2025版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第3节随机事件与概率教师用书

第三节随机事务与概率

考试要求：1.了解随机事务发生的不确定性和频率的稳定性.

2.了解概率的意义及频率与概率的区分.

3.了解两个互斥事务的概率加法公式.

---------、必备知识・回顾教材重“四基”/----------

一、教材概念-结论-性质重现

1.确定试验的样本空间

(1)样本点和样本空间

我们把随机试验£的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的样本

空间.一般地，我们用红表示样本空间，用且表示样本点.

⑵有限样本空间

假如一个随机试验有〃个可能结果必，必，…，以，则称样本空间。={0，以，…，

GJ为有限样本空间.

2.事务类型的推断

(1)随机事务

我们将样本空间。的壬集称为随机事务，简称事务，并把只包含二±样本点的事务称为基

本领件.随机事务一般用大写字母儿8。，…表示.在每次试验中，当且仅当/中某个样

本点出现时，称为事务/I发生.

(2)必定事务

。作为自身的子集，包含了全部的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以。总

会发生，我们称。为必定事务.

(3)不行能事务

空集0不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称0为不行能事务.

3.事务的关系

(1)互斥(互不相容)

一般地，假如事务力与事务”不能同时发生,也就是说包坨是一个不行能事务，

定义

即力OQ0,则称事务力与事务“互斥(或互不相容)

含义力与月不能同时发生

符号表

力AQ0

示

图形表

示

（2）互为对立

一般地，假如事务力与事务6在任何一次试验中有且仅有一个发生,即1UB

定义=。，且月n4=0,那么称事务力与事务“互为对立.事务力的对立事务

记为四

含义力与8有且仅有一个发生

符号表示力n—=0,AUB=0

图形表示

4.事务的运算

（1）包含关系

一般地，若事务N发生，则事务8肯定发生,我们就称事务8包含

定义

事务力（或事务力包含于事务⑸

含义力发生导致8发生

符号表示很力（或/《0

图形表示

-----/a

假如事务8包含事务力，事务小也包含事务区即应力且/匕区则

特殊情形

称事务力与事务8相等，记作力=8

（2）并事务（和事务）

一般地，事务月与事务4至少有一个发生,这样的一个事务中的样本点或者

定义在事务力中，或者在事务8中，我们称这个事务为事务力与事务8的并事务

（或和事务）

含义力与8至少一个发生

符号表示1-8（或力+而

图形表示

（3）交事务（积事务）

定义一般地，事务力与事务“同时发生,这样的一个事务中的样本点

既在事务力中，也在事务笈中，我们称这样的一个事务为事务力

与事务8的交事务(或积事务)

含义A与5同时发生

符号表示如1凰或必

图形表示

微提醒■■■

互斥事务与对立事务都是指两个事务的关系，互斥事务是不行能同时发生的两个事务，而对

立事务除要求这两个事务不同时发生外，还要求必需有一个发生.

5.概率的基本性质

性质1：对随意的事务4都有〃(42().

性质2：必定事务的概率为1,不行能事务的概率为0,即夕(C)=L93)=°.

性质3：假如事务力与事务6互斥，那么3(力U而=〃(力)+〃(而.

性质4：假如事务力与事务6互为对立事务，那么尸(£=1一尸(心,m=i-m.

性质5：假如4G/，，那么PC4)WP(a.

性质6：设4〃是i个随机试验中的两个事务，我们有P(/!U^=P(/1)+P(改一〃([n0.

微提醒■■■

1.随机事务力，6互斥与对立的区分与联系

当随机事务48互斥时，小肯定对立；当随机事务力，8对立时，肯定互斥.

2.从集合的角度理解互斥事务和对立事务

(1)几个事务彼此互斥，是指由各个事务所含的结果组成的集合的交集为空集.

(2)事务A的对立事务7所含的结果组成的集合，是全集中由事务A所含的结果组成的集合

的补集.

二、基本技能•思想・活动阅历

1.推断下列说法的正误，对的画“，错的画“X”.

(1)事务发生的频率与概率是相同的.(X)

(2)随机事务和随机试验是一回事.(X)

(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值.(J)

(4)两个事务的和事务发生是指这两个事务至少有一个发生.(J)

(5)若儿8为互斥事务，则〃(力)+〃(0=1.(X)

(6)对立事务肯定是互斥事务，互斥事务不肯定是对立事务.(J)

2.一个不透亮的袋子中装有8个红球,2个白球,除颜色外,球的大小、质地完全相同.

采纳不放回的方式从中摸出3个球.下列事务为不行能事务的是（）

A.3个都是白球B.3个都是红球

C.至少1个红球D.至多2个白球

A解析：由于袋子中白球的个数为2个，摸出的3个球都是白球是不行能事情、故A选项

正确.摸出的3个球都是红球是随机事务，故B选项错误.摸出的球至少一个红球是必定事

务，故C选项错误.摸出的球至多2个白球是必定事务，故D选项错误.故选A.

3.（2024•烟台期末）抛掷一枚质地匀称的正六面体骰子，其六个面分别标有数字1,2,3,

4,5,6,视察朝上一面的点数，设事务/!=”点数为奇数”，B="点数为4”，则力与8

的关系为（）

A.互斥B.相等

C.互为对立【）.相互独立

A解析：事务力与8不行能同时发生，但能同时不发生，故/与8是互斥事务.

4.（多选题）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形态相同的小球，从中取出2球，事务J/=

“取出的两球同色"，八』“取出的两球中至少有一个黄球"，S="取出的两球至少有一个

白球"，T=”取出的两球不同色"，H=”取出的两球中至多有一个白球”则（）

A.M与T互为对立B.N与S互斥

C.S与〃互斥D.N与〃不互斥

AI）解析：对于选项A,事务,仁“取出的两球同色"，T="取出的两球不同色”，明显不

行能同时发生，且也不行能都不发生，所以J/和7是对立事务.故选项A正确.对于选项B,

假如“取出的两个球为一个白球和一个黄球”，则N和5同时发生，所以A「和S不是互斥事

务，故B选项错误.对于选项3假如“取出的两个球为一个白球和一个黄球”，则5和，

同时发生，所以S和〃不是互斥事务，故C选项错误.对于选项D,假如“取出的两个球为

一个白球和一个黄球”，则川和〃同时发生，所以N和〃不是互斥事务，故D选项正确.

5.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：

分组[10,20)：20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)

频数234542

则样本数据落在区间［10,40）的频率为________.

0.45解析：落在［10,40）的频率为玛？=0.45.

6.一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1

个白球的概率是.

2

5解析：先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是其次次摸到白球的

2

概率.因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此所求概率为彳

、关键能力-研析考点强“四翼”厂

考点1随机事务的关系一一基础性

「典例引领」

例（1）（多选题）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1

和2）,2个绿色球（标号为3和4）,从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球.设

事务R尸”第一次摸到红球"，R="两次都摸到红球”，G="两次都摸到绿球"，非="两

球颜色相同”，A-“两球颜色不同”，则（）

A.R£RB.RCG=0C.7?UG=MD.^f=N

BCD解析：由题意知，R="两次都摸到红球"，R\二”第一次摸到红球”，所以他心故

选项A错误.

因为R="两次都摸到红球”，G="两次都摸到绿球”，两个事务没有公共的某本领件，

所以kCIG=。，故选项B正确.

因为k=“两次都摸到红球”，G="两次都摸到绿球”…片"两球颜色相同"，故f或G

表示摸的两个球的颜色相同，所以〃UG=M故选项CE确.

因为人“两球颜色相同”,N="两球颜色不同”，由对立事务的定义可知，.仁心故选

项D正确.

（2）把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事务“甲

分得红牌”与事务“乙分得红牌”的关系是（）

A.既不互斥也不对立B.既互斥又对立

C.互斥但不对立D.对立

C解析：把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，

事务“甲分得红牌”与事务“乙分得红牌”不能同时发生，但能同时不发生，

所以事务“甲分得红牌”与事务“乙分得红牌”的关系是互斥但不对立.

故选C.

解题通法

推断互斥事务、对立事务的两种方法

（1）定义法：推断互斥事务、对立事务一般用定义推断，不行能同时发生的两个事务为互斥

事务；两个事务，若有且仅有一个发生，则这两个事务为对立事务，对立事务肯定是互斥事

务.

（2）集合法：①由各个事务所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事务互斥.

②事务A的对立事务所含的结果组成的集合，是全集中由事务A所含的结果组成的集合的补

集.

「多维训练」

1.同时投掷两枚硬币i次，互斥而不对立的两个事务是（）

A.“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”

B.“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”

C.“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”

D.“至少有1枚反面朝上”与"2枚都是反面朝上“

C解析：在A中，“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”不能同时发生，且“至

少有1枚正面朝上”不发生时，“2枚都是反面朝上”肯定发生，故A中的两个事务是对立

事务.在B中，当2枚硬币恰好1枚正面朝上，1枚反而朝上时，”至少有1枚正面朝上”

与“至少有1枚反面朝上”能同时发生，故B中的两个事务不是互斥事务.在C中，“恰有

1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可

能发生也有可能不发生，故C中的两个任务是互斥而不对立事务.在D中，当2枚硬币同时

反面朝上时，”至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反而朝上”能同时发生，故D中的两个

事务不是互斥事务.故选C.

2.口袋里装有6个形态相同的小球，其中红球1个，白球2个，黄球3个.从中取出两个

球，事务力=”取出的两个球同色”，B="取出的两个球中至少有一个黄球”,C=”取出

的两个球中至少有一个白球"，D=”取出的两个球不同色”，£=”取出的两个球中至多有

一个白球”.下列推断中正确的序号为.

①力与〃为对立事务；②8与。是互斥事务；③C与£是对立事务；④P（CU©=1：⑤P⑵

=P9.

①©解析：明显力与，是对立事务，①正确；当取出的两个球为一黄一白时:夕与C都发

生，②不正确：当取出的两个球中恰有一个白球时，事务。与£都发生，③不正确：CUE

43

为必定事务，尸（CU9=1,④正确；m=5,=5,⑤不正确.

考点2随机事务的频率与概率一一基础性

「典例引领」

例❷*如图，1地到火车站共有两条路径〃和/.2,现随机抽取100位从力地到达火车站的人

进行调查，调查结果如下：

Li

A火车站

所用时间/分10〜2020〜303c〜4040〜5050~60

选择A,的人数612181212

选择心的人数0416164

(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；

(2)分别求通过路径L和力2所用时间落在上表中各时间段内的频率；

(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的

时间内赶到火车站,试通过计算说明，他们应如何选择各臼的路杼.

解.：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=

44(人)，

44

所以用频率估计相应的概率0=而=0.44.

(2)选择〃的有60人，选择乙的有4()人，

故由调查结果得频率为

所用时间/分10〜2020〜3030〜4040-5050〜60

选择Z.的频率0.10.20.30.20.2

选择4的频率00.10.40.40.1

(3)设4,4分别表示甲选择L和乙时，在40分钟内赶到火车站；氏分别表示乙选择

和〃时，在50分钟内赶到火车站.

由⑵知/(4)=01+0.2+0.3=06,PU)=0.1+0.4=0.5.

因为尸(4)>/(4),所以甲应选择人

同理，〃(㈤=0.1+0.2+().3+().2=().8,

产⑸=0.1+0.4+0.4=0.9.

因为〃(为〈〃(民)，所以乙应选择心

解题通法

1.概率与频率的关系

频率反映了一个随机事务出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用

概率来反映随机事务发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事务概率的估计值.频

率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.

2.随机事务概率的求法

利用概率的统计定义求事务的概率，即通过大量的重复试验，事务发生的频率会渐渐趋近于

某一个常数，这个常数就是概率.

提示：概率的定义是求一个事务概率的基本方法.

I多维训练」

1.在投掷一枚硬币的试始中，共投掷了100次，正面朝上的频数为51次，则正面朝上的频

率为（）

A.49B.0.5C.0.51D.0.49

C解析：由题意，依据事务发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为益=0.51.

2.某学校共有教职工12c人，对他们进行年龄结构和受教化程度的调查，其结果如下表:

本科探讨生合计

35岁以下403070

35〜50岁271340

50岁以上8210

现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是（）

A.该校教职工具有本科学历的概率低于60%

B.该校教职工具有探讨生学历的概率超过50%

C.该校教职工的年龄在E0岁以上的概率超过10%

D.该校教职工的年龄在35岁及以上且具有探讨生学历的概率超过10%

755

D解析：对于选项A,该校教职工具有本科学历的概率〃=询=*=62.5%>60%,故A错误.对

453

于选项B,该校教职工具有探讨生学历的概率夕=归=*=37.5冰50%,故B错误.对于选项

C,该校教职工的年龄在50岁以上的概率,=言=：凫8.3*10乐故C错误.对于选项D,

该校教职工的年龄在35岁及以上且具有探讨生学历的概率P=^=§=12.5%>10%,故D正

确.故选D.

考点3互斥事务与对立事务的概率一一综合性

「典例引领」

考向1互斥事务的和事务

例❸，某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，支配一名员工随机收集了在该超市购

物的100名顾客的相关数据，如表所示.

一次购物量（件）1〜45〜89〜1213〜1617及以上

顾客数（人）X3025y10

结算时间（分钟/人）11.522.53

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55机

⑴求y的值.

（2）求顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率.

解：（1）由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.

（2）记力；一位顾客一次败物的结算时间超过2分钟；

4：该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟;

4：该顾客一次购物的结算时间为3分钟.

将频率视为概率可得尸（4=尸（4）+尸（4）=喘+喘=0.3.

考向2“至多”“至少”型问题的概率

例0，经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下:

排队人数012345及以上

概率0.10.160.39.30.10.04

求：（1）至多2人排队等候的概率；

（2）至少3人排队等候的概率.

解：记“无人排队等候”为事务从“1人排队等候”为事务B,“2人排队等候”为事务3

“3人排队等候”为事务“4人排队等候”为事务£“5人及5人以上排队等候”为事

务月则事务力，B,C,D,E,尸彼此互斥.

（1）记“至多2人排队等候”为事务6,则6=力+8+4所以P（©=P（4+笈+0=P（力）+P（而

+^（6）=0.1+0.164-0.3=0.56.

（2）（方法一）记“至少3人排队等候”为事务H,则4D+E+F,所以P⑺=尸（〃+£+用=

P⑦+P（®+P（Q=0.34-0.14-0.04=0.44.

（方法二）记“至少3人排队等候”为事务乩则其对立事务为事务G,所以m=i-m

=0.44.

解题通法

求困难互斥事务概率的两种方法

（1）干脆法：将所求事务分解为一些彼此互斥事务的和，运用互斥事务概率的加法公式计算.

⑵间接法：先求此事务的对立事务，再用公式尸（力）=1一尸（力求得，即运用逆向思维（正难

则反），特殊是“至多”“至少”型题目，用间接法就会较简便.

提示：应用互斥事务概率的加法公式，肯定要留意首先确定各个事务是否彼此互斥，然后求

出各事务发生的概率，再求和（或差）.间接法体现了“壬难则反”的思想方法.

考向3与其他学问的综合

例目，•某中学的学生主动参与体育熬炼，其中有96%的学生喜爱足球或游泳，60%的学生喜

爱足球，82%的学生喜爱游泳，则该中学既喜爱足球又喜爱游泳的学生数占该校学生总数的

比例是（）

A.62%B.56%C.46%D.42%

C解析：记“该中学学生喜爱足球”为事务力，“该中学学生喜爱游泳”为事务员则“该

中学学生喜爱足球或游泳”为事务力+8”该中学学生既喜爱足球又喜爱游泳”为事务力昆

则〃（力）=0.6,P（&=0.82,—@=0,96,

所以尸(施=尸(冷+P⑦一产(4+0=0.6+0.82-0.96=0.46.

所以该中学既喜爱足球又喜爱游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选C.

解题通法

概率综合问题求解须要明确概率类型，从而选择相应概型公式求解.特殊留意“至

多……”"至少……”"不少于……”等语句的含义，可利用对立事务的概率快速解决.

「多维训练」

1.抛掷•个质地匀称的骰子的试验，事务力表示“小于5的偶数点出现”，事务8表示“小

于5的点数出现”，则一次试验中，事务力+再发生的概率为()

1125

A.5B.2C.3D・4

c解析：抛掷一个骰子的试验有6种等可能结果.依题意p(/i)=：=《m=1=1，

_21

所以=1-3=3.

因为再表示“出现5点或6点”的事务，所以事务小与否互斥，从而尸(力+月)=PQ1)+P(物

3T33-

2.某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖

单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖

的事务分别为力，B,C,求：

(1))(⑷,P⑦,P3：

(2)1张奖券的中奖概率；

(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.

1101501

解：(1)P(A)=]000，P(协=100o=ioo,=1000=元.

故事务力，B,C的概率分别为而5，Tog,20.

(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事务为M则必

=JUZ?UC

因为儿B,。两两互斥，所以P(a=P(AU8U0=〃(4)+尸(而+。(。=1蒜，故

1张奖券的中奖概率约为蒜.

(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事务M则事务N与“1张奖券中特等奖或中

一等奖”为对立事务，所以尸(加=1一尸G1U而=1—(焉+焉)=懦，

989

故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为域.

课时质量评价(五十八)

A组全考点巩固练

1.（多选题）一箱产品有正品10件，次品2件，从中任取2件，有如下事务，其中互斥事务

有（）

A.“恰有1件次品”和“恰有2件次品”

B.“至少有1件次品”和“都是次品”

C.“至少有1件正品”和“至少有1件次品”

D.“至少有1件次品”和“都是正品”

AI）解析：对A,“恰有1件次品”和“恰有2件次品”不行能同时发生，为互斥事务；对

B,“都是次品”的基本领件中包含了“至少有1件次品”的事务，不是互斥事务；对C,

“至少有1件正品”的基本领件为｛“有1件正品和1件次品”，“有2件正品”）,“至

少有1件次品”的基本领件为（“有1件正品和1件次品”，“有2件次品”）,它们有共

同的基本领件“有1件正品和1件次品”，不是互斥事务；对D,由C分析知：“至少有1

件次品”和“都是正品”不行能同时发生，为互斥事务.故选AD.

2.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为

0.15,则不用现金支付的概率为（）

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7

B解析：设“只用现金支付”为事务力，“既用现金支付也用非现金支付”为事务8,“不

用现金支付”为事务£则P（金=1一户（冷一代⑸=1-0.45—0.15=0.4.故选B.

3.为了了解我国古代数学的辉煌成就，学校确定从《周髀算经》、《九章算术》等10部古代

数学专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容.已知这10部专著中有7部产生

于魏晋南北朝时期，则所选2部专著中至多有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为（）

17814

A-15B«15C-15D-15

C解析：设事务”所选2部专著中至多有一部是魏晋南北朝时期的专著”为事务4所以

事务“所选2部专著都是魏晋南北朝时期的专著”为事务瓦

因为尸（力-）=流ci=正7

—78

所以〃（力）=i—p（m=i—记=逅.故选c.

4.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学的珍宝，并称为中国古典

小说四大名著.某中学为了了解本校学生阅读四大名著的状况，随机调查了100名学生，其

中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90名，阅读过《红楼梦》的学生共有80名，

阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60名，则该校阅读过《西游记》的学生

人数与该校学生总数比值的估计值为（）

A.0.5B.（）.6C,0.7I）,0.8

C解析：依据题意，阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用Venn图表示如下:

70

所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为荻=0.7.

5.（2024•德州模拟）某市场一摊位的卖菜员发觉顾客来此摊位买菜后选择只用现金支付的

概率为0.2,选择既用现金支付又用非现金支付的概率为0.1,且买菜后无赊账行为，则选

择只用非现金支付的概率为（）

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

C解析：设事务力为“只用现金支付”，事务8为“只用非现金支付”，事务C为“既用

现金支付又用非现金支付”，事务〃为“买菜后支付”，则以〃）=PC4）+P（而+&。=1.因

为尸（冷=0.2,A6）=0.1,所以尸（0=0.7.故选C.

6.（多选题）某篮球运动员在最近几次参与的竞赛中的投篮状况如下表：

投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数

100551R

记该篮球运动员在一次投篮中，“投中两分球”为事务力，“投中三分球”为事务H“没

投中”为事务G用频率估计概率的方法，下述结论中，正确的是（）

A.尸（力）=0.55B.P（B）=0.18

C.P9=0.21D.夕（SU0=0.55

5518

ABC解析：依题意，P（⑷=而=0.55,0（而=而=0.18,明显事务力，8互斥，尸（。=1

-P（AU^）=\-KA）-m=0.27,事务8。互斥，则户（《0。=2（而+2（。=0.45,所

以选项A,B,C都正确，选项D不正确.故选ABC.

7.从3双鞋子中，任取4只，其中至少有两只鞋是一双，这个事务是事务.（填“必

定”“不行能”或“随机”）

必定解析：从3双鞋子中，任取4只，必有两只鞋是一双，所以这个事务是必定事务.

8.某城市的空气质量状况如卜表所示：

污染指数T3060100110130140

111721

概率

1063301530

其中污染指数笈50时,空气质量状况为优;50＜用100时，空气质量状况为良；100〈冬150

时，空气质量状况为稍微污染.该城市空气质量状况达到良或优的概率为.

31113

5解析：由题意可知空气质量状况达到良或优的概率为访

9.袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中随意取一球,

52

得到黑球或黄球的概率是予得到黄球或绿球的概率是丞试求：

（1）从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少;

（2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少.

解：（1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事务4员C,

由于凡B,。为互斥事务，

+P(8)+P(C)=1,

5

PG4)+P(8)=,,

依据已知得2

P⑹+P(C)=q,

1

p)--

3

2

pD=-

9

p=4

X-

I9

(c/

所以从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是于g.

（2）由（1）知黑球、黄球、绿球个数分别为3,2,4,

得到的两个球同色的可能有：两个黑球共3种状况，两个黄球只有1种状况，两个绿球共有

6种状况.而从9个球中取出2个球的状况共有36种，

所以任取两个球，得到的两个球颜色相同概率为则得到的两个球颜色不相同的

513

概率是1—词=而

B组新高考培优练

io.抛掷一枚质地匀称的骰子，事务力表示正面朝上的点数为奇数，则卜.列事务中与事务力

为对立事务的是（）

A.正面朝上的点数大于3

B.正面朝上的点数是2的倍数

C,正面朝上的点数为4或6

I）.正面朝上的点数是3的倍数

B解析：对于选项A,正面朝上的点数大于3,即点数为4,5,6,与事务力有公共部分5,

选项A错误.

对于选项B,正面朝上的点数是2的倍数，即点数为2,4,6,与事务力无公共部分，且该

事务与事务/I包含了全部的样本空间，选项B正确.

对于选项C,正面朝上的点数为4或6,与事务力是互斥事务，故选项C错误.

对于选项I），正面朝上的点数是3的倍数，即点数为3,6,与事务力有公共部分3,即该事

务与事务力不对立.故选项D错误.

故选B.

11.从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;

②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个

是奇数和至少有一个是偶数.上述事务中，是对立事务的是（）

A.①B.②④C.③D.®@

C解析•：从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种状况：一奇一偶，两个奇数，两

个偶数，

其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种状况，它与两个都是偶数是对立

事务.又①②④中的事务可以同时发生，不是对立事务.

12.（多选题）甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任

选3门.若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（）

A.甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事务

B.甲的不同的选法种数为15

c.已知乙同学选了物理，则他选技术的概率是:

D.乙、丙两名同学都选物理的概率是,

BD解析：甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事务，故A错误.由于甲必

选物理，故只需从剩下6门课中选2门即可，即以=15（种）选法，故B正确.乙同学选了物

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