2025版《考点一遍过》高考文数考点25二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题含答案

专题25二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

考拥晨女

（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.

（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.

（3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元级性规划问题，并能加以解决.

知识整合,

_________/

一、二元一次不等式（组）与平面区域

1.二元一次不等式表示的平面区域

一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ar+gy+C>。表示直线不+瓦、，+。一0某一侧所有

点组成的平面区域，我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界.不等式AY+8），+CN0表示的平面

区域包括边界，把边界画成实线.

2.对于二元一次不等式的不同形式，其对应的平面区域有如下结论：

3.确定二元一次不等式（组）表示平面区域的方法

11）对于直线Ar+8.y+C=0同一侧的所有点8y）,使得Ar+B.y+C的值符号相同，也就是位于同

一半平面的点，如果其坐标满足Ar+8），+C>0,则位于另一个半平面内的点，其坐标满足

Ar+Bv+C<0.

（2）可在直线Ar+8），+C=0的同一侧任取一点，一般取特殊点血，刈），从A7+&y°+C的符号就

可以判断Av+砂+C>0（或At+为+Cv0）所表示的区域.

（3）由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

14）点Pig,yi）和。2（必力）位于直线Ar+?v+C=O的两侧的充要条件是（小+孙+。）（不2+B%

+C）<0:位于直线Ar+B>+C=O同侧的充要条件是（4土+孙+C）（Ax2+By2+C）>0.

二、简单的线性规划问题

1.简单线性规划问题的有关概念

（I）约束条件：由变量x，y的不等式（或方程）组成的不等式组称为工，y的约束条件.关于变量工,），的

一次不等式（或方程）组成的不等式组称为x,），的线性约束条件.

（2）目标函数：我们把求最大值或最小值的函数称为目标函数.目标函数是关于变量弟y的一次解析

式的称为线性目标函数.

13）线性规划问题：一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规

划问题.满足线性约束条件的解（x,.y）叫做可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域，其中，使目标

函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解.

2.简单线性规划问题的解法

在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，

即：（1）iffli：在平面百角坐标系中,画出可行域和有线ax+by=0（目标函数为z=ax+by）：

（2）移：平行移动直线ca+by=O,确定使z=aY+〃y取得最大值或最小值的点；

（3）求：求出使z取得最大值或最小值的点的坐标（解方程组）及z的最大值或最小值：

（4）答：给出正确答案.

3.线性规划的实际问题的类型

11）给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大：

（2）给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小.

常见问题有：①物资调运问题：②产品安排问题：③下料问题.

4.非线性目标函数类型

（I）对形如z=（x-a）2+（），—〃）2型的目标函数均可化为可行域内的点（］,>，）与点（小间距离的平方

的最值问题.

（2）对形如z=」一（4CH0）型的目标函数，可先变形为z=-------j的形式，将问题化为求可

cx+dcx-恪

C

行域内的点（x,y）与点连线的斜率的q倍的取值范围、最值等.

cac

13）对形如z=|Ar+8），+C|型的目标函数，可先变形为z="T7r•乌普田的形式，将问

yjA2+B2

逊化为求可行域内的点（x,y）到直线Ar十或），十C=0的矩离的J/V十倍的。的.

考向一二元一次不等式（组）表示的平面区域

1.确定平面区域的方法如下：

第一步，“直线定界”，即画出边界4+8.y+C=0,要注意是虚线还是实线：

第二步，”特殊点定域”，取某个特殊点（%,光）作为测试点，由Ar。+8%+C的符号就可以断定

Ar+5v+C>0表示的是直线Ar+By+C=O哪一侧的平面区域；

第三步，用阴影表示出平面区域.

2.二元一次不等式组表示的平面区域的应用主要包括求平面区域口勺面积和已知平面区域求参数的取

值或范围.

（I）对于面积问题，可先画出平面区域，然后判断其形状（三角形区域是比较简单的情况），求得相应的

交点坐标、相关的线段长度等，若图形为规则图形，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，则

运用割补法计算平面区域的面积，其中求解距离问题时常常用到点到直线的距离公式.

（2）对于求参问题，则需根据区域的形状判断动直线的位置，从而确定参数的取值或范围.

典例引领

x-y+l>0

典例1不等式组|x+yWO表示的平面区域与/+）,2+工一），+2_《。表示的平面区域的公共部分面积

4

y>0

为.

【答案】4

16

X->'+!>()

【解析】画出不等式组，工+丁工。表示的平面区域，如图,

y>0

x-y+l=()(n

由《)可得A+y—V一,表示以

x+y=OV2)4

x-y+\>0

为圆心，以1为半径的圆内及其圆上各点，由图可知不等式组<

Lx+y<0表示的平面区域与

22)2

y>0

f+V+X-y+^WO表示的平面区域的公共部分面积为以为圆心，以上为半径的圆的四分之一,

2

其面积为兀—=——»故答案为—.

4{2)1616

x>0

典例2已知。>0,不等式组•)，40表示的平面区域的面积为2,则〃的值为

y>a(x-2)

11

A.-B.-

42

C.ID.2

【答案】C

x>0

表示的平面区域为直角三角形，所以,所以

【解析】作出可行域，因为不等式组_V<0x2x2a=2,

2

y>a(x-2)

a=1.故选C.

变式拓展

x+y-2<0

I.不等式组［x-y+220表示的平面区域的形状为

)'N1

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

考向二线性目标函数的最值问题

1.平移直线法：作出可行域，正确理解z的几何意义，确定目标函数对应的直线，平移得到最优解.对一个封

闭图形而言，最优解一般在可行域的顶点处取得，在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点.

2.顶点代入法：①依约束条件画出可行域;②解方程组得出可行域各顶点的坐标;③分别计算出各顶点处目

标函数z=(vc+by的值，经比较后得出z的最大(小)值.

求解时需要注意以下几点：

(i)在可行解中，只有一组区)，)使目标函数取得最值时，最优解只有1个.如边界为实线的可行域，当目

标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值.

(ii)同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个.如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线

与某一边界线平行时，会有多个最优解.

(iii)可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解.

典例引领

x+y-2>0

典例3已知点满足约束条件《x-2y+4>0,piiJz=3x+y的最大值与最小值之差为

x-2<0

A.5B.6

C.7D.8

【答案】C

x+^-2>0

【解析】作出约束条件工-2），+420表示的平面区域，如图中阴影部分所示,

作“线y=-3x并平移知，当直线经过点A时,z取得最大值；当直线经过点B时二取得最小值.

x=2x=2x-2y+4=0[x=0

，即A(2,3),故Zmax=9.由<八，得1，即仇0,2),故Zmin=2,

x-2y+4=0[y=3x+y—2=()[y=2

故z的最大值与最小值之差为7,选C.

变式拓展

x-2y+6<0,

2.已知实数X，y满足，3x+丁一940,则z=4A--5y的最小值为

xN—2,

考向三含参线性规划问题

I.若目标函数中有参数，要从目标函数的结论入手，对国形进行动态分析，对变化过程中的相关量进行准

确定位，这是求解这类问题的主要思维方法.

2.若约束条件中含有参数，则会影响平面区域的形状，这时含有参数的不等式表示的区域的分界线是一条

变动的直线，注意根据参数的取值确定这条直线的变化趋势，从而确定区域的可能形状.

典例引领

y<x

典例4若变量x,)，满足约束条件•)Y-X+4,且“2计尹2的最小值为-4,则4的值为

y>2k

A.7B.-1

C.-3D.2

【答案】B

【解析】因为“=2x+y+2,设z=2x+y,贝h1=z+2,因为〃=2x+y+2的最小值为4所以z的最小值为6

y<x

不等式组，y<-％+4表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知,H标函数z=2x+y过点A(2k2外时取得

y>2k

最小值,n.Z*=4攵+2k=-6，解得仁1.

x-y+1>0

典例5设变量满足“x+2y-22。工=〃匕+W0<«<鱼)的最大值为5,则a=

2x+y-7<0

1

A.1B.-

2

C夜D出

22

【答案】A

x-y+\>0

【解析】如图，画出不等式组•％+2y-2N0表示的可行域，如图中阴影部分所示.

2x+v-7<0

22

士=44+乂.•.尸B+z,求2的最大值，即求直线y=-dx+z在y轴上的最大载距，显然，当直线)--ax+z过点A

x-y+1=0

时，在y轴上的截距取得最大值.由〈,，解得人(2,3),则2标+3=5,可得斫1.故选人.

2x+y-7=0

变式拓展

x-2>>+l<0

3.若x，y满足约束条件，2x-y+220,z=3x+y+根的最小值为］,则〃?=

x+y-2<0

考向四利用线性规划解决实际问题

用线性规划求解实际问题的一般步骤为：

(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关

例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法.

(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解.

(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最住的方案.

注意：(1)在实际应用问题中变量乂y除受题目要求的条件制约外，可能还有一些隐含的制约条件不

要忽略.

(2)线性目标函数的最优整数解不•定在可行域的顶点或边界处取得，此时不能直接代入顶点坐标求最值，

可用平移直线法、检验优值法、调整优值法求解.

典例引领

S______/

典例6下表所示为X,y,Z三种食物的维生素含量及成本，某食品厂阳将三种食物混合，制成至少含44D00

单位维生素4及48000单位维生素3的混合物100千克，所用的食物X,y,Z的质量分别为苍乂z(千克)，

贝0混合物的成本最少为元.

XYz

镂生素A（单位：千克）400600400

姓生素8（单位：千克）800200400

成本（元/千克）12108

【答案】960

400.V+600y+4OOz>44UU0

?>>>20

800x+200y+400z>48000

【解析】由题意得《二八，消去z得<2%-y240.设混合物的成本为P,则

x+y+z=100

x+j<IOO

xNO,），N0,z20

P=12x+IOy+8z=800+4x+2y.

”20

画出2x-yN40表示的可行域，如图中阴影部分所示,

xiy<100

P

当直线），=-2汇-400+工过可行域内的点A（30,20）,即x=30F克，），=20千克，z=50千克时，成

本最少，为P=960元.

典例7某家具厂有方木料90m五合板600m2,准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方

木料0.1m，、五合板2m2：生产每个书橱需要方木料0.2m'、五合板1m?.出售一张书生可获利润80元,

出售一个书橱可获利润120元，怎样安排生产可使所得利润最大？最大利润为多少？

Oh+0.2)，490x+2y<900

2x+y<6002x+y<600

【解析】设生产书桌X张，书橱.V个，利润总额为Z元，则＜,即,

x>0x>0

y>0y>0

\r+2y<900

2x+y<600

z=80刀+120)，.作出•表示的可行域，如图中阴影部分所示.

x>0

y>0

2z

由图可知：当直线y=-120即Z最大,

x+2y=9(X)

解方程组-得知的坐标为(100400).

2x+y=60()

则2n1ax=8()x+120)，=8()x1(X)+120x400=56000(元).

因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利涧最大，最大利润为56000元.

变式拓展

4.某公司每月都要把货物从甲地运往乙地，货运车有大型货车和小型货车两种.己知4台大型货车与5台小

型货车的运费之和少于22万元，而6台大型货车与3台小型货车的运费之和多于24万元.则2台大型货

车的运费与3台小型货车的运费比较

A.2台大型货车运费贵B.3台小型货车运费贵

C.二者运费相同D.无法确定

考向五非线性目标函数的最值问题

I.斜率问题是线性规划延伸变化的类重要问题，其本质仍然是二元函数的最值问题，不过是用模型形态

呈现的.因此有必要总结常见模型或具变形形式.

2.距离问题常涉及点到直线的距离和两点间的距离，熟悉这些模型有助于更好地求解非线性目标函数

的最值.

典例引领

x-y+\>0

典例8已知实数x、y满足不等式组，x+y-3>(),若.F+y2的最大值为〃八最小值为〃，则m-n=

x<2

C.8D.9

【答案】B

x-y+\>0

【解析】作出不等式组「K+y-320表示的平面区域，如图中阴账部分所示,

x<2

-/+炉表示平面区域内的点与原点的距离的平方，观察图形可知，原点到皆线x+y_3=0的距离|O/)|的平方等于

917

〃,|。4|2=〃八经过计算可得"曰3/=一,则/〃-〃=—.故选B.

22

x+y-\>0

典例9已知Q，满足4x-2)，—4«。，如果目标函数的取值范围为位2),则实数m的取值范围为

-CCX一〃1

2x-y-2>0

1、1

A.[0,—]B.(-℃,—]

22

1

C.(-oo,—)D.(-oo,0]

【答案】C

xiy-l>0

【解析】作出卜一2)，-4工0表示的可行域，如图中阴影部分所示.

2x-y-2>0

日标函数z=2V—+1的几何意义为可行域内的点(XJ)与4肛-1)连线的斜率.

x-in

x+y-1=0x=2

111-得《，即8(2,-1).

[x-2y-4=0y=T

由题意知m=2不符合题意，故点A与点B不重合，因而当连接AB时，斜率取到最小值0.

由y=-\与2.v-y-2=0得交点在点4由点C向左移动的过程中，可行域内的点与点4连线的斜率小

于2,而目标函数的取值范围满足z£[0,2),则故选C.

变式拓展

y>x

5.已知实数x,)，满足(x+3y<4,则z=|3x+)，|的最大值是.

x>-2

、声点冲关*

x+2>'-3>()

1.若实数4,)'满足不等式组(24+》一320,则2x+3)，的最小值为

x+.y-3<0

A.4B.5

C.6D.7

x-y-2<0

2.设x,)，满足约束条件y+320，则上的取值范围是

八x+6

A.-q,lB.[—3,1]

「3

C.(-oo,-3]|j[l,+oo)D.-yJ

x4-y+67>0

3.设X，5'满足约束条件｛.八，且z=x+2)，的最小值为2,则。二

x-y+\<Q

A.1B.-1

2x+3y-6„0,

4.在平面直角坐标系xQy中，M为不等式组（4+〉-2..0，所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值

y..0

是

A.IB.72

C.2D.2近

x^O

5.已知A（2,l）,设P（x,y）为可行域,3x+2yW7内一点，则方•次的最大值为

4x-y<2

A.—2B.-y2

C.4D.5

x>0,

6.已知X，），满足约束条件，）”3,且不等式2x-y+sN0恒成立，则实数小的取值范围为

3x<y,

A.〃?..3B.m..1

C.nt.0D.m..3

x+y>0,

7.若xy满足<y+iwo,则k-y|的最大值为

y>2x-6,

A.0B.I

C.2D.4

8.设不等式组表示的平面区域为。，若在区域。上存在函数y=log,d（4>l）图象上的点,

x+3y<6

则实数。的取值范围是

A.（3,甸B.(1,3)

C.[3,+oo)D.(1,3]

x-y+\>0

I/1\21

9.若不等式组，）'+—20表示的区域为C，不等式式-上+），2«2表示的区域为「，向C区域均匀

2\2J4

x+y-1<0

■机撒360颗芝麻，则落在区域「中芝麻数约为

A.114B.10

C.150D.50

x-2<0

10.不等式组<工-2），+420表示的平面区域的面积为.

-%-y+2<0

11.在平面直角坐标系中,已知点力（-1,0）,8（1,2）,。（3,-1），点P（x,y）为△ASC边界及内部的任意一

点，贝k+y的最大值为.

x-2y+\<0

12.设尤丁满足约束条件卜x-2y+3N0,则z=的最小值为

3x+y-6V0

x+y-2<0

13.己知满足约束条件"2），-24。，若可行域内存在（x,y）使不等式2x+），+A20有解，则实数2

2x-y+2>0

的取值范围为.

x+y..3

14.若变量”,>满足约束条件，入一又..一1,则z=ln），-lnx的最大值为.

2x-y<3

x+2>0

15.设变量满足约束条件卜一丁+320，目标函数z=x+6y的最大谊为，儿则当2。+/>=工（。>06>。）时

2x+y-3<0

的最小值为.

16.某工艺厂有铜丝5万米，铁丝9万米，准备用这两种材料编制成花篮和花盆出售，已知编制•只花篮

需要用铜丝200米，铁丝300米：编制一只花盆需要铜丝100米，铁丝300米，设该厂用所有原料编

制x个花篮，），个花盆.

<1）列出X，）'满足的关系式，并画出相应的平面区域：

（2）若出售一个花篮可获利300元，出售一个花盘可获利200元，那么怎样安排花篮与花盆的编制个数,

可使得所得利润最大，最大利润是多少？

快通高考切

x+y>6,

1（.2019年高考全国III卷文数）记不等式组—八表示的平面区域为D.命题p：3（x,y）eD,2x+y>9；

2x-y>（）

命题4：V（x,y）wO,2x+yW12.下面给出了四个命题

①pvq②r）vq③〃人f④力人―

这四个命题中，所有其命题的编号是

A.©@B.①②

C.②③D.®®

x+y-2<0.

x-y+2>0.

2.12019年高考天津卷文数）设变量KN满足约束条件〈一,则目标函数z=-4x+y的最大值

X.-1,

y…-1,

为

A.2B.3

C.5D.6

x-3y+4>0

3.（2019年高考浙江卷）若实数芭）'满足约束条件,3x—y—4«0,则z=3x+2），的最大值是

x+y>0

A.-1B.1

C.10D.12

x+3y<3,

4.（2017年高考全国I卷文数）设My满足约束条件•x-y>i,则z=x+y的最大值为

y>o,

A.0B.I

C.2D.3

2x+3y-3<0,

5.（2017年高考全国II卷文数）设工，），满足约束条件《2x—3y+3NO,则z=2x+），的最小值是

>,+3>0,

A.-15B.-9

C.1D.9

2x+3y-6>0,

6.（2019年高考全国II卷文数）若变量x,y满足约束条件<x+）」3W0,则z=3x-y的最大值是

y-2<0,

x<2,

7.（2019年高考北京卷文数）若x,），满足《1,则旷一上的最小值为,最大值为

4x-3y+l>0,

fx-2y-2<0

8.（2018年高考全国I卷文数）若"，丁满足约束条件•4一），+120,则z=3x+2），的最大值为

y<0

2x+y+3>0»

9.（2018年高考全国III卷文数）若变量X，>满足约束条件,x-2y+4N0，则z=x+gy的最大值是

x-2<0.

x+2y-5>0,

10.（2018年高考全国【I卷文数）若兑3,满足约束条件，x-2y+3>0,则z=x+y的最大值为

x-5<0,

弃参考答案.

变式拓展

1.【答案】D

【解析】由不等式组可得平面区域如下图阴影部分所示:

易知A(—1,1),8(1,1),二。。是4B的垂直平分线，.•.AC=3C,乂直线工一y+2=0与x+)，-2=0

垂直，平面区域的形状为等腰直角三角形.木题正确选项为D.

［名师点睛】本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域的形状问题，属于基础题.根据不等式组得到

平面区域，根据宜线垂直关系和线段长度关系可得区域形状.

2.【答案】-83

【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,

结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点八(-2,15)处取得最小值，即z.ndxL2)-5xl5=-83.

【名师点睛】本题考查根据不等式组表示的平面区域来求目标函数的最值，能否绘出不等式组表示的平

面区域是解决本题的关键，考查数形结合思想，是简单题.求解时，首先可以根据题意绘出不等式组表示

的平面区域，然后结合目标函数z=4x-5)，的几何性质，找出目标函数取最小值所过的点，即可得出结

果.

3.【答案】4

【解析】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：

z=3x+y+m取最小值时，即y=-3x-+z在y轴上的截距最小,

平移直线y=-3x可知，当y=-3x—m+z过A点时，在y轴上的截距最小,

2x-y+2=0

由得：A（-1,O）,

x_2），+l=01）

Zmin=-3+0+=1,解得：tn=4

本题正确结果为4.

【名师点睛】本题考查线性规划中根据最值求解参数的问题，关犍是能够明确最值取得的点，属于常考

题型.求解时，由约束条件得到可行域，z取最小值时)，=-3x-〃z+z在)，轴上的截距最小，数形结合求

件结果.

4.【答案】A

【解析】设大型货车每台运费x万元，小型货车每台运费y万元,

4x+5y<22

6%+3y>24

依题意得八，画出该不等式组表示的平面区域:

x>0

y>0

由图可知,z=2x-3y过C（3,2）时，z最小.

/.z>2x3-3x2=0.即2x>3y,故选A.

【名师点睛】用线性规划的方法来解决实际问题：先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的量用

字母表示，进而把问题中所有的量都用这两个字母表示出来，建立数学模型，画出表示的区域即可解决.

5.【答案】8

【解析】由约束条件可知可行域为图中阴影部分所示：

其中A（-2,-2）,8（1,1）,C（-2,2）,

由2=与芳Ljid,可知z的几何意义为可行域中的点到直线3x+），=。距离的加倍，可行域中的

点到直线3x+y=0距离最大的点为A（-2,-2）,

■•■^=|3X（-2）-2|=8.

本题正确结果为8.

【名师点睛】本题考查利用线性规划求解最值的问题，关键是能够明确目标函数所表示的几何意义，利

用数形结合来进行求解.求解时，画出约束条件的可行域，求出三角形的顶点坐标，根据z的几何意义,

求出最值取得的点，代入目标函数求解即可.

专题冲关

1.【答案】B

x+2y-3>0

［解析】画出不等式组2x+y-3ZO表示的平面区域如图阴影区域所示,

x+y-3<()

21

令z=2x+3y,则y=+分析知，当x=l,y=l时，z取得最小值，且ZmM=5,故选B.

JJ

【名师点睛】本题主要考查线性规划求解最值，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.求解时，作出

可行域，平移目标函数，确定取到最小值的点，然后求出最小值.

2.【答案】B

【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,

目标函数震表示可行域内的点与点P(-6,T)之间连线的斜率,

数形结合可知目标函数在点C（-1,1）处取得最大值：与当=1，

目标函数在点A（—5,-7）处取得最小值：圭，=一3,

故目标函数的取值范围是[-3,1].

故选B.

【名师点睛】求解时，首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其取值范围即可.

3.【答案】B

【解析】结合目标函数作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分表示：

其中A（一等'F），作直线/：%+2,，-0,平移直线/,当其经过点A时，zl仅得最小值，即

4e=一等+2•宁=2,解得。=一1.

故选B.

【名师点睛】利用线性规划求最值的步骤：

（1）在平面直角坐标系内作出可行域.

⑵考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形.常见的类型有截距型（以+小型）、斜率型（上〃

x^a

型）和距离型（（工+〃）2+（｝，+/?）:型）.

（3）确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解.

（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.

4.【答案】B

【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，过点O向直线x+y-2=0作垂线，垂足在

可行域内，所以O到直线X+）」2=0的距离即为|OM|的最小值，所以|。必舄.故选B.

【名师点睛】本题考查线性规划，属于距离模型，利用点到直线的距离公式求解.求解时，首先在平面直

角坐标系中作出不等式组式示的可行域，|。/州表示。到可行域内其点的距离，过点0向直线

x+y-2=0作垂线，垂足在可行域内，所以0到直线x+y-2=0的距离即为|。〃|的最小值.

5.【答案】C

3x+2v=7

【解析】由题意作出其平面区域，由解得知(1,2),

OPOA=z=2x+y,由线性规划知识知经过点M时，取得最大值，此时x=l，)，=2,z=2x+y

有最大值2x1+2=4，故选C.

【名师点睛】本题考查了线性规划、向量的数量积，属于基础题.

6.【答案】A

x>0

【解析】由约束条件作出可行域如图，

3x<y

>-3x

尸3

r=2x-y\y

乂------

令，=2x-y,平移直线y=2x7,则当直线y=2x-过点4（0,3）时，直线y=2xT的纵截距最大，

，有最小值-3,

因为不等式2支一），+〃后0恒成立，所以-3+〃zN0,即"此3.

故选A.

【名师点睛】本题主要考查线性规划求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题.求目标函数最值的一

般步骤是“一画、二移、三求”：

口）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）：

12）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶

点就是最优解）：

13）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

7.【答案】D

【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数即：z=|x-y|=^^xV2

其中z取得最大值时，其几何意义表示可行域内的点到直线x-y=O的距离的④倍最大，据此可知目

标函数在点A处取得最大值,

x+y=0/、

联立直线方程：二,，可得点的坐标为：A（2,-2）,

y=2x-6'7

据此可知目标函数的最大值为：2,m=|2-（-2）|=4.

故选D.

【名师点睛】（1）本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法.

⑵解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数一定的几何意义.

8.【答案】C

f3x+y-l()>()

【解析】作出不等式组《J,C对应的平面区域如图:

x+3y-6<()

U33x4,-yy--160==o0'解得4⑶)此时满足皿解得心,

•・.实数々的取值范围是［3,+<x>）,故选C.

【名师点睛】解本题时，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用

函数产log斜（a>l）的图象特征，结合区域上的点即可解决问题.利用线性规划求最值的步骤:

①在平面直角坐标系内作出可行域:

②考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；

③在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解;

④将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.

9.【答案】A

3131I1

［解析］由图川得，A点坐标为（-二，一二）,8点坐标为（二，一二）,C坐标为（01）,。点坐标为（二，二）.