人教B版数学必修第二册讲义5．4统计与概率的应用

5.4统计与概率的应用

目国园陶

考点学习目标核心素养

统计与概率的意义通过实例进一步理解统计与概率的意义及应用数学抽象

统计与概率的应用能用统计与概率的知识解决实际生活中的问题数学抽象、数学运算

研读•导学•尝试….

、自萋检测,

n判断正误（正确的打“J”，错误的打“x”）

（I）事件A发生的概率很小时，该事件为不可能事件.（）

（2）某医院治愈某种病的概率为0.8,则10个人去治疗，一定有8人能治愈.（）

（3）平时的多次比赛中，小明获胜的次数比小华的高，所以这次比赛应选小明参加.（）

答案：⑴X（2）X（3）7

@已知某人在投篮时投中的概率为50%,则下列说法正确的是（）

A.若他投100次，一定有50次投中

B.若他投一次，一定投中

C.他投一次投中的可能性大小为50%

D.以上说法均错

解析：选C.概率是指一件事情发生的可能性大小.

❸若在同等条件下进行〃次重复试验得到某个事件A发生的频率人〃），则随着n的逐渐增加，有（）

A.大〃）与某个常数相等

B.八〃）与某个常数的差逐渐减小

C.人〃）与某个常数差的绝对道逐渐减小

D.人〃）在某个常数附近摆动并趋F稳定

解析：选D.随着〃的增加，颇率/（〃）会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系.

画事件A发生的概率是专则|表示的.

3

解析：根据概率的含义知；表示的是事件4发生的可能性大小.

答案：事件A发生的可能性的大小

探究案▼。领解惑•探究•突破

探究点画_________________________

统计在决策中的应用

2019年4月20日，福建省人民政府公布了“3+1+2”新高考方案，方案中“2”指的是在思想

政治、地理、化学、生物4门中选择2门.“2”中记入高考总分的单科成绩是由原始分转化得到的等级分，

学科高考原始分在全省的排名越靠前，等级分越高.小明同学是2018级的高一学生.已确定了必选地理

且不选政治，为确定另选一科，小明收集并整理了化学与生物近10大联考的成绩百分比排名数据x（如x

=19的含义是指在该次考试中,成绩高于小明的考生占参加该次考试的考生数的19%）.绘制茎叶图如下.

化学生物

2619

753121299

433345

3241

95

（1）分别计算化学、生物两个学科10次联考的百分比排名的平均数和中位数；

（2）根据已学的统计知识，并结合上面的数据，帮助小明作出选择.并说明理由.

【解】（1）化学学科10大般考的成绩百分比排名的平均数

“12+16+21+23+25+27+34+42+43+5。

为历=30.2,

化学学科10大联考百分比排名的中位数为26.

生物学科10大联考百分比排名的平均数

,19+21+22+29+29+33+33+34+35+41

为-------------------历-------------------=29.6,

生物学科10大联考百分比排名的中位数为31.

（2）从平均数来看，小明的生物学科比化学学科百分比排名靠前，应选生物.

或者：从中位数来看，小明的化学学科比生物学科百分比排名靠前，应选化学.

回回词附

统计问题中决策思想主要是利用数字特征和频率分布对一些实际问题进行预测和估计，但不能依赖单

一的数字特征进行估计，而是综合各种因素做出合理的解释和判断.

跟踪训练;为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A药，3药）的疗效，随机地选取18位患者

服用A药，18位患者服用8药，这36位患者服用一段时间后，记录他们H平均增加的睡眠时间（单位：h）,

试验的观测结果如下：

服用A药的18位患者日平均增加的睡眠时间：

0.61.22.71.52.81.82.22.33.22.5

2.61.22.71.52.93.03.12.3

服用3药的18位患者日平均增加的睡眠时间：

3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.6

0.51.80.62.11.12.51.22.7

（1）分别计算两组数据的平均数（小数点后保留两位小数），从计算结果看哪种药疗效更好？

（2）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？并说明理由.

A药（叶）茎B药（叶）

0.

1.

2.

3.

解：（1）服用力药的18位患者日平均增加的睡眠时间的平匀数为

XA=40.6+1.2+2.7+-+3.0+3.1+2.3）-2.23（h）.

1O

服用B药的18位患者日平均增加的睡眠时间的平均数为

1

乂8=口（3.2+1.7+1.9+…+2.5+1.2+2.7）%1.67（h）.

1O

因为2.23>1.67,所以服用A种药的疗效更好.

（2）由观测结果可绘制如下茎叶图：

芳

4药（叶）B药（叶）

60.5689

855221.

9877653322.14567

2103.2

?2

从以上茎叶图可以看出，4药疗效的试验结果有弓的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有件的

叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好.

探究点田1

概率在决策中的应用

某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整，为此政府进行了一次民意调查.io。个人接受了

调查，要求他们在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一项.调查结果如下表所示：

男女总计

赞成18927

反对122537

不发表看法201636

总计5050100

随机选取一个被调行者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少？

【解】用A表示事件“对这次调整表示反对”，B表示“对这次调整不发表看法”，由互斥事件的

概率加法公式，得P(4U6)=P(力)+。(8)=^^+1^=薪=0.73,因此随机选取一个被调查者，他对这次

调整表示反对或不发表看法的概率是0.73.

概率在决策问题中的应用

(1)由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出

现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率.

(2)实际生活与生产中常常用喷机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次

的产品中不合格产品的数量等.

尉跟踪训练;某食品公司因新产品上市拟举办促销活动以促进销量，方法是买一份糖果摸一次

彩.公司准备了一些黄、白两色乒乓球，这些乒乓球的大小与质地完全相同，另有一个棱长约为30厘米

密封良好且不透光的长方体木箱(木箱上方可容一只手伸入).该公司拟按1%的中奖率设置大奖，其余99%

则为小奖，大奖的奖品价值400元，小奖的奖品价值2元.请你按公司的要求设计一个摸彩方案.

解：可以提出如下2个方案(答案不唯一).

(方案1)在箱内放置100个手乓球，其中1个为黄球，99个为白球.顾客一次摸出一个乒乓球，摸至“

黄球为中大奖，否则中小奖.

(方案2)在箱内放置25个乒乓球，其中3个为黄球，22个为白球，顾客一次摸出2个乒乓球，摸到2

个黄球中大奖，否则中小奖.

探究点西

概率在整体估计中的应用

距1为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮到1200只这种动物并做

好标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物1000只，其中做过标记的有100只，按概率的方法估算，

保护区内约有多少只该种动物.

【解】设保护区内这种野生动物有x只，假定每只动物被逮到的可能性是相同的，那么从这种野生

动物中任逮一只，设事件A=｛带有记号的动物),则由古典概型可知，第二次被逮到的I()0()

只中，有10()只带有记号，即事件A发生的频数机=100,由概率的统计定义可知P(A)p信;=小，故

1UUU1UX

咻，解得412000.

所以保护区内约有12000只该种动物.

奥回团因

利用频率与概率的关系求未知量的步骤

(1)抽出6个样本进行标记，设总体为未知量〃，则标记概率为彳.

(2)随机抽取小个个体，出现其中/小个被标记，则标记频率为力.

(3)用频率近似等于概率，建立等式彳心慧.

(4)求得衿鬻■.

跟踪训练;若10个鸡蛋能孵化出8只小鸡，根据此情况，估计某小鸡孵化厂20000个鸡蛋大约

能孵化出多少只小鸡.

解：假定每个鸡蛋能孵化出小鸡的可能性是相等的，从中任选一个，记事件人=(鸡蛋能姆化出小鸡｝,

此试验为古典概型，则P(A)=*D.

设20000个鸡蛋能孵化出小鸡m只,

则叫尸/而，②

由①@得20；；（X广焉解得〃?〈16000.所以20000个鸡蛋k约能孵化出16000只小呜.

》测评案，验证•反馈•达际….

1.若经检验，某厂的产品合格率为98%,估算该厂8000件产品中的次品件数为（）

A.7840B.160

C.16D.784

解析：选B.8000X98%=7840（件），8000—7840=160（件）.故次品件数为160件.

2.据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩

的概率是（）

A.eqB.eq

C.eqD.eq

解析：选C.所含的基本事件总数为4,分别为（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），所以两胎均

是女孩的概率为3.

3.在所有的两位数10〜99中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率为（）

A.eqB.eq

C.cqD.cq

解析：选C.10〜99中有90人两位数，这些两位数中，偶数有45个，10〜99中有30个能被3整除的

数,其中奇数有30+2=15（个），

45+15。

所以所求的概率为'9（）=?

4.电脑“扫雷”游戏的操作面被平均分成480块，其中有99块埋有地雷，现在操作面上任意点击一

下，则碰到地雷的概率为.

9933

解析：由古典概型的概率公式可得碰到地雷的概率为疯=而.

答案：高

5.某栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商

标牌的背面注明一定的奖品，其余没有奖品，参与游戏的观众有三次翻牌机会（翻过的牌不能再翻）.

（1）第一次翻牌获奖的概率是多少？

（2）某观众前两次翻牌均获奖，那么他第三次翻牌获奖的概率是多少？

解：⑴第一次翻牌时有5个有奖品，故获奖的^率为夕=亮=/

（2）前两次翻牌均获奖，第三次翻牌时，只有3个有奖品，还有18个商标牌，故获奖的概率为「=在=

1O

1

6-

应用案，⑪⑥®协

础达标］

1.“今天北京的降雨概率是60%,上海的降雨概率是70%”，下列说法不正确的是（）

A.可能北京今天降雨了，而上海没有降雨

B.可能上海今天降雨了，而北京没有降雨

C.可能北京和上海都没有降雨

D.北京降雨的可能性比上海大

解析：选D.因为北京的降雨概率比上海的降雨概率小，故D说法不正确.

2.某人射击4枪，命中3枪，3枪中有且只有2枪连中的概率是（）

A.eqB.eq

C.eqD.eq

21

解析：选D.4枪命中3枪共有4种可能，其中有且只有2枪连中有2种可能，所以P=z=£.

3.若某个班级内有40名学生，抽10名学生去参加某项活动，每名学生被抽到的概率为:，其中解释

正确的是（）

A.4名学生中，必有1名被抽到

B.每名学生被抽到的可•能竹况

c.由于抽到与不被抽到有两种情况，所以不被抽到的概率为:

D.以上说法都不正确

解析：选B.根据概率的意义可以知道选B.

4.某比赛为两运动员制定下列发球规则：

规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向二，乙发球；

规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；

规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.

则对甲、乙公平的规则是（）

A.规则一和规则二B.规则一和规则三

C.规则二和规则三D.规则二

解析：选B.规则一每人发球妁概率都是相等的，公平.规则二所有情况有（红1,红2）,（红1,黑1）,

（红1,黑2）,（红2,黑1）,（红2,黑2）,（黑1,黑2）6种，同色的有2种，所以甲发球的可窕性为看不

公平.

规则三所有情况有（红1,红2）,（红1,红3）,（红2,红3）,（红1,黑），（红2,黑），（红3,黑），同

色球有3种，所以两人发球的可能性都是相等的，公平.

5.通过模拟试验，产生了20组随机数：

68303013705574307740442278842604

33460952680797065774572565765929

9768607191386754

如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中，则表示恰有三次击中H标，问四次射击中恰有三次击中FI

标的概率约为

解析：由题意四次射击中恰有三次击中对应的随机数有三个数字在I,2,3,4,5,6中，这样的随

机数有3013,2604,5725,6576,6754,共5个，所求的概率约为5

答案：|

6.某汽车站，每天均有3辆开往南京的分为上、中、下等级的客车.某天袁先生准备在该汽车站乘

车前往南京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序.为了尽可能乘„等车，他采取如下策略：

先放过第一辆，如果第二辆比笫一辆好则上第二辆，否则上第三辆，那么他乘上上等车的概率为.

解析：上、中、下三辆车的出发顺序是任意的，有上、中、下：上、下、中；中、上、下：中、下、

上；下、上、中；下、中、上，6种情况，若第二辆车比第一柄好，有3种情况：下、中、上；下、上、

中；中、上、下，符合条件的仅有2种情况；若第二辆不比第一辆好，有3种情况：中、下、上；上、中、

下；上、下、中，其中仅有1种情况符合条件.所以袁先生乘上上等车的概率。=一［=/

答案：I

7.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%；一旦失败，一年后将

丧失全部资金的50%,下表是去年200例类似项目开发的实施结果.

投资成功投资失败

192次8次

则该公司一年后估计可获收益的平均数是元.

解析：应先求出投资成功与失败的概率，再计算收益的平均数.设可获收益为x元，如吴成功，.1的

取值为5X12%,如果失败，％的取值为一5X50%.

一年后公司成功的概率约为1Q底7，失败的概率约为«念，

所以估计一年后公司收益的干均数

（5X12%X篇一5X50%X端）x10000=4760（元）.

答案：4760

8.某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上都作了记号，投掷了100次，并巨记录了每个

面落在桌面上的次数（如下表）.如果再投掷•次，估计该石块的第4面落在桌面.上的概率约是________.

石块的面12345

频数3218151322

解析：第四面落在桌面上的概率为尸=而=0.13.

答案：0.13

9.为调查某森林内松鼠的繁殖情况，可以使用以下方法：先从森林中捕捉松鼠100只，在每只松鼠

的尾巴上作上记号，然后再把它们放回森林.经过半年后，再从森林中捕捉50只，假设尾巴上有记号的

松鼠共有5只.试根据上述数据，估计此森林内约有松鼠的数量.

解：设森林内的松鼠总数为此假定每只松鼠被捕捉的可能性是相等的，从森林中任捕一只，设事件A

=［带有记号的松鼠｝,则由古典机型可知，P（A）=呼①，

第二次从森林中捕捉50只，有记号的松鼠共有5只，即事件A发生的频数6=5,由概率的统计定义

可知，尸（人）心毯②，

由①®可得：*温，所以gl（X）0,所以，此森林内约有松鼠1000只.

IB能力提升］

10.假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投

掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生。到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示

命中靶心，5,6,7,8,9,。表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟

产生了20组随机数：

93281245856968343125

73930275564887301135

据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为（）

A.0.50B.0.45

C.0.40D.0.35

解析：选A.两次掷镖恰有一次正中把心表示随机数中有且只有一个数为1,2,3,4中的之一，它们

分别是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35,共10个，因此所求的概率为40.50.

-1'

II.如果消息“发生的概率为P（M）,那么消息M所含的消息量为/（M）=log2。（例）+.7而,

若小明在一个有4排8列座位的小型报告厅听报告，则发布的以下4条消息中，信息量最大的是（）

A.小明在第4排

B.小明在第5列

C.小明在第4排第5列

D.小明在某一排

解析：选C.本题考查了信息的理解迁移及其应用，小明在4排的概率P（A）=；,则/（4）=咋2（；+4）=

10g2*P（5）=|,/（B）=10g2^1+8j=10g2y；P（O=圭,

则/（O=log2（32+=）；P（Q〕=1,则/（。）=1,故最大值为选项C.

12.设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球I个黑球，乙箱中有1个臼球99个黑球.随

机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，我们可以认为这球是从箱中取出的.

99

解析：甲箱中有99个白球1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是诉，乙箱中有1个白

球99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是击.由此可知，这一白球从甲箱中抽出的概,率比从乙箱

中抽出的概率大得多，既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是由概率大的箱子中取出的，所以我们

可以认为该球是从甲箱中取出的.

答案：甲

13.如图所不，人地到火车站共有两条路彳仝心和“，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行

调查，调查结果如下：

火车站

所用时间(分钟)10〜2020〜3030〜4040〜5050〜60

选择Li的人数612181212

选择小的人数0416164

(I)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；

(2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到

火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.

解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人)，

所以用频率估计相应的概,率为0.44.

(2)设A,八2分别表示甲选择心和小时，在40分钟内赶到火车站；Bi,a分别表示乙选择心和心

时，在50分钟内赶到火车站.

由频数分布表知，40分钟赶往火车站，选择不同路径Lx,小的频率分别为(6+12+18)-60=0.6,(4

+16)+40=0.5,

所以估计尸(4)=0.6,尸(人2)=0.5,则P(AI)>P(A2),

因此，甲应该选择路径

同理，50分钟赶到火车站，乙选择路径小的频率分布为48:60=0.8,364-40=0.9,

所以估计P(8。=0.8,P(B2)=0.9,P(8I)VP(%),

因此乙应该选择路径上.

IC拓展探究］

14.工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标y进行检测，一共抽取了48

件产品，并得到如下统计表.该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标丫有关，具体见下表.

质量指标Y[9.4,9.8)[9.8,10.2](10.2,10,6]