人教版七年级数学上册专题13绝对值的综合运用（强化解析版）

专题1.3绝对值的综合运用

【例题精讲】

【例1】已知匕一“=9,|b+2|=6,且0+匕<0,求j的值.

【解答】解：・.1。-1|=9,|〃+2|=6,

.,.。=一8或10,。=-8或4,

a+h<0,

ci——8,b=-8或4,

当〃=一8,〃=一8时，〃-〃=-8—(-8)=0,

当。=-8,。=4时，«—/?=—8—4=-12.

综上所述，的值为0或-12.

x,(x>0)

【例2】阅读下列材料并解决有关问题:我们知道|x|=0,(x=0)，

-x(x<0)

所以当x>0时，—=-=1：当xvO时.,—=—=-1.现在我们可以用这个结论来解决

|x|X|x|-x

下面问题：

(1)已知。，b是有理数，当出?工0时，—+—=+2^0：

\a\|/?|

(2)已知。，b,。是有理数，当出个=0时，言+程］+向=；

(3)已知。，b,c是有理数，a+0+c=0,abc<0,则也上+史上+交辿=.

⑷闻\c\

【解答】解：(1)已知。，人是有理数，当用工0时，

①av0'Z?<0*—+—=-1—1=-2；

⑷\b\

②a>0，。>0,—+—=1+1=2；

⑷网

③。、b异号,—+—=0.

\a\\b\

^—+—=±2^0；

\a\\b\

(2)已知a,b,c•是有理数，当时CHO时，

①avO,/?<0*c<0»-----F——F——=—1—1—1=—3；

\a\\b\|c|

②。>0,b>0,c>0>——4---F——=I+1+I=3；

lai\b\|c|

③a、b、c两负•正，—+—+—=-1-1+1=-1；

lai\b\|c|

④。、b>c两正一负，-+—+—=-1+14-1=1.

\a\\b\\c\

(3)己知a,b,c是有理数，a+Z?+c=O，abc<0»

则O+c=-a,a+c=-b，a+b=-c，a、b、c两正一负，

„.,/?+<?a+ca+babc,,,,

贝IJ---+----+----=-------------=1-1-1=-1.

lai\b\|c||«|\b\|c|

故答案为：±2或0；±1或±3；—1.

【例3】同学们都知道：|5-(-2)|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两

数在数轴上所对应的两点之间的距离.请你借助数轴进行以下探索：

111111111111111A

-7-6-5-4-3-2-101234567

(1)数轴上表示5与-2两点之间的距离是7,

(2)数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为—.

(3)如果|x—2|=5,则工=.

(4)同理|x+3|+|x-l|表示数轴上有理数x所对应的点到-3和I所对应的点的距离之和，

请你找出所有符合条件的整数工，使得|x+3|+|x-l|=4,这样的整数是—.

(5)由以上探索猜想对于任何有理数x,|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，直接写出

最小值；如果没有，说明理由.

【解答】解：(1)数轴上表示5与-2两点之间的距离是|5-(-2)|=|5+2|=7,故答案为:7；

(2)数轴上表示X与2的两点之间的距离可以表示为|4-2|,故答案为：|x-2|：

(3)v|x-2|=5,

..工-2=5或x-2=-5，

解得：x=7或工=-3,

故答案为：7或-3；

(4)+表示数轴上有理数x所对应的点到-3和1所对应的点的距离之和，

|x+3|+|x-l|=4，

.•・这样的整数有-3、—2、—1、0、1,

故答案为：-3、-2、-1、0、1；

（5）根据绝对值的几何意义可知当3领k6时，有最小值是3.

【题组训练】

1.若|x+3|+|y—5|=0,那么x+），的值是多少？

【解答】解：由题意得，A+3=0-y—5=0,

解得人=-3,y=5>

所以，x+y=-3+5=2,

答：x+y的值是2.

2.已知：|。|=5,|/>-1|=8,且々一〃<0,求a+6的值.

【解答】解：・.MI=5,2一1|=8,

「.〃=±5,/?—1=±8»

:.a=±5,〃=9或一7,

a-b<0

.•.当。=5,0=9时，。+/?=5+9=14；

当。=-5,Z?=9时，4+。=—5+9=4.

故a+b的值为4或14.

3.若。>0,—=_]_：若。<0,—=

a\a\

①若旦+2=0,则四=_；

\a\\b\-ab

②若必c<0,则幺+&+£=.

\a\\b\|c|一

【解答】解：〃>0,

a\=a,

..—=—=1；

aa

avO,

—=—=-1

IaI-a

故答案为：1，—1;

ab

①;西+向=0

/.4〃<0，

ab|=-ah,

Iab\-ab.

・\1=1=[,

-ab-ab

故答案为：1;

abe<0,

a、b、。中有一个负数、两个正数和三个负数两种情况,

当。、b、c中有一个负数、两个正数时,

abc,,,,

——+——+——=-1+1+1=1,

\a\\b\|c|

当。、b、c中有三个负数时,

abc〔lie

\a\\b\\c\

故答案为：I或-3.

4.若|加一1|+|2。+勿=0,且(c+l)2=0,求c"(苏一’力的值.

【解答】解：・,|2。一1|+|2。+川=0,

2。-1=0，2a+b=0,

解得：a=—tb=—\,

2

•.•(c+l)2=0,

...原式=(_心［(夕_(_1力

=lx(1+l)

8

_9

=一・

8

5已知1"一21与配2位为相反数'求言一”+常的值•

【解答】解：根据题意得|"一2|+2-2|=0,

・.|,心一2|..0，|/?-2|..0,

「."-2=0,。一2=0,

<7=1»。=2,

后4345

••力1、式=------1---

2-14

4

6.已知|a+3|与|b-4|互为相反数，求式子H+从的值.

【解答】解：・.1。+3|与|b-4|互为相反数,

/Jf/+3|+|Z?-4|=0,

又,」a+3|..O,|/>-4|..0,

「.々+3=0,Z?—4=0,

解得：〃=—3,b=4,

/.a2+b2=（一3f+42=9+16=25.

7.已知|X+2|与|），-4|互为相反数，求x+），-3的值.

【解答】解：,.|x+2|与|y-4|互为相反数，、

.•Jx+2|+|），-4|=0，

X-|x+2|..O,|y-4|..O,

：.x+2=（）,y-4=0,

解得x=-2,y=4,

/.x+y-3=-2+4-3=-1.

8.若|x-2|+2|），+3|+3|z-5|=0.

计算：（1）x,y,z的值.

（2）求|x|+|y|-|z|的值.

x-2=0

【解答】解：（1）由题意，得卜+3=0,

z-5=0

解得

即x=2,y=-3,z=5：

（2）当x=2,y=—3,z=5时,

|x|+|y|-|z|=|2|+|-3|-|5|=2+3-5=0,

即|x|+|y|-|z|的值是0.

71

9.计算：已知|x|二-,|y|=—,Kx<y<0,求6+(x-y)的值.

32

oi

【解答】解：x|=—,|y|=—,且xvyvO,

32

=-36.

io.在解决数学问题的过程中，我们常用至上分类讨论”的数学思想，卜.面是运用分类讨论的

数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的（探究）.

（提出问题）两个有理数。、。满足〃、〃同号，求呼+詈的值.

解：①若。、。都是正数，即4>。，Z?>0,\a\=a1\b\=b,则^^+回=@+2=1+1=2；

abah

②若〃、人都是负数，即a<0,bv。,有|〃|=一〃，\b\=-b,则

回+回=±+心,

abab

所以⑷+回的值为2或-2.

ab

（探窕）请根据上面的解题思路解答下面的问题：

（1）两个有理数。、〃满足a、b异号,求空+詈的值；

（2）已矢口|〃|=3,\b\=2,|c|=l,^.a<b<c,求〃+b+c的值.

【解答】解：（1）由。、b异号,可知：①〃>0,/?<0;②〃<0，〃>0,

当a>。，Z?vO时，-+—=1-1=0；

ab

当avO，。>0时，-+—=-1+1=0.

ah

综上，回+回的值为o；

ab

（2）-.|a|-3、\b\-2、|c|-l,

a=±3>Z?=±2>c=±1.

a<b<c

tv=-3>£>=—2>c=—1或。=-3,Z?=-2>c=1.

当a=-3,b=—2,c=—1时，

fl+/?+c=-3+(-2)+(-l)=-6：

当a=-3,b=-2,c=l时,

a+Z?+c=-3+(-2)+1=—4

综上，a+〃+c的值为-6或T.

11.同学们都知道15-(-2)|表示5与(-2)之差的绝对值,也可理解为5与-2两数在数轴上

所对的两点之间的距离，试探索：

(1)求|5-(一2)|=7.

(2)找出所有符合条件的整数x,使得|x+5|+|x-2|=7成立的整数是—.

(3)由以上探索猜想，对于任何有理数x,|x-3|+|工-6|是否有最小值？如果有，写出最

小值；如果没有，说明理由.

【解答】解：⑴原式=|5+2|=7

故答案为：7；

(2)令x+5=0或％-2=0时，则x=-5或x=2

当xv—5时，

_(x+5)—(x—2)=7,

—X—5—x+2=7>

x=5(范围内不成立)

当一5Vx<2时，

/.(x+5)-(x-2)=7,

x+5—2=7,

7=7,

x=—4>—3>—2,—1,0,I

当x>2时，

二.(x+5)+(x-2)=7,

jr+5+x—2=7,

2x=4,

x=2»

x=2(范围内不成M)

综上所述，符合条件的整数x有：一5,-4,-3,一2,-1,0,1,2；

故答案为：一5,-4,-3,-2,-1,0,1,2；

(3)由(2)的探索猜想，对于任何有理数x,叶-3|十|工-6|有最小值为3.

12.已知|a|=3,|Z?|=5,且求〃一加的值.

【解答】解：因为|a|=3,|勿=5,

所以4=3或-3，〃=5或一5.

又因为

所以。=3或-3,b=-5

①当a=3,。=一5时，

Z>—2^7=—5—2x3=-11.

②当〃=-3,〃=-5时，

/?-2^=-5-2x(-3)=l.

综上所述:〃-2a的值为-11或1.

13.已知|x|=3,|y|=7.

(1)若xvy,求x+y的值；

(2)若孙<0,求x-y的值.

【解答】解：由题意知：x=±3,y=±7,

(1)1x<y

.'.x=±3>y=l

.•.x+y=10或4

(2),.：D，VO,

二.x=3,y=-7或x=-3,y=7,

/.x-y=±10.

14.阅读下列材料完成相关问题：己知a,b、。是有理数

(1)当ab>。,a+0v0时，求---1---的值；

1。11〃1

(2)当〃Z?CHO时，求色+2+’的值；

lai\b\|c|

(3)当a+h+c=O,abc<0»上上+空一竺女的值.

\a\\b\\c\

【解答】解：(1)ab>0,a+〃v0，

。v0,Z?<0

⑵当〃、八c同正时,含+#言皿1,

当4、b、c两正一负时，—+—+—=l+l-l=l；

⑷⑸|c|

当a、b、c一正两负时，—+—+—=-1-14-1=-1；

k|\b\|c|

当a、b、c同负时，—+—+—=-l-l-l=-3；

\a\\b\|c|

(3)・.a+〃+c=O,

Z?+c=-a,a+c=-b，a+b=-c

-a-h-c

二百十而一百

=_4」+£

kl网lc|

又abc<4,

二当。<0,a>0,/?40时，原式=---—+—

3\b\\c\

=-1-1-1=-3；

当c>0,a>0,〃<0时.原式=---—+—

laiSI\c\

=-1+14-1=1;

当c>0，a<(),〃>()时，原式=---—+—

3\b\|c|

=1-14-1=1.

15.结合数轴与绝对•值的知识回答下列问题：

____II___;1____I__i___I____________L>

・54・32012345

(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是3；表示-3和2两点之间的距离是；

一般地，数轴上表示数，"和数〃的两点之间的距离等于|〃?-〃|.如果表示数”和-1的两

点之间的距离是3,那么a=.

(2)若数轴上表示数〃的点位于-4与2之间，则|。+4|+|〃-2|的值为；

(3)利用数轴找出所有符合条件的整数点x,使得|x+2|+|x-5|=7,这些点表示的数的

和是.

(4)当〃=时，|a+3|+|a-l|+|a-4|的值最小,最小值是.

【解答】解：⑴|1-4|=3,

|-3-2|=5,

k/-(-l)|=3,

所以，。+1=3或〃+1=-3,

解得4=-4或4=2：

(2)•.,表示数”的点位于-4与2之间，

6,+4>0>a—2<0,

.Ja+41+1a-21=(a+4)+[―(。-2)]=a+4—a+2=6；

(3)使得|x+2|+|x-5|=7的整数点有-2,T,0,1,2,3,4,5,

-2-1+0+1+2+3+4+5=12.

故这些点表示的数的和是12；

(4)a=l有最小值，最小值=U+3|+|1-1|+|1-4|=4+0+3=7.

故答案为：3,5,T或2；6；12；1；7.

16.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是3:表示-3和2两点之间的距离是：

一般地，数轴上表示数机和数〃的两点之间的距离等于.

(2)如果|x+l|=3,那么x=:

(3)若|〃-3|=2,|〃+2|=1,且数“、》在数轴上表示的数分别是点4、点3,则4、B

两点间的最大距离是,最小距离是.

(4)若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，则|。+4|+"-2|二.

-5-4-3-2-1012345>

【解答】解：(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是：4-1=3：表示-3和2两点之间

的距离是：2-(-3)=5,故答案为:3,5：

(2)|x+l|=3,

x+l=3或x+l=-3,

x=2或x=-4.

故答案为：2或T；

(3)v|«-3|=2,|Z?+2|=1,

二.a=5或1,〃=—1或。=—3,

当々=5,〃=一3时，则4、A两点间的最大距离是8,

当1=1,b=T时,则A、3两点间的最小距离是2,

则A、8两点间的最大距离是8,最小距离是2；

故答案为：8,2：

(4)若数轴上表示数〃的点位TT与2之间，

|a+41+1a-21=(。+4)+(2—a)=6.

故答案为：6.

17.数学实验室：

点A、4在数轴上分别表示有理数a、b,A.A两点之间的距离表示为AB,在数轴上A、

8两点之间的距离.

利用数形结合思想回答下列问限

①数轴上表示2和5两点之间的距离是一3，数轴上表示I和-3的两点之间的距离是—.

②数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为一.数轴上表示x和5的两点之间的距离

表示为.

③若x表示一个有理数，则|x-l|+|x+3|的最小值二—.

④若x表示一个有理数，且|x+3|+|x-2|=5,则满足条件的所有整数x的是—.

⑤若x表示一个有理数，当x为,式子|x+2|+|x-3|+|x-5|有最小值为.

AB

--------1---1------1---->

a0h

【解答】解：①数轴上表示2和5两点之间的距离是5-2=3,数轴上表示1和-3的两点

之间的距离是1-(-3)=4,

故答案为：3,4；

②数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为|x-(-2)|=|x+2|,数轴上表示工和5的两点

之间的距离表示为|5-川.

故答案为:\x+2\f|5-x|；

③当xv—3时，|x—1|+|)+3|=1—工一工一3二—2%—2,

当一3领上1时，|x—l|+|x+3|=l-x+x+3=4,

当x>l时，|x-l|+|x+3|=x-l+x+3=2x+2,

在数轴上|x-l|+|x+3|的几何意义是：表示有理数x的点到-3及到1的距离之和，所以当

-3&1时，它的最小值为4,

故答案为：4；

④当xv-3时，次+3|+|<—2]=—工一3+2—X=一2%—1=5,

解得：x=—3>

此时不符合xv-3,舍去；

当一3殁/2时，\x+3\+\x-2\=x+3+2-x=5,

此时x=-3或x=-2或0或1或2；

当x>2时，|x+3|+|x-2|=x+3+x-2=2x+l=5,

解得：x=2,

此时不符合x>2,舍去；

当x=0时，|x+3|+|x—2|二5：

当x=l时，|x+3|+|x—2|二5；

当x=-l时，|x+3|+|x-2|=5：

故答案为：-3或-2或-1或0或1或2；

⑤丫设y=|x+2|+|x-3|+|x—5|,

i、当X..5时，y=x+2+x-3+x-5=3x-6,

二当x=5时，y最小为：3x—6=3x5—6=9；

ii、当，x<5时，y=x+2+x-3+5-x=x+4,

.•.当x=3时，y最小为7：

iii、当-2»,K<3时，j—x+2+3—x+5-x—10—x,

「•此时y最小接近7；

沆i、当x<-2时，y=-j-2+3-x+5-x=6-3x,

.••此时y最小接近12；

的最小值为7.

故答案为：3,7.

18.已知|〃一1|=9,|Z?+21=6,且a+〃<0,求〃一〃的值.

【解答】解：•.M-1|=9,|〃+2|=6,

.•/=-8或10,。=-8或4,

,4+。<0,

/.«=—8>〃=-8或4,

当。=一8,〃=一8时，«-Z?=-8-(-8)=0,

当。=-8,。=4时，a—b=—8—4=—12.

综上所述，的值为。或一12.

19.若|〃一2|=5,|力|=9且|4+川+〃+〃=0,试求4一〃的值.

【解答】解:因为|。一2|=5,出|=9,

所以。=-3或7,y=±9,又|a+b|+a+/?=0,

所以当。=-3,〃=一9时，a-b=6；

当。=7,〃=一9时，a-b=l6.

20.若|止5,|昨2,且〃<〃，求〃一。的值.

【解答】解：”。|=5,|止2,

/.a=±5,b=±2,

a<b,

/.a=-5f。=±2,

：.a—b=—5—2=-7，

或。一〃=-5-(—2)=—5+2=-3»

所以，〃一人的值为一3或-7.

x,a>0)

2i.阅读下列材料并解决有关问题:我们知道下i=o,a=o),

-x(x<0)

所以当x>0时，—=-=1；当x<0时，—=—=-1.现在我们可以用这个结论来解决

|x|X|x|-x

下面问题：

(1)已知〃，力是有理数，当"工0时，—+—=±2或0；

klMl------

(2)已知a,b,c是有理数，当破：¥0时，—+—+—=；

⑷I川Id---

(3)已知”，b»c是有理数，a+b+c=O»abc<0,则++“十力=

kl出I©

【解答】解：(1)已知a,b是有理数,当外工0时，

Ja<。，〃<0，---F—=—1—I=-2；

⑷向

②a>0，/?>0*---1---=1+1=2；

lai\b\

③。、〃异号，&+_L=o.

I«l\b\

^—+—=±2^0；

\a\\b\

(2)已知a,b»。是有理数，当abc工0时,

①avO,b<(),c<0»—+—+—=-1-1-1=-3；

HI\b\|c|

②a>0.b>0,c>0,—+—+—=1+1+1=3；

"I\h\\c\

c两负一正，—+—+—=-l-l+l=-l;

mi闻\c\

④a、b、C,两正一负，―+―+—=-l+l+l=l.

mi.\c\

+-+—=±1或±3;

⑷网Id

(3)已知a,b.c是有理数，a+b+c=O»abc<0,

贝！J〃+c=-a,a+c=-b,a+b=-c，a、bc两正一负,

a+ca+babc..,.

则出----1----=-------------=I-1-1=-1.

kl\b\|c||a|\b\|c|

故答案为：±2或0；±1或±3；-1.

22.如果。、b、c是非零有理数，且a+〃+c=O,那么上-+2-+工+」”的所有可

\a\\b\\c\\abc\

能的值为0.

【解答】解：・・・4、b、C为非零有理数，且4+人+。=0,4、b、C只能为两正一负或一

正两负.

①当a、b、c为两正一负时，设。、〃为正，c,为负,

原式=1+1+(—1)+(-1)=0,

②当a、b、c为一正两负时，设。为正，b、c,为负

原式1+(-1)+(-1)+1=0,

,..abcabc、，

综上，——+——+——+-----的值为。，

⑷\b\\c\\abc\

故答案为：0.

23.同学们都知道：|5-(-2)|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数

在数轴上所对应的两点之间的距离.请你借助数轴进行以卜探索：

111111111:1111:0

-7-6-5-4-3-2-101234567

(I)数轴上表示5与-2两点之间的距离是」

(2)数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为—.

(3)如果|x—2|=5,则工=.

(4)同理|x+引+|x-1|表示数轴上有理数x所对应的点到-3和1所对应的点的距离之和，

请你找出所有符合条件的整数x,使得|x+3|+|x-l|=4,这样的整数是—.

(3)由以上探索猜想对于任何有理数x,|》-3|+|3-6|是否有最小值？如果有，直接写出

最小值；如果没有，说明理由.

【解答】解：(1)数轴上表示5与-2两点之间的距离是|5-(-2)H5+2|=7,故答案为：7；

(2)数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|1-2|,故答案为：|x-2|；

(3)v|x-2|=5,

x-2=5或x-2=-5,

解得：x=7或x=-3,

故答案为：7或-3；

(4)•.1x+3|+|x-l|表示数轴上有理数x所对应的点到-3和1所对应的点的距离之和，

|x+31+1x-11=4,

这样的整数有-3、一2、一1、0、I,

故答案为：-3、一2、-1、0、1；

(5)根据绝对值的几何意义可知当3领k6时，有最小值是3.

24.我们知道，在数轴上，|。|表示数。到原点的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，

数轴上两个点A、B,分别用。，〃表示，那么A、8两点之间的距离为：AB=\a-b\.利

用此结论，回答以下问题：

(1)数轴上表示2和5的两点的距离是3,数轴上表示-20和-5的两点之间的距离

是，数轴上表示15和-30的两点之间的距离是.

(2)数轴上表示/和-1的两点A,8之间的距离是—，如果|A3|=2,那么x是—.

(3)式子|*+1|+|4-2|+|工-3|的最小值是.

【解答】解：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2-5|=3,数轴上表示-20和-5

的两点之间的距离是|-20-(-5)|=15.数轴上表示15和-30的两点之间的距离是

115-(-30)1=45.

(2)数轴上表示x和-1的两点4和4之间的距离是|工-(一1)|=|工+1|,如果|A8|=2,那么

x为1或一.3

(3)|X+1|+|.T-2|+|X-3|表示：数轴上一点到-1,2和3距离的和，

当戈在-1和3之间的2时有最小值是4.

故答案为:3,15,45；案+11，1或-3:4.

25.同学们都知道，|4一(-2)|表示4与一2的差的绝对，直，实际上也可理解为4与一2两数

在数轴上所对•应的两点之间的距离；同理|工-3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应

的两点之间的距离.试探索：

(1)求|4一(-2)1=6.

(2)若|工一2|=5,则八=

(3)同理|x-4|+|x+2|=6表示数轴上有理数无所对应的点到4和一2所对应的两点距离

之和，请你找出所有符合条件的整数x,使得|x-4|+|x+2|=6,这样的整数是.

【解答】解：(1)4与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6,

.J4-(-2)|=6.

(2)|工-2|=5表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5,

「-3或7与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5,

.•.若|工一2|=5,则x=-3或7.

(3)・「4与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6,

使得|x—4|+|x+2|=6成立的整数是一2和4之间的所有整数(包括一2和4),

・•.这样的整数是一2、-L0、1、2、3、4.

故答案为：6；-3或7；-2、-1、0、1、2、3、4.

26.观察下列每对数在数轴上的对应点之间的距离：4与-2,3与5,-2与-6,T与3.并

回答下列各题：

(1)你能发现A、台两点之间的距离表示为〃与0,在数轴上A、3两点之间的距离与这

两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：AB=_\a-b\_.

(2)若数轴上的点4表示的数为x,点8表示的数为-1,则A与8两点间的距离可以表示

为•

(3)结合数轴探求|%-2|+3+6|的最小值是_____.

AB

aob

【解答】解：(l)4与-2的距离：6=j-2-4|,

3与5的距离：2=|5—3|.

一2与-6的距离：4=|-2-(-6)|,

-4与3的距离:743-1)1，

/.AB=\a-b\；

故答案为:\a-b\x

(2)A3=|x—(—l)|=|x+l|：

故答案为:k+i|：

(3)|x—21+1%+6|表示数x到2和—6两点的距离之和,

如果求最小值，则x-定在2和-6之间，则最小值为8；

故答案为:8.

27.阅读下列材料并解决有关问题：

-rn(m<0)

我们知道，|〃”=0(〃?=0).现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化

m(m>0)

简代数式I"?+11+1〃[-2|时，可令/〃+1=0和〃2-2=0,分别求得/〃=一1,m=2(称一1,

2分别为|帆+1|与的零点值).在实数范围内,零点值加=-1和加=2可将全体实数

分成不重复且不遗漏的如下3种情况:

②—③机.2.从而化简代数式|〃z+l|+|〃?-2|可分以下3种情况:

(1)当〃7<-1时，原式=-(〃?+1)-(〃2-2)=-2〃?+1；

(2)当一1,,<2时，原式=〃?+1—(5-2)=3；

(3)当"?..2时，原式=m+1+，〃-2=2/〃-1.

-2m+\(m<-1)

综上讨论,原式=•3(-L,刑<2)

2m-\iin..2)

通过以上阅读，请你解决以下问题：

(1)分别求出|x-5|和|x-4|的零点值;

(2)化简代数式|x-5|+|x-4|；

(3)求代数式|x-5|+|x-4|的最小值.

【解答】(1)令工-5=0,X-4=0.

解得：x=5和x=4,

故|x-5|和|工-4|的零点值分别为5和4；

(2)当x<4时，原式=5-x+4-x=9-2x；

当4•5时，原式=5-x+x-4=1；

当x>5时，原式=8一5+工一4=2^—9.

9-2x(x<4)

综上讨论,原式=<.

2x-9(x.5)

(3)当x<4时，原式=9-2x>l；

当4,,x<5时，原式=1；

当"5时,原式=2x-9..1.

故代数式的最小值是1.

28.已知非零有理数a,b,c满足必>0,bc>0.

(1)求四+二+也的揄

ab|ac\be

(2)若a+〃+cv0,求回+巨+1£1+四的值.

a\b\cabc

【解答】解：(1),ah>0,bc>0f

>0,b>0,c>0或avO,bvO,c<0,

/.ac>0，

IahIac\bc\abacbe

ab|ac\beabacbe

(2)a+〃+cvO，

..”0,h<0,c<0,ahc<0,

29.(1)当〃工0时，求了的值.(写出解答过程)

(2)若〃工0,bHO,且回+2=(),则四的值为T.

a\b\ah——

(3)若他>0,则回+回+四的值为_.

abab

【解答】解：(1)当时，|4|=〃，则原式二1；

当4<()时，|。|=一4,则原式二一1；

(2)•"0,〃¥0，且⑷

.l.4与。异号，即aZ?v0.

ab|=-ab,

则原式二一1；

(3)ab>(),

.,.a与b同号，

当a>0，A>0时，原式=1+1+1=3；

当avO，〃vO时，原式=-1-1+1=T.

故答案为：(2)-1；(3)3或-1

30.已知：有理数a,b,c满足必c<0,当工=凹+2+1£1时，求工的值.

a\b\c

【解答】解：•.,有理数a,b,c满足a〃cvO,

a,b,c中有一个负数或三个负数，

当a,b,c中有一个负数时，^=1+1—1=1；

当a,b,c中有三个负数时，x=-l-l-l=-3.

31.(1)三个有理数a、b、c满足必c>0，求回+回+蛆］的值；

abc

(2)若a、b、。三个不为0的有理数，且回+回+1£1=一1,求处1的值;

abc|ahc|

【解答】解：(1)abc>0,

.a,b,c都是正数或两个为负数,

①当a,b,c都是正数，即a>0,b>0»c>0时、

则1£1+坨1+1£1=]+]+]=3；

abc

②:a,b,c有一个为正数数，另两个为负数时，设av。，〃vO,c>0»

则回+回+1£1=一1-1+1=-1.

abc

故1£1+回+1£1的值为3或—I；

abc

(2)a、b、c为三个不为0的有理数，且回+回+1£1=一1,

abc

.•.a、b、c中负数有2个，正数有I个，

abc>0，

abcabc,

----=---=I.

Iabc\abc

32.阅读下面材料：点A、3在数轴上分别表示有理数〃、b,在数轴上A、3两点之间的

距离".回答下列问题：

(1)数轴上表示-3和1两点之间的距离是4,数轴上表示x和-2的两点之间的距离

是—；

(2)数轴上表示。和1的两点之间的距离为6,则a表示的数为—：

(3)若x表示一个有理数，则|x+2|+|x-4|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有,

请说明理由.

AB

—।---------1------------------

a0b

【解答】解：(1)|1—(—3)1=4；|x-(-2)|=|x+2|；

故答案为：4,|x+2|：

(2)\a-\\=6,

a—1=6或a—1=-6,

即a=7或a=-5,

故答案为：7或-5;

(3)有最小值,

当/<一2时，|x+2|+|x-4|=-x-2-x+4=-2x+2>6,

当一2领k4时，|x+2|+|.v-4|=x+2-x+4=6,

当x>4时，|x+2|+|x-4|=x+2+x-4=2x-2>6,

所以当-2领上4时，它的最小值为6.

33.我们知道：点A、8在数轴上分别表示有理数〃、〃，A、3两点之间的距离表示为AB,

在数轴上两点之间的距离A4=|。-回，请回答下列问题：

(1)数轴上表示-1和3的两点之间的距离是4.

(2)数轴上表示x和2的两点之间的距离为3,则有理数尤是—.

(3)若x表示一个有理数，且—3<x<3,则|x-3|+|x+4|=.

(4)式子|x-l|+|x+3|的最小值为.

【解答】解：(1):-1和3两点之间的距离是:|-1-3|=4；

故答案为：4：

(2)・.一和2的两点之间的距离为:|x-2|=3,

x—2=±3,

解得x=5或-1；

故答案为：5或-1：

(3)-3<x<3»

x—3V0,x+4>0,

.•Jx-3|+|x+4|=3-x+x+4=7：

故答案为：7：

(4)当x>l时，x-l+x+3=2x+2>4,

当x<-3时，I-A--X-3=-2X-2>4,

当一3盆夫1时，l-x+x+3=4；

故答案为:4.

34.已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、力，A、4两点之间的距离表示为|A3|=|。-勿.

(1)数轴上表示2和-3的两点之间的距离是5；

(2)数轴上表示。和-5的两点4和4之间的距离是一：

(3)若数轴上三个有理数以、b、c满足|a-6-1,|a-c|_7,则|/?-c|的值为;

(4)当a=时，|a+3|+|a-l|+|a-4|的值最小，最小值是.

【解答】解：(1)2-(-3)=5,

故答案为：5；

⑵|A3|=|a-(—5)|=|。+5|,

故答案为：|。+5|；

(3)当时，|〃一。|=|。一°|一|。一/?|=7—1=6；

当。>a>c时，|〃-c|=|〃-c|+|a-〃|=7+1=8；

C点在A,〃两点之间时不符合题意，

综上g-c|的值为6或8,

故答案为：6或8；

(4)•.•当一瓒h4时，|a+3|+|a-4|的最小值为7,

二只需要的值最小即可，

此时4=1,|〃一1|=0,

.•.当。=1时，|。+3|+|〃-1|+|々-4|的值最小，最小值是7.

故答案为：1;7.

35.点A、B在数轴上分别表示有理数。、b,A、B两点之间的距离表示为/W,在数轴

上A、5两点之间的距离利用数形结合思想回答下列问题：

(I)数轴上表示2和5的两点之间的距离是3,数轴上表示2和-3的两点之间的距离

是—•

(2)数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为—.

(3)若x表示一个有理数，且Y轰*2,则|x—2|+|x+4|=.

(4)若|x+3|+|x-5|=8,利用数轴求出x的整数值为.

【解答】解：(I)数轴上表示2和5两点之间的距离是|5-2|=3,数轴上表示2和-3的两

点之间的距离是12-(-3)|=5；

故答案为：3,5；

(2)数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为|x+2|,

故答案为:lx+21；

(3)若x表示一个有理数，且T副r2,

则—2|+|x+4|=2—x+x+4=6；

故答案为：6；

(4)•.|x+3|+|x-5|=8,

/.-3M5,

画数轴如下:

-4-3-2

X为整数,

x-—3>-2，—1>0»1,2,3,4,5.

故答案为：一3,-2,-1,0,1,2,3,4,5.

36.同学们都知道，|4-(-2)|表示4与-2的差的绝对值，实际上也可理解为4与-2两数

在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|》-3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两

点之间的距离.试探索：

(1)求|4一(一2)|=6.

(2)若|x-2|=5,则工=.

(3)同理|x-4|+|x+2|=6表示数轴上有理数x所对应的点到4和-2所对应的两点距离之

和，请你找出所有符合条件的整数x,使得|x-4|+|x+2|=6,这样的整数是—.

(4)求:|x-3|+|x+l|+|x+5|的最小值，并求出此时x的值.

【解答】解：(1)|4-(-2)H6|=6；

故答案为：6；

(2)•|x-2|=5,

二.x—2=5或x—2=—5,

二.x=7或一3；

故答案为：7或-3；

(3)-.1x-4|+|x+2|=6.

.•.-2•4,

整数x是-2、一1、0、1、2、3、4；

故答案为：一2、一1、0、1、2、3、4；

(4)当一5,,工〈一1时，原式=3-x-x-l+x+5=-x+7；

当x=-l时，|x-3|+|x+l|+|x+5|=8：

当一1<兀,3时，原式=3-x+x+l+x+5=x+9.

所以当x=T时，有最小值是8.

此时x=-l.

37.在学习绝对值后，我们知道，|。|表示数〃在数轴I：的对应点与原点的距离.如：|5|表

示5在数轴上的对应点到原点的距离，而|5|=|5-0|,即|5-0|表示5、0在数轴上对应的

两点之间的距离.类似的有|5-3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离：

|5+3|=|5-(-3)|,所以|5+3|表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离.一般地，点A、

8在数轴上分别表示有理数“、b,那么A、8两点之间的距离可表示为-勿.

请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：

(1)数轴上表示2和-3的两点之间的距离是5:数轴上夕、Q两点之间的距离为3,

若点?表示的数是-2,则点。表示的数是—.

(2)点4、B、C在数轴上分别表示有理数X、-4、3,那么A到/?的距离是一；A到

C的距离—.(用含绝对值的式子表示)

(3)若|x-3|+|x+4|=ll,则x的值为.

(4)若|x-3|+|x+4|=7,则x的取值范围值为.

【解答】解：(1)|2-(-3)|=5,

设点Q所表示的数为4,由题意得，

1"2|=3,

“+2=3或夕+2=-3♦

解得q=1或q=-5,

即点Q所表示的数为1或-5,

故答案为：5,1或-5;

(2)根据数轴上两点之间的距离的计算方法可知，

A到B的距离是|x+4|,A到C的距离是|x—3|,

故答案为：|x+4|,|x-3|；

(3)|x-3|+|x+4|所表示的意义为：数轴上表示数x的点，到表示数3和T两点距离之

和，

而|x-3|+|x+4|=ll时,

当x>3时，有x