江苏省南京市七校联合体2025-2026学年高三上学期12月联合考试数学

2025-2026学年12月七校联合学情调研

高三数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合M＝{－1，1}，N＝{x则M∩N＝()

A．{1}B．{－1}C．{－1，1}D．(－2，0)

2．已知样本数据5，6，6，7，8，9，10，12，则该组数据的第60百分位数为()

A．6B．7C．8D．9

3．已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－3b，则cos＜a，c＞＝()

A．B．C．D．

4．在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC∠BAC的角平分线交BC于D，

则AD＝()

A．B．C．D．

5．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1＝12，若数列也是等差数列，则

a3＝()

A．24B．20C．18D．15

6．清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食从苏州府运送到全国各地．为了核准粮食

的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，两斛为一石.

已知一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口

为正方形，内边长为2.5dm，下底也为正方形，内边长为5dm，

斛内高3.6dm，那么一石米的体积大约为()

A．52.5dm3B．55dm3C．105dm3D．110dm3

x

7．已知椭圆b＞0)，焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c＞0)，若过F1的直线和

22

圆x＋y－cx＝0相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则椭圆的离心率是

()

A．B．C．D．

试卷第1页，共4页

8．定义在R上的函数f则不等式的解集为

()

C．D．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

分．

9．已知复数z，其中i为虚数单位，下列说法正确的是()

A．若复数z满足1＋iz＝2i，则z的实部为2

-

B．若z－z＝0，则z为实数

C．若z2＋2＝0，则z＝＝0

D．若|z－i|＝1，则|z|的最大值为2

10．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点P是侧面BCC1B1上的一个动点(含

→→→

边界)，且BP=λBB1+μBC(0≤λ≤1，0≤μ≤1)，E，F分别是棱AA1，C1C的中点，则()

A．平面D1EF截该正方体所得的截面图形是正五边形

B．平面D1EF⊥平面BDD1B1

C．若μ=0，则|PE|＋|PD|的最小值为

D．若|AP|＝，则点P的轨迹长度为

11．已知函数f(x)＝(x＋1)(x－2)2－1的图象与直线y＝t(t∈R)交于不同的三点A(x1，t)，

B(x2，t)，C(x3，t)，且x1＜x2＜x3，则()

A．f(x)的极大值为3B．t的取值范围为(－1，3)

C．x1x3的取值范围为[－，0)D．(x3－x1)2的取值范围为(9，12)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．已知cos，则cosα=________．

x

13．已知直线l：3x＋4y－5＝0与双曲线C：y2＝1相交于A，B两点．若弦AB被直线

m：x＋ty＝0平分，则实数t的值为________．

14．有一摸球游戏，规则如下：在盒子里放大小、质地完全相同的4个红球和3个白球，不

放回地依次随机取出，每次取出1个球，直到剩下只有一种颜色的球时游戏结束，记ξ为游

戏结束时取球次数，则ξ的数学期望为．

试卷第2页，共4页

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤．

15．某市为了研究学生身体素质与课外体育锻炼时间的关系，在某个区随机调查了1000名

学生，得到如下列联表：

课外体育锻炼

达标不达标合计

组别时间

身体素质强86040900

身体素质弱4060100

合计9001001000

(1)根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析课外体育锻炼时间与身体素质是否有关；

(2)如果用该区学生达标成绩的情况来估计全市学生的达标情况，现从全市学生中随机抽取3

名，求恰有1人课外体育锻炼时间达标的概率．

附

P(χ2≥k)0.0050.0100.001

k3.8416.63510.828

16．已知数列{an}的首项a1＝1，且满足递推关系an＋1＝3an＋4．

(1)求证：{an＋2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；

(2)记bn＝数列{bn}的前n项和为Tn，若am＋1·Tm＝39，求m．

17．如图，三棱柱ABC－A1B1C1的体积为18，AB＝AA1＝2AC＝6，D，F分别是B1C，

→

B1C1的中点，E是线段A1C1上的动点，且E=λA1C1，AB⊥平面ACC1A1．

求证：A1D//平面EFC；

(2)若平面EFC与平面ABB1A1的夹角的余弦值为，

求实数λ的值．

试卷第3页，共4页

18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，C上有两个不同动点

A(x1，y1)，B(x2，y2)．

2

(1)若直线AB过点F，求证：y1y2＝－p；

(2)已知定点M若线段AF，MF，BF的长度依次成等差数列；

(i)求证：线段AB的垂直平分线经过一个定点Q；

(ii)若(i)中的定点Q到原点O的距离为6，求ΔQAB面积的最大值．

19．已知函数f(x)＝emx，g(x)＝sinx．

(1)当m＝1时，求过原点且与曲线y＝f(x)相切的直线方程；

(2)当m≥1，x时，求证：f(x)g(x)≥x；

(3)当m＝1时，若正实数x1，x2，…,xn(n≥3)满足xi求证：＜e

i

试卷第4页，共4页

2025-2026学年12月七校联合学情调研

数学答案

1-8BCDBBCAC

9ABD10BD11ABC

13314

【详解】（）提出假设课外体育锻炼时间与身体素质无关……分

15.1H0:1

x……6分

所以有99%的把握认为课外体育锻炼时间与身体素质有关……………7分

（2）记“恰有1人课外体育锻炼时间达标”为事件A…………………8分

则P=C…………12分

答：恰有1人课外体育锻炼时间达标的概率……13分

注：x

也可得分

第（2）中“事件”与“答”有一个即可得2分

16【详解】（1）a1=1，an+1=3an+4

:an+1+2=3(an+2)，因为a1+2=3≠0................................................................................2分

所以

所以数列{an+2}是以3为首项，公比为3的等比数列.·········································4分

—

可得：an+2=3×3n1=3n

即：an=3n—2·····························································································6分

（2）由（1）得，bn················································7分

则bn···················································10分

1

所以Tn=b1+b2++bn.

·····························································13分

由an＋1·Tn＝39，

得

1

所以3n+-2=79，解得n=3.·········································································15分

17.【详解】（1）连接C1D交C1D于C1D点，连接EG

D，F分别是B1C，B1C1的中点，

:G是ΔB1C1C的重心，且C1G=2GD.........................2分

又则

C1E=2EA1

:ΔA1C1D中，且EG//A1D......................4分

又A1D丈面EFCEG面EFC

:A1D//面EFC……6分

（2）在面ACC1A1中，作A1O丄AC，垂足为点O，取BC中点H，连接OH

AB丄面ACC1A1，又A1O面ACC1A1

:AB丄A1O又AB∩AC=A

:A1O丄面ABC

:三棱柱体积VA1O=18，

解得A1O

:O为AC中点…………9分

则RtΔABC中，OH丄AC

以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系

:OOH,OC,OA1x,y,z

2

………10分

则(0一30)C(030)B(2一30)A(00)

A,,，,,，,,，1,,，

C(06)B(20)F(3)H(00)

1,,，1,,，,,，,,，

=λ=(06λ0)，E(06λ)λ∈[0，1]

111,,,,，

:=(200)=(03)

,,，,,

设面

ABB1A1的法向量为=(x1,y1,z1)

则代入得取y1=一1得=(0,一1,)………………11分

设面EFC的法向量为=(x)，，一

2,y2,z2=(,0,)=(0,6λ3,)

则代入得得

取y2==(6λ一3,,3一6λ)

……13分

设平面EFC与平面ABB1A1的夹角为θ

化简得27λ2一42λ+16=0解得λ=或λ=

……15分

18.【详解】（1）显然直线AB的斜率不为0，又F，所以可设直线AB：x=ty+

22

联立消得y一2p一p=0………………2分

由韦达定理得2

y1y2=一p………………3分

（2）（i）证明：设A(x1,y1),B(x2,y2)，则由已知及抛物线定义得

即

AF|+|BF|=2|MFx1+x2=p……5分

3

当x1≠x2时，AB的垂直平分线方程为y

令y=0，得x

所以的垂直平分线经过一个定点

ABQ(,0)………………8分

当x1＝x2时，由对称性知AB的垂直平分线为x轴，也经过点Q(,0)

综上，的垂直平分线经过一个定点

ABQ(,0)…………9分

（）由题意，，解得，

iip=4………………10分

2

所以Q(6,0)，C:y=8x，x1+x2=4

令t，则AB的中点N(2,t),kNQ

当t≠0时，AB:y—t联立y2=8x消x得y2—2ty+2t2—16=0

2

且依题意Δ>0，解得—4<t<4且t≠0，且y1+y2=2t,y1y2=2t—16

由弦长公式得|AB

又Q到AB的距离d

所以

SΔABQAB|.d…………13分

方法一

:SΔABQ

当且仅当t2+16=32—2t2,即t时取等号,

所以

max…………16分

方法二令2则

:λ=t+16∈(16,32),SΔABQ

4

记f令f

当λ∈(16,)时,f'(λ)>0,f(λ)在(16,)上单调递增;

当λ∈(,32)时,f'(λ)<0,f(λ)在(,32)上单调递减;

所以

max………16分

当t=0时，线段AB的中点N(2,0),由对称性知AB为通径,不妨取A(2,4),B(2,—4)

则

SΔABQ

综上得此时或

maxAB:yy分

【详解】（）设切点x

19.1(x0,ex0),f,(x)=e

x0

在切点处切线的斜率为k=f,(x0)=e

x0x0

切线方程为y—e=e(x—x0)，......................................2分

x0x0

因为过原点，得—e=e(—x0)，解得x0=1

所以切线方程为y=ex.........................................4分

「

（）设hx=fxgx—x=emxsinx—x，x∈0,，

2()()()|L

则h,(x)=emx(msinx+cosx)—1

「

设=emxmsinx+cosx—1，x∈0,，

φ(x)