2025高考假期提升专项练习数学解密之计数原理含答案及解析

2025年高考数学解密之计数原理

一,选择题（共10小题）

1.（2024•香河县校级模拟）（x-2）”（〃cN.）的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常

x

数项为（）

A.-160B.-20C.20D.160

2.（2024•李沧区校级二模）2024年1月1日，第五次全国经济普查正式启动.甲、乙、丙、丁、戊5名

普查员分别去城东、城南、城西、城北四个小区进行数据采集，每个小区至少去一名普查员，若甲不去城

东，则不同的安排方法共有（）

A.36种B.60种C.96种D.180种

3.（2024•市中区校级模拟）若（6+2）"展开式中只有第6项的二项式系数最大，则〃=（）

x~

A.11B.10C.9D.8

4.（2024•日照一模）今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他

的司学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同一部影片的选择共有（）

A.9种B.36种C.38种D.45种

5.（2024•四川模拟）2023世界科幻大会在成都举办，主题场馆以自由、扩散、无界的未来建筑形象诠释

科学与科幻主题，提取古蜀文化中神秘"古蜀之眼（黄金面具）”融入“星云”屋顶造型，建筑首层围绕

共享中庭设置了剧场、主题展区及博物馆三大主题空间.现将4名志愿者安排到这三个主题空间进行志愿

服务，则每个主题空间都有志愿者的不同的安排方式有（）

A.6种B.18种C.24种D.36种

6.（2024•浑南区校级模拟）将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个社区至少1名，则不同的

分配方法数是（）

A.300B.240C.15（）D.50

7.（2024•德阳模拟）在（2+x）（l+x）6的展开式中，含V项的系数为（）

A.70B.60C.55D.50

8.（2024•广东模拟）（2x-_y）s的展开式中产），3的系数为（）

A.8（）B.-80C.40D.-40

9.（2024•红谷滩区校级模拟）由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科学

点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举

行.现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至少派一名获奖

者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（）

A.60种B.120种C.150种D.240种

10.（2024•船营区校级一模）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已

知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（）种不同的情况.

A.18B.24C.36D.48

二,多选题（共5小题）

11.（2024,城区校级模拟）若f=4+4（x—1）+。式4―1）~++%（x—I）",其中4，q,a2♦»4为实

数，则（）

A.%=1B.4=56

C.q+仆+%=128D.生+4+4+4=127

12.（2024•长沙三模）瑞士数学家义?如〃Benioidli于17世纪提出如下不等式：Vx>-1>有

（l+x）r>l+n;,r>l,请运用以上知识解决如下问题：若0<々<1,a#b,则以下不等式正

（1+x）r<I+rr,0<r<1

确的是（）

A.aa+bb>\B./+加'>1C./+//'>〃+//'D.

13.（2024•怀仁市校级四模）下列等式中正确的是（）

A.2C：=2-B.火C；=C；

k=l«=2

C.=1募D.±（C^=Cf6

人2心小・卜0

14,（2024•江苏模拟）在二项式［6--!-）6的展开式中，下列说法正确的是（）

2x

A.常数项是"B.各项的系数和是64

4

C.第4项二项式系数最大D.奇数项二项式系数和为-32

15.（2024•越秀区校级一模）带有编号1、2、3、4、5的五个球，贝I"）

A.全部投入4个不同的盒子里，共有4’种放法

B.放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有4种放法

C.将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有20种放法

D.全部投入3个不同的盒子里，没有空盒，共有140种不同的放法

三,填空题（共5小题）

16.（2024•锦州模拟）已知4,a2,4，2,3,4},N（a、,a2,4，q）为4，%,%，&中

不司数字的种类，如N(l,1,4,3)=3,N(2,4,4,2)=2,(1,2,2,1)与(【，2,I,2)视为不同

的排列，则（％,%,外,〃4）的不同排列有一个（用数字作答）；所有的排列所得N（q,%,%,q）

的平均值为一.

17.（2024•黄浦区校级三模）用1〜9这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数

的奇数共有一个.

18.（2024•射洪市校级模拟）从5名男生和6名女生中，选出3名代表，要求3名代表中既有男生又有女

生的选法有一种.

19.（2024•濮阳模拟）第一届全国学生（青年）运动会开幕式亍2023年11月5日在广西举行，举办本届

学青会是推动新时代青少年和学校体育改革发展，增强青少年和学生体质、促进竞技体育后备人才培养的

重要措施.为了加强宣传力度，某体育协会从甲、乙等6人中选派4人到A,B,C，。四个不同的区域

参加宣传活动，每人去一个区域，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去A区域的选派方法共有一种（用

数字作答）.

20.（2024•闵行区校级二模）如图，设点P为正四面体A-8CZ）表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由

点0到四个顶点的距离组成的集合记为如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点〃有

个.

四.解答题（共5小题）

21.（2024•浙江模拟）最近的一次数学竞赛共6道试题，每题答对得7分，答错（或不答）得0分.赛后

某参赛代表队获团体总分161分，且统计分数时发现：该队任两名选手至多答对两道相同的题H，没有三

名选手都答对两道相同的题目.试问该队选手至少有多少人？

22.（2024•黔南州二模）1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元〃

次多项式方程在复数域上至少有一根5..1）.此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基

础作用.由此定理还可以推出以下重要结论：〃次复系数多项式方程在复数域内有且只有〃个根（重根按

重数计算）.对于〃次复系数多项式/（x）=x"++a}x+a0,其中凡_1,an_2,...»q）wC,若方

程/（幻=0有〃个复根玉，占，…，乙，则有如下的高阶韦达定理:

1-1

E七弓=q-2，

I豺D；|

E4弓王=一q-3，

18/<j<kn

中2…乙=（-）"%•

（1）在复数域内解方程f+4=（）；

（2）若三次方程d+G?+〃x+c=O的三个根分别是内=1-i,x2=l+i,凡=2（，为虚数单位），求a,b»

c的值；

（3）在〃..4的多项式/（x）=x"++qx+为中，已知%4=-〃，，a0=a，〃为非零实

数，且方程/。）=（）的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含〃的式子表示）.

23.（2022•兰州一模）（1）学校开设了7门选修课，要求每个学生从中选学4门，共有多少种不同的选法？

（2）从参加羽毛球团体比赛的6名运动员中选出3名，井按排定的顺序出场比赛，的多少种不同的选法？

24.（2020•宿城区校级模拟）已知〃为给定的正整数，设（g+x）”=a）+4%+%d+…xtR.

（I）若〃=4,求为，4的值：

（2）若彳=一，£（〃-攵皿3的值.

3*=o

25.（2022•兰州一模）已知二项式（1+3».

（I）求展开式的第三项的系数；

（2）求展开式的二项式系数之和.

2025年高考数学解密之计数原理

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2024•香河县校级模拟）（x-2）"（〃wN.）的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常

x

数项为（）

A.-160B.-20C.20D.160

【答案】A

【考点】二项展开式的通项与项的系数

【专•题】数学运算；二项式定理；转化思想；转化法

【分析】先求出〃的值，再结合二项式定理，即可求解.

【蚱答】解：的展开式中只有第四项的二项式系数最大，

x

则〃=6,

a--）6的展开式的通项为二|=2产，（_与=禺（-2y'产2『，

xx

令6—2r=0,解得厂=3,

故展开式中的常数项为C；（-2）3=-160.

故选：A.

【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题.

2.（2024•李沧区校级二模）2024年1月1日，第五次全国经济普查正式启动.甲、乙、丙、丁、戊5名

普查员分别去城东、城南、城西、城北四个小区进行数据采集，每个小区至少去一名普查员，若甲不去城

东，则不同的安排方法共有（）

A.36种B.60种C.96种D.180种

【答案】。

【考点】简单组合问题

【专题】转化思想：计算题；排列组合：数学运算；综合法

【分析】利用分步计数原理分两步：①先安排甲，②再安排其它4名普查员，分为两种情况：1、安排甲

去的小区就甲一个人，2、安排用去的小区有2人，由分步计数原理计算可得答案.

【解答】解：①先安排甲，甲不去城东，有C；=3种，

②安排其它4名普查员,

C：c；c：

分为两种情况：1、安排甲去的小区就甲一个人，那其它4人按2,1,1分配，有•A；=36种，

&

2、安排甲去的小区有2人，则除甲以外4人全排即可，有A：=24种，

所以一共有3x（36+24）=180种.

故选：D.

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于中档题.

3.（2024•市中区校级模拟）若（五+三）"展开式中只有第6项的二项式系数最大,则〃=（）

厂

A.11B.10C.9D.8

【答案】B

【考点】二项式定理

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数据分析

【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得〃的值.

【解答】解：若（6+2）”展开式中只有第6项的二项式系数最大最大，则〃=10,

X"

故选：B.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于基础题.

4.（2024•日照一模）今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他

的司学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同一部影片的选择共有（）

A.9种B.36种C.38种D.45种

【答案】B

【考点】排列组合的综合应用

【专题】对应思想：分析法；排列组合；数学运算

【分析】先安排2人看同一部影片，再安排剩余2人，利用排列组合知识进行求解.

【解答】解：从4人中选择2人看同一部影片，再从3部影片中选择一部安排给这两人观看，剩余的2人，

2部影片进行全排列，

故共有C：C；尺=6x3x2=36种情况.

故选：B.

【点评】本题考查了排列组合的问题，属于基础题.

5.（2024•四川模拟）2023世界科幻大会在成都举办，主题场馆以自由、扩散、无界的未来建筑形象诠释

科学与科幻主题，提取古蜀文化中神秘"古蜀之眼（黄金面具）”融入“星云”屋顶造型，建筑首层围绕

共享中庭设置了剧场、主题展区及博物馆三大主题空间.现将4名志愿者安排到这三个主题空间进行志愿

服务，则每个主题空间都有志愿者的不同的安排方式有（）

A.6种B.18种C.24种D.36种

【答案】D

【考点】排列组合的综合应用

【专题】对应思想；分析法；排列组合；数学运算

【分析】根据排列组合的分组分配问题计算即可.

【解答】解：首先将志愿者分成三组共有=6种，安排到三个主题空间有片=6种，

故不同的安排方式有6x6=36种.

故选：D.

【点评】本题考查排列组合的应用，属于基础题.

6.（2024•浑南区校级模拟）将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个社区至少1名，则不同的

分配方法数是（）

A.300B.240C.150D.50

【答案】C

【考点】排列组合的综合应用

【专题】综合法；排列组合；数学运算；整体思想

【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理及分步乘法计数原理求解.

【解答】解：先将5名志愿者分为3组，

则有%+空=25种分法，

再将这3组分给三个社区，

有A；=6种分法，

则不同的分配方法数是25x6=150.

故选：C.

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理及分步乘法计数原理，属

基础题.

7.（2024♦德阳模拟）在（2+x）（l+x）6的展开式中，含V项的系数为（）

A.70B.60C.55D.50

【考点】DA：二项式定理

【专题】35：转化思想；4/?：转化法；5P：二项式定理

【分析】根据（l+x）6展开式的通项公式，即可得出（2+x）（l+x）6的展开式中含/项的系数.

【解答】解：（1+X）"展开式的通项公式为

23，

所以（2+劝（1+J）6的展开式中,含以项的系数为:

2・C；+C：=55.

故选：C.

【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属「基础题.

8.（2024•广东模拟）（2》-），）5的展开式中/）,3的系数为（）

A.80B.-80C.40D.-40

【答案】D

【考点】二项式定理

【专题】转化思想：综合法；二项式定理：数学运算

【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的系数.

【释答】解：（2%-»的展开式的通项公式为&=GH2x）5f•（-），）,，

令r=3,可得展开式中的系数为一仁"=-40,

故选：D.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题.

9.（2024•红谷滩区校级模拟）由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科学

点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线卜结合的方式举

行,现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至少派一名获奖

者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（）

A.60种B.120种C.150种D.240种

【答案】C

【考点】排列组合的综合应用

【专题】数学运算：排列组合；整体思想：综合法

【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理求解.

【解答】解：要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，

则不同的派出方法有与不+呼A：=150种.

44

故选：c.

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属中档题.

I。（2024•船营区校级一模）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行演讲比赛，决出第I名到第5名的名次.已

知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（）种不同的情况.

A.18B.24C.36D.48

【答案】B

【考H】部分元素相邻的排列问题

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解

【分析】根据题意，将丙和丁看成一个整体，按丙和丁的位置分4种情况讨论，由加法原理计算可得答案.

【解答】解：根据题意，将丙和丁看成一个整体，

分4种情况分析：

①丙和丁的整体分别为第1、2名，有&A；=12种情况，

②为和丁的整体分别为第2、3名，第一名只能为戊，甲和乙分别为第4、5名，有A；&=4种情况，

③为和丁的整体分别为第3、4名，第一名只能为戊，甲和乙分别为第2、5名，有A；&=4种情况；

④为和丁的整体分别为第4、5名，第一名只能为戊，甲和乙分别为第2、3名，有&&=4种情况；

贝IJ有12+4+4+4—24种情况.

故选：B.

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题.

二,多选题（共5小题）

11.（2024•城区校级模拟）若d=4+4（x—1）+生*-1）~+…十%。—1）“，其中a。，4，4，»%为实

数，则（）

A.%=1B.《=56

C.4+6+生+生=128D.%+4+/=127

【答案】ACD

【考点】二项式系数的性质

【专题】综合法；数学运算；二项式定理；逻辑推理；转化思想；计算题

【分析】根据题意，令/=X-1，则原式转化为。+1)8=4+卬+生产++4产，结合赋值法，以及二项展

开式的性质，逐项判定，即可求解.

【解答】解：由f=%+4*-1)+。2*-1)2+-+4。一1)"，

令，=X一1,则原式转化为“+1)8=4)+”+生产+••,+《/，

对于A中，令，=0,可得%=1,所以A正确：

对于笈中，由一项式定理的展开式，可得a=d=28,所以△不正确:

对于C和。中，令7=1,可得/+6+%++4=2、

令，=-1,得%-4+々2--+仆=0,

所以4+《+4+%=4)+%+/+4+/=27=128,所以外+q+%+4=127,

所以C、。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

12.(2024•长沙三模)瑞士数学家JakobBemoidli于17世纪提出如下不等式：Vx>-1,有

(l+x)r>l+^,r>l,请运用以上知识解决如下问题：若awb,则以下不等式正

(l+x)r<l+/:r,()<r<l

确的是()

A.a(,+bh>1B.af>lC.aa+bh>ah+baD.

【答案】ABC

【考点】二项式定理

【专题】转化思想；构造法；定义法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算

【分析】选项A中，根据题意得出/>,，必,」，求和即可；

22

选项8中，根据题意得出/'>—二，,根据同向不等式相加，求解即可：

a-bb+a

选项C、D,不等式诡+必>，+。“，可化为廿一。“>才一炉,构造函数〃*)=/—犬，利用导数判断函

数的单调性，求解即可.

【解答】解：对于A,因为出〃。之一!>一历2,所以/>1，则，

e222

对于8,因为=­：—之----：—>—Y同理力则/=

（~）h1+ZK--1）1+-b+aa+bb+a

aaa

对于C,要证明d'+bh>ah+ba,也即证明bh-bu>d-ct'>只要证明a,XVI时，h［x）=—x"在区间［力，

I）上单调递减.

求导数，得“*）=〃尸一以"7=0?一心一产”），由2一尸=（）,得户自力，且ab>0,

aaa

结合塞函数尸产”的性质得：当x2（2）£时，/心人0,力⑴在区间心内收）上单调递减，即广昌工

aaa

时，函数力（外取得最大值，从而只需证明此（2启，变换得：1/尸=4（1严，因为

aabb

v［+（］_］）（〃_〃）=2+力_〃<2,故得讦：

综上，若0vZ?vavl,不等式优+力">a"+。"成立，选项C正确，£>错误.

故选：ABC.

【点评】本题考查了函数与不等式;的应用问题，也考查了推理与运算能力，是难题.

13.（2024•怀仁市校级四模）下列等式中正确的是（）

A.E^=28B.力C；=C；

Jt=1k=2

C.力wD.£c）2T6

h2A-b・k=0

【答案】BCD

【考点】组合及组合数公式

【专题】数学运算；综合法；转化思想：计算题；排列组合；二项式定理；逻辑推理

【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的变换求出结果.

【解答】解：对于A:£c；=C：+C；+C：+...+1=28-1"8,故A错误；

对于B:£c：=C；+C；+…+C：=C；,故8正确；

卜2

g工厂k-lkl-（k-\y.II弘£女一1,11111,1

对于C:------=----------------=-----------------,故，----=1------H-----------+...+----------=1------»故C正确;

k\内（2—1）!伏一1）!k\£k!2!2!3!7!8!8!

对于。:（1+%广（1+幻8=（1+幻|6,对于（1+1厂，其含有f的项的系数为C。，对于（l+x）M（l+x）8,要得

到含有要从第一个含有f的项的系数，需要从第一个式子中取出k个x,再从第二个式子中取出8-左个x,

对立的系数为力以«-=£02=咪，故。正确.

Jt=oA=0

故选：BCD.

【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

14.（2024•江苏模拟）在二项式］6--!-）6的展开式中，下列说法正确的是（）

2x

A.常数项是史B.各项的系数和是64

4

C.第4项二项式系数最大D.奇数项二项式系数和为-32

【答案】AC

【考点】二项式定理

【专题】数学运算；转化法；二项式定理；转化思想

【分析】利用二项式展开式通项可判断A选项；利用各项系数和可判断8选项；利用二项式系数的性质可

判断C选项；求出奇数项的二项式系数和可判断。选项.

【解答】解：二项式的展开式通项为严.（_-!->=《•（」）«•一%.

2x2x2

令3—3攵=0,可得攵=2,故常数项是C〉（—」）2=?，A正确；

各项的系数和是（1-8错误；

264

二项式展开式共7项，故第4项二项式系数最大，C正确；

奇数项二项式系数和为方=32,。错误.

故选：AC.

【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题.

15.（2024•越秀区校级一模）带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（）

A.全部投入4个不同的盒子里，共有45种放法

B.放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有4种放法

C.将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有20种放法

D.全部投入3个不同的盒子里，没有空盒，共有140种不同的放法

【答案】AC

【考点】排列组合的综合应用

【专题】排列组合；数学运算；定义法；对应思想

【分析】利用分步计数原理直接判断选项A,利用组合、排列的结合判断选项8CZ）.

【解答】解：对于A：由分步计数原理，

五个球全部投入4个不同的盒子里共有4$种放法，故A正确；

对于8：由排列数公式，

五个不同的球放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种放法，故4错误；

对于C：将其中的4个球投入一个盒子里共有C；C：=20种放法，故C正确；

对于O：全部投入3个不同的盒子里，没有空盒,

共有：c：A；+安■A：=150种不同的放法，故。错误.

故选：AC.

【点评】本题考查分步计数原理以及组合、排列相关知识，属于中档题.

三.填空题（共5小题）

16.（2024•锦州模拟）已知q,%，％，qe”，2,3,4},,a2,%，/）为4，«2*%，4中

不司数字的种类，如N（l,1,4,3）=3,N（2,4,4,2）=2,（1,2,2,1）与（1,2,1,2）视为不同

的排列，则（4,生，心，«）的不同排列有256个（用数字作答）:所有的排列所得N（q,%，七，

%）的平均值为一.

【答案】256；—.

64

【考点】排列组合的综合应用；用样本估计总体的集中趋势参数

【专题】数学运算：整体思想：综合法：排列组合

【分析】本题首先可以确定N（q,%，%，4）的所有可能取值分别为1、2、3、4,然后分别计算出每

一种取值所对应的排列个数，进而得到每一种取值所对应的概率，最后根据每一种取值所对应的概率即可

计算出N（q,七，％，（）的平均值.

【解答】解：由题意可知，⑷，%，％，卬）的不同排列有4x4x4x4=256个,

当N(q,a,%，%)=1时，=^x~r=~?

2464

业w八6x(c!+c；+c!)8421

当N(q,a2,%，4)=2时，鸟=-------j----------=—=—»

425604

4x3(6+3+3)1449

当N(q,%，q：q)=3时，〃D=-----------=—=—；

当N(q,a2,a,»4)=4时，P4==,

4ZDO32

综上所述，所有的256个(4：生：/，4)的排列所得的N(q,a2,小，4)的旦均值为:

175

X±X21X2XA

164+264+316+43264

故答案为：256；—.

【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了平均值的计算，属于中档题.

17.（2024•黄浦区校级三模）用1〜9这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数

的奇数共有840个.

【考点】数字问题

【专题】整体思想：综合法；排列组合；数学运算

【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理及分类加法计数原理求解.

【辞答】解：用1〜9这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数可分为2

类：

①当数位上数字为奇数且个数为2时，

则有C；C；C；A；=720个；

②当数位上数字为奇数且个数为4时，

则有&=120个，

则各个数位上数字和为偶数的奇数共有720+120=840个.

故答案为:840.

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理及分类加法计数原理，属

中档题.

18.（2024•射洪市校级模拟）从5名男生和6名女生中，选出3名代表，要求3名代表中既有男生又有女

生的选法有135种.

【答案】135.

【考点】从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题

【专题】数学运算：综合法；排列组合：整体思想

【分析】根据条件，利用分类、分步计数原理及组合，即可求出结果.

【解答】解：3名代表中有1名男生，2名女生的选法有C；C：=5x第=75,

3名代表中有2名男生，1名女生的选法有C；C：=^x6=60，

所以3名代表中既有男生又有女生的选法有75+60=135.

故答案为：135.

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属基础题.

19.（2024•濮阳模拟）第一屈全国学生（青年）运动会开幕式于2023年11月5日在广西举行，举办本届

学青会是推动新时代青少年和学校体育改革发展，增强青少年和学生体质、促进竞技体育后备人才培养的

重要措施.为了加强宣传力度，某体育协会从甲、乙等6人中选派4人到A,B,C,D四个不同的区域

参加宣传活动，每人去一个区域，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去A区域的选派方法共有276种

（用数字作答）.

【答案】276.

【考点】简单组合问题

【专题】对应思想：定义法；排列组合；数学运算

【分析】根据给定条件，按甲参加与甲不参加分类，再结合有限制条件的排列问题列式计算艮］得.

【解答】解：依题意，由甲、乙至少有一人参加，得甲参加与甲不参加乙必参加两种情况，

当甲参加时，有C；8种选派方法，当甲不参加时，有C；父种选派方法，

所以不同选派方法种数是CX+=180+96=276.

故答案为：276

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

20.（2024•闵行区校级二模）如图，设点P为正四面体A-3C。表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由

点夕到四个顶点的距离组成的集合记为M,如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有

1（）个.

【答案】10.

【考点】排列组合的综合应用

【专题】综合法：整体思想；数学运算：排列组合

【分析】根据分类计数原理求解即可.

【解答】解：符合条件的点尸有两类：

一，六条棱的中点；二，四个面的中心；

集合M中有且只有2个元素，符合条件的点尸有4+6=10个.

故答案为：10.

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属基础题.

四,解答题（共5小题）

21.（2024•浙江模拟）最近的一次数学竞赛共6道试题，每题答对得7分，答错（或不答）得0分.赛后

某参赛代表队获团体总分161分，且统计分数时发现：该队任两名选手至多答对两道相同的题目，没有三

名选手都答对两道相同的题目.试问该队选手至少有多少人？

【答案】7.

【考点】排列组合的综合应用

【专题】逻辑推理：排列组合；转化法：转化思想

【分析】利用图表列举所有情况，结合排列组合公式计算求解即可.

【解答】解：设该队有〃名选手，分别记为4，%，…，an,记6道题的编号依次为1,2,6,以编

号为行、选手为列作一个6m的方格表,

如果选手q(i=l,2,〃)答对第4/=1,2,6)题，就将方格表中第，行第i列的小方格(//)的中心染成红

点，

一・--•f♦*

,•1,

我们的问题就是在6x〃的方格表中，不存在“横”6点矩形；和“纵”6点矩形L--；的情况，且

至少有23个红点时，求〃的最小值.

如第1列有6个红点，那么，后面各列至多有2个红点，

因为C：=15>9,于是，取第2至10歹力其中第2至9列每列有2个红点，第10列1个红点(如图)满

足现设，这说明”的最小值不大于的.

Q|Q2aiQ4Q'%。…4

•••

••••

•••••

•••••

••••

••

我们发现，可通过将第1列中某点移到此点所在行的其他列中来减少图6的列数，

如作移动(6,2),可同时作移动(4,10)1(6,3),(3,9)-(6,4),(5,9)1(6,7),这

样便得到有23个红点的图甲，

类似地可得图乙，这说明〃的最小值不大于7.

%。8%.a2a3a4a5a6%

■•••••

•••••••O

••••••■■

•■••■•O

■••O••

©©Q•OO0•O

图甲图乙

下If证明：〃的最小值大于6.

对于一个恰有6列的方格表，由油屉原理知至少有一列红点数不少于4,不妨设第1歹U，且第1列的前4

行的小方格的中心是红点，

如果某列有2个红点，则称其为某列上的一个红点“行对”，这样在前4行中，除第1列外的5列中每列

只能有一个行对.于是，前4行中总共有C：+5=ll个行对.

考虑最后两行：若第1列还有红点，那么，有红点的这一行不能再有其他的红点，如第I列还有2个红点，

这时能增加9个行对，6x6方格表中共有11+9=20个行对；

如第1列还有1个红点，不妨设第1列第5行的小方格有红点，

这时即使第6行除第1列外的其他小方格都有红点，那么，可增力口C：+5x2=14个行对，6x6方格表中共

有11+14=25个行对；

如第1列没有其他的红点，那么，在最后两行中最多还有两个行对，这两个行对占去了两列，在余下的三

列中，每列最多有1个红点，

于是，可增加行对2x5+3x2=16个，这时，6x6方格表中最多有11+16=27个行对.这说明27是可能

的行对总数的最大值，

设第i列的红点数为*=1.2,•-6),且之若=火，则所有行对的总数之27,

r=l<=!'

即454,

r-lr-l

由柯西不等式有£七2J力3)=),

：=16*6

所以±42+54,

6

解得3同KAK3+3炳，

由A为正整数知七21,这说明6x6方格表中红点个数最多为21个，

又当45时，方格表中红点总数不大于4x5=28个，这说明〃的最小值不小于7.

综上，该代表队至少有7名选手.

【点评】本题考查排列组合的应用，属于难题.

22.(2024♦黔南州二模)1799年，司廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数•元〃

次多项式方程在复数域上至少有一根5..1).此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基

础作用.由此定理还可以推出以下重要结论：〃次复系数多项式方程在复数域内有且只有〃个根(重根按

重数计算).对于〃次复系数多项式/(x)=x",…+/1+。0,其中<%，。­2，…，若方

程f(x)=0有〃个复根内，电，…，工，则有如下的高阶韦达定理:

E七弓=q-2，

|§）<7/I

<

l»J<j<kn

入工2…七=（一）"%•

（1）在复数域内解方程f+4=（）：

（2）若三次方程V+G?+〃x+c=O的三个根分别是内=1-i,x2=1+/,凡=2（，为虚数单位），求a,b,

c的值；

（3）在〃..4的多项式/（x）=x"++qx+4j中，已知/=-n~a,a0=a，〃为非零实

数，且方程/。）=0的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含〃的式子表示）.

【答案】（1）x=±27；

（2）a=4,b=6»c=T；

⑶—.

【考点】类比推理；二项式定理；复数的运算

【专题】综合法；逻辑推理；数学运算；二项式定理；数系的扩充和复数；转化思想；计算题

【分析】（I）根据题意直接解方程即可；

（2）根据题意结合韦达定理分析运算求解；

（3）根据题意结合韦达定理可得玉++七,=1，结合不等式可得工+工++—../r,由

,砧…K+*…+•••+%七…匕=（T严（-〃七）可得_L+_L++_L=〃2,结合不等式成立条件分析

凸为…Z=（T）Z百々4

求解.

【解答】解：（1）由f+4=0,可得f=_4,解得x=±2i.

x1+x2+x5=-a

（2）由题意可知：-xtx2+x2xy+xrv3=b,

XyX2X3=-C

4=-a

将5=1—,x2=1+/,占=2代入可得,6=。，

4=-c

所以a=4,b=6,c=-4.

(3)设4=(%,七,,a“)，〃=(b也，也),

49a、9...cin9b、,b]9.・・,b,>0,

因为|a包I,,|a||切，当且仅当〃/必时，等号成立,

可得|a}b]+a2b2++anb/t\,,Qa；+a：++a~•Qb；+b[++Zr>

即afy+a/++。也,Ja；+a；+，+，-J力:+片+~,当且仅当且"=生==4■时，等号成立,

~'瓦b2btl

因为方程"r)=Z+%x"T+..+《X+%=o的根恰好全是正实数，

2

设这〃个正根分别为芭，x2,...»x“且a”_[=-l,a]=-na,g=a，

$+%++±=1

由题意可知：-x[x2.xn4-Xj...Xn_yXn+...+X2Xy...xn=(-1)1(-〃%)，

、％超"X”=(T)"a

因为菁+占++x”=l，且%，x2»...»儿均为正数,

n，,.1I1,、/1I、

则一+—++—=(%+占++%)(—+-++—)

玉/X“玉勺X.

当且仅当工=L==L=L时，等号成立,

王SX”〃

又因为内"2••"10-1+内-+…+*2*3…X”_[]।।]_（~~1）（-〃。）_〃2,

王々…/MX2%（-1）”。

111

印HII—+—++—=n29

%04

所以-L=_L=.・.=_L=_L.

%%2Xnn

【点评】本题主要考查二项式定理，复数的运算，考查运算求解能力，属于难题.

23.（2022•兰州一模）（1）学校开设了7门选修课，要求每个学生从中选学4门，共有多少种不同的选法?

（2）从参加羽毛球团体比赛的6名运动员中选出3名，并按排定的顺序出场比赛，有多少种不同的选法?

【答案】（1）35,（2）120.

【考点】排列组合的综合应用

【专题】排列组合；方程思想；计算题；数学运算；定义法

【分析】（1）根据题意，由组合数公式计算可得答案；

（2）根据题意，由排列数公式计算可得答案.

【解答】解：（1）学校开设了7门选修课，要求每个学生从中选学4门，共有仁=35种不同选法;

（2）从参加羽毛球团体比赛的6名运动员中选出3名，并按排定的顺序出场比赛，共有£=120种.

【点评】本题考查排列组合数公式的应用，注意排列、组合的不