2025年线性代数重点难点解析西南交通大学真题主观题深度攻略

《线性代数》主观题■■离线作业

第一次作业

15.

01

2

**.-0

n-1

n0

答案：(-1)n!

123

16.行列式124=。

125

答案：0

17.若向量组%=(1,2,-1,1),a2=(2,0,30)，/=(°，T5,-2)的秩为2,则"

答案：t=3

18.设4为MX法巨阵，而XX盛巨阵，且切＞箝。则|明二o

答案：

0

(R(AB)Wmax{R(A),R⑻}Wn,且AB为m阶方阵，故不可逆)

/、

122

19.己知4=2-1乂，三阶方阵3H0,且满足助二0。则乂二。

31-1

\7

答案：

入二-3

IA|=0,否则5=0

20.向量组4=(1,2,-1,1),^2=(2,0,k,0),%=(0,-4,5,-2)的秩为2,则公

答案：3

lab300

21.设阂=a2c=0,A+B=030,则矩阵B有一个特征值4=

bc3003

7

答案：3

22.齐次线性方程组12的一个基础解系为

-10

（2-31）

答案:

23.

已知河%，%是齐次线性方程组小的一个基础解系，若

=（Zj＞夕2=%+*3，。3=%+，讨论实数/满足什么条

件时，儿血血也是小=。的一个基础解系。

答案：

只需讨论色,外线性无关的条件。

k\1+上2月+上3旦=0=（占+&3）%+（42+秋1；%+（向+灰2）%=0

k]+放3=0

因为由多,%线性无关，所以，生+自=0。4M4是出=0基础解系

放2+总=0

比1+秋3=0

则齐次线性方程组的+勺=0只有零解，故系数行列式不为零。

就2+/=0

10A

N10H0=1+才HO=NH-1,所以;IH-1时加人/3是基础解系。

041

24.设A是反对称矩阵，E+A是可逆矩阵。证明（E-A）（E+A）T

是正交矩阵。

因为万=一幺，故

解:

[(5-上)(5+4)-】]「[»-上)*+A)-1]=[(E+AfT1^-A)r](E-A^E+工尸

=(E-^)-1(E+A)(E-A)(E+A)-1

铝+⑷与建-⑷5交

=(E-A)-1(E+A)(E+A)-\E-A)=E

所以(5-4)(5+⑷-】是正交矩阵。

101

25.己知3阶方阵A可逆且力一1二220,求A的伴随矩阵的逆矩阵.

333

解:

\JA=[1]=­

।।忙】|6

4♦=|邳4-1=#1--------------------------------------------------------------------------------------------------------3

63-2-

工二4尸027

-32

63-2-

(/♦)-1=(2.=6力=一60210

6

0-32

26.

<1、⑹,3、'1',2、

-11-2-1-1

.设向量3=,%=，%=,&=，尸=

23。+102£>4-6

2114,&+5,<102

问：。必取何值时，向量户可由向量组。1，%，%，%线性表示？并在可以线性

表示时求出此线性表示式。

解:

是线性方程组占%+勺%+%%+为%=户的可解性问题。增广矩阵

0312、勺0312

——11-2-1-101101

<=（%%%4,尸）=

乙3a+102小+600以+10b-1

।4214a+510；k000以+10

所以，以工-1时有唯一的线性表示，a=7且3=1时有多种线性表示——6

解方程得：时，唯一的线性表示为

-2一3#十°一鬻%+永

«=-1且6=1时，线性表示为（自也w穴）

尸=（2-索1-上2）%+Q-a）%+&%+12

5-1

或线性表示的系数满足々-1o1

=用+h4-

100

10J⑼

求向量组％%4的一个最大线性无关向量乱

解：对矩阵力=（%,生，生,/）进行初等行变换。

<1210、’1210、q210、

r-2r

21-13y-2y0-3-330111

A=

2-2-46r-r.0-6-66ij000

J-2-34,<0-4-44/e000>

所以向量组上=1%%,%%）的巷为2,；%,%；是其一个最大线性无关向量生。

第二次作业

15.设4=(6-204),a2=(-3157),则3。［-2G2=

答案:3a1-2a2=(24-8-10-2)

,(201110,

16.设。=(-110),A=-042,£=03，则。皿=___________

0I22

11/\/

QAB=(014)

答案:

17.

设力为3阶矩阵，且满足Ml=3,则卜T卜,|3/|=.

答案：

1/3,3s

(1}(°〕伍1

18.问量组%=12，4二：4%=2是线性.的，它的一个极大线性无关组是.

(1I5I7

\/\\0

答案：

相关（因为向量个数大于向量维数）。a1，a;,a」。

因为as=2ai+a2,A=|axa2a4|^0.

19.若爪力）==，贝物元方程组布=0当「=时，此方程组只有零解。

答案：r=n时，此方程组只有零解。

2。.设A=A2.是分块对角矩阵，其中AA=("：1(斤=1,2,

,n),则

,•Ikk+1)

,'刀J

lAl=—

答案:(2n+l)J!

123100

21.设矩阵力=045,3=5-10，则行列式|朋=

002231

答案：।知l=-8

210

22.若矩阵力=1a0为正定矩阵，则a的取值范围是

00a

答案：a>1/2

23.求一个正交变换P,化二次型£(*1，X2,A-3)=2A-2+3君+3君+4透》3

为标准形。

r200'010

A=032，特征值：1,2,5,特征向量：lo-1,200,501

<023/1

0、10

1

单位化

PL明''PF

f072o')

01,X=PYf贝lJ/=必2+2也2+5/2

01

设数列；以",囱:，其中以i=l,瓦=-1,%=4-1+泡-1，这=-%-1+4%-1，

24.求4，公。

歌:)力%=42"*_2=…="1%，5=[IJ°

6⑷=12,3),特征向量：p、=(j),%=(:)，尸21

—

r11-1s

21Y2*-01-1r2*-3*-23*-2

N"一1=尸尸」1JI03”-1

J-12-3"-i2-3*-，-2*-1

127J

设两向量组：（D%%,生，（口）外,%，。4的秩为长⑴=2,及（口）=3,求

向量组外,多,,+%的秩。

25.

由R（I）=2,A（n）=3知1,%线性无关且％可由外,%线性表出。--4

因而Ra1,4,%，%}=&匕1，..多）=3

向量组+%与%,心，。3,。4是等价的向量组，所以

艮4.%.%+%;=3

26.用正交变换化二次型f5,打打）=24+3£+3越+也今为标准型，并求出所用的正交变换及造标准型。问:

这个二次型是否是正定的？为什么？

一次型的矩阵为力=032-----------------------------------------------1

矩阵力的特征值为4=1，与=2,4=5---------------------------------4

特征向量，

4=190=0,刈=2一身=1,4=5一身=|1]------------8

[佟00、

[]——一—■.■■一■———■■.—―—一———■■一■■■―»M.一■―――■■—一———■一■.■]O

^0-11

/

正交变换“力，二次型的标准形为/=犬+2»+54-------------11

因为矩阵工的特征值均为正数，所以此二次型是正定的。--------12

第三次作业

14.设碇:mx选阵,蹑px璇巨阵，则力5堤X阶矩阵。

年案,A：B，是nXp阶矩阵。

15.由m个课向量组成的向量组，当mn时，向量组一定线性相关。

答案:m>n时向量组一定线性相关

2-31'

16.设力=lai且秩斤(4)=2,则3=

503

答案：

(R(A)-2=|A|-0)

f\

;1(4

17.已知%〃2,%是四元方程组念二城)三个解，其电敝秩月(力=3,肉=：?

，必+。3=.(则方程组念=胸

3

⑷

；X4/

通解为。

答案:

(1234)r+k(20-2-4)二。因为R(A)=3,原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向

量，取为“2+TI3-2”」由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即将。

Z

I叫+直+与=1

18.设方程组)刈+〃2+町=,则，当而一时方程组无解，当，一时方程组有无穷多个解，当"时方

2

丸+&+"3=3

程组有唯一解。

答案：

当a二-2时方程组无解，当a=l时方程组有无穷多个解，当a卢1,-2时方程组有唯一解。

(123]

皿.设矩阵A与B相似，B=045,则A的行列式|AK

、°06)

答案：24

1-12

20.设力=204,若3阶非零方阵耐足用=0,则£=

32t

答案：t=6

<11O'>

B=\12|,XA=B,求X。

设4=-111

\223)

H-11)

A-x=-11-1o3=co3

2l002J

22.

on

设矩阵N=030,矩阵£=(在:+N)2,keRo

J0b

(1)求对角阵。，使£与。相似。

(2)求归的值，使方为正定矩阵

4的特征值：k-N剧=2(2-2)(2-笏，所以特征值为：0,2,3

(k2、

B的特征值为：/，依+2尸，(无+为2,D=(汇+2f

I

5为正定，则/>0且强血鸿§^+3)2>0，即心0,2,3。

23.

设4方为附阶方阵，&45=/+与。问2=1能否是矩阵上的特征值？

证明你的结论。

AB-A-B+E=E^(A