.在“BC中，点例，N满足戒=2就，丽=配.若丽三Jg+y无，贝心=;产.

12.设向量〃，〃不平行，向量痴+〃与。+28平行，则实数几二.

13.已知正方形4BCO的边长为1,设AB=。，BC=b,AC=C则小一％+/=.

14.设。，。是不共线的两个非零向量，若0A=ka+12b，08=4。+55，0C二一切+10〃，且点A,

B，。在同一直线上，则％=

|直通高考

1.（2018年高考新课标I卷理科）在A48C中，AO为3c边上的中线，E为AO的中点，则砧=

3—1—1—»3

A.—AB—ACB.-AB--AC

4444

3113

C.—ABH—ACD.-AB+-AC

4444

能参考答案.

变式拓展

1.【答案】B

【解析】①时二可，即〃，》的模的大小相等，但方向不一定相同，故两个向量不一定相等，故①错误;

②若AB,C,D是不共线的四点，则AB=DC<^AB//。。且A3=CDo四边形ABCD为平行四边

形，故②正确；

③若。=〃，则〃的模的大小相等，方向相同，若〃=c,则4c的模的大小相等，方向相同，故a,c

的模的大小相等，方向相同，即a=c,故③正确：

④。”的充要条件是同=例且〃力同向，故④错误.

故正确命题的序号是②③，故迷B.

2.【答案】D

.1——•—.一|—

【解析】根据题意得：+又A。=AB+A。，AE=-AB,

1•一1-3-1

所以Ab=5（45+4。+耳43）=1/13+/4。.

故选D.

【名师点睛】高考对向量加法、减法运算的考查，重在对加法法则、减法法则的理解，要特别注意首尾

顺次相接的若干向量的和为0H勺情况.一般将向量放在具体的几何图形中，常见的有三角形、四边形（平

行四边形、矩形、菱形、梯形）、正六边形等.

在解决这类问题时，要注意向量加法、减法和共线（相等）向量的应用.当运用三角形加法法则时，要注

意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法.

3.【答案】A

【解析】由题意得：AP=AB^BP=AB-^-BD=AB+-（AD-AB\=-AB+-AD

44、744

312—3-1

=-AB+-x-AC=-AB+-AC,

44346

3111

又AP=2A8+〃AC,可知：2+//=—+—=—.

故选A.

【名师点睛】本题考杳向量的线性运算问题，涉及向量的数乘运算、加法运算、减法运算，属于常规题

型.

4.【解析】设而=〃,而="则4M=，，菠==/。+力），

：.~BE=AE-AB=^（a+b）-a=^b-2a）^BM=AM-AB=^）-a=^b-2a\

由的=弓片反得B,E,M三点共线，

同理可得丽=|乔，所以B.F,N三点共线.

专题冲关

1.【答案】D

【解析】对于A,若向量A8与向量C。是共线向量，则CO或点AB,C。在同一条直线上，故

A错误；

对于B,共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能既不相同又不相反，

故B错误：

对于C,长度相等的向量不一定是相等向量，还需要方向相同，故C错误；

对于D,相等向量是大小相等、力向相同的向量，故两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，

故D正确.

故选D.

【名师点睛】本题考查向量的基本定义，关键是理解向量有关概念的定义.解题时，根据题意，结合向

量的定义依次分析四个命题，综合即可得答案.

2.【答案】B

【解析】如图，AB+BC+CD=AD=2AO=-2OA-

故选B.

【名师点睛】该题考查的是有关向量共线的条件，在正六边形中，首先利用向量的加法运算法则，结合

向量共线的条件，对选项逐个分析，求得正确结果.

3.【答案】D

【解析】・・・0为任意一点，不妨把A点看成。点，则QA+OB+OC+OO=0+A4+4C+A。,

•・•M是平行四边形ABCD的对角线的交点，/.0+AB+AC+A。=2AC=40M-

故选D.

4.【答案】B

【解析】AO=A8+8D=A8+9BC=48+*（4。-48）二-l48+*4。.故选8.

44、>44

5.【答案】C

【解析】•・•向量一姑与—%+b共线，

••・存在实数之，使得一姑=〃一妨+力），即80-幼=一〃勿+力，

又・为非零不共线向最，

[8=-U「

•••,]，解得左=_L28-

—K=A

故选C.

6.【答案】A

【解析】因为|。+耳=|。一耳，即所围成的平行四边形的对角线长度相等，所以该平行四边形为正方形或

长方形，由此可得〃，〃的夹角为90。，故选A.

【名师点睛】根据向量的加减法则，结合几何图象特征即可.

7.【答案】A

【解析】由向量的加法法则可用BD=BC+CD=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2AB，

所以AB与8万共线，又两线段过同一点8,所以4仇。三点一定共线.故选A.

【名师点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，向量的加法法则，考查利用向量的共线来证明三点共

线，意在考食灵活运用所学知识解决问题的能力.解本题时，由向量加法的“三角形”法则，可得30=243，

从而可得结果.

8.【答案】B

【解析】•・•。为48的中点，・・.QA+O3=2O。，・・・0A+OB+2OC=O,，0C=—0。，，。是。。

的中点，SAAOC=SAAOD=—SAAOB=—S”8c.故选B.

24

【名师点睛】本题考杳了平面向量的几何运算，属于中档题.解决向量小题的常用方法有：数形结合，

向量的三角形法则、平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小

和方向的向量为基底.解决本题时，根据平面向量的几何运算可知。为C。的中点，从而得出答案.

9.【答案】B

【解析】设线段的中点为M，则0B+0C=20M，因为2Ao=OB+OC，所以A0=0M，

则40=，4知=，(48+40)=，(43+140]=，48+'/1£),由氏0.0三点共线，得，+,=1,

24、74^t)A-4f44/

解得'=T•故选B-

3

【名师点睛】利用平面向量判定三点共线往往有以下两种方法:

①AB,C三点共线0AB=2AC；

②。为平面上任一点，43,C三点共线004=208+〃。。，且4+4=1.

10.【答案】C

【解析】•・•厂是线段50的中点，・・・CE=:（CD+CB）=4C4+[C3=LRA-WBC.

2、74244

•・・。是线段AC的中点，・・・BD=J（BA+8C）.

OO111

乂DE=BE-BD=-BA-BD=-BA一一（BA^BC\=-BA一一BC,

442V742

令DE=2、BD+NFC，

则，BA—，BC=4（8A+8C）+也BC—幺84=（--^）BA+（-+^）BC,

422、7442424

.144I%3〃31

42422448

・•・DE=-BD--FC,

84

故选C.

II.【答案