2025年概率论与随机过程习题集

随机过程综合练习题

一、填空题(每空3分)

第一章

1.X1,X?,…X”是独立同分布的随机变量，Xj的特性函数为g(/),则

X1+X?+…+X”的特性函数是o

2.£{E(X|y)}=。

3.X的特性函数为g"),丫=苏(：+〃，则丫的特性函数为。

4.条件期望E(X|y)是的函数，(是or不是)随机变量。

5.X「X2,…X”是独立同分布的随机变量，X：的特性函数为a(/),贝IJ

X1+X?+…+X”的特性函数是。

6.n维正态分布中各分量的互相独立性和不有关性o

第二章

7.宽平稳过程是指协方差函数只与有关。

8.在独立反复试验中，若每次试验时事件A发生的概率为p(OVpVl),以X(〃)记进行

到〃次试验为止A发生的次数，贝I{=0,1,2,•••)是过程。

9.正交增量过程满足的条件是o

10.正交增量过程的协方差函数Cx(s")=。

第三章

11.{X⑴,120}为具有参数2>0的齐次泊松过程，其均值函数为；

方差函数为O

12.设抵达某路口的绿、黑、灰色的汽车的抵达率分别为4,4,4且均为泊松过程，它

们互相独若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间

的不一样抵达时间间隔的概率密度是，汽车之间的不一样抵达时刻间

隔的概率密度是.

13.{X⑴,t20}为具有参数4>0的齐次泊松过程，

p{x（t+s）-X（s）=n}=on=0,1,…

14.设{X（t）,120}是具有参数4>0的泊松过程，泊松过程第n次抵达时间Wn的数学期望

是。

15.在保险的索赔模型中，设索赔规定以平均2次/月的速率的泊松过程抵达保险企业.若

每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，求一年中保险企业的平均赔付金

额。

16.抵达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量.设各客车内

乘客数独立.同分布，且各辆车乘客数与车辆数N⑴互相独'Z,则在［0,t］内抵达汽车总站的

乘客总数是（复合or非齐次）泊松过程.

17.设顾客以每分钟2人的速率抵达，顾客流为泊松流，求在2min内抵达的顾客不超过3

人的概率是.

第四章

18.无限制随机游动各状态的周期是o

19.非周期正常返状态称为。

20.设有独立反复试验序列以X”=1记第n次试验时事件A发生，且

尸{X“=l}=p,以X〃=0记第n次试验时事件A不发生，且P{X〃=0}=1-〃，若有

丫“=X'女，〃之1，则{%,〃N1）是链。

答案

一、填空题

1.g"H)；2.EX；3.eib,g(at)4.y；是5.n^.(/)；6.等价

7.时间差；8.独立增量过程；

9.E(X(/2)-X(r,)lx(r4)-x(/3)]|=o10.erJ(min{5,r})

乙八J(4+4，+4)eFL壮0

11.力；At；12.=<1/(0=S=c

[or<00/<0

(At)"一力ii—71

13.〃14.—15.24000016.复合；17.—e

n\23

18.2；19.遍历状态;20.齐次马尔科夫链;

二、判断题（每题2分）

第一章

1.gj，a=12…"）是特性函数,⑺不是特性函数。（）

1=1

2.n维正态分布中各分量的互相独立性和不有关性等价。（）

3.任意随机变量均存在特性函数。（）

4.扁⑺1,2,…〃）是特性函数，立.（1）是特性函数。（）

1=1

5.设（X，X2，X3，X4）是零均值的四维高斯分布随机变量，则有

E（X,X2X3X4）=E（X{X2）E（X3X4）+E（X,X3）E（X2X4）+E（X,X4）E（X2X3）（）

第二章

6.严平稳过程二阶矩不一定存在，因而不一定是宽平稳过程。（）

7.独立增量过程是马尔科夫过程。（）

8.维纳过程是平稳独立增量过程。（）

第三章

9.非齐次泊松过程是平稳独立增量过程。（）

第四章

10.有限状态空间不可约马氏链的状态均常返。（）

11.有限齐次马尔科夫链的所有非常返状态集不也许是闭集。（）

12.有限马尔科夫链，若有状态k使limp?=0,则状态k即为正常返的。（）

13.设ieS,若存在正整数n,使得>0,p/D>0,则i非周期。（）

14.有限状态空间马氏链必存在常返状态。（）

15.i是正常返周期的充要条件是limp仍不存在。（）

〃一KO

16.平稳分布唯一存在的充要条件是：只有一种基本正常返闭集。（）

17.有限状态空间马氏链不一定存在常返状态。（）

18.i是正常返周期的充要条件是limp仍存在。（）

19.若icj,则有4=d,()

20.不可约马氏链或者全为常返态，或者全为非常返态.（）

答案

二、判断题

1.X2.V3.J4.V5.V

6.J7,V8.J9.X

10.V11.V12.V13.V14.J15.V

16.V17.X18.X19.V20.J

三、大题

第一章

1.（10分）一（易）设》,~区（九〃），求X的特性函数，并运用其求上X。

2.（10分）一（中）运用反复抛掷硬币的试验定义一种随机过程，

fcos^r,出现正面

X（f）=〈,-oo<z<+oo

[2右出现反面

出现正面和背面的概率相等，求X。）的一维分布函数尸（x,1/2）和户（占1）,X"）的二维

分布函数万（与/2口/2」）.

3.（10分）一（易）设有随机过程X（f）=>0,其中A与B是百相独立的随机

变量，均服从原则正态分布，求X（Z）的一维和二维分布。

第二章

4.（10分）一（易）设随机过程X（t）=Vt+b,te（0,+8）,b为常数,V服从正态分布N（0,

1）的随机变量，求x（l）的均值函数和有关函数。

5.（10分）一（易）已知随机过程X⑴的均值函数m4）和协方差函数Bx-，g⑴为一般

函数，令Y（t）=X⑴+g（t）,求随机过程Y⑴的均值函数和协方差函数。

6.（10分）一（中）设是实正交增量过程，T=[0,8）,X（0）=0,4是一服

从原则正态分布的随机变量，若对任一f之0,X（t）都与J互相独立，求

Y(t)=X«)+J/s[0,oo)的协方差函数。

7.（io分）一（中）设{z«）=x+y£,-8V£v+8},若已知二维随机变量（x,y）的协

方差矩阵为a,<，求Z（E）的协方差函数。

LP巧」

8.（10分）一（难）设有随机过程{X«）“GT}和常数。，试以X。）的有关函数表达随

机过程Y（t）=X（t+。）-eT的有关函数。

第三章

9.（10分）一（易）某商店每日8时开始营业，从8时到11时平均顾客抵达率线性增长.在

8时顾客平均抵达率为5人/时，11时抵达率到达最高峰20人/时,从11时到13时，平均顾

客抵达率维持不变，为20人/时，从13时到17时，顾客抵达率线性卜.降，到17时顾客抵

达率为12人/时。假定在不相重置的时间间隔内抵达商店的顾客数是互相独立的，问在8：

30-9：30间无顾客抵达商店的概率是多少？在这段时间内抵达商店的顾客数学期望是多

少？

10.（15分）一（难）设抵达某商店的顾客构成强度为/的泊松过程，每个顾客购置商品的

概率为p,且与其他顾客与否购置商品无关，求（0,t）内无人购置商品的概率。

II.（15分）一（难）设Xi⑴和X?⑴是分别具有参数友和4的互相独立的泊松过程，证

明：Y⑴是具有参数4+乙的泊松过程。

12.（10分）一（中）设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有2户定居.即

2=2o假如每户的人口数是随机变量，一户四人的概率为1/6,一户三人的概率为1/3,一

户两人的概率为1/3,一户一人的概率为1/6,并且每户的人口数是互相独立的，求在五周

内移民到该地区人口的数学期望与方差。

4A

13.（10分）一（难）在时间【内向电话总机呼喊k次的概率为p,（k）=—e-\k=0,1,2,…，

k\

其中之>0为常数.假如任意两相邻的时间间隔内的呼喊次数是互相独立的，求在时间2t

内呼喊n次的概率尸2,（〃）

14.（10分）一（易）设领客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30人抵达，

求下列事件的概率：两个顾客相继抵达的时间间隔超过2min

15.（15分）一（中）设进入中国上空流星的个数是一泊松过程，平均每年为10000个.每

个流星能以陨石落于地面的概率为0.0001，求一种月内落于中国地面陨石数W的EW、varW

和P{W22}.

16.（10分）一（易）通过某十字路口的车流是一泊松过程.设Imin内没有车辆通过的概

率为0.2,求2min内有多于一辆车通过的概率。

17.（10分）一（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30人抵达，

求下列事件的概率：两个颐客相继抵达的时间间隔短于4min

18.（15分）一（中）某刊物邮购部的顾客数是平均速率为6的泊松过程，订阅1年、2年

或3年的概率分别为1/2、1/3和1/6,且互相独立.设订一年时，可得1元手续费：订

两年时，可得2元手续费；订三年时，可得3元手续费.以X⑴记在［0,口内得到的总手续

费,求EX⑴与varX（l）

19.（10分）一（易）设顾客抵达商场的速率为2个/min,求（1）在5min内抵达顾客数

的平均值：（2）在5min内抵达顾客数的方差；（3）在5min内至少有一种顾客抵达的概率.

20.（10分）一（中）设某设备的有效期限为，在前5年内平均2.5年需要维修一次，后5

年平均2年需维修一次，求在有效期限内只维修过I次的概率.

21.（15分）一（难）设X（t）和Y⑴（t20）是强度分别为4*和；ly的泊松过程，证明：在

X⑴的任意两个相邻事件之间的时间间隔内，Y⑴恰好有k个事件发生的概率为

P=

第四章

22.（10分）一（中）已知随机游动的转移概率矩阵为

0.50.50

p=00.50.5

0.500.5

求三步转移概率矩阵内）及当时始分布为

P{X°=l}=P{X°=2}=0,P{XO=3}=1

时，经三步转移后处在状态3的概率。

23.（15分）一（难）将2个红球4个白球任意地分别放入甲、乙两个盒子中，每个盒子放

3个，现从每个盒子中各任取一球，互换后放回盒中（年盒内取出的球放入乙盒中，乙盒内

取出的球放入甲盒中），以X（n）表达通过n次互换后甲盒中红球数，则{X（n）,n2（）}为齐次

马尔可夫链，求（1）一步转移概率矩阵；（2）证明：{X（n）,n20}是遍历链；（3）求

=0,1,2o

n—>oo”

24.（10分）一（中）已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下：

0.80.1O.f

pr（0）=（0.4,0.2,0.4）P=（）.10.70.2

0.20.20.6

求下一、二个月的销售状态分布。

25.（15分）一（难）设马尔可夫链的状态空间1={1,2,…，7},转移概率矩阵为

0.40.20.100.10.1O.f

0.10.20.20.20.10.10.1

000.60.4000

p=000.400.600

000.20.50.300

000000.30.7

000000.80.2

求状态的分类及各常返闭集的平稳分布。

26.（15分）一（难）设河流每天的BOD（生物耗氧量）浓度为齐次马尔可夫链，状态空间1={1,

2,3,4}是按BOD浓度为极低，低、中、高分别表达的，其一步转移概率矩阵（以一天为单

位）为

若BOD浓度为高，则称河流处在污染状态。（1）证明该链是遍历链；（2）求该链的平稳分布:

⑶河流再次到达污染的平均时间出O

27.（10分）一（易）设马尔可夫链的状态空间I={0,1,2,3},转移概率矩阵为

1/21/200-

1/21/200

P=

1/41/41/41/4

0001

求状态空间的分解。

28.（15分）一（难）设马尔可夫链的状态空间为1=[1,2,3,4}.转移概率矩阵为

1000

000

1/32/300

1/41/401/2

讨论limp；?

29.（10分）一（易）设马尔可夫链的转移概率矩阵为

1/21/20

P=1/201/2

01/21/2

求其平稳分布。

30.（15分）一（难）甲乙两人进行一种比赛，设每局比赛甲胜的概率是p,乙胜的概率是

q,和局的概率为r,且p+q+r=l.设每局比赛胜者记1分，负者记一1分.和局记零分。当

有一人获得2分时比赛结束.以X“表达比赛至n局时甲获得的分数，则｛X“,1｝是齐

次马尔可■夫链.

（1）写出状态空间I；（2）求出二步转移概率矩阵；

（3）求甲已获1分时，再赛两局可以结束比赛的概率.

31.（10分）一（中）（天气预报问题）设明天与否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的

天气无关.又设今天下雨而明天也下雨的概率为a,而今天无雨明天有雨的概率为£,规

定有雨天气为状态0,无雨天气为状态1。因此问题是两个状态的马尔可夫链.设

。=0.7,4=0.4,求今天有雨且第四天仍有雨的概率.

32.（10分）一（中）设｛X“，〃21｝是一种马尔可夫链，其状态空间上｛a,b,c｝,转移概

率矩阵为

1/21/41/4

2/301/3

3/52/50

求(1)P{Xx=h.X2=c,X.=a9X4=c,X5=a,X6=c9X7=b\X。=c}

(2)P{Xn+2=c\Xn=b}

33.（15分）一（难）设马尔可夫链｛X“，〃之0｝的状态空间I=｛l,2,…，6｝,转移概率

矩阵为

-001000-

000001

000010

P=

1/31/301/300

100000

01/20001/2

试分解此马尔可夫链并求出各状态的周期。

答案

三、大题

f01）

I.解：引入随机变量Xj〜i=l,2…〃..............................................（I分）

2P）

=EeaXi=e""夕+e"/p=pe'1+q（3分）

X=ExrBUi,p)(4分)

i=l

”(力匕)«

(p(t)=Eeax=EeM=口Ee%=(pc"+q)n(6分)

i=l

夕'(0)=iEX(B分)

ltn

EX=一则(0)=-1[(pe4-q)\=-Z[M(pe"+q)""•pe"・i]

r-0

(10分)

2.解：依题意知硬币出现正背面的概率均为1/2

(1)当t=l/2时，X(1/2)的分布列为PjX(5)=0H吗

0x<0

1

其分布函数为尸(*)=—OVxvl(3分)

2

x>l

同理，当t=I时X(l)的分布列为P{x(l)=-l}=p{x(l)=2}=i

2

0X<

1

-1<X<2IZ5分

其分布函数为尸(l;x)=2--V

2

->

(2)由于在不一样步刻投币是互相独立的，故在1=1/2,t=l时的联合分布列为

pJx(l)=O,X⑴=-11=P，xd)=O,X⑴=2,

2JI2

=p|x(i)=l,X⑴=7=尸卜(；)=1,X(l)=2卜

故联合分布函数为

0占<0or占<T

1/40<X1<1and-1<x2<2

F(1,l;x,,x2)=1/2分)

04X]<1andx2>2(10

0rxi21and-1<x2<2

%]N1andx22

3.解：对于任意固定的t£T,X(l)是正态随机变量，故

£[X")]=E(A)+E(B)f=O

D[X(/)]=D(4)+D(B)t2=1+产

因此X(t)服从正态分布N(O,1+〃)...................................(3分)

另一方面任意固定的0,G£7，X(tl)=A+Bti,X(t2)=A+Bt2

则依n维正态随机向量的性质，X(G))服从二维正态分布，且

E[X(4)]=E[X(G)]=0

D[X(ti)]=l+tlaX(G)]=l+4....................(8分)

Coy(XG),X(/2))=E[X(rl)X(Z2)]=l+r1/2

因此二维分布是数学期望向量为(0,0),协方差为1+01+03的二维正态分布。

1+‘也1+，2

.........................(10分)

4.解：X(t)=Vt+b,y~N(0,l),故X(f)服从正态分布，

E[X(O]=+b]=tEV+b=b

Z>[x(o]=D\yt+b]=t2DV=t2

均值函数为/；!(/)=E[x(/)]=Z>...................................(4分)

有关函数为R(ti9t2)=EX(t.)X(1.)=E[V/1+bW?+H

222

=E\ytlt2+V(tl+t2)b+b]=t.t2+b............(10分)

5.解：mY(t)=EY(t)=E[X(t)+g(t)]=mx(/)+g(t)

.....................................(4分)

BY(小G)=J，G)一叫(4)叫(G)

=EY(tx)Y(t2)mY(t2)

m

=E[X(4)+g(ti)][X(f2)+g(—)]-l-(G+g(。)Hmx(f2)+g(G)]

=Rx(tvt2)-mx(ti)mx(t2)=Bx(/,,t2)

(10分)

6.解：由于｛X")"eT｝是实正交增量过程，故£|X(/)|=0

J服从原则正态分布，因此EJ=O,D^=\...............................(2分)

E[Y(t)]=E[X(t)]-hE^=O...............................(4分)

又由于12o,x(t)都与g互相独立

cw(s),y(oi=可丫⑸丫⑴]=旦[x(s)+如乂⑴+寻}............(6分)

=E[X(s)X(O]+EIX⑸/+E[X(t)^\+E铲

=Co\{X(s),X(t)]+l................................(S分)

=cy\(min{.5,/})+1...............................(10分)

7.解：运用数学期望的性质可得，

cz($,/)=E{[(x+Ys)_(〃x+"yS)I(X+Yt)-(JUX+〃“)]}..........(2分)

=E.X_4)+(心-〃")1(X—4)+(%—〃“)]}

=E(X—〃x尸+E[(X—〃xMY-Ar)]

+E[(X-//X)s(y_A)]+Et(y_,y>.......(g分)

=DX+(s+“Cov(X,r)+stDY

=cr；+(s+t)p+st(y1...........................(10分)

8.解：Ry(Z.,/2)=E{[X(/,+a)-X(tx)irX(t2^a)-X(t2)]}..........(2分)

=E[X(t}-}-a)X(t2+a)]-E[X(t^a)X(t2)]-E[X(ti)X(t2^a)]^E[X(tl)X(t2)]

=Rx(，i+Q，G+。)-+Q42)-RX«I/2+〃)+Rx(，i，G)........(10分)

9.解：根据题意知顾客囱抵达率为

5+5/0</<3

2034f<5...................................(3分)

(20-2(/-5)5</<9

/nv(1.5)-wv(05)=(5+5/)^7/=10...................................(6分)

P{X(l.5)-X(0.5)=0}=eT°....................(10分)

10.解：设｛X«)"NO｝表达抵达商店的顾客数，多表达第i个顾客购物与否，即

［1第，个顾客购物

1=10第i个顾客不购物

则由题意知统独立同分布.且与X(f)独立

P(4=l)=p,P砥=0)=1—〃

X(t)

因此，y«)=E4是复合泊松过程，表达(0,D内购置商品的顾客数，......(5分)

4=1

由题意求

•¥(1)]00f*”)

£&=。卜=2用工4=&x(t)=k-

{r-lA,0Ii-1

8k

=2尸{牙(力=々}尸{24=°1............................(i°分)

*=»L=i

-力q(4qt)A

Jt!

*=0凡・

•・・・(15分)

ii.证明:P{y(r+r)-y(o=w}

=尸{—](£+=+X2(r+r)-X[(£)—X2(t)=n]

=pjx.a+r)-^,(/)+x2(/+r)-x2(t)=〃}

n

=ZP{Xi«+r)-Xi«)=i,X2(t+r)-X2(t)=n-i]...............(5分)

f-o

=^P{XI(r+z-)-X1(/)=£}P{X2(t+T)-X2(t)=n-i］...........(10分)

t=0

,金(4.)'c-w(4')"一：-3

S订(〃-，)！

=.妫土■应1〃=OY…

〃！

故Y⑴是具有参数人+%的泊松过程.......................(15分)

12.解：设N(f)为在时间［0,t］内的移民户数，其是强度为2的泊松过程，匕表达每户的

N(t)

人数，则在［o,ii内的移民人数万(力=£匕是一种复合泊松过程。

(2分)

匕是独立同分布的随机变量，其分布为

V,1234

£££1

P

6336

（4分）

m(5)=EN(5)EY=2x5x—=25（7分）

xi6

a(5)=DN(5)-EY；=2x5x—=—（10分）

x63

13.解：以A记时间2（内呼喊n次的事件，记第一时间间隔内呼喊为小,则PM）=£（%），

第二时间间隔内P（A|HA）=《5-6成立，于是

n〃

（4分）

k=Qk=0K・

一22〃.n!0一22n

=J£=―4〃支C

(8分)

〃！总砥〃-女)!〃！总

(W-2A

（10分）

14.解：由题意，顾客抵达数N⑴是强度为4的泊松过程，则顾客抵达的时间间隔{X“,〃21}

服从参数为4的指数分布,

30"如x>0

/x(x)=«（4分）

0x<0

2广+°°l

3()*3。以X=e-（10分）

60

15.解：设XQ）是t年进入中国上空的流星数，XQ）为参数4=10000的齐次泊松过程

U第i个流星落于地面.01

设匕=〈即匕~

o,第i个流星不落于地面”一(0.99990.0001J

X（r）

由题意知，w=Z匕是一种复合泊松过程（5分）

r=l

EW=EX{t}EY=—xl0000x0.0001=—

x11212

VarW=VarXU)^i2=—xl0000xI2x0.0001=—

1212

W是参数为=1的泊松过程....................................(10分)

P{W>2}=1-P{W<1}=1-P{W=0}-P{W=1}

=1----12-............（］5分）

0!1!12

16.解：以N⑺表达在［0"）内通过的车辆数，设｛N（f）,，20｝是泊松过程，则

P{N(f)=L}=@Le",k=0,1,2,.............................(2分)

k\

P{N(l)=0}=e〃=0.2=>A=ln5.......................(5分)

P{N(2)>1)=1-P{N(2)<1}=1-P{N⑵=0]-P{N(2)=1)

747

=\-e-2A=-------In5...................(10分)

2525

17.M：由题意，顾客抵达数N⑴是强度为/l的泊松过程，则顾客抵达的时间间隔｛X〃,〃21｝

服从参数为2的指数分布,

x>0

（4分）

x<()

P[X<—]=30e-3()xdx=\-e-2（10分）

60J。

18.解：设Z⑴为在［0,口内来到的顾客数，Z（£）为参数4=6的齐次泊松过程,

匕是每个顾客订阅年限的概率分布，且匕独立同分布，

Z（Z）

由题意知，*«）=£匕为［0,t］内得到的总手续费，是一种复合泊松过程

«=1

............................（5分）

1〜110

EY=1--+2---1-3•一=

i236

EV,2=l2-+22—+32-=—..............................................(B分)

12366

EX(t)=EZ(t)EY=6/—=10/

i6

VarX(t)=VarZ(t)^EY^=6/—=20/............................(15分)

6

19.解：N(t)表达在[0,t)内抵达的顾客数,显然{N⑴，t20}是泊松过程，2=2,则当

t=2时，N(5)服从泊松过程

P{N(5)=A}=^^6-2x5,攵=0,1,2,...........................................(5分)

k\

故同N(5)]=10;D[N(5)]=10

P{N(5)>1}=1-P{^(5)=0}=1-e-,°................................(10分)

20.解：由于维修次数与使用时间有关，因此该过程是非齐次泊松过程，强度函数

1/2.50</<5

4(f)=<

1/25vf410

则//(10)=+J.—J/=4.5................................(6分)

45，9--

P{AT(10)-AT(O)=1}=e-45—=-e2................................(10分)

1!2

21.证明：设X(t)的两个相邻事件的时间间隔为子，依独立性有

P{[K(/+r)-Y(t)]=k}=.................(2分)

k\

而X(t)的不一样抵达时刻的概率密度函数为

2r>0

A(r)=\7.................(4分)

0others

由于X(t)是泊松过程，故Y(t)恰好有k个事件发生的概率为

A"；,8k\

ee-^e-^dT=^_（8分）

k+l

k\ax+)

（10分）

22.解:

0.50.500.50.500.50.50

=00.50.50().50.500.50.5

0.500.50.50().50.500.5

0.250.3750.375-

二0.3750.250.375（6分）

0.3750.3750.25

〃3(3)=P3P；；)=1x0.25=0.25（10分）

23.解：由题意知，甲盒中的球共有3种状态,

X5）表达甲盒

甲盒乙盒

中的红球数

22红、1白3白

11红、2白1红、2白

03白2红、1白

Poo=尸｛甲乙互换一球后甲盒仍有3个白球|甲盒有3个白球）

=P（从乙盒放入甲盒的•球是白球）=1，3

p°i=尸｛甲乙互换一球后甲盒有2个白球1个红球|甲盒有3个白球｝

二P｛从乙盒放入甲盒的•球是红球｝=2/3

p02=尸｛甲乙互换一球后甲盒有।个白球2个红球|甲盒有3个白球｝=0

1/32/30

以此类推，一步转移概率矩阵为尸=2/95/92/9（8分）

02/31/3

（2）由于各状态互通，所认为不可约有限马氏链,且状态。无周期，故马氏链为遍历链。

（1。分）

(3)%=("0，万1，%2)

252

、.，丸=冗P

解方程组1（13分）

乃0+〃[+%2=1

万0+笈[+〃2=1

；九、.......(15分)

lim成)=%=£,limp7=-limp?=='

005*->oo5«-*«>，~5

24.解：

0.80.10.「

PT(1)=Pr(0)P=(0.4,0.2,0.4)-0.1