2025高考假期提升专项练习数学压轴训练22含答案及解析

2025年高考数学压轴训练22

一.选择题（共10小题）

1.（2024•江西・模）中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运动

的起源.蹴鞠在2022年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统

非遗故事.为弘扬中华传统文化，某市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁

队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次（积

分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平场得1分，负一场得。分.若

每场比赛中两队胜、平、负的概率均为则在比赛结束时丙队在输了笫一场且其积分仍超过其余三支球

3

2.（2024•织金县校级模拟）已知袋中有除颜色外形状相同的红、黑球共10个，设红球的个数为〃，从中

随机取出3个球，取出2红1黑的概率记为匕，当匕最大时，红球个数为（）

A.6B.7C.8D.9

3.（2024•荆州模拟）已知随机变量且p©剌））=尸侑。），则_1+_工（0＜犬＜々）的最小值为（

xa-x

）

9

A.9B.-C.4D.6

2

4.（2024•苏州三模）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆

柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的

过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.记格子从左到右的编号

分别为0,1,2,…，1（）,用X表:示小球最后落入格子的号码，相P（X=k）,,P（X=kJ,则%=（）

A.4B.5C.6D.7

5.（2024•莉泽二模）下列结论正确的是（）

A.已知一组样本数据%,占，…%…vx”），现有一组新的数据工产，气总…，土产，

邑1A,则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大

2

B.已知具有线性相关关系的变量x,y,其线性回归方程为亍=0.3x-〃7,若样本点的中心为“〃,2.8）,

则实数〃？的值是4

C.50名学生在一模考试中的数学成绩X~N（I20Q2）,已知p（X>140）=0.2,则Xw[100,140]的人

数为20人

D.已知随机变量X~仇〃」），若E（3X+1）=6,贝。=5

3

6.（2024•南开区一模）已知随机变量X且P（X..4）=g,E（X）=E（Y）,则〃=（

）

112

-c-

A.6-B.4D.3

7.（2024♦罗湖区校级模拟）设z、/、0为互不相等的正实数，随机变量X和丫的分布列如表，若记OX,

OF分别为X,y的方差，则下列说法正确的是（）

A.D(X)<D(Y)

B.D(X)=D(Y)

C.D(X)>D(Y)

D.Q（X）与。（V）的大小关系与Z的取值有关

8.（2024•辽宁一模）猜灯谜是中国元宵节特色活动之一.已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放

入三个完全相同的小球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜.若他

们每人必能猜对自己写的灯谜，并有，的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为（）

2

A.—B.—C.—D.-

2418126

9.（2024•格尔木市模拟）小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛局，且每局小王获胜的概率和

小张获胜的概率均为,，如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为P（〃），

2

则下列结论错误的是（）

A.P（l）=-B.P（2）=2P（1）

4

C.P（/?）＜-D.P（〃）随着”的增大而增大

2

10.（2024•益阳模拟）秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区

居民进行普查化验，化验结果阳性率为1.97%,但统计分析结果显示患病率为1%.医学研究表明化验结

果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为0.01，则该地区患有该疾病的居

民化验结果呈阳性的概率为（）

A.0.96B.0.97C.0.98D.0.99

二.多选题（共5小题）

II.（2024•香坊区校级模拟）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2个

球.事件"两次取到的球颜色相同"；事件8=“第二次取到红球"；事件C="第一次取到红球”.下

列说法正确的是（）

A.A^BB.事件B与事件C是互斥事件

2

C.P(AB)=—D.P(«+C)=|

15

12.（2024•佛山一模）有一组样本数据0,12,3,4,添加一个数X形成一组新的数据，且

P（X=k）=-^（ke[0,1,2,3,4,5｝）,则新的样本数据（）

A.极差不变的概率是卫

32

B.第25百分位数不变的概率是」

16

C.平均值变大的概率吗

D.方差变大的概率是工

32

13.（2024•越秀区校级一模）下列说法正确的是（）

A.数据2,1,3,4,2,5,4,1的第45百分位数是4

B.若数据芭，吃，七，…，马的标准差为s,则数据2%，2X2,2七，…，2x”的标准差为2s

71

C.随机变量X服从正态分布N。,2）,若（（X>0）=2,则P（0<X<2）=上

42

777

D.随机变量X服从二项分布8（4,p）,若方差D（X）=±,则P（X=2）=—

4128

14,（2024•新郑市校级一模）关于下列命题中，说法正确的是（）

2

A.已知X~85,〃），若E（X）=30,D（X）=20,贝§

B.数据91,72,75,85,64,92,76,78,86,79的45%分位数为78

c.已知g~N（o,i）,若p（g>i）=p,则p（-窗g0）=3-〃

D.某校三个年级，高一有400人，而二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高

一抽取了20人,则应从高三抽取19人

15.（2024•袁州区校级三模）同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件A：甲骰子点数为奇数，事件

3：乙骰子点数为偶数，事件C：甲、乙骰子点数相同.下列说法正确的有（）

A.事件A与事件8对立B.事件4与事件8相互独立

C.事件A与事件C相互独立D.P（C）=P（AB）

三,填空题（共5小题）

16.（2024•江西一模）斐波那契数列（-7初心a*绮〃々/），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那

契•面以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：I、1、2、

3、5、8、13、21、34.....在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：4=1,%=1,

A={《，a2,...»a^24},且8工0中，则8中所有元素之和为奇数

的概率为—.

17.（2024•厦门模拟）在〃维空间中以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为〃

维坐标（4,a2,%）,其中qe{0,1}《€{0,1}（喇则5维“立方体”的顶点个数是；

定义：在〃维空间中两点（q,牡，…，4）与（4，瓦，…，"）的曼哈顿距离为

14-41+1生-&|+…+|a“-在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取

两点间的曼哈顿距离，则E（X）=.

18.（2024•和平区二模）为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动.在

最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响.已

知甲回答正确的概率为,，甲、丙两人都回答正确的概率是,，乙、丙两人都回答正确的概率是若规

236

定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率为—：若规定三名

同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为4，则这个问题回答正确的概率

263

为•

19.（2024•魏都区校级三模）抛掷一枚小均匀的硬币，止面向上的概率为上1，反面向上的概率为Q士，记〃

44

次抛掷后得到偶数次正面向上的概率为4,则数列｛q）的通项公式可=—.

20.（2024•浙江模拟）甲、乙两人玩游戏，规则如下：第局，甲赢的概率为2：第

3

局，乙赢的概率为士.每一局没有平局.规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两次时游戏结束.则

3

游戏结束时，甲、乙两人玩的局数的数学期望为—.

四,解答题（共5小题）

21.（2024•香河县校级模拟）人工智能（英语：Aaificialintell^ence,缩写为9）亦称智械、机器智能，

指由人制造出来的可•以表现出智能的机器.通常人工智能是指通过普通计算机程序来呈现人类智能的技

术,人工智能的核心问题包括建构能够跟人类似甚至超卓的推理、知识、规划、学习、交流、感知、移物、

使用工具和操控机械的能力等.当前有大共的工具应用了人工智能，其中包括搜索和数学优化、逻辑推

演,而基于仿生学、认知心理学，以及基于概率论和经济学的算法等等也在逐步探索当中.思维来源于大

脑，而思维控制行为，行为需要意志去实现，而思维又是对所有数据采集的整理，相当于数据库.某中学

计划在高一年级开设人工智能课程.为了解学生对人工草能是否感兴趣，随机从该校高一年级学生中抽取

了400人进行调查，整理得到如卜.列联表：

感兴趣不感兴趣合计

男生18040220

女生12060180

合计3CO10<)400

（I）依据小概率值。=0.001的独立性检验，能否认为对人工智能是否感兴趣与性别有关联？

（2）从对人工智能感兴趣的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3

人进行采访，记随机变量X表示抽到的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.

附：X2=------Md-be）-------,其中〃"

（a+b）（c+d）（a+c］（b+<7）

(T0.10.050.010.0050,001

X2.7063.8416.6357.87910.828

22.(2024•江西一模)设(XI)是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为(q,”)，其中i,

jwN*,令％=P(X=q,Y=b)),称是二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布列.与一维

的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成卜.表形式:

•••

Y/X4

认b2

・.・

4P1.IP|.2P1.3

•・•

a2P1AP2.2P2.3

・・・

%A%死.3

・・・••・・・.・..••・

现有〃(〃eN*)个相同的球等可能的放入编号为1,2,3的三个盒子中，记落下第1号盒子中的球的个数为

X,落入第2号盒子中的球的个数为V.

(|)当〃=2时，求(x.y)的联合分布列；

(2)设p&=£p(X=女,V=/〃)，kwN且k,,n,计算£机.

w-0

23.(2024•黄山模拟)某校高三年级1000名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，

其中成绩分组区间是[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150].

(I)求图中〃的值，并根据频率分布直方图，估计这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数;

(2)从这次数学成绩位于[50,70),[70,90)的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方.法抽取9人，

再从这9人中随机抽取3人，该3人中成绩在区间[70,90)的人数记为X,求X的分布列及数学期望.

频率1

-w

0.0150.................

0.0075..........

a........................

0.0025—

--------------------------->

030507090110130150数学成绩/分

24.(2024•河南模拟)某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包.在一个不透明的袋子中装有〃个

形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取/〃个球(/4〃)，摸完后全部放回袋中，

球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额.

（I）若〃=4,/〃=2,当袋中的球中有2个所标面值为40元，1个为50元，1个为60元时，在员工所

获得的红包数额不低于90元的条件下，求取到面值为60元的球的概率；

（2）若〃=5,//z=4,当袋中的球中有1个所标面值为10元，2个为20元，1个为30元，1个为40元

时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差.

25.（2024•北京）某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机

抽4X1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：

索赔次数01234

保单份数800100603010

假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公

司赔偿（）.6万元.

假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.

（I）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；

（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.

⑴记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望EX；

（泊如果无索赔的保单的保费减少4%,有索赔的保单的保费增加20%,试比较这种情况下一份保单毛利

润的数学期望估计值与⑺中EX估计值的大小，（结论不要求证明）

2025年高考数学压轴训练22

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2024•江西一模）中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运动

的起源.蹴鞠在2022年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统

非遗故事.为弘扬中华传统文化，某市四所高中各自组建了蹴鞫队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁

队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行•场比赛），最后按各队的积分排列名次（积

分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平场得1分，负一场得。分.若

每场比赛中两队胜、平、负的概率均为1，则在比赛结束时丙队在输了第一场且其积分仍超过其余三支球

3

队的积分的概率为（）

D，白

【答案】。

【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式：古典概型及其概率计算公式

【专题】概率与统计；对•应思想；定义法；数学运算

【分析】根据丙是最高分可得丙余下两场比赛全血，再就甲乙，甲丁的输赢（丙的第一场对手若为甲）分

类讨论后可得正确的选项.

【解答】解：三队中选一队与丙比赛，丙输，C；xl,例如是丙甲，

若为与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4分，

这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于4分，不合题意，

在甲输的情况下，乙、丁已有3分，

那个它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意.

若为全赢（概率是（■!•＞）时，丙得6分，其他3人分数最高为5分，

3

这时甲乙，甲丁两场比赛中甲不能赢，否则甲的分数不小于6分，

（I）若甲乙，甲丁两场比赛中用一平一输，则一平一输的概率是ex'）"

~3

7

如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率是士，

3

（2）若甲乙，甲丁两场比赛中用两场均平，概率是（：）2,

乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意，

（3）若甲乙，甲丁两场比赛中平都输，概率是（；）2,

乙丁这场比赛只能平，概率是L.

3

综上，概率为小9（扑©一（扑尹（扑（扑扣。正确.

故选：D.

【点评】本题考查相互独立事件的应用，属于中档题.

2.（2024•织金县校级模拟）已知袋中有除颜色外形状相同的红、黑球共10个，设红球的个数为〃，从中

随机取出3个球，取出2红1黑的概率记为匕，当匕最大时，红球个数为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【考点】概率的应用：排列组合的综合应用；古典概型及具概率计算公式

【专题】综合法；概率与统计；计算题；数学运算；转化思想；方程思想

【分析】根据题意，由古典概型公式可得e=£膏工，根据台＞i求出〃〈孩，根据〃只能取正整数,

得出弓＞1,二＜1关系，即可求解.

p.6

【解答】解：根据题意，10个球中，红球个数为〃，从中随机取出3个球，取出2红1黑的概率记为2,

则e=c；fL〃1)(10-〃)

Cio2-

(〃+1)〃(9一〃)

则”

2%

故区、(〃+1)〃(9一〃)

〃(〃一1)(10—〃)

若%=5+1)〃(9一〃))]即(〃+1)(9-〃)二]解可得”3

1Plt1)(10-〃)'(72-1)(10-/7)

又由2和29且〃WZ,则有与＞1,生＜1,且鸟=21＞《=3,

己用40910

故（叽

故选：B.

【点评】本题考查概率与不等式的综合应用，涉及古典概型的计算，属于中档题.

3.(2024•荆州模拟)已知随机变量4~N(1,02),且尸信京0)=0侑a),则！+_2_(0＜工＜。)的最小值为(

xa-x

)

9

A.9B.-C.4D.6

2

【答案】B

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义

【专题】数学运算：转化法；概率与统计；方程思想；导数的综合应用

【分析】由已知结合止态分布曲线的对祢性求得。，代入，+」一(0＜xva),冉由导数求最值.

xa-x

【解答］解：&〜N(1,CJ2),可得正态分布曲线的对称轴为x=l,

又P(夕汨))=尸/a),•,•^=1*即4=2.

1414(x4-2)(3%-2)

令小)丁至严E),则小)=一了+,

一金(27产

7

当xc(0,±)时，r(x)<0,/(x)单调递减,

3

7

当2)时，/(幻单调递增,

9Q

则/(A)的最小值为/(-)=-+3=-.

322

故选：B.

【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，训练了利用导数求最值，考查运算求解能力，

是中档题.

4.(2024•苏州三模)如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆

柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的

过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.记格子从左到右的编号

分别为0,1,2,…，10,用X表示小球最后落入格子的号码，若P(X=k),,P(X=ko),则&=()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）

【专题】综合法；数学运算；对应思想；概率与统计

【分析】小球在下落过程中，共1（）次等可能向左或向右落下，则小球落入格子的号码X服从二项分布，

且落入格子的号码即向右次数，即X〜8（10,5,则P（X=A）=C；）（g尸（&=0,I,2...,10）,然后由二项

式系数对称性即可得解.

【解答】解：小球在下落过程中，共10次等可能向左或向右落下，

则小球落入格子的号码X服从二项分布，

且落入格子的号码即向右次数，即乂~8（10」），

2

所以2（*=幻=3（：）“1一夕1=3（；严（2=（）,1,2...,10）,

由二项式系数对称性知，当&=5时，C：。最大,故&=5.

故选：B.

【点评】本题考查了二项分布及二项式系数的性质的应用，属于中档题.

5.（2024•荷泽二模）下列结论正确的是（）

A.已知一组样本数据%,与，…4（内<X2<…<工），现有一组新的数据土上，"巴…，XZ

二3,则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大

2

B.已知具有线性相关关系的变量工，），，其线性回归方程为5=O.3x-〃?，若样本点的中心为（以2.8）,

则实数阳的值是4

C.50名学生在一模考试中的数学成绩X~N（120Q2）,已知P（X>140）=0.2,则X以100,140］的人

数为20人

D.已知随机变量X~4（〃」）：若£（3X+1）=6,则〃=5

3

【答案】。

【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；〃重伯努利试验与二项分布；正态分布曲线的特点及曲线所

表示的意义；用样本估计总体的离散程度参数；经验回归方程与经验回归直线

【专题】对应思想；综合法；概率与统计；数学运算

【分析】根据数据的数字特征即可判断A：根据线性回归方程为5=0.3x-〃过样本点的中心（以2.8）即可

判断8；根据正态分布的性质即可判断C；根据二项分布的性质即可判断。.

【林答】解：对于A，新数据的和为土卫+玉芋•+...+铝土=%+占+-+天，故平均数不变，

222

又X、＜x,,

故原数据的极差为X“-X，新数据极差为上土-土匕殳，

“22

所以3L土—土士上一()=土匚土+±1土<0,所以极差变小了，

22w122

由于平均数没变，说明新数据相对于原数据更集中于平均数附近，

故数据更稳定，所以方差应该变小，故A错误；

对于8,因为线性回归方程为»=0.3x-m过样本点的中心(九2.8),

所以2.8=0.3/〃-6，解得〃?=Y,故4错误；

对于C,因为X~N(120,/),已知P(X>140)=0.2,

所以P(100矽k140)=2[--P(X>140)1=0.6,所以人数为50x0.6=30人，故C错误.

2

对于O,因为X~4(〃,—)，

3

所以E(X)=d,E(3X+1)=3E(X)+1=〃+1=6,解得〃=5,放。正确.

3

故选：D.

【点评】本题考查了概率统计的综合应用，属于中档题.

6.(2024•南开区一模)已知随机变量X~NC"),Y~B(6,p),且P(X..4)=暴(X)=E(Y),则p=(

)

1I「12

AA.-BR.—C.—Dn.一

6433

【答案】。

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的均值(数学期望)

【专题】数学运算：概率与统计；定义法；对应思想

【分析】根据正态分布以及二项分布相关知识可解.

【解答】解：因为随机变量X〜N(〃,/)，y~B(6,〃)，且尸(X..4)=g,E(X)=E(y),

贝Ij£(y)=6〃，〃=4,

根据正态分布性质可知E(X)=",

贝|J6〃=4,

则p=；.

故选：£).

【点评】本题考查正态分布以及二项分布相关知识，属于中档题.

7.（2024•罗湖区校级模拟）设斗、.J、七为互不相等的正实数，随机变量X和丫的分布列如表，若记。X,

。丫分别为x,丫的方差，则下列说法正确的是（）

XX\

YX+工2一+内♦+占

222

]_

P

333

A.D(X)<D(Y)

B.zxx)=zxn

c.zxx)>£>(y)

D.Q（X）与。（V）的大小关系与x,x2,/的取值有关

【答案】C

【考点】离散型随机变量的方差与标准差

【专题】综合法；数学运算；概率与统计；对应思想

【分析】根据离散型随机变量的期望和方差的公式结合题中所给随机变量x和y的分布列即可求解.

【解答】解：由题E（X）=g（西+与+W），

〜V、1/再+MH+项再+内、1,、厂/V、

◊4D

113

故。（X）=£®—E（X））2+（占—E（X））2+（.q-E（X））2]-（E（X））2,

33J-I

ny）=%（铝土）2+（胃玉）2+（片L）2]_（E（X））2,

3222

又-[（与玉）2+（至手）2+（审f]

fr222

_2x：+2,Vo+-2（A-X2+x2x3+x3x1）

~4~

+（%-%3）2+。3一百）2:0

4

即£＞：＞[（工产）2+（空上）2+（三%）2],也即。（X）＞。⑺・

r=l222

故选：c.

【点评】本题考查了高散型随机变量的期望和方差的有关计算，属于中档题.

8.（2024•辽宁一模）猜灯谜是中国元宵节特色活动之一.己知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放

入三个完全相同的小球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜.若他

们每人必能猜对自己写的灯谜，并有」的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为（）

2

【答案】C

【考点】古典概型及其概率计算公式；概率的应用

【专题】综合法；转化思想；计算题：方程思想；概率与统计；数学运算

【分析】根据题意，分2种情况讨论甲获胜的情况，由相互独立事件的概率性质求出各自的概率，由互斥

事件的概率公式计算可得答案.

【解答】解：根据题意，若甲独自获胜，分2种情况讨论：

①甲抽到自己的灯谜，而乙、丙都没有抽到自己的灯谜，

甲乙丙三人每人随机选一个球，有可=6种抽取方法，

若只有甲抽到自己的灯谜，有1种抽取方法，

故只有甲抽到自己的灯谜的概率为,，

6

则此时甲独自获胜的概率6=\x(l—g)x(l—!)==,

②甲乙丙都没有抽到自己的灯谜，

甲乙丙都没有抽到自己的灯谜，甲有2种可能，乙、丙只有1种可能，则有2x1=2种可能，

故甲乙丙都没有抽到自己的灯谜的概率为工，

6

则比时甲独自获胜的概率6=|x；x(l—g)x(l—g)=A，

故甲独自获胜的概率+a

242412

故选：C.

【点评】本题考查互斥事件、相互独立事件的概率计算，注意“甲独自获胜”的情形，属于中档题.

9.(2024•格尔木市模拟)小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛局，且每局小王获胜的概率和

小张获胜的概率均为,，如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为汽〃)，

2

则下列结论错误的是()

A.户(1)=：B.P(2)=2P(1)

C.P(/?)<-D.P(〃)随着“的增大而增大

2

【答案】B

【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式

【专题】转化思想；数学运算；逻辑推理；概率与统计；综合法

【分析】要使小王赢得比赛，则小王至少赢〃+i局，进而表达出a〃)，结合组合数公式求解得到汽〃)，

由比能求出结果.

【解答】解：由题意知，要使小王赢得比赛，则小王至少赢〃+i局，

则p(〃)二(权"+c片+•••«：)，

•••C黑+c晨+…++…+G：=2*,

:.p(1)=--^=-=—,故A正确；

2234

P(2)=---^-=—,P(2)工2P(1),故3错误;

22516

4口4(2〃)！.(2〃+2)!4(〃+1尸_2(〃+1)>1

CW，一川加C+1)!(〃+D!-(2〃+2)(2〃+1)-2〃+1

.•.P(〃+1)>P(〃)，.•)(〃)随着〃的增大而增大，故。正确，

故选：13.

【点评】本题考查相互独立事件嘤率乘法公式、组合数公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

10,(2024•益阳模拟)秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区

居民进行普查化验，化验结果阳性率为1.97%,但统计分析结果显示患病率为1%.医学研究表明化验结

果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为0.01,则该地区患有该疾病的居

民化验结果呈阳性的概率为()

A.0.96B.0.97C.0.98D.0.99

【答案】C

【考点】条件概率

【专题】数学运算；综合法；计算题；转化思想；概率与统计

【分析】利用全概率公式和条件概率公式即可求得所求事件的概率.

【解答】解：设A="患有该疾病"，B="化验结果呈阳性”，

由题意可知P(A)=0.01,P(B)=0.0197,P(A)=0.99.

・.・P(B)=P(A)P(B\A)+P(A)P(B\A),

.•.0.0197=0.01xP（B|A）+0.99x0.01,解得尸（B|A）=0.98.

••・患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为0.98.

故选：C.

【点评】本题考查全概率公式的应用，考查运算求解能力，属中档题.

二,多选题（共5小题）

II.（2024•香坊区校级模拟）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2个

球,事件A="两次取到的球颜色相同"：事件"="第二次取到红球"：事件。="第一次取到红球”.下

列说法正确的是（）

A.AGBB.事件8与事件。是互斥事件

27

C.0（ABIAD.P（B+C）=1

【答案】CD

【考点】随机事件・；互斥事件与对立事件

【专题】整体思想：综合法：概率与统计：运算求解

【分析】由已知先列举出事件A,3,。包含的基本事件，然后结合互斥事件的概念及古典概率公式检验

各选项即可判断.

【解答】解：由题意可得，A=｛（红，红），（绿，绿）｝,4=｛（红，红），（绿，红））,C=｛（红，红）,

（红，绿）｝,

则人选项A错误；

30|。工0，选项8错误;

a八或=生9=2,选项C正确；

10x915

28+0=4x3+6x4x2=2,选项。正确.

10x93

故选：CD.

【点评】本题主要考查了事件基本关系的判断，还考查了古典概率公式的应用，属于基础题.

12.（2024•佛山一模）有一组样本数据0,1,2,3,4,添加一个数X形成一组新的数据，且

P(X=k)£{0,1,2,3,4,5}),则新的样本数据()

A.极差不变的概率吗

B.第25百分位数不变的概率是a

16

C.平均值变大的概率吗

D.方差变大的概率是工

32

【答案】ACD

【考点】离散型随机变量的均值(数学期望)：用样本估计总体的离散程度参数

【专题】对应思想；概率与统计；计算题：综合法；数学运算

【分析】根据题意得到X取各个值的概率，结合极差、百分位数、平均数以及方差的概念与计算公式逐一

判断即可.

K尸—1)45C£JO

-P(X=2)==

【解答】解：由题意得P(X=O)=32=32

312

C1()--

P(X=3)=-^-=—,P(X=4)=p(x=5)=父

3232叫嗅S

对于A,若极差不变，则X=0,1,2,3,4,概率为1—P(X=5)=卫，故A正确；

32

对于8,由于5x25%=1.25,6x25%=1.5,所以原数据和新数据的第25百分位数均为第二个数，

所以X=l,2,3,4,5,第25百分位数不变的概率是1-P(X=O)=①，故8错误；

32

对于C，原样本平均值为"上立士=2,平均值变大，则X=3,4,5,概率为W+上+-L=L,故

53232322

C正确；

对于。，原样本的方差为<X(22+12+()2+F+22)=2,

显然，当X=2时，新数据方差变小，当X=0,4,5时，新数据方差变大，

当X=1时，新数据的平均数为°+l+"2+3+4=U,

66

方差为!X[(O-当？+(]―少2++(4-少2]=缨<2,

6666216

同理，当X=3时，新数据的方差为当<2,

216

7

所以方差变大的概率为P(X=0)+P(X=4)+P(X=5)=—,故/)正确.

32

故选：ACD.

【点评】本题主要考查禽散型随机变量的期望和方差，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题.

13.(2024•越秀区校级一模)下列说法正确的是()

A.数据2,1,3,4,2,5,4,1的第45百分位数是4

B.若数据引，匕的标准差为s，则数据2%,2X2>2七，…，2x4的标准差为2s

71

C.随机变量X服从正态分布N(l,2),若P(X>0)=-,则P(0<X<2)=-

42

D.随机变量X服从二项分布3(4,p),若方差D(X)=2,则Q(X=2)=2L

4128

【答案】BCD

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义：用样本估计总体的离散程度参数；〃重伯努利试验与

二项分布；离散型随机变量的均值(数学期望)

【专题】概率与统计；转化法；数学运算；转化思想

【分析】根据百分位数的计算方法，可判定A错误；根据方差的性质，可判定8正确；根据正态分布曲线

的对称性，可判定C正确；根据二项分布性质和概率的计算公式，可判定。正确.

【解答】解：对于A中，数据从小到大排列为1，1，2,2,3,4,4,5,共有8个数据，

因为8x45%=3.6,所以数据的第45分位数为第4个数据，即为2,所以4不正确；

对于8中，数据不，七，…，%的标准差为s，

由数据方差的性质，可得数据2耳，2占.....2%的标准差为屈7=2s,所以5正确；

对于C中，随机变量X服从正态分布N(l,2),且P(X>0)=2,

4

根据正态分布曲线的对称性，可得。(0vX<2)=2P(X>0)-l=g,所以C正确；

对于£)中，随机变量X服从二项分布8(4,〃)，且D(X)=±,

4

可得4〃(i_p)=3,解得p=~L或〃=3,

444

当P=1时，可得尸(X=2)=《)2・(1-])?=鼻，

444128

当〃=；时，可得尸(X